Šis straipsnis yra apie iracionaliųjų funkcijų integravimą.
![{\displaystyle \int {\frac {\sqrt {x}}{x^{\frac {3}{4}}+1}}dx=\int {\frac {u^{2}\cdot 4u^{3}du}{u^{3}+1}}=4[\int u^{2}du-\int {\frac {u^{2}du}{u^{3}+1}}]=4[{\frac {u^{3}}{3}}-{\frac {1}{3}}\int {\frac {d(u^{3}+1)}{u^{3}+1}}]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fefd470530942312874211bf05d5f9ad9a1f67c)
kur

kur
kur

kur

kur

- Funkcijos

- (a, b ir c - realieji skačiai) integralas yra elementarioji funkcija.
I.
; a>0;
. Pakėlus abi dalis lygybės
kvadartu, gauname
taip kad



- Tinka, kai kvadrainis trinaris turi menamas šaknis.
II.
; c>0. Tada

- (Mes apsisprendėme prieš šaknį pasirinkti pliuso ženklą.) Iš čia x yra kaip racionali funkcija nuo t:


iš čia arba x=0 arba
Mums reikia išreikšti x per t, todėl x=0 netinka; sprendžiame toliau:



- Turime




III.
kur
yra bet kuri realioji trinario
šaknis. Taikoma tik kai yra du lygties
sprendiniai.
- Tegu
ir
- realiosios šaknys trinario
Tada

- Kadangi
tai



- Iš čia randame x kaip racionalią funkciją nuo t:




- Trečias Oilerio keitinys tinka kai a>0 ir kai a<0. Butina tik, kad turėtų daugianaris
dvi realiasias šaknis.



- Pirmojo Oilerio keitinio pavyzdžiai

Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu, gauname:






Taikome I Oilerio keitinį 
;
;
;

- Apskaičiuoti

- Sprendimas. Kadangi trinaris
turi kompleksines šaknis, padarysime keitinį
Pakėlę abi lygybės puses kvadratu, gauname
arba
; iš čia
,
- Tada
- Toliau, turime
- Padauginę abi dalis lygybės su
gauname

- Prilyginę koeficientus prie vienodų laipsmių t, gauname sistemą lygčių pirmojo laipsnio atžvilgiu A, B, D:
- {4A+2B=2,
- {4A+B+D=2,
- {A=2,
- Iš čia A=2, B=-3, D=-3. Todėl,

- ir galutinai
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x+{\sqrt {x^{2}+x+1}}}}=\int [{\frac {2}{t}}-{\frac {3}{1+2t}}-{\frac {3}{(1+2t)^{2}}}]dt=2\int {\frac {dt}{t}}-{\frac {3}{2}}\int {\frac {d(1+2t)}{1+2t}}-{\frac {3}{2}}\int {\frac {d(1+2t)}{(1+2t)^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628a255a96d7f5937508df3007da061cdf125968)

- Antrojo Oilerio keitinio pavyzdžiai

Pakelę abi puses kvadratu, gauname
Imdami apiejų lygybės pusių diferencialus, randame:
- Sprendimas normaliai. Čia a=-9, b=-6, c=1. Tada





- Apskaičiuoti

- Sprendimas. Čia trinaris
turi kompleksines šaknis ir a<0, c>0, pasinaudojame keitiniu
Pakėlę abi lygties puses kvadratu, gauname
,
,
,
,
,
.
- Tokiu budu,
- Reikia apskaičiuoti integralą
- Sprendimas. Taikome II Oilerio keitinį
tada




- Įstate gautas išraiškas į pradinį integralą, randame:
- Trečiojo Oilerio keitinio pavyzdžiai
Pastebėję, kad pošaknio trinario šaknys yra 2 ir 3, taikome keitinį
Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu ir suprastinę iš
gauname:
;




kur
todėl taikome III Oilerio keitinį. Lygties
sprendiniai yra
,
; 
- Reikia apskaičiuoti integralą
- Sprendimas. Kadangi
tai:
tada
,





- Grįžtant prie pradinio integralo, gauname:
Diferencialinių binomų integravimas
[keisti]
Integralas
kur m, n, p - racionalieji skaičiai, vadinamas integralu su binominiu diferencialu.
Šį integralą elementariosiomis funkcijomis įmanoma išreikšti tik trimis atvejais:
- I. p - sveikasis skaičius. Jei
tai pointegralinis binomas skleidžiamas pagal Niutono binomo formulę. Jei
tai keičiame
kur k - bendras trupmenų m ir n vardiklis. Pavyzdžiui, trupmenų
ir
bendras vardiklis yra 3
4 = 12.
- II.
- sveikasis skaičius. Keičiame
kur
- trupmenos p vardiklis.
- III.
- sveikasis skaičius. Keičiame
kur
- trupmenos p vardiklis.
Pavyzdžiai

kur
- sveikasis skaičius. Turime I atvejį.

kur
Turime II atvejį.

kur
Turime III atvejį.

kur

kur


kur
Matome, kad tinka trečias atvejis, nes
. Čia m=0, n=2,
. Keičiame
kur
- trupmenos p vardiklis. Taigi
, čia a=3, b=1;
;
;
;
.




- Iš interentinio integratoriaus:

- Kur
Kad galima būtų skaičiuoti pagal šią formulę t turi būti mažiau už 1 (t<1). Nes kitaip nesiskaičiuoja ln(1-t). Bet mūsų pavyzdyje, kad ir kokias x reikšmes nestatysi į
vistiek t bus daugiau už 1.
- Galima taip integruot:

- toliau integruojama kaip racionali funkcija.

- Abi lygties puses padauginame iš (t-1)(t+1). Tada



- iš čia turime sistemą:
- A+B=0,
- A-B=-1.
- Tada iš antros lygties A=B-1. Įstačius šia A reikšmę į pirmą lygtį, gauname
- B-1+B=0,
- 2B=1,
- B=1/2.
- Tada A=-B=-1/2.
- Tokiu budu gauname, kad

- Integruodami gauname:

- Kur

- 1. Jei įstatysime x=2, tai gausime,


- =0.98664696104483410110205523811797.
- Kai x=1, tai


- =0.54930614433405484569762261846126.
- Bet tokia funkcija integruojama lengviau kitaip (ne per diferencialinius binomus; integruojant keičiant kintamąjį) ir yra jinai integralų lentelėje

- 2. Tada, kai x=2, tai

- =1.5359531053788889467996778565792.
- O kai x=1, tai

- =1.0986122886681096913952452369225.
- Tada, kai x kinta nuo 1 iki 2, tai pirmu atveju integruojant gauname:
- 0.98664696104483410110205523811797 - 0.54930614433405484569762261846126 = 0.43734081671077925540443261965671.
- Antru atveju, kai x kinta nuo 1 iki 2 integruojant gautume:
- 1.5359531053788889467996778565792 - 1.0986122886681096913952452369225 = 0.4373408167107792554044326196567.
- Abiais būdais integruojant gavome tą patį atsakymą.
- Toks Free Pascal kodas:
var a:longint; c,d:real;
begin
for a:=1 to 100000000 do
d:=d+0.00000002/sqrt(sqr(a*0.00000002)+3);
for a:=1 to 100000000 do
c:=c+0.00000001/sqrt(sqr(a*0.00000001)+3);
writeln(d);
writeln(c);
writeln(d-c);
readln;
end.
- Duoda rezultatus:
- 9.8664695905111544E-001
- 5.4930614394743249E-001
- 4.3734081510368294E-001
- po 4 sekundžių su 4.16 GHz dažniu veikiančiu procesorium (per pirmus du paleidimus duoda šituos rezultatus po 18 sekundžių; bet jeigu iškart exe failą (diferencialiniaibinomai.exe) paleist [kurį sukuria visada Free Pascal programa] iš "C:\FPC\3.2.0\bin\i386-win32", tai rezultatai gaunami po 4 sekundžių ir taip yra su visais Free Pascal skaičiavimais, kad per exe failą greičiau skaičiuoja [iš pirmo karto]). Matome, kad rezultatai tokie patys kaip skaičiuojant/integruojant pirmu atveju.
- Toks Free Pascal kodas:
var a:longint; c,d:real;
begin
for a:=1 to 1000000000 do
d:=d+0.000000002/sqrt(sqr(a*0.000000002)+3);
writeln(d);
readln;
end.
- duoda rezultatą "9.8664696084608883E-001" (tai reiškia
) po 20 sekundžių su 4.16 GHz dažniu veikiančiu procesoriumi (per pirmus 2 kartus duodą rezultatą po 34 sekundžių).
- Kodas apskaičiuoja plotą, po funkciją
apribotą šios funkcijos kreive, ašimi Ox, ašimi Oy ir ašiai Ox statmena tiese taške x=2.
- Beje, integruojant antru budu, kai x kinta nuo 0 iki 2, gauname:

