Matematika/Gauso formulė

Formulė Gauso - Ostrogradskio yra analogas Gryno formulės. Tada kai formulė Gryno - Ostrogradskio suriša kreivinį integralą antrojo tipo uždara kreive su dvilypiu integralu plokščia sritimi, apribota šia kreive, tai formulė Gauso - Ostragradskio nustato ryšį tarp paviršinio integralo (antrojjo tipo) uždaru paviršiumi ir trilypiu integralu palei erdvinę sritį, apribotą šiuo paviršiumi.

Formulė Gauso - Ostrogradskio:

$\iiint _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)dxdydz=\iint _{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy.$

Ji išreiškia paviršinį integralą bendro pavidalo palei išorinę pusę uždaro paviršiaus S per trilypį integralą palei trimatę sritį V, apribotą šiuo paviršiumi.

Formulę Gauso - Ostrogradksio galimą naudoti apskaičiavimui paviršinių integralų uždaru paviršiumi.

Vienam iš pritaikymų formulės Gauso - Ostrogradskio, paimkime uždavinį apie apskaičiavimą kūno tūrio su paviršiniu integralu, palei išorinę pusę paviršiaus, apribojantį šitą kūną.

Tikrai, jei sritis V turi nurodyta aukščiau formą, tai

$P(x;\;y;\;z)=x,\quad Q(x;\;y;\;z)=0,\quad R(x;\;y;\;z)=0,$

pagal formulę Gauso - Ostrogradksio randame:

$\iint _{S}x\;dy\;dz=\iiint _{V}dx\;dy\;dz=v.$

Keisdami rolėmis x, y, z, gausime taip pat, kad

$\iint _{S}y\;dz\;dx=v,\quad \iint _{S}z\;dx\;dy=v.$

tokiu budu yra formulės:

$\iint _{S}x\;dy\;dz=v,\quad \iint _{S}y\;dz\;dx=v,\quad \iint _{S}z\;dx\;dy=v,$

išreiškiančios kūno tūrį v per integralą palei išorinę pusę jo paviršiaus.

Paėmę funkciją $P(x;\;y;\;z)={\frac {1}{3}}\cdot x,\quad Q(x;\;y;\;z)={\frac {1}{3}}\cdot y,\quad R(x;\;y;\;z)={\frac {1}{3}}\cdot z,$

gausime formulę, išreiškiančią kūno tūrį per paviršinį integralą bendro pavidalo:

$v={\frac {1}{3}}\iint _{S}x\;dy\;dz+y\;dz\;dx+z\;dx\;dy.$

Nes tada ${\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}=1,$ kai $P={\frac {x}{3}},\quad Q={\frac {y}{3}},\quad R={\frac {z}{3}}$ ir tada

$\iiint _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)dxdydz=\iiint _{V}dxdydz=v.$

Todėl kūno V, apriboto paviršiumi S tūris v lygūs:

$v=\iiint _{V}dx\;dy\;dz={\frac {1}{3}}\iint _{S}x\;dydz+y\;dzdx+z\;dxdy.$

Pavyzdžiai

• Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą $\iint _{S}x^{3}dydz+y^{3}dzdx+z^{3}dxdy$ pagal išorinę pusę sferos $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.$

Taikydami formulę Gauso - Ostragradksio, gauname:

$\iint _{S}x^{3}dydz+y^{3}dzdx+z^{3}dxdy=\iiint _{V}(3x^{2}+3y^{2}+3z^{2})dxdydz=3\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{4}d\rho =$

$=3\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta {\frac {\rho ^{5}}{5}}|_{0}^{R}=3\cdot {\frac {R^{5}}{5}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {3R^{5}}{5}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \;\sin \theta |_{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {3R^{5}}{5}}\int _{0}^{2\pi }(\sin {\frac {\pi }{2}}-\sin {\frac {-\pi }{2}})d\phi =$

$={\frac {3R^{5}}{5}}\int _{0}^{2\pi }(1-(-1))d\phi ={\frac {6R^{5}}{5}}\phi |_{0}^{2\pi }={\frac {6R^{5}}{5}}\cdot 2\pi ={\frac {12\pi R^{5}}{5}}.$

Teisingiau skaičiuoti taip ($x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho ^{2}$):

$\iint _{S}x^{3}dydz+y^{3}dzdx+z^{3}dxdy=\iiint _{V}(3x^{2}+3y^{2}+3z^{2})dxdydz=3\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}\cdot \rho ^{2}d\rho =$

$=3\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta {\frac {\rho ^{5}}{5}}|_{0}^{R}=3{\frac {R^{5}}{5}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =3{\frac {R^{5}}{5}}\int _{0}^{2\pi }d\phi (-\cos \theta )|_{0}^{\pi }=$

$=3{\frac {R^{5}}{5}}\int _{0}^{2\pi }d\phi (-[-1-1])={\frac {6R^{5}}{5}}\int _{0}^{2\pi }d\phi ={\frac {6R^{5}}{5}}\cdot (2\pi -0)={\frac {12\pi R^{5}}{5}}.$

Patikrinsime apskaičiuodami $\iint _{S}x^{3}\mathbf {d} y\mathbf {d} z,\;\iint _{S}y^{3}\mathbf {d} z\mathbf {d} x$ ir $\iint _{S}z^{3}\mathbf {d} x\mathbf {d} y$ sumą.

$x^{2}=R^{2}-y^{2}-z^{2},$

$x={\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}};$

${\frac {\partial x}{\partial y}}={\frac {\partial ({\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}})}{\partial y}}={\frac {-2y}{2{\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}}}={\frac {-y}{\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}};$

${\frac {\partial x}{\partial z}}={\frac {\partial ({\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}})}{\partial z}}={\frac {-2z}{2{\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}}}={\frac {-z}{\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}}.$

$V_{x}=\iint _{S}x^{3}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)^{2}}}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=$

$=\iint _{S}x^{3}{\sqrt {1+\left({\frac {-y}{\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}}\right)^{2}+\left({\frac {-z}{\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}}\right)^{2}}}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=$

$=\iint _{S}x^{3}{\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{R^{2}-y^{2}-z^{2}}}+{\frac {z^{2}}{R^{2}-y^{2}-z^{2}}}}}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=$

$=\iint _{S}x^{3}{\sqrt {\frac {R^{2}-y^{2}-z^{2}+y^{2}+z^{2}}{R^{2}-y^{2}-z^{2}}}}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=$

$=\iint _{S}x^{3}{\sqrt {\frac {R^{2}}{R^{2}-y^{2}-z^{2}}}}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=\iint _{S}{\sqrt {(R^{2}-y^{2}-z^{2})^{3}}}{\sqrt {\frac {R^{2}}{R^{2}-y^{2}-z^{2}}}}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=\iint _{S}(R^{2}-y^{2}-z^{2})R\mathbf {d} y\mathbf {d} z=$

$=\iint _{S}(R^{2}-\rho ^{2})R\rho \mathbf {d} \rho \mathbf {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{R}(R^{3}\rho -R\rho ^{3})\mathbf {d} \rho \right)\mathbf {d} \phi =$

$=\int _{0}^{2\pi }\left(R^{3}{\frac {\rho ^{2}}{2}}-R{\frac {\rho ^{4}}{4}}\right)|_{0}^{R}\mathbf {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }\left(R^{3}{\frac {R^{2}}{2}}-R{\frac {R^{4}}{4}}\right)\mathbf {d} \phi =$

$=\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {R^{5}}{2}}-{\frac {R^{5}}{4}}\right)\mathbf {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }{\frac {R^{5}}{4}}\mathbf {d} \phi ={\frac {R^{5}}{4}}\cdot 2\pi ={\frac {\pi R^{5}}{2}}.$

Kadangi ir teigiama ir neigiama kryptimi reikia apskaičiuoti, tai $V_{X}=2V_{x}=2\cdot {\frac {\pi R^{5}}{2}}=\pi R^{5}.$ Ir kadangi funkcijų $x^{3}$, $y^{3}$ ir $z^{3}$ laipsniai vienodi, tai

$M=3V_{X}=3\pi R^{5}.$

Gauta masė (skardinės sferos tankis priklauso nuo x reikšmės trečiame laipsnyje) nesutampa su Gauso formulės logika.

Update. Pagal oficialią teoriją taip ir neturi sutapti atsakymai ir kas ką tik buvo apskaičiuota ($M=3V_{X}=3\pi R^{5}$) neturi nieko bendro su Gauso formule.

Pastaba. Rutulio paviršiaus plotą įmanoma apskaičiuoti cilindinėse koordinatėse. Bandydami, gauname:

$R^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

$z={\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}};$

$z_{x}'={\frac {-2x}{2{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}}={\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}};$

$z_{y}'={\frac {-2y}{2{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}}={\frac {-y}{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}};$

${\sqrt {1+(z_{x}')^{2}+(z_{y}')^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}\right)^{2}+\left({\frac {-y}{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}\right)^{2}}}=$

$={\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}+{\frac {y^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}}={\sqrt {\frac {R^{2}-x^{2}-y^{2}+x^{2}+y^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}={\sqrt {\frac {R^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}};$

$x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}$ cilindinėse ir polinėse koordinatėse;

Iš internetinio integratoriaus $\int _{0}^{R}\rho {\sqrt {\frac {R^{2}}{R^{2}-\rho ^{2}}}}\;d\rho =(\rho ^{2}-R^{2}){\sqrt {\frac {R^{2}}{R^{2}-\rho ^{2}}}}|_{0}^{R}=-R{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}}}|_{0}^{R};$

$S_{pav.}=\iint _{s}{\sqrt {1+(z_{x}')^{2}+(z_{y}')^{2}}}\;dx\;dy=\iint _{s}{\sqrt {\frac {R^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}\;dx\;dy=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}\rho {\sqrt {\frac {R^{2}}{R^{2}-\rho ^{2}}}}\;d\rho =$

$=\int _{0}^{2\pi }-R{\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}}}|_{0}^{R}d\phi =-R\int _{0}^{2\pi }({\sqrt {R^{2}-R^{2}}}-{\sqrt {R^{2}-0^{2}}})d\phi =-R\int _{0}^{2\pi }(0-{\sqrt {R^{2}}})d\phi =R^{2}\int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi R^{2}.$

Taigi, visas rutulio paviršiaus plotas susideda iš dviejų pusrutulių, todėl

$S_{visas}=2\cdot S_{pav.}=2\cdot 2\pi R^{2}=4\pi R^{2}.$

Kitaip patikrinsime apskaičiuodami $\iint _{S}x^{3}\mathbf {d} y\mathbf {d} z,\;\iint _{S}y^{3}\mathbf {d} z\mathbf {d} x$ ir $\iint _{S}z^{3}\mathbf {d} x\mathbf {d} y$ sumą.

$x^{2}=R^{2}-y^{2}-z^{2},$

$x={\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}.$

$V_{x}=\iint _{S}x^{3}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=\iint _{S}\left({\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}\right)^{3}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=\iint _{S}\left({\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}}}\right)^{3}\rho \mathbf {d} \rho \mathbf {d} \phi =$

$=\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{R}\rho {\sqrt {(R^{2}-\rho ^{2})^{3}}}\mathbf {d} \rho \right)\mathbf {d} \phi .$

Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad

$\int _{0}^{R}\rho {\sqrt {(R^{2}-\rho ^{2})^{3}}}\mathbf {d} \rho =-{\frac {1}{5}}((R-\rho )(R+\rho ))^{5/2}|_{0}^{R}=$

$=-{\frac {1}{5}}((R-R)(R+R))^{5/2}-\left(-{\frac {1}{5}}((R-0)(R+0))^{5/2}\right)=$

$=0+{\frac {1}{5}}((R-0)(R+0))^{5/2}={\frac {1}{5}}(R^{2})^{5/2}={\frac {R^{5}}{5}};$

$V_{x}=\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{R}\rho {\sqrt {(R^{2}-\rho ^{2})^{3}}}\mathbf {d} \rho \right)\mathbf {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }{\frac {R^{5}}{5}}\mathbf {d} \phi ={\frac {2\pi R^{5}}{5}}.$

Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama Ox kryptimi), tai

$V_{X}=2V_{x}=2\cdot {\frac {2\pi R^{5}}{5}}={\frac {4\pi R^{5}}{5}}.$

Kadangi, pagal sąlyga bus $V_{X}=V_{Y}=V_{Z},$ tai

$V=3V_{X}=3\cdot {\frac {4\pi R^{5}}{5}}={\frac {12\pi R^{5}}{5}}.$

Ką norėta rasti ir kas rasta. Norėta apskaičiuoti (kaip supranta redaguotojas) sferos iš skardos masę. Skardos tankis vienu skaičiavimu kinta tik priklausomai nuo Ox koordinatės pagal funkcija $\gamma (x)=x^{3}.$ Antru atveju skardos tankis kinta tik priklausomai nuo y koordinatės pagal funkciją $\gamma (y)=y^{3}.$ Trečiu atveju skardos tankis kinta tik priklausomai nuo z koordinatės pagal funkciją $\gamma (z)=z^{3}.$ Kadangi rutulys simetriškas, tai užtenka apskaičiuoti, tarkime, $\iint _{S}z^{3}\mathbf {d} x\mathbf {d} y$ ir padauginti iš 3, o paskui dar padauginti iš 2, nes ir teigiama ir neigiama kryptimi tankis didėja vienodai. Skaičiuojant analogiškai kreiviniam integralui (pirmojo tipo) gauname atsakyma $M=6\pi R^{3}.$ Atsakymas $M=6\pi R^{3}$ ir yra skardinės sferos masė išintegruota trimis ašimis $M=\iint _{S}x^{3}dydz+\iint _{S}y^{3}dzdx+\iint _{S}z^{3}dxdy.$ Pagal Gauso samprotavimo formulę skardinės sferos masė yra $M={\frac {12\pi R^{5}}{5}}.$ Kiek suprantu, Gauso formulė iškraipo prasmę integravimas paviršiumi, nes tik su iškraipyta prasme integravimas paviršiumi Gauso formulė gali egzistuoti kaip teisinga formulė.

Gauto rezultato $\iint _{S}z^{3}\mathbf {d} x\mathbf {d} y={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {12\pi R^{5}}{5}}={\frac {4\pi R^{5}}{5}}$ prasmę galima išaiškinti taip: sfera spindulio $R=10$ projektuojasi į plokštumą xOy; sferos centras yra taškas O, sferos projekcija į xOy plokštumą yra skritulys, kurio centras koordinačių pradžios taškas O; skritulio formulė yra $x^{2}+y^{2}\leq R^{2};$ skritulio plotas telpa į apskritimą kurio formulė $x^{2}+y^{2}=R^{2};$ kadangi apskritimo plokštumoje xOy spindulys $r=10$ kaip ir sferos spindulys, tai į plotą $\pi r^{2}=\pi \cdot 10^{2}=100\pi =314.1592653589793$ telpa 314 strypų lygiagrečių Oz ašiai ir atstumas tarp strypų ant xOy plokštumos yra vienodas; kiekvienas strypas susikerta su sferos paviršiumi ir kiekvieno strypo ilgis yra nuo plokštumos xOy iki susikirtimo su sferos paviršiumi (mes skaičiuojame tik vienam pusrutuliui, tik teigiama Oz ašimi); trumpiausias strypo ilgis yra 0, o ilgiausias strypo ilgis yra iš centro O ir lygus R=10; dabar kiekvieną strypo ilgį reikia pakelti kubu, nes $z^{3};$ Todėl strypo iš centro O (sutampančiam su ašimi Oz) ilgis yra $z^{3}=R^{3}=10^{3}=1000;$ tolstančių nuo centro strypų ilgis trumpėja, o ant apskritimo kraštų strypų ilgis artimas arba lygus nuliui; rezultatas ${\frac {4\pi R^{5}}{5}}={\frac {4\pi 10^{5}}{5}}=80000\pi =251327.412287$ yra visų strypų ant plokštumos xOy ir lygiagrečių ašiai Oz ilgių suma (dviejų pusrutulių).

• Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą $\iint _{S}x^{2}\;dydz+0\;dzdx+0\;dxdy$ pagal išorinę pusę sferos $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.$

Taikydami formulę Gauso, gauname:

$\iint _{S}x^{2}dydz=\iiint _{V}(2x+0+0)dxdydz=2\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{3}d\rho =$

$=2\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta {\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{R}=2\cdot {\frac {R^{4}}{4}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {R^{4}}{2}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \;\sin \theta |_{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {R^{4}}{2}}\int _{0}^{2\pi }(\sin {\frac {\pi }{2}}-\sin {\frac {-\pi }{2}})d\phi =$

$={\frac {R^{4}}{2}}\int _{0}^{2\pi }(1-(-1))d\phi =R^{4}\phi |_{0}^{2\pi }=R^{4}\cdot 2\pi =2\pi R^{4}.$

Neteisingai skaičiuota, nes x polinėse ir sferinėse koordinatėse nėra $\rho ,$ bet yra $x={\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}$ ir per $\rho$ sferinėse koordinatėse net išreikšti negalima (nes sferinėje koordinačių sistemoje $\rho ^{2}=R^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ o x išreikšti galima taip: $x=R\sin \theta \cos \phi$ (o gal taip: $x=\rho \sin \theta \cos \phi$)). Žemiau turėtų būti teisingai paskaičiuota. Bet šansai, kad jei x pakeisti ${\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}={\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}}}$ ir bus gautas teisingas atsakymas (skaičiuojant kaip aukščiau sferinėse koordinatėse) yra labai maži (bandžiau integruot su internetiniu integratoriumi ir gaunasi dalyba iš nulio, šaknyje minusas ir/ar panašiai).

