Matematika/Racionaliųjų funkcijų integravimas

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Šis straipsnis yra apie racionaliųjų funkcijų integravimą.

Integravimas funkcijų turinčių kvadratinį trinarį[keisti]

kur s>0.

kur

Pritaikę pirmajam iš gautų integralų keitinį gauname:


Pavyzdžiai[keisti]

kur

kur

kur Šį uždavinį galima išspresti ir naudojantis aukščiau pateikta formule: kur Abiejų būdų atsakymai gali skirtis konstanta.

kur

kur

kur


Integravimas racionaliųjų funkcijų[keisti]

Teorema. Jeigu racionali funkcija turi laipsnį daugianario skaitiklyje mažesnį nei laipsnį vardiklyje, o daugianaris Q(x) pateiktas pavidale - sveikieji skaičiai, tai šitą funkiciją galima vieninteliu budu pateikti pavidale , kur , , ..., , ..., , , , , ..., , , ... - kai kurie sveikieji skaičiai.


Racionalių trupmenų išskaidymas elementariosiomis[keisti]

Iš čia sudarome sistemą:

Iš sistemos randame: Vadinasi,

Irašę šią reikšmę į pačią pirmąją lygybę, gauname:

  • Taikydami keitinį gauname:

Šį rezultatą buvo galima gauti iš karto remiantis lygybe. Mūsų atveju ir Todėl

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname tiesinių lygčių sistemą

Iš sistemos randame: Vadinasi

kur Sulyginam koeficientus vienodu laipsnių ir turime sistemą:

Iš kur Tuomet

Palyginam koeficientus prie vienodų laipsnių x.

|
|
|
|

Išsprendę sistemą , randame: kur

|
|
|
|

Išsprendę sistema, randame: