Gryno formulė

Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

$\iint _{D}({\partial Q(x,y) \over \partial x}-{\partial P(x,y) \over \partial y})\mathbf {d} x\mathbf {d} y=\oint _{L}P(x,y)\mathbf {d} x+Q(x,y)\mathbf {d} y.$

Pavyzdžiai

• Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą $\oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy,$ kur L - apskritimas $x^{2}+y^{2}=R^{2}.$

Funkcijos $P(x,y)=x-y,\;Q(x,y)=x+y$ ir ${\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=1$ netrūkios uždarame rate $x^{2}+y^{2}=R^{2}.$ Todėl pagal Gryno teoremą turime ($\rho ^{2}=R^{2},$ $\rho =R$):

$\oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy=\iint _{D}[1-(-1)]dxdy=2\iint _{D}dxdy=2s=2\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}\rho d\rho =$ $=\int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}|_{0}^{R}d\phi =R^{2}\int _{0}^{2\pi }d\phi =R^{2}\phi |_{0}^{2\pi }=2\pi R^{2}.$

Patikrinimas. Iš apskritimo lygties $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ gauname:

$y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},$

$x={\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.$

Todėl

$P(x,y)=x-y=x-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}},$

$Q(x,y)=x+y={\sqrt {R^{2}-y^{2}}}+y.$

Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad

$\oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy=\int _{-R}^{R}(x-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}})dx+\int _{-R}^{R}({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}+y)dy=$

$\left(-{\frac {1}{2}}x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}+{\frac {1}{2}}R^{2}\arctan {\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{x^{2}-R^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2}}\right)|_{-R}^{R}+{\frac {1}{2}}\left(y({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}+y)+R^{2}\arctan {\frac {y}{R^{2}-y^{2}}}\right)|_{-R}^{R}=$

$\left(-{\frac {1}{2}}R{\sqrt {R^{2}-R^{2}}}+{\frac {1}{2}}R^{2}\arctan {\frac {R{\sqrt {R^{2}-R^{2}}}}{R^{2}-R^{2}}}+{\frac {R^{2}}{2}}\right)-\left(-{\frac {1}{2}}(-R){\sqrt {R^{2}-(-R)^{2}}}+{\frac {1}{2}}R^{2}\arctan {\frac {-R{\sqrt {R^{2}-(-R)^{2}}}}{(-R)^{2}-R^{2}}}+{\frac {(-R)^{2}}{2}}\right)+$

$+{\frac {1}{2}}\left(R({\sqrt {R^{2}-R^{2}}}+R)+R^{2}\arctan {\frac {R}{R^{2}-R^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(-R({\sqrt {R^{2}-(-R)^{2}}}-R)+R^{2}\arctan {\frac {-R}{R^{2}-(-R)^{2}}}\right)=$

$\left({\frac {1}{2}}R^{2}\arctan(\infty )+{\frac {R^{2}}{2}}\right)-\left({\frac {1}{2}}R^{2}\arctan(-\infty )+{\frac {R^{2}}{2}}\right)+$

$+{\frac {1}{2}}\left(R(0+R)+R^{2}\arctan(\infty )\right)-{\frac {1}{2}}\left(-R(0-R)+R^{2}\arctan(-\infty )\right)=$

$=\left({\frac {1}{2}}R^{2}\pi /2+{\frac {R^{2}}{2}}\right)-\left({\frac {1}{2}}R^{2}(-\pi /2)+{\frac {R^{2}}{2}}\right)+$

$+{\frac {1}{2}}\left(R^{2}+R^{2}\pi /2\right)-{\frac {1}{2}}\left(R^{2}+R^{2}(-\pi /2)\right)=$

$=R^{2}\pi /2+R^{2}\pi /2=\pi R^{2}.$

Riba $\lim _{x\to R}\arctan {\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{x^{2}-R^{2}}}=\lim _{x\to R}\arctan {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-R^{2}}}}=\lim _{z\to 0}\arctan {\frac {R}{z}}=\arctan(\infty )=\pi /2.$ Beje, $\arctan(0)=0;\;\arctan(-\infty )=-\pi /2.$

Patikrinimo atsakymas gautas du kartus mažesnis, todėl kyla abejonių dėl Gryno formulės prasmės.

