Matematika/Gauso formulė

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Formulė Gauso - Ostrogradskio yra analogas Gryno formulės. Tada kai formulė Gryno - Ostrogradskio suriša kreivinį integralą antrojo tipo uždara kreive su dvilypiu integralu plokščia sritimi, apribota šia kreive, tai formulė Gauso - Ostragradskio nustato ryšį tarp paviršinio integralo (antrojjo tipo) uždaru paviršiumi ir trilypiu integralu palei erdvinę sritį, apribotą šiuo paviršiumi.


Formulė Gauso - Ostrogradskio:
Ji išreiškia paviršinį integralą bendro pavidalo palei išorinę pusę uždaro paviršiaus S per trilypį integralą palei trimatę sritį V, apribotą šiuo paviršiumi.
Formulę Gauso - Ostrogradksio galimą naudoti apskaičiavimui paviršinių integralų uždaru paviršiumi.


Vienam iš pritaikymų formulės Gauso - Ostrogradskio, paimkime uždavinį apie apskaičiavimą kūno tūrio su paviršiniu integralu, palei išorinę pusę paviršiaus, apribojantį šitą kūną.
Tikrai, jei sritis V turi nurodyta aukščiau formą, tai
pagal formulę Gauso - Ostrogradksio randame:
Keisdami rolėmis x, y, z, gausime taip pat, kad
tokiu budu yra formulės:
išreiškiančios kūno tūrį v per integralą palei išorinę pusę jo paviršiaus.
Paėmę funkciją
gausime formulę, išreiškiančią kūno tūrį per paviršinį integralą bendro pavidalo:
Nes tada kai ir tada
Todėl kūno V, apriboto paviršiumi S tūris v lygūs:


Pavyzdžiai[keisti]

  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą pagal išorinę pusę sferos
Taikydami formulę Gauso - Ostragradksio, gauname:
Teisingiau skaičiuoti taip ():
Patikrinsime apskaičiuodami ir sumą.
Kadangi ir teigiama ir neigiama kryptimi reikia apskaičiuoti, tai Ir kadangi funkcijų , ir laipsniai vienodi, tai
Gauta masė (skardinės sferos tankis priklauso nuo x reikšmės trečiame laipsnyje) nesutampa su Gauso formulės logika.
Update. Pagal oficialią teoriją taip ir neturi sutapti atsakymai ir kas ką tik buvo apskaičiuota () neturi nieko bendro su Gauso formule.
Pastaba. Rutulio paviršiaus plotą įmanoma apskaičiuoti cilindinėse koordinatėse. Bandydami, gauname:
cilindinėse ir polinėse koordinatėse;
internetinio integratoriaus
Taigi, visas rutulio paviršiaus plotas susideda iš dviejų pusrutulių, todėl
Kitaip patikrinsime apskaičiuodami ir sumą.
Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad
Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama Ox kryptimi), tai
Kadangi, pagal sąlyga bus tai
Ką norėta rasti ir kas rasta. Norėta apskaičiuoti (kaip supranta redaguotojas) sferos iš skardos masę. Skardos tankis vienu skaičiavimu kinta tik priklausomai nuo Ox koordinatės pagal funkcija Antru atveju skardos tankis kinta tik priklausomai nuo y koordinatės pagal funkciją Trečiu atveju skardos tankis kinta tik priklausomai nuo z koordinatės pagal funkciją Kadangi rutulys simetriškas, tai užtenka apskaičiuoti, tarkime, ir padauginti iš 3, o paskui dar padauginti iš 2, nes ir teigiama ir neigiama kryptimi tankis didėja vienodai. Skaičiuojant analogiškai kreiviniam integralui (pirmojo tipo) gauname atsakyma Atsakymas ir yra skardinės sferos masė išintegruota trimis ašimis Pagal Gauso samprotavimo formulę skardinės sferos masė yra Kiek suprantu, Gauso formulė iškraipo prasmę integravimas paviršiumi, nes tik su iškraipyta prasme integravimas paviršiumi Gauso formulė gali egzistuoti kaip teisinga formulė.
Gauto rezultato prasmę galima išaiškinti taip: sfera spindulio projektuojasi į plokštumą xOy; sferos centras yra taškas O, sferos projekcija į xOy plokštumą yra skritulys, kurio centras koordinačių pradžios taškas O; skritulio formulė yra skritulio plotas telpa į apskritimą kurio formulė kadangi apskritimo plokštumoje xOy spindulys kaip ir sferos spindulys, tai į plotą telpa 314 strypų lygiagrečių Oz ašiai ir atstumas tarp strypų ant xOy plokštumos yra vienodas; kiekvienas strypas susikerta su sferos paviršiumi ir kiekvieno strypo ilgis yra nuo plokštumos xOy iki susikirtimo su sferos paviršiumi (mes skaičiuojame tik vienam pusrutuliui, tik teigiama Oz ašimi); trumpiausias strypo ilgis yra 0, o ilgiausias strypo ilgis yra iš centro O ir lygus R=10; dabar kiekvieną strypo ilgį reikia pakelti kubu, nes Todėl strypo iš centro O (sutampančiam su ašimi Oz) ilgis yra tolstančių nuo centro strypų ilgis trumpėja, o ant apskritimo kraštų strypų ilgis artimas arba lygus nuliui; rezultatas yra visų strypų ant plokštumos xOy ir lygiagrečių ašiai Oz ilgių suma (dviejų pusrutulių).


  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą pagal išorinę pusę sferos
Taikydami formulę Gauso, gauname:
Neteisingai skaičiuota, nes x polinėse ir sferinėse koordinatėse nėra bet yra ir per sferinėse koordinatėse net išreikšti negalima (nes sferinėje koordinačių sistemoje o x išreikšti galima taip: (o gal taip: )). Žemiau turėtų būti teisingai paskaičiuota. Bet šansai, kad jei x pakeisti ir bus gautas teisingas atsakymas (skaičiuojant kaip aukščiau sferinėse koordinatėse) yra labai maži (bandžiau integruot su internetiniu integratoriumi ir gaunasi dalyba iš nulio, šaknyje minusas ir/ar panašiai).
Kitaip patikrinsime apskaičiuodami
Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad
Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama Ox kryptimi), tai
Atsakymai ir nesutampa (gal atsakymas yra tik ketvirtadalis sferos, bet tada kyla klausimas: kodėl ne aštuntadalis sferos?).
Šiaip, atsakymas turėtų būti teisingas.
Teisingas skaičiavimas pagal tūrio formulę (skaičiavimas sferinėje koordinačių sistemoje). Mums prireiks šitos trigonometrinės formulės Pagal Gauso formulę (sferinėse koordinatėse turime, kad ):
Kažkas nesiintegruoja. Galima pabandyti integruoti per nuo 0 iki ir paskui viską padauginti iš 4:

Taip pat skaitykite[keisti]