Matematika/Racionaliųjų funkcijų integravimas

Šis straipsnis yra apie racionaliųjų funkcijų integravimą.

Integravimas funkcijų turinčių kvadratinį trinarį

• $\int {dx \over ax^{2}+bx+c}=\int {4a\;dx \over 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}+4ac-b^{2}}=4a\int {dx \over (2ax+b)^{2}+(4ac-b^{2})}=$

$={4a \over 2a}\int {du \over u^{2}+s}={2 \over {\sqrt {s}}}\arctan {u \over {\sqrt {s}}}+C={2 \over {\sqrt {4ac-b^{2}}}}\arctan {2ax+b \over {\sqrt {4ac-b^{2}}}}+C,$ kur $u=2ax+b;$ $du=2adx;$ $4ac-b^{2}=s;$ s>0.

$\int {Mx+N \over ax^{2}+bx+c}dx=4a\int {Mx+N \over (2ax+b)^{2}+(4ac-b^{2})}dx={4a \over 2a}\int {M{\frac {u-b}{2a}}+N \over u^{2}+s}du=$ $={1 \over a}\int {Mu-Mb+2aN \over u^{2}+s}du={M \over a}\int {u\;du \over u^{2}+s}+{2aN-Mb \over a}\int {du \over u^{2}+s}=$ $={M \over 2a}\int {d(u^{2}+s) \over u^{2}+s}+{2aN-Mb \over a}\int {du \over u^{2}+s}={M \over 2a}\ln |u^{2}+s|+{2aN-Mb \over a{\sqrt {s}}}\arctan {u \over {\sqrt {s}}}+C=$ $={M \over 2a}\ln |(2ax+b)^{2}+4ac-b^{2}|+{2aN-Mb \over a{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\arctan {2ax+b \over {\sqrt {4ac-b^{2}}}}+C=$ $={M \over 2a}\ln |4a(ax^{2}+bx+c)|+{2aN-Mb \over a{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\arctan {2ax+b \over {\sqrt {4ac-b^{2}}}}+C,$ kur $u=2ax+b;$ $x={u-b \over 2a};$ $du=2adx;$ $4ac-b^{2}=s;$ $s>0;$ $d(u^{2}+s)=2udu.$

• $\int {Ax+B \over ax^{2}+bx+c}dx=\int {{A \over 2a}(2ax+b)+(B-{Ab \over 2a}) \over ax^{2}+bx+c}dx=$

$={A \over 2a}\int {2ax+b \over ax^{2}+bx+c}dx+(B-{Ab \over 2a})\int {dx \over ax^{2}+bx+c}.$

$\int {dx \over ax^{2}+bx+c}={1 \over a}\int {dx \over (x+{b \over 2a})^{2}+({c \over a}-{b^{2} \over 4a^{2}})}.$

$ax^{2}+bx+c=a(x^{2}+{b \over a}x+{c \over a})=a[x^{2}+2{b \over 2a}x+({b \over 2a})^{2}+{c \over a}-({b \over 2a})^{2}]=a[(x+{b \over 2a})^{2}+({c \over a}-{b^{2} \over 4a^{2}})].$

• $\int {Ax+B \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}dx=\int {{A \over 2a}(2ax+b)+(B-{Ab \over 2a}) \over {\sqrt {ax^{2}+bc+c}}}dx=$

$={A \over 2a}\int {2ax+b \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}dx+(B-{Ab \over 2a})\int {dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}.$ Pritaikę pirmajam iš gautų integralų keitinį $ax^{2}+bx+c=t,$ $(2ax+b)dx=dt,$ gauname: $\int {(2ax+b)dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}=\int {dt \over {\sqrt {t}}}=2{\sqrt {t}}+C=2{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+C.$

Pavyzdžiai

• $\int {6x+5 \over x^{2}+4x+9}dx=\int {\frac {6x+5}{(x+2)^{2}+5}}dx=\int {6(t-2)+5 \over t^{2}+5}dt=\int {6t-7 \over t^{2}+5}dt=3\int {d(t^{2}+5) \over t^{2}+5}-$

$-7\int {dt \over t^{2}+5}=3\ln(t^{2}+5)-{\frac {7}{\sqrt {5}}}\arctan {t \over {\sqrt {5}}}+C=3\ln(x^{2}+4x+9)-{7 \over {\sqrt {5}}}\arctan {x+2 \over {\sqrt {5}}}+C,$

kur $x+2=t;$ $x=t-2;$ $dx=dt.$

• $\int {7x-2 \over 3x^{2}-5x+4}dx=\int {84x-24 \over 36x^{2}-60x+48}dx=\int {84x-24 \over (6x-5)^{2}+23}dx={\frac {1}{6}}\int {14u+70-24 \over u^{2}+23}du=$

$={7 \over 3}\int {u\;du \over u^{2}+23}+{23 \over 3}\int {du \over u^{2}+23}={\frac {7}{6}}\ln |u^{2}+23|+{\frac {23}{3{\sqrt {23}}}}\arctan {u \over {\sqrt {23}}}du+C=$ $={7 \over 6}\ln |36x^{2}-60x+48|+{{\sqrt {23}} \over 3}\arctan {6x-5 \over {\sqrt {23}}}+C={7 \over 6}\ln |3x^{2}-5x+4|+{{\sqrt {23}} \over 3}\arctan {6x-5 \over {\sqrt {23}}}+C_{1},$

kur $u=6x-5;$ $du=6dx;$ $x={u+5 \over 6}.$

• $\int {5x-3 \over x^{2}+6x-40}dx=\int {5x-3 \over (x+3)^{2}-49}dx=\int {5u-15-3 \over u^{2}-49}du=5\int {u\;du \over u^{2}-49}-$

$-18\int {du \over u^{2}-49}dx={5 \over 2}\ln |u^{2}-49|-{18 \over 14}\ln |{u-7 \over u+7}|+C={5 \over 2}\ln |x^{2}+6x-40|-{9 \over 7}\ln |{x-4 \over x+10}|+C,$

kur $u=x+3;$ $du=dx;$ $x=u-3.$ Šį uždavinį galima išspresti ir naudojantis aukščiau pateikta formule: $\int {5x-3 \over x^{2}+6x-40}dx=\int {4(5x-3)dx \over 4x^{2}+24x+36-160-36}=\int {4(5x-3)dx \over (2x+6)^{2}-196}={4 \over 2}\int {5{u-6 \over 2}-3 \over u^{2}-196}du=$ $={2 \over 2}\int {5u-30-6 \over u^{2}-196}du=5\int {u\;du \over u^{2}-196}-36\int {du \over u^{2}-196}={5 \over 2}\int {d(u^{2}-196) \over u^{2}-196}-{36 \over 28}\ln |{u-14 \over u+14}|+C=$ $={5 \over 2}\ln |u^{2}-196|-{9 \over 7}\ln |{2x-8 \over 2x+20}|+C_{1}={5 \over 2}\ln |4(x^{2}+6x-40)|-{9 \over 7}\ln |{x-4 \over x+10}|+C_{1},$ kur $2x+6=u;$ $x={u-6 \over 2};$ $du=2dx;$ $d(u^{2}-196)=2udu.$ Abiejų būdų atsakymai gali skirtis konstanta.

• $\int {3x+4 \over {\sqrt {7-x^{2}+6x}}}dx=\int {3x+4 \over {\sqrt {16-(x-3)^{2}}}}dx=\int {3u+9+4 \over {\sqrt {16-u^{2}}}}du=\int {3u\;du \over {\sqrt {16-u^{2}}}}+\int {13du \over {\sqrt {16-u^{2}}}}=$

$=-3{\sqrt {16-u^{2}}}+13\arcsin {u \over 4}+C=-3{\sqrt {7-x^{2}+6x}}+13\arcsin {x-3 \over 4}+C,$ kur $u=x-3;$ $du=dx;$ $x=u+3;$ $d(16-u^{2})=-2u\,du.$

• $\int {(x+3)dx \over x^{2}-2x-5}=\int {{1 \over 2}(2x-2)+(3+{1 \over 2}2) \over x^{2}-2x-5}dx={1 \over 2}\int {(2x-2)dx \over x^{2}-2x-5}+4\int {dx \over x^{2}-2x-5}=$

$={1 \over 2}\int {d(x^{2}-2x-5) \over x^{2}-2x-5}+4\int {dx \over (x-1)^{2}-6}={1 \over 2}\ln |x^{2}-2x-5|+4{1 \over {\sqrt {6}}}\ln |{{\sqrt {6}}-(x-1) \over {\sqrt {6}}+(x-1)}|+C.$

• $\int {dx \over 2x^{2}+8x+20}={1 \over 2}\int {dx \over x^{2}+4x+10}={1 \over 2}\int {dx \over 1[(x+{4 \over 2\cdot 1})^{2}+({10 \over 1}-{4^{2} \over 4\cdot 1^{2}})]}=$

$={1 \over 2}\int {dx \over (x^{2}+4x+4)+(10-4)}={1 \over 2}\int {dx \over (x+2)^{2}+6}={1 \over 2}\int {dt \over t^{2}+6}={1 \over 2}{1 \over {\sqrt {6}}}\arctan {t \over {\sqrt {6}}}+C=$ $={1 \over 2{\sqrt {6}}}\arctan {x+2 \over {\sqrt {6}}}+C,$ kur $x+2=t,$ $dx=dt.$

• $\int {5x+3 \over {\sqrt {x^{2}+4x+10}}}dx=\int {{5 \over 2}(2x+4)+(3-10) \over {\sqrt {x^{2}+4x+10}}}dx=$

$={5 \over 2}\int {2x+4 \over {\sqrt {x^{2}+4x+10}}}dx-7\int {dx \over {\sqrt {(x+2)^{2}+6}}}=$ $={5 \over 2}\int {d(x^{2}+4x+10) \over {\sqrt {x^{2}+4x+10}}}-7\ln |x+2+{\sqrt {(x+2)^{2}+6}}|+C=$ $=5{\sqrt {x^{2}+4x+10}}-7\ln |x+2+{\sqrt {x^{2}+4x+10}}|+C,$ kur $d(x^{2}+4x+10)=(2x+4)dx;$ $d(x+2)=dx.$

Integravimas racionaliųjų funkcijų

Teorema. Jeigu racionali funkcija ${R(x) \over Q(x)}$ turi laipsnį daugianario skaitiklyje mažesnį nei laipsnį vardiklyje, o daugianaris Q(x) pateiktas pavidale

$Q(x)=A(x-\alpha )^{r}(x-\beta )^{s}...(x^{2}+2px+q)^{g}(x^{2}+2ux+v)^{h}...,$

kur $\alpha ,\;\beta ,\;...,p,\;q,\;u,\;v\;...$ - realieji skaičiai, r, s, ..., g, h, ... - naturalieji skaičiai, tai šitą funkiciją galima vieninteliu budu pateikti pavidale

${R(x) \over Q(x)}={A_{1} \over (x-\alpha )}+{A_{2} \over (x-\alpha )^{2}}+...+{A_{r} \over (x-\alpha )^{r}}+{B_{1} \over (x-\beta )}+{B_{2} \over (x-\beta )^{2}}+...+{B_{s} \over (x-\beta )^{s}}+...+$

$+{M_{1}x+N_{1} \over x^{2}+2px+q}+{M_{2}x+N_{2} \over (x^{2}+2px+q)^{2}}+...+{M_{g}x+N_{g} \over (x^{2}+2px+q)^{g}}+{K_{1}x+L_{1} \over x^{2}+2ux+v}+{K_{2}x+L_{2} \over (x^{2}+2ux+v)^{2}}+...+{K_{h}x+L_{h} \over (x^{2}+2ux+v)^{h}}+...$,

kur $A_{1}$, $A_{2}$, ..., $A_{r}$, $B_{1}$, $B_{2}$, ..., $B_{s}$,..., $M_{1}$, $N_{1}$, $M_{2}$, $N_{2}$, ..., $M_{g}$, $N_{g}$, $K_{1}$, $L_{1}$, $K_{2}$, $L_{2}$, ..., $K_{h}$, $L_{h}$, ... - kai kurie realieji skaičiai.

Daugianaris (polinomas) Q(x) gali būti pateiktas neišskaidytas dauginamaisiais. Tada reikės surasti daugianario Q(x) visas realiąsias ir menamas šaknis ir žinoti jų kartotinumą. Šiame

$Q(x)=A(x-\alpha )^{r}(x-\beta )^{s}...(x^{2}+2px+q)^{g}(x^{2}+2ux+v)^{h}...$

daugianaryje $\alpha ,\;\beta ,\;...$ yra realiosios daugianario Q(x) šaknys atitinkamai kartotinumo r, s, ... . O reiškiniai $x^{2}+2px+q=(x-z_{1})(x-{\overline {z_{1}}}),\;x^{2}+2ux+v=(x-z_{2})(x-{\overline {z_{2}}}),...\;$ turi daugianario Q(x) menamas jungtines šaknis $z_{1}$ ir ${\overline {z_{1}}},\;$ $z_{2}$ ir ${\overline {z_{2}}},\;...,$ kurių kartotinumas atitinkamai lygus g, h, ... . Pavyzdžiui, kompleksiniam skaičiui $z=3+4i$ jungtinis yra kompleksinis skaičius ${\overline {z}}=3-4i.$

• Racionaliųjų funkcijų integravimas (pilniau)

Polinomo šaknies kartotinumo radimas

Tegu turime polinomą $Q(x)=(x-1)^{3}(x-2).$ Polinomo Q(x) vienos šaknies (x=1) kartotinumas yra 3, o kitos šaknies (x=2) kartotinumas yra 1 (paprasta šankis).

$Q(x)=(x-1)^{3}(x-2)=(x^{3}-3x^{2}+3x-1)(x-2)=x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-x-2x^{3}+6x^{2}-6x+2=x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x+2.$

Taigi,

$(x-1)^{3}(x-2)=x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x+2.$

Kad surasti polinomo $Q(x)=x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x+2$ šaknies x=1 kartinumą reikia rasti polinomo Q(x) išvestinę tiek kartų, kol statant į kiekvienos eilės polinomo Q(x) išvestinę šaknies x=1 reikšmę, polinomo Q(x) išvestinė nustos būti lygi nuliui. Sakykim, n-ta polinomo Q(x) išvestinė su x=1 reikšme nelygi 0, o n-1, n-2 ir visos mažesnės eilės nei n išvestinės lygios nuliui. Tada polinomo Q(x) šaknies x=1 kartotinumas yra n.

Įrodymas per pavyzdį.

Kai surasime polinomo Q(x) trečios eilės išvestinę ir įstatysime x=1, tai $Q'''(1)$ nebus lygus nuliui. Randame polinomo Q(x) išvestines iki 3 eilės:

$Q'(x)=[(x-1)^{3}(x-2)]'=(x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x+2)',$

$Q'(x)=[3(x-1)^{2}(x-2)+(x-1)^{3}]=(4x^{3}-15x^{2}+18x-7);$

matome, kad Q'(1)=0;

$Q''(x)=[3(x-1)^{2}(x-2)+(x-1)^{3}]'=(4x^{3}-15x^{2}+18x-7)',$

$Q''(x)=[6(x-1)(x-2)+3(x-1)^{2}(x-2)+3(x-1)^{2}]=(12x^{2}-30x+18);$

ir dabar matome, kad $Q''(1)=0;$

$Q'''(x)=[6(x-1)(x-2)+3(x-1)^{2}(x-2)+3(x-1)^{2}]'=(12x^{2}-30x+18)',$

$Q'''(x)=[6(x-2)+6(x-1)+6(x-1)(x-2)+3(x-1)^{2}+6(x-1)]=(24x-30);$

na o dabar $Q'''(1)\neq 0.$ Paskaičiuojame:

$Q'''(1)=[6(1-2)+6(1-1)+6(1-1)(x-2)+3(1-1)^{2}+6(1-1)]=-6;$

$Q'''(1)=(24\cdot 1-30)=-6.$

Vadinasi polinomo Q(x) šaknies x=1 kartotinumas yra 3. Įrodymo esmė, kad imant išvestines, narys (x-1) prie tam tikros išvestinės eilės n pranyks (ir liks tik (x-2)) ir $Q^{(n)}(1)$ nebus lygus nuliui.

