Matematika/Trilypis integralas

Trilypis integralas naudojamas tūriui apskaičiuoti ir mechanikoje – tose vietose, kur dvilypio integralo savybių neužtenka greitesniam apskaičiavimui.

Trilypio integralo apskaičiavimas

$\iint _{V}f(x,y,z)dxdydz=\int _{a}^{b}dx\int _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}dy\int _{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz.$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime tūrį V tetraedro, apriboto plokštumų $x=0,$ $y=0,$ $z=0,$ $x+y+z=2.$

Integravimo sritis D projektuojama į plokštumą xOy. Tūrį V iš apačios riboja plokštuma $z=0,$ iš viršaus - plokštuma $z=2-x-y.$ Trilypį integralą pakeičiame kartotiniu: $V=\iiint _{V}dxdydz=\int _{0}^{2}dx\int _{0}^{2-x}dy\int _{0}^{2-x-y}dz=\int _{0}^{2}dx\int _{0}^{2-x}z|_{0}^{2-x-y}dy=$ $=\int _{0}^{2}dx\int _{0}^{2-x}(2-x-y)dy=\int _{0}^{2}(2y-xy-{y^{2} \over 2})|_{0}^{2-x}dx=\int _{0}^{2}(4-2x-2x+x^{2}-{1 \over 2}(4-4x+x^{2}))dx=$ $=\int _{0}^{2}(2-2x+{x^{2} \over 2})dx=(2x-x^{2}+{x^{3} \over 6})|_{0}^{2}=4-4+{8 \over 6}={8 \over 6}.$

Šį atsakymą galima buvo gauti naudojantis mišriąja vektorių sandauga.

$V=(a\times b)\cdot c={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{vmatrix}}=8.$

Gretasienio tūris yra 8. Rasime piramidės (t. y. netaisyklingo tetraedro) su 4 viršūnėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:

$V={\frac {1}{6}}|(a\times b)\cdot c|={\frac {8}{6}}.$

• Apskaičiuosime tūrį stačiakampio gretasienio, apriboto plokštumomis x=-1, x=1, y=0, y=1, z=0, z=2. Turime

$\iiint _{V}dxdydz=\int _{-1}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{2}dz=\int _{-1}^{1}dx\int _{0}^{1}2dy=\int _{-1}^{1}2dx=2x|_{-1}^{1}=2(1-(-1))=4.$ Šį tūrį galima buvo gauti nustačius kiekvienos kraštinės ilgį palei koordinačių ašis. M(1-(-1); 1-0; 2-0)=M(2; 1; 2). Sudauginus kraštinių ilgius gauname stačiakampio gretasienio tūrį $V=2\cdot 1\cdot 2=4.$ Arba per vektorius

$V=(a\times b)\cdot c={\begin{vmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{vmatrix}}=4.$

• Apskaičiuosime tetraedro tūrį V, apriboto plokštumomis x+y+z=2, z=1, x=0, y=0. tetraedro trys kraštinės a=b=c=1 ir lygiagrečios atitinkamai x, y ir z ašims, o kitos trys kraštinės $d=e=f={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}.$

$V=\iiint _{V}dxdydz=\iint _{D}dxdy\int _{1}^{2-x-y}dz=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1-x}dy\int _{1}^{2-x-y}dz=$ $=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1-x}(1-x-y)dy=\int _{0}^{1}(y-xy-{y^{2} \over 2})|_{0}^{1-x}dx=$ $=\int _{0}^{1}(1-x-x+x^{2}-{1-2x+x^{2} \over 2})dx=\int _{0}^{1}({1 \over 2}-x+{x^{2} \over 2})dx=$ $=({1 \over 2}x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 6})|_{0}^{1}={1 \over 2}-{1 \over 2}+{1 \over 6}={1 \over 6}.$ Tą patį atsakymą galėjome gauti pasinaudodami piramidės tūrio skaičiavimu per vektorius M(1-0; 1-0; 2-1)=M(1; 1; 1):

$V={1 \over 6}|(a\times b)\cdot c|={1 \over 6}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}={1 \over 6}.$

Vaizdas:Trilypis1321.jpg

13.21.

• Pirmajame oktante esantį kūną riboja paviršiai $z=4-y^{2},$ $x+y=2,$ $2x+y=2,$ $y=0,$ $z=0$ (pav. 13.21). Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kūno tūrį apskaičiuosime pagal formulę

$V=\iiint _{V}dxdydz=\iint _{D}dxdy\int _{0}^{4-y^{2}}.$ Integravimo sritits D yra kūno projekcija plokštumoje xOy. Parinkus vienokią integravimo tvarką, dvilypis integralas šioje srityje išreiškiamas vienu kartotiniu integralu, o pakeitus tą tvarką dviem kartotiniais integralais: $\iint _{D}f(x,y)dxdy=\int _{0}^{2}dy\int _{2-y \over 2}^{2-y}f(x,y)dx$ arba $\iint _{D}f(x,y)dxdy=\int _{0}^{1}dx\int _{2-2x}^{2-x}f(x,y)dy+\int _{1}^{2}dx\int _{0}^{2-x}f(x,y)dy.$ Todėl trilypį integralą keisdami kartotiniu, remkimės trumpesne formule: $V=\int _{0}^{2}dy\int _{2-y \over 2}^{2-y}dx\int _{0}^{4-y^{2}}dz=\int _{0}^{2}dy\int _{2-y \over 2}^{2-y}z|_{0}^{4-y^{2}}dx=\int _{0}^{2}dy\int _{2-y \over 2}^{2-y}(4-y^{2})dx=$ $=\int _{0}^{2}(4-y^{2})x|_{2-y \over 2}^{2-y}dy=\int _{0}^{2}(4-2y-y^{2}+{y^{3} \over 2})dy=(4y-y^{2}-{y^{3} \over 3}+{y^{4} \over 8})|_{0}^{2}={10 \over 3}.$

• Apskaičiuosime tūrį kūno apriboto šiais paviršiais: $y={\sqrt {x}},\;y=2{\sqrt {x}},$ $z=0$ ir $x+z=6.$ Iš lygties $x+z=6,$ kai z lygi nuliui $x=6.$ Kai $x=6$ parabolės įgija reikšmes $y={\sqrt {6}}$ ir $y=2{\sqrt {6}}.$ Todėl tūris lygus

$V=\int _{0}^{6}dx\int _{\sqrt {x}}^{2{\sqrt {x}}}dy\int _{0}^{6-x}dz=\int _{0}^{6}dx\int _{\sqrt {x}}^{2{\sqrt {x}}}(6-x)dy=$ $=\int _{0}^{6}(6-x){\sqrt {x}}dx=(6\cdot {x^{3 \over 2} \over {3 \over 2}}-{2 \over 5}\cdot x^{5 \over 2})|_{0}^{6}=4\cdot 6{\sqrt {6}}-{2 \over 5}\cdot 6^{2}{\sqrt {6}}=24{\sqrt {6}}-{72 \over 5}{\sqrt {6}}={48{\sqrt {6}} \over 5}.$

Vaizdas:Integral379380.jpg

379.

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $y=x^{2}$ (parabolė ant plokštumos xOy), $y=1,$ $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas) (pav. 379).

$V=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\int _{x^{2}}^{1}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{x^{2}+y^{2}}{\mathsf {d}}z=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\int _{x^{2}}^{1}{\mathsf {d}}y\;z|_{0}^{x^{2}+y^{2}}=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\int _{x^{2}}^{1}((x^{2}+y^{2})-0){\mathsf {d}}y=$

$=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\int _{x^{2}}^{1}(x^{2}+y^{2}){\mathsf {d}}y=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\;(x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}})|_{x^{2}}^{1}=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\;[(x^{2}\cdot 1+{\frac {1^{3}}{3}})-(x^{2}\cdot x^{2}+{\frac {(x^{2})^{3}}{3}})]=$

$=\int _{0}^{1}[x^{2}+{\frac {1}{3}}-x^{4}-{\frac {x^{6}}{3}}]{\mathsf {d}}x=\left({\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{3\cdot 7}}\right)|_{0}^{1}=\left({\frac {1^{3}}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1^{5}}{5}}-{\frac {1^{7}}{21}}\right)-\left({\frac {0^{3}}{3}}+{\frac {0}{3}}-{\frac {0^{5}}{5}}-{\frac {0^{7}}{21}}\right)=$

$=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{21}}\right)=\left({\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{21}}\right)=\left({\frac {2\cdot 7-1}{21}}-{\frac {1}{5}}\right)=\left({\frac {13}{21}}-{\frac {1}{5}}\right)={\frac {13\cdot 5-21}{21\cdot 5}}={\frac {65-21}{105}}={\frac {44}{105}}=0.419047619.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.

