Matematika/Iracionaliųjų funkcijų integravimas

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Šis straipsnis yra apie iracionaliųjų funkcijų integravimą.

kur

kur

  • kur
  • kur
  • kur

Oilerio keitiniai[keisti]

I.  ; a>0;

. Pakėlus abi dalis lygybės kvadartu, gauname taip kad


II.  ; c>0. Tada

(Mes apsisprendėme prieš šaknį pasirinkti pliuso ženklą.) Iš čia x yra kaip racionali funkcija nuo t:
iš čia arba x=0 arba Mums reikia išreikšti x per t, todėl x=0 netinka; sprendžiame toliau:
Turime


III. kur yra bet kuri realioji trinario šaknis. Taikoma tik kai yra du lygties sprendiniai.

Tegu ir - realiosios šaknys trinario Tada
Kadangi tai
Iš čia randame x kaip racionalią funkciją nuo t:
Trečias Oilerio keitinys tinka kai a>0 ir kai a<0. Butina tik, kad turėtų daugianaris dvi realiasias šaknis.


Pavyzdžiai[keisti]

Pirmojo Oilerio keitinio pavyzdžiai

Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu, gauname:


  • Taikome I Oilerio keitinį

 ;  ;  ;


  • Apskaičiuoti
Sprendimas. Kadangi trinaris turi kompleksines šaknis, padarysime keitinį Pakėlę abi lygybės puses kvadratu, gauname

arba ; iš čia ,

Tada

Toliau, turime

Padauginę abi dalis lygybės su gauname
Prilyginę koeficientus prie vienodų laipsmių t, gauname sistemą lygčių pirmojo laipsnio atžvilgiu A, B, D:
{4A+2B=2,
{4A+B+D=2,
{A=2,
Iš čia A=2, B=-3, D=-3. Todėl,
ir galutinai


Antrojo Oilerio keitinio pavyzdžiai

Pakelę abi puses kvadratu, gauname Imdami apiejų lygybės pusių diferencialus, randame:

Sprendimas normaliai. Čia a=-9, b=-6, c=1. Tada


  • Apskaičiuoti
Sprendimas. Čia trinaris turi kompleksines šaknis ir a<0, c>0, pasinaudojame keitiniu Pakėlę abi lygties puses kvadratu, gauname

, , , , , .

Tokiu budu,


  • Reikia apskaičiuoti integralą

Sprendimas. Taikome II Oilerio keitinį tada

Įstate gautas išraiškas į pradinį integralą, randame:


Trečiojo Oilerio keitinio pavyzdžiai
  • Pastebėję, kad pošaknio trinario šaknys yra 2 ir 3, taikome keitinį Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu ir suprastinę iš gauname:

;


  • kur todėl taikome III Oilerio keitinį. Lygties sprendiniai yra , ;


  • Reikia apskaičiuoti integralą

Sprendimas. Kadangi tai:

tada

,
Grįžtant prie pradinio integralo, gauname:

Diferencialinių binomų integravimas[keisti]

Integralas kur m, n, p - racionalieji skaičiai, vadinamas integralu su binominiu diferencialu. Šį integralą elementariosiomis funkcijomis įmanoma išreikšti tik trimis atvejais:

I. p - sveikasis skaičius. Jei tai pointegralinis binomas skleidžiamas pagal Niutono binomo formulę. Jei tai keičiame kur k - bendras trupmenų m ir n vardiklis. Pavyzdžiui, trupmenų ir bendras vardiklis yra 3 4 = 12.
II. - sveikasis skaičius. Keičiame kur - trupmenos p vardiklis.
III. - sveikasis skaičius. Keičiame kur - trupmenos p vardiklis.

Pavyzdžiai

kur - sveikasis skaičius. Turime I atvejį.

kur Turime II atvejį.

kur Turime III atvejį.

kur

kur

kur

  • Matome, kad tinka trečias atvejis, nes . Čia m=0, n=2, . Keičiame kur - trupmenos p vardiklis. Taigi , čia a=3, b=1; ; ; ; .

Kur

Nuorodos[keisti]