Analogiškai galima įrodyti, kai polinomas išskaidytas daugikliais su bet kokiais laipsniais. Tereikia taikyti funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyklę $[u(x)\cdot v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).$ Mūsų atveju $u(x)=(x-1)^{3},\;\;v(x)=x-2.$

Kai turime 3 funkcijas nuo x, tai taikome tą pačią dviejų funkcijų diferencijavimo taisyklę ($[u(x)\cdot v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$). Pavyzdžiui, trims funkcijoms u, v, w nuo x taikome, lyg u(x) ir v(x) sandauga būtų g(x) funkcija (g(x)=u(x)v(x)), o w(x) lyg būtų atskira funkcija:

$Q'(x)=[uvw]'=(uv)'w+uvw'=(u'v+uv')w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw'.$

Indukcijos metodu, gautume, kad

$Q'(x)=[u_{1}u_{2}u_{3}...u_{m}]'=u_{1}'u_{2}u_{3}...u_{m}+u_{1}u_{2}'u_{3}...u_{m}+u_{1}u_{2}u_{3}'...u_{m}+...+u_{1}u_{2}u_{3}...u_{m}'.$

Yra ir kitų būdų polinomo šaknies kartotinumui surasti. Vienas budas yra toks, kad mūsų pavyzdyje polinomą Q(x) reikia dalinti iš (x-1) tiek kartų, kol $Q(x)=x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x+2$ (ir kas liks iš jo po dalijimo/dalijimų) nesidalins iš (x-1) be liekanos. Paskutinis n-tas kartas, kai (x-1) padalins Q(x) be liekanos ir reikš šaknies x=1 kartotinumą, lygų n.

Racionalių trupmenų išskaidymas elementariosiomis

• $\int {\frac {x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-4x}}dx=\int [x^{2}+x+4+{\frac {4x^{2}+16x-8}{x(x+2)(x-2)}}]dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+4x+4\int {\frac {x^{2}+4x-2}{x(x+2)(x-2)}}dx.$

${\frac {x^{2}+4x-2}{x(x+2)(x-2)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x+2}}+{\frac {C}{x-2}}.$ Kairiąją ir dešiniąją puses padauginę iš vardiklio $x(x+2)(x-2),$ gauname: $x^{2}+4x-2=A(x+2)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x+2)=A(x^{2}-4)+B(x^{2}-2x)+C(x^{2}+2x)=x^{2}(A+B+C)+x(-2B+2C)-4A.$ Iš čia sudarome sistemą:

$A+B+C=1,$

$-2B+2C=4,$

$-4A=-2.$

Iš sistemos randame: $A={\frac {1}{2}};\;B=-{\frac {3}{4}};\;C={\frac {5}{4}}.$ Vadinasi,

$4\int {\frac {x^{2}+4x-2}{x(x+2)(x-2)}}dx=4({\frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x}}-{\frac {3}{4}}\int {\frac {dx}{x+2}}+{\frac {5}{4}}\int {\frac {dx}{x-2}})=$ $=4({\frac {1}{2}}\ln |x|-{\frac {3}{4}}\ln |x+2|+{\frac {5}{4}}\ln |x-2|)+C=\ln |{\frac {x^{2}(x-2)^{5}}{(x+2)^{3}}}|+C.$ Irašę šią reikšmę į pačią pirmąją lygybę, gauname: $\int {\frac {x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-4x}}dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+4x+\ln |{\frac {x^{2}(x-2)^{5}}{(x+2)^{3}}}|+C.$

• $\int {\frac {xdx}{x^{2}-6x+12}}=\int {\frac {xdx}{(x-3)^{2}+3}}.$ Taikydami keitinį $x-3=u,$ gauname:

$\int {\frac {(u+3)du}{u^{2}+3}}=\int {\frac {u\;du}{u^{2}+3}}+3\int {\frac {du}{u^{2}+3}}={\frac {1}{2}}\int {\frac {d(u^{2}+3)}{u^{2}+3}}+3\int {\frac {du}{u^{2}+({\sqrt {3}})^{2}}}=$ $={\frac {1}{2}}\ln(u^{2}+3)+{\frac {3}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {u}{\sqrt {3}}}+C={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-6x+12)+{\sqrt {3}}\arctan {\frac {x-3}{\sqrt {3}}}+C.$

Šį rezultatą buvo galima gauti iš karto remiantis $\int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}dx={\frac {M}{2}}\ln |x^{2}+px+q|+{\frac {2N-Mp}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\arctan {\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}+C$ lygybe. Mūsų atveju $M=1,$ $N=0,$ $p=-6$ ir $q=12.$ Todėl $\int {\frac {xdx}{x^{2}-6x+12}}={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-6x+12)+{\frac {-1\cdot (-6)}{\sqrt {48-36}}}\arctan {\frac {2x-6}{\sqrt {48-36}}}+C=$ $={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-6x+12)+{\sqrt {3}}\arctan {\frac {x-3}{\sqrt {3}}}+C.$

• $\int {\frac {15x^{2}-4x-81}{x^{3}-13x+12}}dx=\int {\frac {15x^{2}-4x-81}{(x-3)(x+4)(x-1)}}dx=\int [{\frac {A}{x-3}}+{\frac {B}{x+4}}+{\frac {D}{x-1}}]dx.$

$15x^{2}-4x-81=A(x+4)(x-1)+B(x-3)(x-1)+D(x-3)(x+4)=A(x^{2}+3x-4)+B(x^{2}-4x+3)+D(x^{2}+x-12).$ Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname tiesinių lygčių sistemą

$A+B+D=15,$

$3A-4B+D=-4,$

$-4A+3B-12D=-81.$

Iš sistemos randame: $A=3;$ $B=5;$ $D=7.$ Vadinasi $\int {\frac {15x^{2}-4x-81}{x^{3}-13x+12}}dx=3\int {\frac {dx}{x-3}}+5\int {\frac {dx}{x+4}}+7\int {\frac {dx}{x-1}}=$

$=3\ln |x-3|+5\ln |x+4|+7\ln |x-1|+C=\ln |(x-3)^{3}(x+4)^{5}(x-1)^{7}|+C.$

• $\int {\frac {x^{4}-3x^{2}-3x-2}{x^{3}-x^{2}-2x}}dx=\int [x+1-{\frac {x+2}{x(x^{2}-x-2)}}]dx;$

${\frac {x+2}{x(x-2)(x+1)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-2}}+{\frac {D}{x+1}};$

$x+2=A(x-2)(x+1)+Bx(x+1)+Dx(x-2)=A(x^{2}-x-2)+B(x^{2}+x)+D(x^{2}-2x)=x^{2}(A+B+D)+x(-A+B-2D)-2A.$

$A+B+D=0;$

$-A+B-2D=1;$

$-2A=2;$

$A=-1;$ $B={\frac {2}{3}};$ $D={\frac {1}{3}}.$ $\int {\frac {x^{4}-3x^{2}-3x-2}{x^{3}-x^{2}-2x}}dx=$ $=\int (x+1)dx+\int {\frac {dx}{x}}-{\frac {2}{3}}\int {\frac {dx}{x-2}}-{\frac {1}{3}}\int {\frac {dx}{x+1}}={\frac {x^{2}}{2}}+x+\ln |x|-{\frac {2}{3}}\ln |x-2|-{\frac {1}{3}}\ln |x+1|+C.$

• $\int {\frac {2x^{2}-3x+3}{x^{3}-2x^{2}+x}}dx=\int [{\frac {A}{x}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {D}{x-1}}]dx.$

$2x^{2}-3x+3=A(x-1)^{2}+Bx+Dx(x-1)=A(x^{2}-2x+1)+Bx+D(x^{2}-x)=x^{2}(A+D)+x(-2A+B-D)+A.$

$A+D=2,$

$-2A+B-D=-3,$

$A=3.$

$A=3;$ $B=2;$ $D=-1.$ $\int {\frac {2x^{2}-3x+3}{x^{3}-2x^{2}+x}}dx=3\int {\frac {dx}{x}}+2\int {\frac {dx}{(x-1)^{2}}}-\int {\frac {dx}{x-1}}=3\ln |x|-{\frac {2}{x-1}}-\ln |x-1|+C.$