Autoriaus manymu, tikrasis tūris gali buti apskaičiuotas (o kad geriau suprasti kaip apskaičiuoti, reikėtų įsigilinti į sukimo tūrio radimą) taip: $V=\int _{0}^{1}{\sqrt {y}}\cdot y^{2}dy=y^{{\frac {1}{2}}+2}dy=\int _{0}^{1}y^{5 \over 2}dy={\frac {y^{{\frac {5}{2}}+1}}{{\frac {5}{2}}+1}}|_{0}^{1}={\frac {y^{\frac {7}{2}}}{\frac {7}{2}}}|_{0}^{1}={\frac {2\cdot y^{\frac {7}{2}}}{7}}|_{0}^{1}={\frac {2\cdot 1^{\frac {7}{2}}}{7}}={\frac {2}{7}}=0.285714285,$

arba galbūt net taip: $V=\int _{0}^{1}{\sqrt {y}}\cdot y^{2}\cdot y\;dy,$ arba taip: $V=\int _{0}^{1}{\sqrt {y}}\cdot y^{2}\cdot {\sqrt {y}}\;dy.$ Bent jau elipsinio paraboloido, tokio kaip ${\frac {x^{2}}{10000}}+y^{2}=z$ (x turi būti 100, kai y=0, kad z būtų lygus 1), pakeitimu, šiame uždavinyje, tūris turėtų būti $V=\int _{0}^{1}{\sqrt {y}}\cdot y^{2}\;dy.$

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $y=x^{2}$, $y=1,$ $z=0$, $z=x^{2}+y^{2}$ (pav. 379).

$V=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{\sqrt {y}}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{x^{2}+y^{2}}{\mathsf {d}}z=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{\sqrt {y}}{\mathsf {d}}x\;z|_{0}^{x^{2}+y^{2}}=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{\sqrt {y}}((x^{2}+y^{2})-0){\mathsf {d}}x=$

$=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{\sqrt {y}}(x^{2}+y^{2}){\mathsf {d}}x=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}y\;({\frac {x^{3}}{3}}+y^{2}x)|_{0}^{\sqrt {y}}=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}y\;[({\frac {({\sqrt {y}})^{3}}{3}}+y^{2}{\sqrt {y}})-({\frac {0^{3}}{3}}+y^{2}\cdot 0)]=$

$=\int _{0}^{1}[{\frac {y^{3 \over 2}}{3}}+y^{5 \over 2}]{\mathsf {d}}y=\left({\frac {y^{{\frac {3}{2}}+1}}{3({\frac {3}{2}}+1)}}+{\frac {y^{{\frac {5}{2}}+1}}{{\frac {5}{2}}+1}}\right)|_{0}^{1}=\left({\frac {y^{\frac {5}{2}}}{3\cdot {\frac {5}{2}}}}+{\frac {y^{\frac {7}{2}}}{\frac {5+2}{2}}}\right)|_{0}^{1}=\left({\frac {2y^{\frac {5}{2}}}{15}}+{\frac {2y^{\frac {7}{2}}}{7}}\right)|_{0}^{1}=$

$=\left({\frac {2\cdot 1^{\frac {5}{2}}}{15}}+{\frac {2\cdot 1^{\frac {7}{2}}}{7}}\right)-\left({\frac {2\cdot 0^{\frac {5}{2}}}{15}}+{\frac {2\cdot 0^{\frac {7}{2}}}{7}}\right)={\frac {2}{15}}+{\frac {2}{7}}={\frac {2\cdot 7+2\cdot 15}{15\cdot 7}}={\frac {14+30}{105}}={\frac {44}{105}}=0.419047619.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $y=x^{2}$ (parabolė ant plokštumos xOy), $y=9,$ $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas).

$V=\int _{0}^{3}{\mathsf {d}}x\int _{x^{2}}^{9}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{x^{2}+y^{2}}{\mathsf {d}}z=\int _{0}^{3}{\mathsf {d}}x\int _{x^{2}}^{9}{\mathsf {d}}y\;z|_{0}^{x^{2}+y^{2}}=\int _{0}^{3}{\mathsf {d}}x\int _{x^{2}}^{9}((x^{2}+y^{2})-0){\mathsf {d}}y=$

$=\int _{0}^{3}{\mathsf {d}}x\int _{x^{2}}^{9}(x^{2}+y^{2}){\mathsf {d}}y=\int _{0}^{3}{\mathsf {d}}x\;(x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}})|_{x^{2}}^{9}=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\;[(x^{2}\cdot 9+{\frac {9^{3}}{3}})-(x^{2}\cdot x^{2}+{\frac {(x^{2})^{3}}{3}})]=$

$=\int _{0}^{3}[9x^{2}+{\frac {729}{3}}-x^{4}-{\frac {x^{6}}{3}}]{\mathsf {d}}x=\left({\frac {9x^{3}}{3}}+{\frac {729x}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{3\cdot 7}}\right)|_{0}^{3}=\left({\frac {9\cdot 3^{3}}{3}}+{\frac {729\cdot 3}{3}}-{\frac {3^{5}}{5}}-{\frac {3^{7}}{21}}\right)-\left({\frac {9\cdot 0^{3}}{3}}+{\frac {729\cdot 0}{3}}-{\frac {0^{5}}{5}}-{\frac {0^{7}}{21}}\right)=$

$=\left(9\cdot 9+729-{\frac {243}{5}}-{\frac {2187}{21}}\right)=81+729-{\frac {243}{5}}-{\frac {729}{7}}=810-{\frac {243}{5}}-{\frac {729}{7}}={\frac {810\cdot 5\cdot 7-243\cdot 7-729\cdot 5}{5\cdot 7}}=$

$={\frac {28350-1701-3645}{35}}={\frac {23004}{35}}=657.2571429.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $y=x^{2}$, $y=9,$ $z=0$, $z=x^{2}+y^{2}$.

$V=\int _{0}^{9}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{\sqrt {y}}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{x^{2}+y^{2}}{\mathsf {d}}z=\int _{0}^{9}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{\sqrt {y}}{\mathsf {d}}x\;z|_{0}^{x^{2}+y^{2}}=\int _{0}^{9}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{\sqrt {y}}((x^{2}+y^{2})-0){\mathsf {d}}x=$

$=\int _{0}^{9}{\mathsf {d}}y\int _{0}^{\sqrt {y}}(x^{2}+y^{2}){\mathsf {d}}x=\int _{0}^{9}{\mathsf {d}}y\;({\frac {x^{3}}{3}}+y^{2}x)|_{0}^{\sqrt {y}}=\int _{0}^{9}{\mathsf {d}}y\;[({\frac {({\sqrt {y}})^{3}}{3}}+y^{2}{\sqrt {y}})-({\frac {0^{3}}{3}}+y^{2}\cdot 0)]=$

$=\int _{0}^{9}[{\frac {y^{3 \over 2}}{3}}+y^{5 \over 2}]{\mathsf {d}}y=\left({\frac {y^{{\frac {3}{2}}+1}}{3({\frac {3}{2}}+1)}}+{\frac {y^{{\frac {5}{2}}+1}}{{\frac {5}{2}}+1}}\right)|_{0}^{9}=\left({\frac {y^{\frac {5}{2}}}{3\cdot {\frac {5}{2}}}}+{\frac {y^{\frac {7}{2}}}{\frac {5+2}{2}}}\right)|_{0}^{9}=\left({\frac {2y^{\frac {5}{2}}}{15}}+{\frac {2y^{\frac {7}{2}}}{7}}\right)|_{0}^{9}=$

$=\left({\frac {2\cdot 9^{\frac {5}{2}}}{15}}+{\frac {2\cdot 9^{\frac {7}{2}}}{7}}\right)-\left({\frac {2\cdot 0^{\frac {5}{2}}}{15}}+{\frac {2\cdot 0^{\frac {7}{2}}}{7}}\right)={\frac {2{\sqrt {59049}}}{15}}+{\frac {2{\sqrt {4782969}}}{7}}={\frac {2\cdot 243}{15}}+{\frac {2\cdot 2187}{7}}={\frac {486}{15}}+{\frac {4374}{7}}=$

$={\frac {486\cdot 7+4374\cdot 15}{15\cdot 7}}={\frac {3402+65610}{105}}={\frac {69012}{105}}={\frac {23004}{35}}=657.2571429.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.

Vaizdas:Integral379380.jpg

380.

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, išpjaunamą iš begalinės prizmės su kraštais $x=\pm 1,\;y=\pm 1$ paraboloidais $x^{2}+y^{2}=4-z,$ $x^{2}+y^{2}=4(z+2)$ (pav. 380).

$z_{1}=4-x^{2}-y^{2},$ $z_{2}={\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}-2.$ Kai reikšmės x ir y yra 0, tai $z_{1}=4$, $z_{2}=-2,$ šie taškai ir yra aukščiausias ir žemiausias taškai.

$V=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}y\int _{{\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}-2}^{4-x^{2}-y^{2}}{\mathsf {d}}z=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}y\;z|_{{\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}-2}^{4-x^{2}-y^{2}}=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{1}[(4-x^{2}-y^{2})-({\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}-2)]{\mathsf {d}}y=$

$=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{1}(6-x^{2}-y^{2}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}){\mathsf {d}}y=\int _{0}^{1}{\mathsf {d}}x(6y-x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}y}{4}}-{\frac {y^{3}}{4\cdot 3}})|_{0}^{1}=\int _{0}^{1}(6\cdot 1-x^{2}\cdot 1-{\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}\cdot 1}{4}}-{\frac {1^{3}}{12}}){\mathsf {d}}x=$

$=\int _{0}^{1}(6-x^{2}-{\frac {1}{3}}-{\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {1}{12}}){\mathsf {d}}x=\int _{0}^{1}({\frac {6\cdot 12-1\cdot 4-1}{12}}-x^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}){\mathsf {d}}x=\int _{0}^{1}({\frac {72-4-1}{12}}-x^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}){\mathsf {d}}x=$

$=\int _{0}^{1}({\frac {67}{12}}-x^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}){\mathsf {d}}x=({\frac {67x}{12}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{3}}{4\cdot 3}})|_{0}^{1}={\frac {67\cdot 1}{12}}-{\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {1^{3}}{12}}={\frac {67-4-1}{12}}={\frac {67-5}{12}}={\frac {62}{12}}={\frac {31}{6}}=5.166666667.$

Kad gauti tūrį visuose 8-iuose oktantuose, reikia ${\frac {31}{6}}$ padauginti iš 4.

Palyginimui, stačiakampio gretasienio tūris, kurio kraštinės a=1, b=1, c=6 yra lygus $V_{big}=1\cdot 1\cdot 6=6.$

Paraboloidas.

• Pavyzdis. Kūną riboja plokštuma xOy, cilindrinis paviršius $x^{2}+y^{2}=1$ ir paraboloidas $z=x^{2}+y^{2}.$ Praboloidas su cilindriniu paviršiumi susikerta, kai $z=1$ Apskaičiuosime to kūno tūrį.

Sprendimas. Kadangi kūnas yra simetriškas koordinačių plokštumų xOz ir yOz atžvilgiu, tai apskaičiuosime tik jo ketvirtadalio, esančio pirmajame oktante tūrį. Taigi

$V=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}dy\int _{0}^{x^{2}+y^{2}}dz=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}(x^{2}+y^{2})dy=\int _{0}^{1}dx(x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}})|_{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}=$

$=\int _{0}^{1}(x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}+{\frac {({\sqrt {1-x^{2}}})^{3}}{3}})dx=\int _{0}^{\pi \over 2}(\sin ^{2}(t){\sqrt {1-\sin ^{2}t}}+{\frac {({\sqrt {1-\sin ^{2}t}})^{3}}{3}})\cos(t)\;dt=$

$=\int _{0}^{\pi \over 2}(\sin ^{2}(t){\sqrt {\cos ^{2}t}}+{\frac {({\sqrt {\cos ^{2}t}})^{3}}{3}})\cos(t)\;dt=\int _{0}^{\pi \over 2}(\sin ^{2}(t)\cos t+{\frac {1}{3}}\cos ^{3}t)\cos(t)\;dt=\int _{0}^{\pi \over 2}(\sin ^{2}(t)\cos ^{2}t+{\frac {1}{3}}\cos ^{4}t)\;dt=$

$=\int _{0}^{\pi \over 2}((1-\cos ^{2}t)\cos ^{2}t+{\frac {1}{3}}\cos ^{4}t)\;dt=\int _{0}^{\pi \over 2}(\cos ^{2}t-\cos ^{4}t+{\frac {1}{3}}\cos ^{4}t)\;dt=\int _{0}^{\pi \over 2}(\cos ^{2}t-{\frac {2}{3}}\cos ^{4}t)\;dt=$

$=\int _{0}^{\pi \over 2}({\frac {\cos(2t)+1}{2}}-{\frac {2}{3}}\cdot {\cos(4t)+4\cos(2t)+3 \over 8})\;dt=({\frac {{\frac {1}{2}}\sin(2t)+t}{2}}-{\frac {2}{3}}\cdot {{\frac {1}{4}}\sin(4t)+2\sin(2t)+3t \over 8})|_{0}^{\pi \over 2}=$

$=({\frac {{\frac {1}{2}}\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+{\frac {\pi }{2}}}{2}}-{\frac {2}{3}}\cdot {{\frac {1}{4}}\sin(4\cdot {\frac {\pi }{2}})+2\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+3\cdot {\frac {\pi }{2}} \over 8})-({\frac {{\frac {1}{2}}\sin(2\cdot 0)+0}{2}}-{\frac {2}{3}}\cdot {{\frac {1}{4}}\sin(4\cdot 0)+2\sin(2\cdot 0)+3\cdot 0 \over 8})=$

$=({\frac {\sin \pi +\pi }{4}}-2\cdot {{\frac {1}{4}}\sin(2\pi )+2\sin(\pi )+{\frac {3\pi }{2}} \over 24})-({\frac {{\frac {1}{2}}\sin(0)}{2}}-{\frac {2}{24}}\cdot ({\frac {1}{4}}\sin(0)+2\sin(0)+0))=$

$=({\frac {0+\pi }{4}}-2\cdot {{\frac {1}{4}}\cdot 0+2\cdot 0+{\frac {3\pi }{2}} \over 24})-0={\frac {\pi }{4}}-{{\frac {3\pi }{2}} \over 12}={\frac {\pi }{4}}-{\frac {3\pi }{24}}={\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{8}}={\frac {\pi }{8}}=0.392699081.$

kur $x=\sin t,$ kai $x=0$, tada $t=0$ ir kai $x=1$, tada $t={\frac {\pi }{2}},$ $dx=\cos(t)dt;$ $\cos ^{2}A={\frac {\cos(2A)+1}{2}},\quad \cos ^{4}A={\cos(4A)+4\cos(2A)+3 \over 8}.$

Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:

$V=\int _{0}^{\pi \over 2}(\cos ^{2}t-{\frac {2}{3}}\cos ^{4}t)\;dt={\frac {(2-1)!!}{2!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}-{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {(4-1)!!}{4!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {1!!}{2!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {3!!}{4!!}}\cdot \pi ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {3}{4\cdot 2}}\cdot \pi ={\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{8}}\cdot \pi ={\frac {\pi }{8}}.$

Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš 4.

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, išpjaunamą iš begalinės prizmės su kraštais $x=\pm 1,\;y=\pm 1$ paraboloidu $z=2-x^{2}-y^{2}.$

$V=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{2-x^{2}-y^{2}}dz=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}(2-x^{2}-y^{2})dy=\int _{0}^{1}dx\;(2y-x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}})|_{0}^{1}=$

$=\int _{0}^{1}(2-x^{2}-{\frac {1}{3}})dx=(2x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x}{3}})|_{0}^{1}=2-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}=2-{\frac {2}{3}}={\frac {6-2}{3}}={\frac {4}{3}}=1.3(3).$

Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus $V_{4}=4\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {16}{3}}=5.3(3).$

Tūris esanti virš tūrio, kurį radome ir apribotas plokštuma $z=2$ yra

$V_{vir}=a\cdot b\cdot c-V_{4}=2\cdot 2\cdot 2-{\frac {16}{3}}=8-{\frac {16}{3}}={\frac {8}{3}}=2.6(6).$

• Rasime kūno tūrį V, esantį po paraboloidu $z=x^{2}+y^{2}$ ir apribotą begalinės prizmės (stačiakampio gretasienio kurio aukšis begalinis) su kraštinėmis $x=1,\;y=1$.

$V=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{x^{2}+y^{2}}dz=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\;z|_{0}^{x^{2}+y^{2}}=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}((x^{2}+y^{2})-0)dy=$

$=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}(x^{2}+y^{2})dy=\int _{0}^{1}dx(x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}})|_{0}^{1}=\int _{0}^{1}(x^{2}\cdot 1+{\frac {1^{3}}{3}})dx=({\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x}{3}})|_{0}^{1}=1-{\frac {1^{3}}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}=0.6(6).$

Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus $V_{4}=4\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {8}{3}}=2.66666667.$

Trilypis integralas cilindrinėje koordinačių sistemoje

Su stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis cilindrines koordinates sieja formulės $x=\rho \cos \phi ,\;y=\rho \sin \phi ,\;z=z.$ $\iiint _{V}f(x,y,z)dxdydz=\iiint _{V}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho d\rho d\phi dz.$ Kadangi kūno tūris $V=\iiint _{V}dxdydz,$ tai cilindrinėje koordinačių sistemoje jis išreiškiamas formule $V=\iiint _{V}\rho d\rho d\phi dz.$

Pavyzdžiai

• Kūną V riboja paviršiai $x^{2}+y^{2}=x,$ $x^{2}+y^{2}=2x,$ $z=4-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$ z=0. Apskaičiuokime to kūno tūrį.

Kūnas V iš šonų apribotas dviejų cilindrų, kurių sudaromosios lygiagrečios ašiai Oz, o vedamosios - apskritimai $x^{2}+y^{2}=x$ ir $x^{2}+y^{2}=2x.$ Iš apačios kūną riboja plokštuma z=0, iš viršaus - kūgis $z=4-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$ kurio viršūnė yra taške (0; 0; 4) o sudaromosios nukreiptos žemyn. Kadangi kūnas yra simetriškas plokštumos xOy atžvilgiu, tai apskaičiuosime ${1 \over 2}$ to kūno tūrio. Integravimo sritis D, t. y. kūno prjokecija plokštumoje xOy. Cilindrinėje koordinačių sistemoje apskritimų lygtys yra $\rho =\cos \phi$ ir $\rho =2\cos \phi ,$ o kūgio lygtis yra $z=4-\rho .$ Figūra D gaunama, kai kampas $\phi$ kinta nuo 0 iki ${\pi \over 2},$ o dydis $\rho$ - nuo $\cos \phi$ iki $2\cos \phi .$ Todėl, pritaikę formulę, gauname $V=2\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{\cos \phi }^{2\cos \phi }\rho d\rho \int _{0}^{4-\rho }dz=2\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{\cos \phi }^{2\cos \phi }\rho z|_{0}^{4-\rho }d\rho =2\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{\cos \phi }^{2\cos \phi }(4\rho -\rho ^{2})d\rho =$ $=2\int _{0}^{\pi \over 2}(2\rho ^{2}-{\rho ^{3} \over 3})|_{\cos \phi }^{2\cos \phi }d\phi =2\int _{0}^{\pi \over 2}(6\cos ^{2}\phi -{7 \over 3}\cos ^{3}\phi )d\phi =12\cdot {1 \over 2}\cdot {\pi \over 2}-{14 \over 3}\cdot {2!! \over 3!!}=3\pi -{28 \over 9}.$ Kur du šauktukai dvigubas faktorialas.

• Kūną V riboja viršutinė sferos $z={\sqrt {6-x^{2}-y^{2}}}$ dalis ir paraboloidas $z=x^{2}+y^{2}.$ Apskaičiuokime kūno tūrį.

Kadangi kūnas yra simteriškas plokštumų xOz ir yOz atžvilgiu, tai apskaičiuosime ${1 \over 4}$ jo tūrio. Norėdami rasti sritį D, turime suprojektuoti į plokštumą xOy sferos paraboloido susikirtimo kreivę, kurios lygtį gausime išsprendę jų lygčių sistemą. Į lygtį $z={\sqrt {6-x^{2}-y^{2}}}$ vietoje z įrašome reiškinį $x^{2}+y^{2}.$ Gauname lygtį

$x^{2}+y^{2}={\sqrt {6-x^{2}-y^{2}}};$

$r={\sqrt {6-r}};$

$r^{2}+r-6=0.$

$D=b^{2}-4ac=1-4(-6)=25;$

$r_{1;2}={-b\pm {\sqrt {D}} \over 2a}={-1\pm 5 \over 2}=-3;2.$

Iš čia $r=\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=2.$ Šiuo atveju r yra susikirtimo parabaloido ir pusapskritimo koordinate z, o kadangi parabolės projekcija į plokštumą xOz yra nusakoma formule $z=x^{2},$ tai, kai $z=r=2=x^{2}$ (arba $z=r=2=y^{2}$), tada $x={\sqrt {r}}={\sqrt {2}},$ kaip parodyta paveiksliuke.

Taigi viso kūno tūris $V=4\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{\sqrt {2}}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{\sqrt {6-\rho }}dz=4\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{\sqrt {2}}(\rho {\sqrt {6-\rho ^{2}}}-\rho ^{3})d\rho =$ $=4\int _{0}^{\pi \over 2}(-{{\sqrt {(6-\rho ^{2})^{3}}} \over 3}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{\sqrt {2}}d\phi =-4\int _{0}^{\pi \over 2}[({{\sqrt {(6-2)^{3}}} \over 3}+{4 \over 4})-({{\sqrt {(6-0)^{3}}} \over 3}+{0 \over 4})]d\phi =$ $=-4\int _{0}^{\pi \over 2}[({{\sqrt {64}} \over 3}+1)-{{\sqrt {216}} \over 3}]d\phi =-4\int _{0}^{\pi \over 2}[({8 \over 3}+1)-{6{\sqrt {6}} \over 3}]d\phi ={4 \over 3}(6{\sqrt {6}}-11)\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi ={4\pi \over 6}(6{\sqrt {6}}-11).$

Integralas integruojamas taip:

$\int \rho {\sqrt {6-\rho ^{2}}}d\rho =\int \rho {\sqrt {6-\rho ^{2}}}{d(6-\rho ^{2}) \over -2\rho }=-{1 \over 2}\int {\sqrt {6-\rho ^{2}}}d(6-\rho ^{2})=-{1 \over 2}\cdot {(6-\rho ^{2})^{{1 \over 2}+1} \over {1 \over 2}+1}+C=$ $=-{1 \over 2}\cdot {(6-\rho ^{2})^{3 \over 2} \over {3 \over 2}}+C=-{{\sqrt {(6-\rho ^{2})^{3}}} \over 3}+C,$ nes $d(6-\rho ^{2})=-2\rho d\rho ,$ todėl $d\rho ={d(6-\rho ^{2}) \over -2\rho }.$

• Apskaičiuosime tūrį kūno V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=z,$ z=1, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=1. Pažymėsime per T erdvės sritį $\rho \phi z,$ apribota paviršiais $\rho ^{2}=z,$ $z=1,$ $\phi =0,$ $\phi =2\pi .$ Todėl

$V=\iiint _{V}dxdydz=\iiint _{T}\rho d\rho d\phi dz=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{1}dz=$ $=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}\rho (1-\rho ^{2})d\rho =\int _{0}^{2\pi }({\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{1}d\phi =\int _{0}^{2\pi }{1 \over 4}d\phi ={\pi \over 2}.$

• Apskaičiuosime tūrį kūno V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=z,$ z=100, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=100. Pažymėsime per T erdvės sritį $\rho \phi z,$ apribota paviršiais $\rho ^{2}=z,$ $z=100,$ $\phi =0,$ $\phi =2\pi .$ Maksimalus spindulys $\rho =10$. Todėl

$V=\iiint _{V}dxdydz=\iiint _{T}\rho d\rho d\phi dz=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{10}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{100}dz=$ $=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{10}\rho (100-\rho ^{2})d\rho =\int _{0}^{2\pi }({100\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{10}d\phi =\int _{0}^{2\pi }(50\cdot 10^{2}-{10^{4} \over 4})d\phi =$ $=\int _{0}^{2\pi }(5000-2500)d\phi =2500\int _{0}^{2\pi }d\phi =5000\pi .$

• Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą $I=\int _{V}\;{\mathsf {d}}V,$ paplitusi per tūrį, apribotą plokštumomis xOy ir xOz, cilindru $x^{2}+y^{2}=ax$ ir sfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.$ Kadangi $f=1$, integralas skaičiavimu lygus tūriui duoto kūno. Trumpiau tariant, rasime tūrį kūno apriboto išvardintų paviršių.

Sprendimas. Pereidami į cilindrinę koordinačių sistemą, gauname $z_{1}=0$, $z_{2}={\sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}={\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}};$ $\rho _{1}=0,$ $\rho _{2}=a\cos \phi ,$ nes $x^{2}+y^{2}=\rho ^{2},$ o $ax=a\rho \cos \phi ;$ $\phi _{1}=0,$ $\phi _{2}={\frac {\pi }{2}}.$ Randame kūno tūrį:

$V=I=\int _{0}^{\pi \over 2}\int _{0}^{a\cos \phi }\int _{0}^{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\rho {\mathsf {d}}z{\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}\phi =$

$=\int _{0}^{\pi \over 2}\left[\int _{0}^{a\cos \phi }\left(\int _{0}^{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\rho {\mathsf {d}}z\right){\mathsf {d}}\rho \right]{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\pi \over 2}\left[\int _{0}^{a\cos \phi }\left(z|_{0}^{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\rho \right){\mathsf {d}}\rho \right]{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\pi \over 2}\left[\int _{0}^{a\cos \phi }\left(({\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}-0)\rho \right){\mathsf {d}}\rho \right]{\mathsf {d}}\phi =$

$=\int _{0}^{\pi \over 2}\left[\int _{0}^{a\cos \phi }\rho {\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\,{\mathsf {d}}\rho \right]{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\pi \over 2}\left[\int _{0}^{a\cos \phi }\rho {\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\,{\frac {{\mathsf {d}}(a^{2}-\rho ^{2})}{-2\rho }}\right]{\mathsf {d}}\phi =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[\int _{0}^{a\cos \phi }{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\,{\mathsf {d}}(a^{2}-\rho ^{2})\right]{\mathsf {d}}\phi =$