Kitaip patikrinsime apskaičiuodami $\iint _{S}x^{2}\mathbf {d} y\mathbf {d} z.$

$x^{2}=R^{2}-y^{2}-z^{2},$

$x={\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}.$

$V_{x}=\iint _{S}x^{2}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=\iint _{S}\left({\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}\right)^{2}\mathbf {d} y\mathbf {d} z=\iint _{S}\left({\sqrt {R^{2}-\rho ^{2}}}\right)^{2}\rho \mathbf {d} \rho \mathbf {d} \phi =$

$=\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{R}\rho (R^{2}-\rho ^{2})\mathbf {d} \rho \right)\mathbf {d} \phi .$

Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad

$\int _{0}^{R}\rho (R^{2}-\rho ^{2})\mathbf {d} \rho =\int _{0}^{R}(\rho R^{2}-\rho ^{3})\mathbf {d} \rho =({\frac {\rho ^{2}R^{2}}{2}}-{\frac {\rho ^{4}}{4}})|_{0}^{R}=$

$={\frac {R^{2}\cdot R^{2}}{2}}-{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {R^{4}}{4}}.$

$V_{x}=\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{R}\rho {\sqrt {(R^{2}-\rho ^{2})^{2}}}\mathbf {d} \rho \right)\mathbf {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }{\frac {R^{4}}{4}}\mathbf {d} \phi ={\frac {2\pi R^{4}}{4}}={\frac {\pi R^{4}}{2}}.$

Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama Ox kryptimi), tai

$V_{X}=2V_{x}=2\cdot {\frac {\pi R^{4}}{2}}=\pi R^{4}.$

Atsakymai $2\pi R^{4}$ ir $\pi R^{4}$ nesutampa (gal atsakymas ${\frac {\pi R^{4}}{2}}$ yra tik ketvirtadalis sferos, bet tada kyla klausimas: kodėl ne aštuntadalis sferos?).

Šiaip, atsakymas $\pi R^{4}$ turėtų būti teisingas.

Teisingas skaičiavimas pagal tūrio formulę (skaičiavimas sferinėje koordinačių sistemoje). Mums prireiks šitos trigonometrinės formulės $\cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}\theta ,\;$ $\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}.$ Pagal Gauso formulę (sferinėse koordinatėse turime, kad $x=\rho \sin \theta \cos \phi$):

$\iint _{S}x^{2}dydz=\iiint _{V}(2x+0+0)dxdydz=2\int _{0}^{2\pi }\cos \phi \;d\phi \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \;d\theta \int _{0}^{R}\rho \cdot \rho ^{2}\;d\rho =$

$=2\int _{0}^{2\pi }\cos \phi \;d\phi \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \;d\theta \;{\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{R}=2\cdot {\frac {R^{4}}{4}}\int _{0}^{2\pi }\cos \phi \;d\phi \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \;d\theta =$

$={\frac {R^{4}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\cos \phi \;d\phi \int _{0}^{\pi }(1-\cos(2\theta ))\;d\theta ={\frac {R^{4}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\cos \phi \;d\phi (\theta -{\frac {\sin(2\theta )}{2}})|_{0}^{\pi }=$

$={\frac {R^{4}}{4}}\int _{0}^{2\pi }\cos \phi \;d\phi ([\pi -0]-[0-0])={\frac {\pi R^{4}}{4}}\int _{0}^{2\pi }\cos \phi \;d\phi ={\frac {\pi R^{4}}{4}}\sin \phi |_{0}^{2\pi }={\frac {\pi R^{4}}{4}}(\sin(2\pi )-\sin 0)=0.$

Kažkas nesiintegruoja. Galima pabandyti integruoti per $\phi$ nuo 0 iki $\pi /2$ ir paskui viską padauginti iš 4:

$4{\frac {\pi R^{4}}{4}}\sin \phi |_{0}^{\pi /2}=4\cdot {\frac {\pi R^{4}}{4}}(\sin(\pi /2)-\sin 0)=\pi R^{4}(1-0)=\pi R^{4}.$

Taip pat skaitykite

• Paviršinis integralas antrojo tipo
• Gryno formulė
• Antrojo tipo kreivinis integralas
• Trilypis integralas