Matematika/Integravimas dalimis

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Tarkime, kad funkcijos ir turi tolydžias išvestines. Tada:

Lygtis nesunkiai įrodoma prisiminus sandaugos diferenciavimo taisyklę:

Pavyzdžiai[keisti]

Čia , o .

  • .

u = ln x, u'=(ln x)'=1/x, , .

  • .

u=x, dv=sin(x) dx, du=dx,

u=arcsin(x); dv=dx; v=x.

Patikriname

kur u=ln(x); dv=x dx; du=1/x dx;

kur u=ln(x); dv=dx; du=1/x dx; v=x.

kur u=arctg(x); dv=dx; v=x.

kur ; du=2x dx; ;

dv=sin(x)dx;

Dar kartą integruojame dalimis. dv=cos(x)dx;

Turime, kad Vadinasi , tai

  • kur
  • kur

kur

kur


  • Apskaičiuosime integralą Jei tai Todėl pagal formulę ()


  • Apskaičiuosime integralą Jei tai Tada, remiantis formule,
Paskutinį integralą vėl skaičiuosime pagal formulę. Jei šį kartą tai todėl
Vadinasi, integralą apskaičiavome, du kartus pritaikę dalinio integravimo metodą. Nesunku suvokti, kad integralą (n - natūrinis skaičius) galima apskaičiuoti analogiškai, taikant dalinio integravimo formulę n kartų.


  • Dabar apskaičiuosime integralą (a=const, b=const). Iš pradžių pritaikysime formulę, tarę, kad Gausime
Paskutinį integralą skaičiuojame vėl pagal integravimo dalimis formulę, tik šį kartą Gausime
Vadinasi, du kartus pritaikę dalinio integravimo formulę, gavome pirmojo laipsnio (6.11) lygtį integralo I atžvilgiu. Iš tos lygties radome I.


  • Apskaičiuosime integralą Jis apskaičiuojamas pagal formulę, tarus, kad Tada du=dx, v=tg x,

Taip pat skaitykite[keisti]