$=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[{\frac {(a^{2}-\rho ^{2})^{3 \over 2}}{3 \over 2}}|_{0}^{a\cos \phi }\right]{\mathsf {d}}\phi =-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot \int _{0}^{\pi \over 2}\left[{\sqrt {(a^{2}-(a\cos \phi )^{2})^{3}}}-{\sqrt {(a^{2}-0^{2})^{3}}}\right]{\mathsf {d}}\phi =-{\frac {1}{3}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[{\sqrt {(a^{2}(1-\cos ^{2}\phi ))^{3}}}-{\sqrt {a^{6}}}\right]{\mathsf {d}}\phi =$

$=-{\frac {1}{3}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[{\sqrt {a^{6}(1-\cos ^{2}\phi )^{3}}}-a^{3}\right]{\mathsf {d}}\phi =-{\frac {1}{3}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[a^{3}{\sqrt {(\sin ^{2}\phi )^{3}}}-a^{3}\right]{\mathsf {d}}\phi =-{\frac {1}{3}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[a^{3}\sin ^{3}\phi -a^{3}\right]{\mathsf {d}}\phi =-{\frac {a^{3}}{3}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[\sin ^{3}\phi -1\right]{\mathsf {d}}\phi =$

$=-{\frac {a^{3}}{3}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[\sin ^{3}\phi -1\right]{\mathsf {d}}\phi =-{\frac {a^{3}}{3}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[{\frac {1}{4}}(3\sin \phi -\sin(3\phi ))-1\right]{\mathsf {d}}\phi =-{\frac {a^{3}}{12}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[3\sin \phi -\sin(3\phi )-4\right]{\mathsf {d}}\phi =$

$=-{\frac {a^{3}}{12}}\left[-3\cos \phi +{\frac {\cos(3\phi )}{3}}-4\phi \right]|_{0}^{\pi \over 2}=-{\frac {a^{3}}{12}}\left[-3\cos {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\cos(3\cdot {\frac {\pi }{2}})}{3}}-4\cdot {\frac {\pi }{2}}-(-3\cos 0+{\frac {\cos(3\cdot 0)}{3}}-4\cdot 0)\right]=$

$=-{\frac {a^{3}}{12}}\left[-3\cdot 0+{\frac {0}{3}}-2\pi -(-3\cdot 1+{\frac {1}{3}})\right]=-{\frac {a^{3}}{12}}\left[-2\pi +3-{\frac {1}{3}}\right]=-{\frac {a^{3}}{12}}\cdot {\frac {-6\pi +9-1}{3}}=-{\frac {a^{3}}{12}}\cdot {\frac {-6\pi +8}{3}}=$

$={\frac {a^{3}}{12}}\cdot {\frac {6\pi -8}{3}}={\frac {a^{3}(6\pi -8)}{36}}={\frac {a^{3}(3\pi -4)}{18}}=0.301376553\cdot a^{3}.$

čia ${\mathsf {d}}(a^{2}-\rho ^{2})=-2\rho \,{\mathsf {d}}\rho ,\;\;{\mathsf {d}}\rho ={\frac {{\mathsf {d}}(a^{2}-\rho ^{2})}{-2\rho }};\quad \sin(3A)=3\sin A-4\sin ^{3}A,\;\;\sin ^{3}A={\frac {1}{4}}(3\sin A-\sin(3A)).$

Kai $a=3$, tada $V=0.301376553\cdot a^{3}=0.301376553\cdot 3^{3}=8.137166941.$

Kad įsivaizduoti kaip atrodo kūnas, galima pasakyti, kad sferos centras yra (0; 0; 0), o sferos sindulys $R=a$. Na, o cilindro pagrindas yra padalintas per pusę ašimi Ox. Cilindro [pagrindo] spindulys $r={\frac {a}{2}}$, o cilindro skersmuo $d=a$. Cilindro pagrindas yra tik ant ašies Ox ir vienas jo pagrindo kraštas liečiasi su koordinačiu pradžios tašku O, o kitas liečiasi su tašku a ant Ox ašies. Sfera, kurios lygtis, priminimui, yra $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ gaubia iš viršaus, o iš šono apriboja kūną cilindras.

Žinodami cilindro tūrio formulę $V_{cil}=\pi r^{2}h\,,$ palyginsime ar gautas atsakymas neprasilenkia su elementaria logika. Mes surasime pusė cilindro tūrio, nes integravimas vyko pirmame oktante (oktantas yra 1/8 rutulio tūrio). Cilindro spindulys yra r=a/2=3/2=1.5, o cilindro aukštinė h=a=3. Randame palyginąmąjį tūrį:

$V\approx {\frac {V_{cil}}{2}}={\frac {\pi r^{2}h}{2}}={\frac {\pi ({\frac {a}{2}})^{2}h}{2}}={\frac {\pi ({\frac {3}{2}})^{2}\cdot 3}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {9}{4}}\cdot 3\pi ={\frac {27\pi }{8}}=3.375\pi =10.60287521.$

Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:

$V=-{\frac {a^{3}}{3}}\int _{0}^{\pi \over 2}\left[\sin ^{3}\phi -1\right]{\mathsf {d}}\phi =-{\frac {a^{3}}{3}}(\int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{3}\phi \;{\mathsf {d}}\phi -\int _{0}^{\pi \over 2}{\mathsf {d}}\phi )=-{\frac {a^{3}}{3}}({\frac {(3-1)!!}{3!!}}-({\pi \over 2}-0))=$

$=-{\frac {a^{3}}{3}}({\frac {2!!}{3!!}}-{\pi \over 2})=-{\frac {a^{3}}{3}}({\frac {2}{3}}-{\pi \over 2})={\frac {a^{3}}{3}}({\pi \over 2}-{\frac {2}{3}})={\frac {3^{3}}{3}}({\pi \over 2}-{\frac {2}{3}})=9\cdot 0.90412966=8.13716694.$

Pasinaudodami analitiniu mąstymu, pabandysime parodyti, kad tūris rastas teisingai. Apskritimo spindulys R=3, todėl ketvirtadalis skritulio ploto yra

$S_{skr}={\frac {\pi R^{2}}{4}}={\frac {\pi \cdot 3^{2}}{4}}={\frac {9\pi }{4}}=2.25\pi =7.068583471.$ O kvadrato, kurio kraštinė a=3, plotas yra $S_{kv}=a^{2}=3^{2}=9.$

Dabar randame kvadrato ir 1/4 skritulio santykį:

${\frac {S_{kv}}{S_{skr}}}={\frac {9}{{\frac {9}{4}}\cdot \pi }}={\frac {4}{\pi }}=1.273239545.$

Akivaizdu, kad padalinus visą cilindro tūrį iš tūrio, kurį riboja cilindras ir sfera, turėtume gautį santykį didesnį nei kvadrato ir ketvirtadalio skritulio, o santykis yra:

${\frac {\frac {V_{cil}}{2}}{V}}={\frac {10.60287521}{8.137166941}}=1.303018027.$

Taip ir yra, tolstant nuo Ox ašies, z reikšmės mažėja, kas ir užtikrina didesnį santykį.

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=y$ (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 0.5), o spindulys r=1/2), $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas).

Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį $\rho ^{2}=\rho \sin \phi ,$ $\rho =\sin \phi .$ Paraboloido lygtis tampa tokia: $z=\rho ^{2}.$ Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl $\phi$ kinta nuo 0 iki ${\frac {\pi }{2}}.$

$V=\iiint _{V}{\mathsf {d}}x{\mathsf {d}}y{\mathsf {d}}z=\iiint _{V}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\sin \phi }\int _{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\sin \phi }z|_{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =$

$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\sin \phi }\rho (\rho ^{2}-0){\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\sin \phi }\rho ^{3}{\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{\sin \phi }{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {\sin ^{4}\phi }{4}}-{\frac {0^{4}}{4}}){\mathsf {d}}\phi =$

$={\frac {1}{4}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi ={\frac {1}{4}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\cos(4\phi )-4\cos(2\phi )+3 \over 8}{\mathsf {d}}\phi ={\frac {1}{32}}({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\phi )-2\sin(2\phi )+3\phi )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$

$={\frac {1}{32}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot {\frac {\pi }{2}})-2\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+3\cdot {\frac {\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot 0)-2\sin(2\cdot 0)+3\cdot 0)]=$

$={\frac {1}{32}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(2\pi )-2\sin(\pi )+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(0)-2\sin(0))]=$

$={\frac {1}{32}}[({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0)]={\frac {1}{32}}\cdot {\frac {3\pi }{2}}={\frac {3\pi }{64}}=0.147262155.$

kur $\sin ^{4}A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3 \over 8}.$

Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:

$V={\frac {1}{4}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi ={\frac {1}{4}}\cdot {(4-1)!! \over 4!!}\cdot {\pi \over 2}={\frac {1}{4}}\cdot {3!! \over 4!!}\cdot {\pi \over 2}={\frac {1}{4}}\cdot {3\cdot 1 \over 4\cdot 2}\cdot {\pi \over 2}={\frac {1}{4}}\cdot {3 \over 8}\cdot {\pi \over 2}={\frac {3\pi }{64}}=0.147262155.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį ${\frac {3\pi }{64}}$ padauginti iš 2.

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=x$ (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0.5; 0), o spindulys r=1/2), $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas).

Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį $\rho ^{2}=\rho \cos \phi ,$ $\rho =\cos \phi .$ Paraboloido lygtis tampa tokia: $z=\rho ^{2}.$ Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl $\phi$ kinta nuo 0 iki ${\frac {\pi }{2}}.$

$V=\iiint _{V}{\mathsf {d}}x{\mathsf {d}}y{\mathsf {d}}z=\iiint _{V}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\cos \phi }\int _{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\cos \phi }z|_{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =$

$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\cos \phi }\rho (\rho ^{2}-0){\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\cos \phi }\rho ^{3}{\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{\cos \phi }{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {\cos ^{4}\phi }{4}}-{\frac {0^{4}}{4}}){\mathsf {d}}\phi =$

$={\frac {1}{4}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi ={\frac {1}{4}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\cos(4\phi )+4\cos(2\phi )+3 \over 8}{\mathsf {d}}\phi ={\frac {1}{32}}({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\phi )+2\sin(2\phi )+3\phi )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$

$={\frac {1}{32}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot {\frac {\pi }{2}})+2\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+3\cdot {\frac {\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot 0)+2\sin(2\cdot 0)+3\cdot 0)]=$

$={\frac {1}{32}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(2\pi )+2\sin(\pi )+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(0)+2\sin(0))]=$

$={\frac {1}{32}}[({\frac {1}{4}}\cdot 0+2\cdot 0+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot 0+2\cdot 0)]={\frac {1}{32}}\cdot {\frac {3\pi }{2}}={\frac {3\pi }{64}}=0.147262155.$

kur $\cos ^{4}A={\cos(4A)+4\cos(2A)+3 \over 8}.$

Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:

$V={\frac {1}{4}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi ={\frac {1}{4}}\cdot {(4-1)!! \over 4!!}\cdot {\pi \over 2}={\frac {1}{4}}\cdot {3!! \over 4!!}\cdot {\pi \over 2}={\frac {1}{4}}\cdot {3\cdot 1 \over 4\cdot 2}\cdot {\pi \over 2}={\frac {1}{4}}\cdot {3 \over 8}\cdot {\pi \over 2}={\frac {3\pi }{64}}=0.147262155.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį ${\frac {3\pi }{64}}$ padauginti iš 2.

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=2y$ (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 1), o spindulys r=1), $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas).

Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį $\rho ^{2}=2\rho \sin \phi ,$ $\rho =2\sin \phi .$ Paraboloido lygtis tampa tokia: $z=\rho ^{2}.$ Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl $\phi$ kinta nuo 0 iki ${\frac {\pi }{2}}.$

$V=\iiint _{V}{\mathsf {d}}x{\mathsf {d}}y{\mathsf {d}}z=\iiint _{V}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{2\sin \phi }\int _{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{2\sin \phi }z|_{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =$

$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{2\sin \phi }\rho (\rho ^{2}-0){\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{2\sin \phi }\rho ^{3}{\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{2\sin \phi }{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {(2\sin \phi )^{4}}{4}}-{\frac {0^{4}}{4}}){\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {16\sin ^{4}\phi }{4}}{\mathsf {d}}\phi =$

$=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi =4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\cos(4\phi )-4\cos(2\phi )+3 \over 8}{\mathsf {d}}\phi ={\frac {1}{2}}({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\phi )-2\sin(2\phi )+3\phi )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$

$={\frac {1}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot {\frac {\pi }{2}})-2\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+3\cdot {\frac {\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot 0)-2\sin(2\cdot 0)+3\cdot 0)]=$

$={\frac {1}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(2\pi )-2\sin(\pi )+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(0)-2\sin(0))]=$

$={\frac {1}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0)]={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3\pi }{2}}={\frac {3\pi }{4}}=2.35619449.$

kur $\sin ^{4}A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3 \over 8}.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį ${\frac {3\pi }{4}}$ padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=1, aukštis $h=2^{2}=4$ yra lygus

$V_{cil1}={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{2}}={\frac {\pi \cdot 1^{2}\cdot 4}{2}}=2\pi =6.283185307.$

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=8y$ (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 4), o spindulys r=4), $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas).

Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį $\rho ^{2}=8\rho \sin \phi ,$ $\rho =8\sin \phi .$ Paraboloido lygtis tampa tokia: $z=\rho ^{2}.$ Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl $\phi$ kinta nuo 0 iki ${\frac {\pi }{2}}.$

$V=\iiint _{V}{\mathsf {d}}x{\mathsf {d}}y{\mathsf {d}}z=\iiint _{V}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{8\sin \phi }\int _{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{8\sin \phi }z|_{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =$

$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{8\sin \phi }\rho (\rho ^{2}-0){\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{8\sin \phi }\rho ^{3}{\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{8\sin \phi }{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {(8\sin \phi )^{4}}{4}}-{\frac {0^{4}}{4}}){\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {4096\sin ^{4}\phi }{4}}{\mathsf {d}}\phi =$

$=1024\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi =1024\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\cos(4\phi )-4\cos(2\phi )+3 \over 8}{\mathsf {d}}\phi =128({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\phi )-2\sin(2\phi )+3\phi )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$

$=128[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot {\frac {\pi }{2}})-2\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+3\cdot {\frac {\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot 0)-2\sin(2\cdot 0)+3\cdot 0)]=$

$=128[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(2\pi )-2\sin(\pi )+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(0)-2\sin(0))]=$

$=128[({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0)]=128\cdot {\frac {3\pi }{2}}=192\pi =603.1857895.$

kur $\sin ^{4}A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3 \over 8}.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį $192\pi$ padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=4, aukštis $h=8^{2}=64$ yra lygus

$V_{cil1}={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{2}}={\frac {\pi \cdot 4^{2}\cdot 64}{2}}={\frac {\pi \cdot 16\cdot 64}{2}}=\pi \cdot 16\cdot 32=512\pi =1608.495439.$

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=9y$ (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 4.5), o spindulys r=9/2), $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas).

Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį $\rho ^{2}=9\rho \sin \phi ,$ $\rho =9\sin \phi .$ Paraboloido lygtis tampa tokia: $z=\rho ^{2}.$ Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl $\phi$ kinta nuo 0 iki ${\frac {\pi }{2}}.$

$V=\iiint _{V}{\mathsf {d}}x{\mathsf {d}}y{\mathsf {d}}z=\iiint _{V}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{9\sin \phi }\int _{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{9\sin \phi }z|_{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =$

$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{9\sin \phi }\rho (\rho ^{2}-0){\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{9\sin \phi }\rho ^{3}{\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{9\sin \phi }{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {(9\sin \phi )^{4}}{4}}-{\frac {0^{4}}{4}}){\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {6561\sin ^{4}\phi }{4}}{\mathsf {d}}\phi =$

$={\frac {6561}{4}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi ={\frac {6561}{4}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\cos(4\phi )-4\cos(2\phi )+3 \over 8}{\mathsf {d}}\phi ={\frac {6561}{32}}({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\phi )-2\sin(2\phi )+3\phi )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$

$={\frac {6561}{32}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot {\frac {\pi }{2}})-2\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+3\cdot {\frac {\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot 0)-2\sin(2\cdot 0)+3\cdot 0)]=$

$={\frac {6561}{32}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(2\pi )-2\sin(\pi )+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(0)-2\sin(0))]=$

$={\frac {6561}{32}}[({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0)]={\frac {6561}{32}}\cdot {\frac {3\pi }{2}}={\frac {19683\pi }{64}}=307.546875\pi =966.1870031.$

kur $\sin ^{4}A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3 \over 8}.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį ${\frac {19683\pi }{64}}$ padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=9/2, aukštis $h=9^{2}=81$ yra lygus

$V_{cil1}={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{2}}={\frac {\pi \cdot \left({\frac {9}{2}}\right)^{2}\cdot 81}{2}}={\frac {\pi \cdot {\frac {81}{4}}\cdot 81}{2}}={\frac {\pi \cdot 81\cdot 81}{4\cdot 2}}={\frac {6561\pi }{8}}=820.125\pi =2576.498675.$

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=10y$ (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 5), o spindulys r=5), $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas).

Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį $\rho ^{2}=10\rho \sin \phi ,$ $\rho =10\sin \phi .$ Paraboloido lygtis tampa tokia: $z=\rho ^{2}.$ Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl $\phi$ kinta nuo 0 iki ${\frac {\pi }{2}}.$

$V=\iiint _{V}{\mathsf {d}}x{\mathsf {d}}y{\mathsf {d}}z=\iiint _{V}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{10\sin \phi }\int _{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{10\sin \phi }z|_{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =$

$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{10\sin \phi }\rho (\rho ^{2}-0){\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{10\sin \phi }\rho ^{3}{\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{10\sin \phi }{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {(10\sin \phi )^{4}}{4}}-{\frac {0^{4}}{4}}){\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {10000\sin ^{4}\phi }{4}}{\mathsf {d}}\phi =$

$=2500\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi =2500\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\cos(4\phi )-4\cos(2\phi )+3 \over 8}{\mathsf {d}}\phi ={\frac {625}{2}}({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\phi )-2\sin(2\phi )+3\phi )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$

$={\frac {625}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot {\frac {\pi }{2}})-2\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+3\cdot {\frac {\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot 0)-2\sin(2\cdot 0)+3\cdot 0)]=$

$={\frac {625}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(2\pi )-2\sin(\pi )+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(0)-2\sin(0))]=$

$={\frac {625}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0)]={\frac {625}{2}}\cdot {\frac {3\pi }{2}}={\frac {1875\pi }{4}}=468.75\pi =1472.621556.$

kur $\sin ^{4}A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3 \over 8}.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį ${\frac {1875\pi }{4}}$ padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=5, aukštis $h=10^{2}=100$ yra lygus

$V_{cil1}={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{2}}={\frac {\pi \cdot 5^{2}\cdot 100}{2}}={\frac {\pi \cdot 25\cdot 100}{2}}=\pi \cdot 25\cdot 50=1250\pi =3926.990817.$

Galime pabandyti suprasti ar integravimo budu gautas atsakymas yra teisingas. Kai $x=5$ ir $y=5$, tuomet paraboloido z reikšmė lygi $z=x^{2}+y^{2}=5^{2}+5^{2}=25+25=50.$ O kai $x=0$, $y=10$, tuomet paraboloido z reikšmė yra $z=x^{2}+y^{2}=0^{2}+10^{2}=0+100=100.$ Vadinasi šonuose kažkaip negali būti daugiau, o tiktai didėjant y reikšmei, z reikšmė apskritimo srityje didėja kvadratu. O kai apskritimo srityje y reikšmė mažesnė už 10, tada ir z reikšmė visoje apskritimo ($x^{2}+y^{2}=10y$) srityje yra mažesnės už 100. Taip pat reikia nepamiršti, kad aukščiausiame taške (z=100, y=10, x=0), kur susikerta cilindras su praboloidu, tai nukirtus plokšuma z=100, paraboloido viršų, paraboloido spindulys yra r=10, o centro koordinatės (0; 0), tuo tarpu, apskritimo r=5, o centro koordinatės yra (0; 5). Todėl didesniame apskritime yra mažesnis apskritimas ir todėl to mažesnio apskritimo reikšmės x ir y niekada neduos didesnės z, reikšmės už tą atvejį, kai R=y=10. Cilindru iš praboloido iškerpamas tūris yra tik 2,66667 karto mažesnis už viso cilindro tūrį. Kitaip tariant, jei viso cilindro tūris yra 1, tai tūris, kurį gauname integravimo budu dviejuose oktantuose yra 0.375 visais atvejais. Dar palyginimui, plotas po parabolės $y=x^{2}$ šaka visada lygus 1/3 ploto stačiakampio gretasienio $x\cdot y=x\cdot y^{2}=x\cdot x^{2}.$ O tūris po paraboloidu $z=x^{2}+y^{2}$ visada lygus 1/2 viso cilindro tūrio.

Dar pastebėjimas, kad z reikšmė yra didesnė, kai $x=5$, $y=5$, tada $z=x^{2}+y^{2}=5^{2}+5^{2}=50$, negu, kai $y=5$, $x=0,$ ir tada $z=x^{2}+y^{2}=0^{2}+5^{2}=25$. Todėl ant kraštų apskritimo, kurį dalina pusiau Oy ašis, dominuoja didesnės z reikšmės, negu centre, tačiau didžiausia z reikšmė vis tiek, kai y=10, x=0.

• Pereidami į polinę koordinačių sistemą rasime tūrį po paraboloidu $z=1+x^{2}+y^{2},$ kurį riboja cilindrinis paviršius $x^{2}+y^{2}=1.$

$V=\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{1}\rho d\rho \int _{0}^{1+\rho ^{2}}dz=\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{1}\rho (1+\rho ^{2})d\rho =\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{1}(\rho +\rho ^{3})d\rho =\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi ({\frac {\rho ^{2}}{2}}+{\frac {\rho ^{4}}{4}})|_{0}^{1}=$

$=\int _{0}^{\pi \over 2}({\frac {1^{2}}{2}}+{\frac {1^{4}}{4}})d\phi =({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\phi |_{0}^{\pi \over 2}={\frac {2+1}{4}}\phi |_{0}^{\pi \over 2}={\frac {3}{4}}\cdot {\pi \over 2}={\frac {3\pi }{8}}=1.178097245.$

Šis tūris keturiuose oktantuose yra lygus ${\frac {3\pi }{2}}=4.71238898.$

Trilypio integralo taikymas mechanikoje

Kūno masės centro koordinatės

Kai tam tikros masės tankis lygus $\gamma (x,y,z),$ tai to kūno masės centro koordinatės apskaičiuojamos pagal formules $x_{c}={\iiint _{V}x\gamma (x,y,z)dxdydz \over \iiint _{V}\gamma (x,y,z)dxdydz},\;y_{c}={\iiint _{V}y\gamma (x,y,z)dxdydz \over \iiint _{V}\gamma (x,y,z)dxdydz},\;z_{c}={\iiint _{V}z\gamma (x,y,z)dxdydz \over \iiint _{V}\gamma (x,y,z)dxdydz}.$

Pavyzdžiai

• Kūną riboja paviršiai $z=x^{2}+y^{2}$ ir $z=4.$ Apskaičiuokime to kūno masės centro koordinates, kai $\gamma =const.$

Kadangi kūnas simteriškas plokštumų xOy ir yOz atžvilgiu, tai $x_{c}=y_{c}=0.$ Rasime $z_{c}$ koordinatę. Pagal sąlygą, $\gamma =const,$ todėl iš formulių išplaukia, kad $z_{c}={\iiint _{V}zdzdydz \over \iiint _{V}dxdydz}.$ Integralus apskaičiuosime pakeisdami juos kartotiniais cilindrinėje koordinačių sistemoje. $z_{c}={\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{4}z\;dz \over \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{4}dz}={{1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}(16-\rho ^{4})\rho d\rho \over \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}(4-\rho ^{2})\rho d\rho }=$ $={{1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }(16{\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{6} \over 6})|_{0}^{2}d\phi \over \int _{0}^{2\pi }(4{\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{2}d\phi }={{1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }(32-{32 \over 3})d\phi \over \int _{0}^{2\pi }(8-4)d\phi }={{1 \over 2}\cdot {64 \over 3}\cdot 2\pi \over 4\cdot 2\pi }={8 \over 3}.$

Kūno inercijos momentai

Taško M(x; y; z), kurio masė m, inercijos momentai koordinačių plokštumų xOy, xOz ir yOz atžvilgiu išreiškiami formulėmis

$I_{xOy}=z^{2}m,$ $I_{xOz}=y^{2}m,$ $I_{yOz}=x^{2}m,$

ašių Ox, Oy, Oz atžvilgiu - formulėmis

$I_{xx}=(y^{2}+z^{2})m,$ $I_{yy}=(x^{2}+z^{2})m,$ $I_{zz}=(x^{2}+y^{2})m,$

koordinačių pradžios atžvilgiu - formule

$I_{0}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})m.$

Kūno inercijos momentai išreiškiami atitinkamais trilypiais integralais. Pavyzdžiui, tam tikros masės kūno, kurio tankis $\gamma (x,y,z),$ inercijos momentas plokštumos xOy atžvilgiu apskaičiuojamas pagal formulę

$I_{xOy}=\iiint _{V}z^{2}\gamma (x,y,z)dxdydz,$

ašies Oz atžvilgiu - pagal formulę $I_{zz}=\iiint _{V}(x^{2}+y^{2})\gamma (x,y,z)dxdydz$ ir t. t.

Pavyzdžiai

• Apskaičiuokime kūno, kurį riboja paraboloidas $z=x^{2}+y^{2}$ ir plokštuma $z=4$ (žr. auksčiau pateiktą pavyzdį apie paraboloido masės centro skaičiavimą), inercijos momentą ašies, einančios per jo masės centrą statmenai to paraboloido sukimosi ašiai, atžvilgiu ($\gamma =1$).

Koordinačių ašis parinkime taip, kad jų pradžios taškas sutaptų su paraboloido masės centru, o ašis Ox būtų statmena paraboloido sukimosi ašiai. Tuomet turėsime rasti $I_{xx}$ (arba $I_{yy}$).

