Šis straipsnis yra apie racionaliųjų funkcijų integravimą.
Integravimas funkcijų turinčių kvadratinį trinarį
[keisti]

kur
s>0.
kur


Pritaikę pirmajam iš gautų integralų keitinį
gauname:

kur

kur

kur
Šį uždavinį galima išspresti ir naudojantis aukščiau pateikta formule:
kur
Abiejų būdų atsakymai gali skirtis konstanta.

kur

![{\displaystyle \int {dx \over 2x^{2}+8x+20}={1 \over 2}\int {dx \over x^{2}+4x+10}={1 \over 2}\int {dx \over 1[(x+{4 \over 2\cdot 1})^{2}+({10 \over 1}-{4^{2} \over 4\cdot 1^{2}})]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c75a20575a4c7bdfc11d498496755c37d395d43)
kur

kur
Integravimas racionaliųjų funkcijų
[keisti]
- Teorema. Jeigu racionali funkcija
turi laipsnį daugianario skaitiklyje mažesnį nei laipsnį vardiklyje, o daugianaris Q(x) pateiktas pavidale

- kur
- realieji skaičiai, r, s, ..., g, h, ... - naturalieji skaičiai, tai šitą funkiciją galima vieninteliu budu pateikti pavidale

,
- kur
,
, ...,
,
,
, ...,
,...,
,
,
,
, ...,
,
,
,
,
,
, ...,
,
, ... - kai kurie realieji skaičiai.
- Daugianaris (polinomas) Q(x) gali būti pateiktas neišskaidytas dauginamaisiais. Tada reikės surasti daugianario Q(x) visas realiąsias ir menamas šaknis ir žinoti jų kartotinumą. Šiame

- daugianaryje
yra realiosios daugianario Q(x) šaknys atitinkamai kartotinumo r, s, ... . O reiškiniai
turi daugianario Q(x) menamas jungtines šaknis
ir
ir
kurių kartotinumas atitinkamai lygus g, h, ... . Pavyzdžiui, kompleksiniam skaičiui
jungtinis yra kompleksinis skaičius 
Polinomo šaknies kartotinumo radimas
[keisti]
- Tegu turime polinomą
Polinomo Q(x) vienos šaknies (x=1) kartotinumas yra 3, o kitos šaknies (x=2) kartotinumas yra 1 (paprasta šankis).

- Taigi,

- Kad surasti polinomo
šaknies x=1 kartinumą reikia rasti polinomo Q(x) išvestinę tiek kartų, kol statant į kiekvienos eilės polinomo Q(x) išvestinę šaknies x=1 reikšmę, polinomo Q(x) išvestinė nustos būti lygi nuliui. Sakykim, n-ta polinomo Q(x) išvestinė su x=1 reikšme nelygi 0, o n-1, n-2 ir visos mažesnės eilės nei n išvestinės lygios nuliui. Tada polinomo Q(x) šaknies x=1 kartotinumas yra n.
- Įrodymas per pavyzdį.
- Kai surasime polinomo Q(x) trečios eilės išvestinę ir įstatysime x=1, tai
nebus lygus nuliui. Randame polinomo Q(x) išvestines iki 3 eilės:
![{\displaystyle Q'(x)=[(x-1)^{3}(x-2)]'=(x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x+2)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a70536c2e4bc3d7d6ee60d9c5ca6c5d23e93c7f1)
![{\displaystyle Q'(x)=[3(x-1)^{2}(x-2)+(x-1)^{3}]=(4x^{3}-15x^{2}+18x-7);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e4869363a4f3c6b9d9fc45d8fe51f9ff017a6)
- matome, kad Q'(1)=0;
![{\displaystyle Q''(x)=[3(x-1)^{2}(x-2)+(x-1)^{3}]'=(4x^{3}-15x^{2}+18x-7)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1551c0f2c53ca9e4e81ce5f7cfbf010e161ad1)
![{\displaystyle Q''(x)=[6(x-1)(x-2)+3(x-1)^{2}(x-2)+3(x-1)^{2}]=(12x^{2}-30x+18);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda58ac1aabfb5adaa8aa300803334283b57442b)
- ir dabar matome, kad