- = 1.5359531053788889467996778565792 - 0.54930614433405484569762261846126 = 0.98664696104483410110205523811797.
- Į anksčiau pirmu budu gautą integralą, įstatę
gauname:


- Tokiu budu gavome, kad

- O bendru atveju gauname tokį, tikriausiai niekam nematytą, integralą:

- Integruodami uždavinio sąlygos integralą nuo 0 iki 2, gauname:




- =0.98664696104483410110205523811797.
- Toks pat atsakymas, kaip ir integruojant anksčiau.
- Dar galima gauti kitokia šio integralo išraišką. Štai taip:


- Tada

- Integruodami iš pirmo būdo ką tik gautą integralą nuo 0 iki x, turėsime:


- Antru budu integruodami nuo 0 iki x, turime:

- Gavome tokius pačius integralus ir įstačius vietoj x ir a bet kokias reikšmes, abiais būdais gausime tokias pat išraiškas ir atsakymus.
![{\displaystyle \int {\frac {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{4}]{x}}}}{\sqrt {x}}}dx=\int x^{-1/2}(1+x^{1/4})^{1/3}dx;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08393264fd701a0223068184ae0168c0701a8774)
(II atvejis).
- Keičiame
kur
- trupmenos p vardiklis. Tada pakeitimas yra

![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1+x^{1/4}}}=t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f765f9ed01175aaabae58702d58804583c311d0e)
![{\displaystyle \int {\frac {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{4}]{x}}}}{\sqrt {x}}}dx=\int x^{-1/2}(1+x^{1/4})^{1/3}dx=\int (t^{3}-1)^{-2}(1+(t^{3}-1))^{1/3}12t^{2}(t^{3}-1)^{3}\;dt=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2382f7f6b604ced2ead0aaf628d4364e0859cb)

![{\displaystyle =12({\frac {t^{7}}{7}}-{\frac {t^{4}}{4}})+C={\frac {3}{7}}t^{4}(4t^{3}-7)+C={\frac {3}{7}}({\sqrt[{3}]{1+x^{1/4}}})^{4}(4(1+x^{1/4})-7)+C={\frac {3}{7}}{\sqrt[{3}]{1+x^{1/4}}}(1+x^{1/4})(4(1+x^{1/4})-7)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b521a7108e9e5377166e3607a6e185eb009d79d0)

- Šiame pavyzdyje
todėl
(III atvejis).
- Tada
kur
- trupmenos p vardiklis;
Ir pasinaudojame keitiniu

- Tada gauname



- Apskaičiuosime integralą
Šiuo atveju
todėl
(II atvejis). Pasinaudoję pakeitimais

- gauname
![{\displaystyle I=\int x^{5}(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}dx=\int ({\sqrt {1-t^{2}}})^{5}(1-[1-t^{2}])^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {-t\;dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int {\sqrt {1-t^{2}}}(1-t^{2})^{2}(t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {-t\;dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b4fbaf99f3eb0a6334733583ad9013c69b053a)