Paraboloido lygtis tokioje koordinačių sistemoje yra $z+{8 \over 3}=x^{2}+y^{2},$ o jo projekcija plokštumoje xOy - sritis, apribota apskritimo $x^{2}+y^{2}=4.$ Taikome formulę $I_{xx}=\iiint _{V}(y^{2}+z^{2})dxdydz.$ Tuomet $J_{xx}=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}-8/3}^{4/3}(\rho ^{2}\sin ^{2}\phi +z^{2})dz=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}\rho (z\rho ^{2}\sin ^{2}\phi +{z^{3} \over 3})|_{\rho ^{2}-{8 \over 3}}^{4 \over 3}d\rho =$ $=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}[(4\rho ^{3}-\rho ^{5})\sin ^{2}\phi +{64 \over 9}\rho -{\rho ^{7} \over 3}+{8\rho ^{5} \over 3}-{64 \over 9}\rho ^{3}]d\rho =$ $=\int _{0}^{2\pi }[(\rho ^{4}-{\rho ^{6} \over 6})\sin ^{2}\phi +{32 \over 9}\rho ^{2}-{\rho ^{8} \over 24}+{4\rho ^{6} \over 9}-{16 \over 9}\rho ^{4}]|_{0}^{2}d\phi =$ $=\int _{0}^{2\pi }({16 \over 3}\sin ^{2}\phi +{128 \over 9}-{64 \over 6}+{256 \over 9}-{256 \over 9})d\phi =\int _{0}^{2\pi }({16 \over 3}\sin ^{2}\phi +{32 \over 9})d\phi =$ $={16 \over 3}\int _{0}^{2\pi }{1-\cos(2\phi ) \over 2}d\phi +{64\pi \over 9}={16\pi \over 3}-{8 \over 3}\int _{0}^{2\pi }\cos(2\phi ){d(2\phi ) \over 2}+{64\pi \over 9}={112\pi \over 9}-{4 \over 3}\sin(2\phi )|_{0}^{2\pi }={112\pi \over 9}.$

• Apskaičiuosime kūno sritį V, kuri apribota paviršiais $z=x^{2}+y^{2}$ ir $z=1$ inercijos momentą Oz ašies atžvilgiu $\iiint _{V}(x^{2}+y^{2})dzdydz.$ Taip kaip V į plokštumą xOy projektuojasi į skritulį $x^{2}+y^{2}\leq 1,$ tai koordinatė $\phi$ kinta ribose 0 ir $2\pi$, koordinatė $\rho$ - nuo $\rho =0$ iki $\rho =1$. Nuolatinei reikšmei $\rho$ $(0\leq \rho \leq 1)$ erdvėje Oxyz atitinka cilindras $x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}.$ Apžiurinėdami susikirtimą šito cilindro su sritimi V, gauname kitimą koordinčių z nuo reikšmės taškams gulinčių ant paraboloido $z=x^{2}+y^{2},$ iki reikšmių taškams, gulinčių ant plokštumos $z=1$, t. y. nuo $z=\rho ^{2}$ iki $z=1.$ Pritaikę formulę turime

$I_{zz}=\iiint _{V}(x^{2}+y^{2})dxdydz=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}d\rho \int _{\rho ^{2}}^{1}\rho ^{2}\cdot \rho dz=$ $=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}\rho ^{3}z|_{\rho ^{2}}^{1}d\rho =\int _{0}^{2\pi }({\rho ^{4} \over 4}-{\rho ^{6} \over 6})|_{0}^{1}d\phi ={1 \over 12}\int _{0}^{2\pi }d\phi ={\pi \over 6}.$

Trilypis integralas sferinėse koordinatėse

$x=\rho \sin \theta \cos \phi ,\;y=\rho \sin \theta \sin \phi ,\;z=\rho \cos \theta \;(0\leq \rho <\infty ,\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;0\leq \theta \leq \pi ).$ $\iiint _{V}f(x,y,z)dxdydz=\iiint _{T}f[\rho \sin \theta \cos \phi ,\;\rho \sin \theta \sin \phi ,\;\rho \cos \theta ]\rho ^{2}\sin \theta d\rho d\phi d\theta .$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi +\rho ^{2}\cos ^{2}\theta =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta +\rho ^{2}\cos ^{2}\theta =\rho ^{2}.$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime rutulio $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}$ tūrį V:

$V=\iiint _{V}dxdydz=\iiint _{T}\rho ^{2}\sin \theta d\rho d\theta d\phi =\int _{0}^{R}d\rho \int _{0}^{\pi }d\theta \int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}\sin \theta d\phi =$ $=2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{2}d\rho \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =-2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\cos \theta |_{0}^{\pi }d\rho =4\pi \int _{0}^{R}\rho ^{2}d\rho =4\pi {\rho ^{3} \over 3}|_{0}^{R}={4\pi R^{3} \over 3}.$

• Apskaičiuosime rutulio $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}$ inercijos momentą koordinačių pradžios atžvilgiu. Kadangi $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho ^{2},$ gauname

$I_{0}=\iiint _{V}(x^{2}+y^{2}+z^{2})dxdydz=\iiint _{T}\rho ^{2}\rho ^{2}\sin \theta d\rho d\theta d\phi =\int _{0}^{R}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi =$ $=2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{4}(-\cos \theta )|_{0}^{\pi }d\rho =2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{4}(1+1)d\rho =4\pi {\rho ^{5} \over 5}|_{0}^{R}={4\pi R^{5} \over 5}.$

• Nustatysime masės centro koordinates viršutinės pusės vienalyčio rutulio V spindulio R esančio centre koordinačių pradžios.

Duotas pusrutulis apribotas paviršiais $z={\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}$ ir $z=0.$ Dėl pusrutulio simetrijos $x_{c}=y_{c}=0.$ Koordinatė $z_{c},$ nustatoma pagal formulę

$z_{c}={\iiint _{V}zdxdydz \over \iiint _{V}dxdydz}={\iiint _{V}zdxdydz \over {2 \over 3}\pi R^{3}}.$

Pereidami į sferines koordinates, gauname $z_{c}={\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{3}d\rho \over {2 \over 3}\pi R^{3}}={{R^{4} \over 4}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi /2}\sin \theta d(\sin \theta ) \over {2 \over 3}\pi R^{3}}={{R^{4} \over 4}\int _{0}^{2\pi }{\sin ^{2}\theta \over 2}|_{0}^{\pi /2}d\phi \over {2 \over 3}\pi R^{3}}=$ $={{R^{4} \over 4}\int _{0}^{2\pi }{1 \over 2}d\phi \over {2 \over 3}\pi R^{3}}={{R^{4} \over 4}\cdot {1 \over 2}\cdot 2\pi \over {2 \over 3}\pi R^{3}}={3 \over 8}R.$

• Apskaičiuosime masę pusrutulio V spindulio R, jeigu masės pasiskirstimas tankis kiekviename jo taške proporcingas atstumui taško nuo tam tikro fiksuoto taško O ant krašto pusrutulio pagrindo.

Išrinksime koordinačių pradžią taške O, o plokštumą xOy pusrutulio taip, kad pusrutulio centras gulėtų ant ašies Oy.

Tada lygtys paviršiaus, apribojančio kūną V iš viršaus, užsirašis pavidale:

$x^{2}+(y-R)^{2}+z^{2}=R^{2},$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Ry,$

$\rho =2R\sin \theta \sin \phi ,$

masės pasiskirstimo tankis nustatomas formule

$\gamma =k{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

masės nustatymas reiškia apskaičiavimą integralo $m=k\iiint _{V}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}dxdydz=k\iiint _{T}\rho \cdot \rho ^{2}\sin \theta d\rho d\phi d\theta =$ $=k\int _{0}^{\pi }d\phi \int _{0}^{\pi \over 2}\sin \theta d\theta \int _{0}^{2R\sin \theta \sin \phi }\rho ^{3}d\rho =4kR^{4}\int _{0}^{\pi }\sin ^{4}\phi d\phi \int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{5}\theta d\theta =4kR^{4}\int _{0}^{\pi }\sin ^{4}\phi {4!! \over 5!!}d\phi =$ $=4kR^{4}\cdot {4\cdot 2 \over 5\cdot 3}\int _{0}^{\pi }\sin ^{4}\phi d\phi ={32kR^{4} \over 15}\int _{0}^{\pi \over 2}2\sin ^{4}\phi d\phi ={32kR^{4} \over 15}\cdot 2\cdot {3 \over 4\cdot 2}\cdot {\pi \over 2}={32kR^{4} \over 15}\cdot {3\pi \over 8}={4k\pi R^{4} \over 5}.$ Integruodami pasianaudojome dvigubu faktorialu trigonometrijoje:

$\int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{n}x\;dx=\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{n}x\;dx={(n-1)!! \over n!!}\cdot {\pi \over 2},$ kai n lyginis;

$\int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{n}x\;dx=\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{n}x\;dx={(n-1)!! \over n!!},$ kai n nelyginis.

Nuorodos

• Inercijos momementai