• $\int {2x-1 \over x^{2}-5x+6}dx=\int {2x-1 \over (x-3)(x-2)}dx=\int ({A \over x-3}+{B \over x-2})dx,$

kur $2x-1=A(x-2)+B(x-3)=(A+B)x-2A-3B.$ Sulyginam koeficientus vienodu laipsnių ir turime sistemą:

$A+B=2;$

$-2A-3B=-1.$

Iš kur $A=5;$ $B=-3.$ Tuomet $\int {2x-1 \over x^{2}-5x+6}dx=\int ({5 \over x-3}-{3 \over x-2})dx=5\int {d(x-3) \over x-3}-3\int {d(x-2) \over x-2}=$ $=5\ln |x-3|-3\ln |x-2|+C=\ln |{(x-3)^{5} \over (x-2)^{3}}|+C.$

• $\int {9x^{3}-30x^{2}+28x-88 \over (x^{2}-6x+8)(x^{2}+4)}dx=\int {9x^{3}-30x^{2}+28x-88 \over (x-2)(x-4)(x^{2}+4)}dx=\int ({A \over x-2}+{B \over x-4}+{Cx+D \over x^{2}+4})dx;$

$9x^{3}-30x^{2}+28x-88=A(x-4)(x^{2}+4)+B(x-2)(x^{2}+4)+(Cx+D)(x^{2}-6x+8)=$

$=(A+B+C)x^{3}+(-4A-2B-6C+D)x^{2}+(4A+4B+8C-6D)x+(-16A-8B+8D);$

Palyginam koeficientus prie vienodų laipsnių x.

$x^{3}$ | $A+B+C=9,$

$x^{2}$ | $-4A-2B-6C+D=-30,$

$x^{1}$ | $4A+4B+8C-6D=28,$

$x^{0}$ | $-16A-8B+8D=-88,$

Išsprendę sistemą , randame: $A=5;$ $B=3;$ $C=1;$ $D=2.$ $\int {9x^{3}-30x^{2}+28x-88 \over (x^{2}-6x+8)(x^{2}+4)}dx=\int ({5 \over x-2}+{3 \over x-4}+{x+2 \over x^{2}+4})dx=5\int {d(x-2) \over x-2}+3\int {d(x-4) \over x-4}+$ $+{1 \over 2}\int {d(x^{2}+4) \over x^{2}+4}+\int {2\;dx \over x^{2}+4}=5\ln |x-2|+3\ln |x-4|+{1 \over 2}\ln |x^{2}+4|+{2 \over 2}\arctan {x \over 2}+C=$ $=\ln |(x-2)^{5}(x-4)^{3}{\sqrt {x^{2}+4}}|+\arctan {x \over 2}+C,$ kur $d(x^{2}+4)=2xdx.$

• $\int {(x^{2}+2)dx \over (x+1)^{3}(x-2)}=\int ({A \over (x+1)^{3}}+{A_{1} \over (x+1)^{2}}+{A_{2} \over x+1}+{B \over x-2})dx.$

$x^{2}+2=A(x-2)+A_{1}(x+1)(x-2)+A_{2}(x+1)^{2}(x-2)+B(x+1)^{3}=(A_{2}+B)x^{3}+(A_{1}+3B)x^{2}+(A-A_{1}-3A_{2}+3B)x+(-2A-2A_{1}-2A_{2}+B).$

$x^{3}$| $0=A_{2}+B,$

$x^{2}$| $1=A_{1}+3B,$

$x^{1}$| $0=A-A_{1}-3A_{2}+3B,$

$x^{0}$| $2=-2A-2A_{1}-2A_{2}+B.$

Išsprendę sistema, randame:

$A=-1;\;A_{1}={1 \over 3};\;A_{2}=-{2 \over 9};\;B={2 \over 9}.$

$\int {(x^{2}+2)dx \over (x+1)^{3}(x-2)}=\int (-{1 \over (x+1)^{3}}+{1 \over 3(x+1)^{2}}-{2 \over 9(x+1)}+{2 \over 9(x-2)})dx=$

$={1 \over 2(x+1)^{2}}-{1 \over 3(x+1)}-{2 \over 9}\ln |x+1|+{2 \over 9}\ln |x-2|+C={1-2x \over 6(x+1)^{2}}+\ln |({x-2 \over x+1})^{2 \over 9}|+C.$