Matematika/Trilypis integralas

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Trilypis integralas naudojamas tūriui apskaičiuoti ir mechanikoje – tose vietose, kur dvilypio integralo savybių neužtenka greitesniam apskaičiavimui.

Trilypio integralo apskaičiavimas[keisti]

Pavyzdžiai[keisti]

  • Apskaičiuosime tūrį V tetraedro, apriboto plokštumų

Integravimo sritis D projektuojama į plokštumą xOy. Tūrį V iš apačios riboja plokštuma iš viršaus - plokštuma Trilypį integralą pakeičiame kartotiniu:

Šį atsakymą galima buvo gauti naudojantis mišriąja vektorių sandauga.

Gretasienio tūris yra 8. Rasime piramidės (t. y. netaisyklingo tetraedro) su 4 viršūnėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:

Šį tūrį galima buvo gauti nustačius kiekvienos kraštinės ilgį palei koordinačių ašis. M(1-(-1); 1-0; 2-0)=M(2; 1; 2). Sudauginus kraštinių ilgius gauname stačiakampio gretasienio tūrį Arba per vektorius


  • Apskaičiuosime tetraedro tūrį V, apriboto plokštumomis x+y+z=2, z=1, x=0, y=0. tetraedro trys kraštinės a=b=c=1 ir lygiagrečios atitinkamai x, y ir z ašims, o kitos trys kraštinės

Tą patį atsakymą galėjome gauti pasinaudodami piramidės tūrio skaičiavimu per vektorius M(1-0; 1-0; 2-1)=M(1; 1; 1):

  • Pirmajame oktante esantį kūną riboja paviršiai (pav. 13.21). Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kūno tūrį apskaičiuosime pagal formulę

Integravimo sritits D yra kūno projekcija plokštumoje xOy. Parinkus vienokią integravimo tvarką, dvilypis integralas šioje srityje išreiškiamas vienu kartotiniu integralu, o pakeitus tą tvarką dviem kartotiniais integralais: arba Todėl trilypį integralą keisdami kartotiniu, remkimės trumpesne formule:


  • Apskaičiuosime tūrį kūno apriboto šiais paviršiais: ir Iš lygties kai z lygi nuliui Kai parabolės įgija reikšmes ir Todėl tūris lygus

  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais (parabolė ant plokštumos xOy), (plokštuma ant plokštumos xOy), (paraboloidas) (pav. 379).

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.

Autoriaus manymu, tikrasis tūris gali buti apskaičiuotas (o kad geriau suprasti kaip apskaičiuoti, reikėtų įsigilinti į sukimo tūrio radimą) taip:

arba galbūt net taip: arba taip: Bent jau elipsinio paraboloido, tokio kaip (x turi būti 100, kai y=0, kad z būtų lygus 1), pakeitimu, šiame uždavinyje, tūris turėtų būti


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais , , (pav. 379).

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais (parabolė ant plokštumos xOy), (plokštuma ant plokštumos xOy), (paraboloidas).

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.

  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais , , .

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, išpjaunamą iš begalinės prizmės su kraštais paraboloidais (pav. 380).
Kai reikšmės x ir y yra 0, tai , šie taškai ir yra aukčiausias ir žemiausias taškai.

Kad gauti tūrį visuose 8-iuose oktantuose, reikia padauginti iš 4.

Palyginimui, stačiakampio gretasienio tūris, kurio kraštinės a=1, b=1, c=6 yra lygus


Paraboloidas.
  • Pavyzdis. Kūną riboja plokštuma xOy, cilindrinis paviršius ir paraboloidas Praboloidas su cilindriniu paviršiumi susikerta, kai Apskaičiuosime to kūno tūrį.
Sprendimas. Kadangi kūnas yra simetriškas koordinačių plokštumų xOz ir yOz atžvilgiu, tai apskaičiuosime tik jo ketvirtadalio, esančio pirmajame oktante tūrį. Taigi
kur kai , tada ir kai , tada
Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:
Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš 4.