![{\displaystyle Q'''(x)=[6(x-1)(x-2)+3(x-1)^{2}(x-2)+3(x-1)^{2}]'=(12x^{2}-30x+18)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5de8b3a16bae924b4083d6b0f1c22276754806e)
![{\displaystyle Q'''(x)=[6(x-2)+6(x-1)+6(x-1)(x-2)+3(x-1)^{2}+6(x-1)]=(24x-30);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451bcaab58c64a47c47c381b8ec7f8ec5e5bda38)
- na o dabar
Paskaičiuojame:
![{\displaystyle Q'''(1)=[6(1-2)+6(1-1)+6(1-1)(x-2)+3(1-1)^{2}+6(1-1)]=-6;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52533e8776d78f2c6cdcd3f3f5ba005ccbab8140)

- Vadinasi polinomo Q(x) šaknies x=1 kartotinumas yra 3. Įrodymo esmė, kad imant išvestines, narys (x-1) prie tam tikros išvestinės eilės n pranyks (ir liks tik (x-2)) ir
nebus lygus nuliui.
- Analogiškai galima įrodyti, kai polinomas išskaidytas daugikliais su bet kokiais laipsniais. Tereikia taikyti funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyklę
Mūsų atveju 
- Kai turime 3 funkcijas nuo x, tai taikome tą pačią dviejų funkcijų diferencijavimo taisyklę (
). Pavyzdžiui, trims funkcijoms u, v, w nuo x taikome, lyg u(x) ir v(x) sandauga būtų g(x) funkcija (g(x)=u(x)v(x)), o w(x) lyg būtų atskira funkcija:
![{\displaystyle Q'(x)=[uvw]'=(uv)'w+uvw'=(u'v+uv')w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f03dadbe7e8d896900162488fa3528edce430b)
- Indukcijos metodu, gautume, kad
![{\displaystyle Q'(x)=[u_{1}u_{2}u_{3}...u_{m}]'=u_{1}'u_{2}u_{3}...u_{m}+u_{1}u_{2}'u_{3}...u_{m}+u_{1}u_{2}u_{3}'...u_{m}+...+u_{1}u_{2}u_{3}...u_{m}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcd8e868587015ca0638604a02d543bd18a7603)
- Yra ir kitų būdų polinomo šaknies kartotinumui surasti. Vienas budas yra toks, kad mūsų pavyzdyje polinomą Q(x) reikia dalinti iš (x-1) tiek kartų, kol
(ir kas liks iš jo po dalijimo/dalijimų) nesidalins iš (x-1) be liekanos. Paskutinis n-tas kartas, kai (x-1) padalins Q(x) be liekanos ir reikš šaknies x=1 kartotinumą, lygų n.
Racionalių trupmenų išskaidymas elementariosiomis
[keisti]
![{\displaystyle \int {\frac {x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-4x}}dx=\int [x^{2}+x+4+{\frac {4x^{2}+16x-8}{x(x+2)(x-2)}}]dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+4x+4\int {\frac {x^{2}+4x-2}{x(x+2)(x-2)}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbd0340be77a0fe3e78345bfffef02695e793e5)
Kairiąją ir dešiniąją puses padauginę iš vardiklio
gauname:
Iš čia sudarome sistemą:



Iš sistemos randame:
Vadinasi,
Irašę šią reikšmę į pačią pirmąją lygybę, gauname:
Taikydami keitinį
gauname:
Šį rezultatą buvo galima gauti iš karto remiantis
lygybe. Mūsų atveju
ir
Todėl
![{\displaystyle \int {\frac {15x^{2}-4x-81}{x^{3}-13x+12}}dx=\int {\frac {15x^{2}-4x-81}{(x-3)(x+4)(x-1)}}dx=\int [{\frac {A}{x-3}}+{\frac {B}{x+4}}+{\frac {D}{x-1}}]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3687c874f19bbe25f2077a61cef854a4a39df677)
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname tiesinių lygčių sistemą



Iš sistemos randame:
Vadinasi

![{\displaystyle \int {\frac {x^{4}-3x^{2}-3x-2}{x^{3}-x^{2}-2x}}dx=\int [x+1-{\frac {x+2}{x(x^{2}-x-2)}}]dx;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3568a4684128cb23321341369acef400e02e9f8)




![{\displaystyle \int {\frac {2x^{2}-3x+3}{x^{3}-2x^{2}+x}}dx=\int [{\frac {A}{x}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {D}{x-1}}]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043f92d4eb2c07a3cdf401fd84b061fd48695b3e)




kur
Sulyginam koeficientus vienodu laipsnių ir turime sistemą:


Iš kur
Tuomet



Palyginam koeficientus prie vienodų laipsnių x.
| 
| 
| 
| 
Išsprendę sistemą , randame:
kur

| 
| 
| 
| 
- Išsprendę sistema, randame:

