Tarkime, kad funkcijos
ir
turi tolydžias išvestines. Tada:

Lygtis nesunkiai įrodoma prisiminus sandaugos diferenciavimo taisyklę:




Čia
, o
.
.
u = ln x, u'=(ln x)'=1/x,
,
.

.
u=x, dv=sin(x) dx, du=dx,


u=arcsin(x); dv=dx;
v=x.

Patikriname


kur u=ln(x); dv=x dx; du=1/x dx;

kur u=ln(x); dv=dx; du=1/x dx; v=x.

kur u=arctg(x); dv=dx;
v=x.

kur
; du=2x dx;
;

dv=sin(x)dx;

Dar kartą integruojame dalimis.
dv=cos(x)dx;

Turime, kad
Vadinasi
, tai
kur

kur

kur

kur
- Apskaičiuosime integralą
Jei
tai
Todėl pagal formulę (
)


- Apskaičiuosime integralą
Jei
tai
Tada, remiantis formule,

- Paskutinį integralą vėl skaičiuosime pagal
formulę. Jei šį kartą
tai
todėl


- Vadinasi, integralą
apskaičiavome, du kartus pritaikę dalinio integravimo metodą. Nesunku suvokti, kad integralą
(n - natūrinis skaičius) galima apskaičiuoti analogiškai, taikant dalinio integravimo formulę n kartų.
- Dabar apskaičiuosime integralą
(a=const, b=const). Iš pradžių pritaikysime formulę, tarę, kad
Gausime 

- Paskutinį integralą skaičiuojame vėl pagal integravimo dalimis formulę, tik šį kartą
Gausime 






- Vadinasi, du kartus pritaikę dalinio integravimo formulę, gavome pirmojo laipsnio (6.11) lygtį integralo I atžvilgiu. Iš tos lygties radome I.
- Apskaičiuosime integralą
Jis apskaičiuojamas pagal
formulę, tarus, kad
Tada du=dx, v=tg x,

Tada 



- Taigi dešinėje pusėje gavome pradinį integralą, kurį perkėlę į kairiąją pusę, turėsime:

- Todėl

- Analogiškai gautume:

Darome keitinį
Tada
Tuomet turime:

- Tokį integralą integruoti dalimis jau mokame. Pažymime
Tada


Išintegruosime tokį integralą dalimis iš karto.
- Pažymime
Tada


- Mums prireiks tokio integralo

- išintegravimas (integruojant keičiant kintamąjį).
- Sprendimas. Pažymėję
tada

- Kai n = 1, analogiškai gauname

- Apskaičiuosime integralą

- (n - sveikasis teigiamas skaičius), kuris prireikia Racionaliųjų funkcijų integravime. Kai n = 1, turime integralų lentelės integralą

- Tegu n > 1. Išreiškę 1 skaitiklyje kaip skirtumą
gausime

- Antrame integrale taikysime integravimo dalimis metodą:

- (v radome pagal (1.1) integravimą).
- Tada (pagal
)

- toliau,

- iš čia

- Tokiu budu, integralas
išreikštas per
:

- Formulės tipo (3) vadinasi rekurentinėmis formulėmis.
- Pavyzdys. Apskaičiuoti

- Sprendimas. Pagal rekurentinę formulę (3) turime


- o

- todėl galutinai turime

- Apskaičiuosime labai svarbų tolesniam dėstymui (racionaliųjų funkcijų integravimui) integralą
kai 
- Išvesime rekurentinę formulę, pagal kurią integralo
skaičiavimas pakeičiamas
skaičiavimu.
- Galima rašyti (kai
)
![{\displaystyle K_{\lambda }={\frac {1}{a^{2}}}\int {\frac {a^{2}dt}{(t^{2}+a^{2})^{\lambda }}}={\frac {1}{a^{2}}}\int {\frac {[(t^{2}+a^{2})-t^{2}]dt}{(t^{2}+a^{2})^{\lambda }}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b3e6d4178d7810756c728c44e9f313eb6b455a)

- Paskutinį integralą apskaičiuosime pagal dalinio integravimo formulę, tarę, kad
Gausime 


- Iš šios lygybės gauname rekurentinę formulę

- Įsitikinsime, kad pagal (6.12) rekurentinę formulę galima apskaičiuoti integralą
su bet kokiu
Iš tikrųjų integralas
apskaičiuojamas paprastai:

- kur

- Apskaičiavę integralą
(6.12) formulėje rašome
ir nesunkiai apskaičiuojame
Savo ruožtu, žinodami
(6.12) formulėje rašome
ir apskaičiuojame
Taip tęsdami, apskaičiuosime integralą
su bet kokiu natūriniu 
- Pavyzdys 1. Apskaičiuoti