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, išpjaunamą iš begalinės prizmės su kraštais paraboloidu
Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus
Tūris esanti virš tūrio, kurį radome ir apribotas plokštuma yra

  • Rasime kūno tūrį V, esantį po paraboloidu ir apribotą begalinės prizmės (stačiakampio gretasienio kurio aukšis begalinis) su kraštinėmis .
Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus

Trilypis integralas cilindrinėje koordinačių sistemoje[keisti]

Su stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis cilindrines koordinates sieja formulės Kadangi kūno tūris tai cilindrinėje koordinačių sistemoje jis išreiškiamas formule

Pavyzdžiai[keisti]

  • Kūną V riboja paviršiai z=0. Apskaičiuokime to kūno tūrį.

Kūnas V iš šonų apribotas dviejų cilindrų, kurių sudaromosios lygiagrečios ašiai Oz, o vedamosios - apskritimai ir Iš apačios kūną riboja plokštuma z=0, iš viršaus - kūgis kurio viršūnė yra taške (0; 0; 4) o sudaromosios nukreiptos žemyn. Kadangi kūnas yra simetriškas plokštumos xOy atžvilgiu, tai apskaičiuosime to kūno tūrio. Integravimo sritis D, t. y. kūno prjokecija plokštumoje xOy. Cilindrinėje koordinačių sistemoje apskritimų lygtys yra ir o kūgio lygtis yra Figūra D gaunama, kai kampas kinta nuo 0 iki o dydis - nuo iki Todėl, pritaikę formulę, gauname Kur du šauktukai dvigubas faktorialas.


  • Kūną V riboja viršutinė sferos dalis ir paraboloidas Apskaičiuokime kūno tūrį.

Kadangi kūnas yra simteriškas plokštumų xOz ir yOz atžvilgiu, tai apskaičiuosime jo tūrio. Norėdami rasti sritį D, turime suprojektuoti į plokštumą xOy sferos paraboloido susikirtimo kreivę, kurios lygtį gausime išsprendę jų lygčių sistemą. Į lygtį vietoje z įrašome reiškinį Gauname lygtį

Iš čia Šiuo atveju r yra susikirtimo parabaloido ir pusapskritimo koordinate z, o kadangi parabolės projekcija į plokštumą xOz yra nusakoma formule tai, kai (arba ), tada kaip parodyta paveiksliuke.

Taigi viso kūno tūris

Integralas integruojamas taip:

nes todėl


  • Apskaičiuosime tūrį kūno V, apriboto paviršiais z=1, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=1. Pažymėsime per T erdvės sritį apribota paviršiais Todėl

  • Apskaičiuosime tūrį kūno V, apriboto paviršiais z=100, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=100. Pažymėsime per T erdvės sritį apribota paviršiais Maksimalus spindulys . Todėl


  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą paplitusi per tūrį, apribotą plokštumomis xOy ir xOz, cilindru ir sfera Kadangi , integralas skaičiavimu lygus tūriui duoto kūno. Trumpiau tariant, rasime tūrį kūno apriboto išvardintų paviršių.
Sprendimas. Pereidami į cilindrinę koordinačių sistemą, gauname , nes o Randame kūno tūrį:
čia
Kai , tada
Kad įsivaizduoti kaip atrodo kūnas, galima pasakyti, kad sferos centras yra (0; 0; 0), o sferos sindulys . Na, o cilindro pagrindas yra padalintas per pusę ašimi Ox. Cilindro [pagrindo] spindulys , o cilindro skersmuo . Cilindro pagrindas yra tik ant ašies Ox ir vienas jo pagrindo kraštas liečiasi su koordinačiu pradžios tašku O, o kitas liečiasi su tašku a ant Ox ašies. Sfera, kurios lygtis, priminimui, yra gaubia iš viršaus, o iš apčios apriboja kūną cilindras.
Žinodami cilindro tūrio formulę palyginsime ar gautas atsakymas neprasilenkia su elementaria logika. Mes surasime pusė cilindro tūrio, nes integravimas vyko pirmame oktante (oktantas yra 1/8 rutulio tūrio). Cilindro spindulys yra r=a/2=3/2=1.5, o cilindro aukštinė h=a=3. Randame palyginąmąjį tūrį:

Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:

Pasinaudodami analitiniu mąstymu, pabandysime parodyti, kad tūris rastas teisingai. Apskritimo spindulys R=3, todėl ketvirtadalis skritulio ploto yra

O kvadrato, kurio kraštinė a=3, plotas yra

Dabar randame kvadrato ir 1/4 skritulio santykį:
Akivaizdu, kad padalinus visą cilindro tūrį iš tūrio, kurį riboja cilindras ir sfera, turėtume gautį santykį didesnį nei kvadrato ir ketvirtadalio skritulio, o santykis yra:
Taip ir yra, tolstant nuo Ox ašies, z reikšmės mažėja, kas ir užtikrina didesnį santykį.
  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 0.5), o spindulys r=1/2), (plokštuma ant plokštumos xOy), (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį Paraboloido lygtis tampa tokia: Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl kinta nuo 0 iki
kur
Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį padauginti iš 2.

  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0.5; 0), o spindulys r=1/2), (plokštuma ant plokštumos xOy), (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį Paraboloido lygtis tampa tokia: Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl kinta nuo 0 iki
kur
Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį padauginti iš 2.


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 1), o spindulys r=1), (plokštuma ant plokštumos xOy), (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį Paraboloido lygtis tampa tokia: Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl kinta nuo 0 iki
kur

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=1, aukštis yra lygus


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 4), o spindulys r=4), (plokštuma ant plokštumos xOy), (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį Paraboloido lygtis tampa tokia: Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl kinta nuo 0 iki
kur

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=4, aukštis yra lygus


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 4.5), o spindulys r=9/2), (plokštuma ant plokštumos xOy), (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį Paraboloido lygtis tampa tokia: Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl kinta nuo 0 iki
kur

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=9/2, aukštis yra lygus


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 5), o spindulys r=5), (plokštuma ant plokštumos xOy), (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį Paraboloido lygtis tampa tokia: Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl kinta nuo 0 iki
kur

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=5, aukštis yra lygus

Galime pabandyti suprasti ar integravimo budu gautas atsakymas yra teisingas. Kai ir , tuomet paraboloido z reikšmė lygi O kai , , tuomet paraboloido z reikšmė yra Vadinasi šonuose kažkaip negali būti daugiau, o tiktai didėjant y reikšmei, z reikšmė apskritimo srityje didėja kvadratu. O kai apskritimo srityje y reikšmė mažesnė už 10, tada ir z reikšmė visoje apskritimo () srityje yra mažesnės už 100. Taip pat reikia nepamiršti, kad aukščiausiame taške (z=100, y=10, x=0), kur susikerta cilindras su praboloidu, tai nukirtus plokšuma z=100, paraboloido viršų, paraboloido spindulys yra r=10, o centro koordinatės (0; 0), tuo tarpu, apskritimo r=5, o centro koordinatės yra (0; 5). Todėl didesniame apskritime yra mažesnis apskritimas ir todėl to mažesnio apskritimo reikšmės x ir y niekada neduos didesnės z, reikšmės už tą atvejį, kai R=y=10. Cilindru iš praboloido iškerpamas tūris yra tik 2,66667 karto mažesnis už viso cilindro tūrį. Kitaip tariant, jei viso cilindro tūris yra 1, tai tūris, kurį gauname integravimo budu dviejuose oktantuose yra 0.375 visais atvejais. Dar palyginimui, plotas po parabolės šaka visada lygus 1/3 ploto stačiakampio gretasienio O tūris po paraboloidu visada lygus 1/2 viso cilindro tūrio.

Dar pastebėjimas, kad z reikšmė yra didesnė, kai , , tada , negu, kai , ir tada . Todėl ant kraštų apskritimo, kurį dalina pusiau Oy ašis, dominuoja didesnės z reikšmės, negu centre, tačiau didžiausia z reikšmė vis tiek, kai y=10, x=0.


  • Pereidami į polinę koordinačių sistemą rasime tūrį po paraboloidu kurį riboja cilindrinis paviršius

Šis tūris keturiuose oktantuose yra lygus

Trilypio integralo taikymas mechanikoje[keisti]

Kūno masės centro koordinatės[keisti]

Kai tam tikros masės tankis lygus tai to kūno masės centro koordinatės apskaičiuojamos pagal formules

Pavyzdžiai

  • Kūną riboja paviršiai ir Apskaičiuokime to kūno masės centro koordinates, kai

Kadangi kūnas simteriškas plokštumų xOy ir yOz atžvilgiu, tai Rasime koordinatę. Pagal sąlygą, todėl iš formulių išplaukia, kad Integralus apskaičiuosime pakeisdami juos kartotiniais cilindrinėje koordinačių sistemoje.

Kūno inercijos momentai[keisti]

Taško M(x; y; z), kurio masė m, inercijos momentai koordinačių plokštumų xOy, xOz ir yOz atžvilgiu išreiškiami formulėmis

ašių Ox, Oy, Oz atžvilgiu - formulėmis
koordinačių pradžios atžvilgiu - formule
Kūno inercijos momentai išreiškiami atitinkamais trilypiais integralais. Pavyzdžiui, tam tikros masės kūno, kurio tankis inercijos momentas plokštumos xOy atžvilgiu apskaičiuojamas pagal formulę

ašies Oz atžvilgiu - pagal formulę ir t. t.


Pavyzdžiai


  • Apskaičiuokime kūno, kurį riboja paraboloidas ir plokštuma (žr. auksčiau pateiktą pavyzdį apie paraboloido masės centro skaičiavimą), inercijos momentą ašies, einančios per jo masės centrą statmenai to paraboloido sukimosi ašiai, atžvilgiu ().
Koordinačių ašis parinkime taip, kad jų pradžios taškas sutaptų su paraboloido masės centru, o ašis Ox būtų statmena paraboloido sukimosi ašiai. Tuomet turėsime rasti (arba ).

Paraboloido lygtis tokioje koordinačių sistemoje yra o jo projekcija plokštumoje xOy - sritis, apribota apskritimo Taikome formulę Tuomet


  • Apskaičiuosime kūno sritį V, kuri apribota paviršiais ir inercijos momentą Oz ašies atžvilgiu Taip kaip V į plokštumą xOy projektuojasi į skritulį tai koordinatė kinta ribose 0 ir , koordinatė - nuo iki . Nuolatinei reikšmei erdvėje Oxyz atitinka cilindras Apžiurinėdami susikirtimą šito cilindro su sritimi V, gauname kitimą koordinčių z nuo reikšmės taškams gulinčių ant paraboloido iki reikšmių taškams, gulinčių ant plokštumos , t. y. nuo iki Pritaikę formulę turime

Trilypis integralas sferinėse koordinatėse[keisti]

Pavyzdžiai

  • Apskaičiuosime rutulio tūrį V:

  • Apskaičiuosime rutulio inercijos momentą koordinačių pradžios atžvilgiu. Kadangi gauname

  • Nustatysime masės centro koordinates viršutinės pusės vienalyčio rutulio V spindulio R esančio centre koordinačių pradžios.

Duotas pusrutulis apribotas paviršiais ir Dėl pusrutulio simetrijos Koordinatė nustatoma pagal formulę

Pereidami į sferines koordinates, gauname


  • Apskaičiuosime masę pusrutulio V spindulio R, jeigu masės pasiskirstimas tankis kiekviename jo taške proporcingas atstumui taško nuo tam tikro fiksuoto taško O ant krašto pusrutulio pagrindo.
Išrinksime koordinačių pradžią taške O, o plokštumą xOy pusrutulio taip, kad pusrutulio centras gulėtų ant ašies Oy.
Tada lygtys paviršiaus, apribojančio kūną V iš viršaus, užsirašis pavidale:

masės pasiskirstimo tankis nustatomas formule

masės nustatymas reiškia apskaičiavimą integralo Integruodami pasianaudojome dvigubu faktorialu trigonometrijoje: