Aptarimas:Matematika/Gauso formulė

Page contents not supported in other languages.
Iš Wikibooks.

Gauso formule atrodo kaip pilstymas is tuscio i kiaura.

Pavyzdžiai[keisti]

Vaizdas:Pavirsinisintris427.jpg
427.
  • Apskaičiuoti tūrį V kūno (piramidės), kurį riboja plokštuma ir sienos , , . (pav. 427). Trikampio ABC Viršunės yra A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) ir C(0; 0; 6). Piramidės AOBC viršunės yra A(3; 0; 0), O(0; 0; 0), B(0; 2; 0) ir C(0; 0; 6). Iš karto matosi, kad piramidės tūris yra
Randame:
Dar Randame:



Trikampio plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ABC, kurio taškai yra A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=3, OB=e=2, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:
Toliau randame trikampio ABC pusperimetrį ir plotą:
Vadinasi šiame pavyzdyje ieškomas buvo ne trikampio plotas.

Integravime pagal paviršiaus plotą taikomos išvestinės todėl patikrinimas neteisingas[keisti]

  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą pagal išorinę pusę sferos
Taikydami formulę Gauso - Ostragradksio, gauname:
Patikrinsime apskaičiuodami ir sumą.
Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad
Toliau pritaikydami ribas, kai artėja į , gauname:
Kadangi, , tai Todėl,
Vadinasi,


Integravime pagal paviršiaus plotą taikomos išvestinės todėl patikrinimas neteisingas 2[keisti]

  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą pagal išorinę pusę sferos
Taikydami formulę Gauso - Ostragradksio, gauname:
Patikrinsime apskaičiuodami ir sumą.
Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad
Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama Ox kryptimi), tai
Kadangi, pagal sąlyga bus tai

Pasirodo įmanoma[keisti]

  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą pagal išorinę pusę sferos
Taikydami formulę Gauso - Ostragradksio, gauname:
Patikrinsime apskaičiuodami ir sumą.
Gautas tūris nesutampa su Gauso formulės logika.
Pastaba. Rutulio paviršiaus ploto neįmanoma apskaičiuoti nei cilindinėse, nei sferinėse koordinatėse. Bandydami, gauname:
cilindinėse ir polinėse koordinatėse;
internetinio integratoriaus
Taigi, visas rutulio paviršiaus plotas susideda iš dviejų pusrutulių, todėl
Kitaip patikrinsime apskaičiuodami ir sumą.
Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad
Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama Ox kryptimi), tai
Kadangi, pagal sąlyga bus tai

Gal blogas pavyzdis[keisti]

  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą pagal išorinę pusę sferos
Taikydami formulę Gauso, gauname:
Dar viską reikia padalinti iš 3, kad gauti teisingai:
Kitaip patikrinsime apskaičiuodami
Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad
Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama Ox kryptimi), tai
Atsakymai ir nesutampa, todėl tokie skaičiavimai neturi prasmės (Gauso formulė gali būti arba neteisinga arba turi labai mažai pritaikymo pavyzdžių).