- Sprendimas. Pagal rekurentinę formulę (6.12) turime



- Tada



- Pavyzdys 2. Apskaičiuoti

- Sprendimas. Pagal rekurentinę formulę (6.12) gauname




- Čia
integralo reikšmę paėmėme iš pirmo pavyzdžio.
- Pavyzdys 3. Apskaičiuosime integralą
kai t kinta nuo 0 iki 6, o
. Pasinaudosime antru pavyzdžiu.
![{\displaystyle S=\int _{0}^{6}{\frac {dt}{(t^{2}+a^{2})^{4}}}={\Big [}{\frac {t}{6a^{2}(t^{2}+a^{2})^{3}}}+{\frac {5t}{24a^{4}(t^{2}+a^{2})^{2}}}+{\frac {5t}{16a^{6}(t^{2}+a^{2})}}+{\frac {5}{16a^{7}}}\arctan {\frac {t}{a}}{\Big ]}_{0}^{6}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e664585b75abd84f0ec55d3a5da2076587e153)
![{\displaystyle ={\Big [}{\frac {6}{6\cdot 8^{2}(6^{2}+8^{2})^{3}}}+{\frac {5\cdot 6}{24\cdot 8^{4}(6^{2}+8^{2})^{2}}}+{\frac {5\cdot 6}{16\cdot 8^{6}(6^{2}+8^{2})}}+{\frac {5}{16\cdot 8^{7}}}\arctan {\frac {6}{8}}{\Big ]}-[0+{\frac {5}{16\cdot 8^{7}}}\arctan 0]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e27c5d8c987583e514f0f44b6675dd5accbfc22)
![{\displaystyle ={\Big [}{\frac {1}{64(36+64)^{3}}}+{\frac {5}{4\cdot 4096(36+64)^{2}}}+{\frac {5\cdot 3}{8\cdot 262144(36+64)}}+{\frac {5}{16\cdot 2097152}}\arctan {\frac {3}{4}}{\Big ]}-0=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34f87389dc7bce3c487f7047d9bdd73602d4857)




- =2.1355728936095303100389379690846e-7=

- Toks Free Pascal kodas:
var a:longint; c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000 do
c:=c+0.000000006/(sqr(sqr(sqr(a*0.000000006)+64)));
writeln(c);
readln;
end.
- Duoda rezultatą "2.1355728921217064E-007" (kas reiškia
) po 14 sekundžių su 4.16 GHz dažniu veikiančiu procesoriumi (kažkaip pirmus 2 kartus paleidus, duoda rezultatą po 29 sekundžių, o kai trečią ir daugiau kartų leidi FP šitą kodą, tai duoda po 14 sekundžių atsakymą). Kode sqr(x) reiškia
Kad išeiti iš Free Pascal juodo lango (su atsakymu), reikia du kartus paspausti klaviaturos klavišą "Enter" (tada sugrįštama į kodo mėlyną ekraną-langą).
- Pažiūrėjau, kad ir kitus kodus pirmus 2 kartus ilgiau skaičiuoja, o trečią, ketvirtą ir t. t. greičiau skaičiuoja. Pavyzdžiui, pusę rutulio su spinduliu R=6 tūrio kodą skaičiuoja pirmus du kartus 20 sekundžių, o trečią ir velesnius kartus skaičiuoja per 7-8 sekundes (anksčiau pasirodė, kad tik pirmą kartą ilgiau, nes, kad compile'ina galvojau pirmą kartą ilgiau, o čia pasirodo ir antrą kartą ilgiau...).
- Update 1. Paskui vėl pradėjo Free Pascal skaičiuoti visus kodus tik pirmą kartą ilgiau. Bet va dabar pirmą kartą šitą kodą skaičiavo maždaug 1 minutę ir 55 sekundes. O antrą ir trečią kartą skaičiavo per tą patį laiką - per 14 sekundžių. Gal dabar interneto naršyklė (Opera) apkrauta dėl to pirmą kartą taip ilgai skaičiuoja...
- Toks Free Pascal kodas:
var a:longint; c:real;
begin
for a:=1 to 100000000 do
c:=c+0.00000006/sqr(sqr(sqr(a*0.00000006)+64));
writeln(c);
readln;
end.
- Duoda rezultatą "2.1355728787276117E-007" po maždaug 17 sekundžių per pirmus 2 kartus ir po 2 sekundžių trečią, ketvirtą ir velesnius kartus (paleidus) su 4.16 GHz dažniu veikiančiu procesoriumi. Šitame kode procesoriui reikia skaičiuoti 10 kartų mažiau (nei ankstesneme kode) ir gaunamas truputi mažiau tikslus atsakymas (vienu teisingu skaitmeniu mažiau). Tai galima daryti išvada, kad pirmus du kartus (paleidus šitą kodą) "Free Pascal" programa kažką neadekvačiai daro ir/ar skaičiuoja.