Kitoks patikrinimas. Iš apskritimo lygties $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ gauname:

$y=R\sin(t),$

$x=R\cos(t);$

$dy=R\cos(t)\;dt,$

$dx=-R\sin(t)\;dt.$

Todėl

$P(x,y)=x-y=R\cos(t)-R\sin(t),$

$Q(x,y)=x+y=R\cos(t)+R\sin(t).$

Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad

$\oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy=-R^{2}\int _{0}^{2\pi }(\cos(t)-\sin(t))\sin(t)\;dt+R^{2}\int _{0}^{2\pi }(\cos(t)+\sin(t))\cos(t)\;dt=$

${\frac {R^{2}}{4}}(2x-\sin(2x)+\cos(2x)+1)|_{0}^{2\pi }+{\frac {R^{2}}{4}}(2x+\sin(2x)-\cos ^{2}(2x))|_{0}^{2\pi }=$

${\frac {R^{2}}{4}}(2\cdot 2\pi -\sin(2\cdot 2\pi )+\cos(2\cdot 2\pi )+1)-{\frac {R^{2}}{4}}(2\cdot 0-\sin(2\cdot 0)+\cos(2\cdot 0)+1)+{\frac {R^{2}}{4}}(2\cdot 2\pi +\sin(2\cdot 2\pi )-\cos ^{2}(2\cdot 2\pi ))-{\frac {R^{2}}{4}}(2\cdot 0+\sin(2\cdot 0)-\cos ^{2}(2\cdot 0))=$

${\frac {R^{2}}{4}}(4\pi -\sin(4\pi )+\cos(4\pi )+1)-{\frac {R^{2}}{4}}(0-\sin(0)+\cos(0)+1)+{\frac {R^{2}}{4}}(4\pi +\sin(4\pi )-\cos ^{2}(4\pi ))-{\frac {R^{2}}{4}}(0+\sin(0)-\cos ^{2}(0))=$

$={\frac {R^{2}}{4}}(4\pi -0+1+1)-{\frac {R^{2}}{4}}(0-0+1+1)+{\frac {R^{2}}{4}}(4\pi +0-1^{2})-{\frac {R^{2}}{4}}(0+0-1^{2})=$

$={\frac {R^{2}}{4}}(4\pi +2)-{\frac {R^{2}}{4}}\cdot 2+{\frac {R^{2}}{4}}(4\pi -1)+{\frac {R^{2}}{4}}=$

$=R^{2}\left(\pi +{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+\pi -{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)=$

$=2\pi R^{2}.$

• Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

$\int _{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy,$ kai L - apskritimas $x^{2}+y^{2}=ax$ (a>0), apeinamas teigiama kryptimi. Kadangi skritulyje $x^{2}+y^{2}\leq ax$ funkcijos $P(x,y)=xy$ ir $Q(x,y)=x^{2}+y^{2}$ bei jų dalinės išvestinės ${\partial P \over \partial y}=x$ ir ${\partial Q \over \partial x}=2x$ yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę. Turime: $\int _{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy=\iint _{D}(2x-x)dxdy=\iint _{D}xdxdy.$ Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas $\phi$ kinta nuo $-{\pi \over 2}$ iki ${\pi \over 2}.$ Vadinasi ($x=\rho \cos \phi ,$ $\rho ^{2}=a\rho \cos \phi ,$ $\rho =a\cos \phi$), $\int _{D}xdxdy=\iint _{D}\rho ^{2}\cos \phi d\rho d\phi =\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi d\phi \int _{0}^{a\cos \phi }\rho ^{2}d\rho =\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi {\rho ^{3} \over 3}|_{0}^{a\cos \phi }d\phi =$ $={a^{3} \over 3}\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\cdot {3!! \over 4!!}\cdot {\pi \over 2}={\pi a^{3} \over 8},$ kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

• Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

$\int _{L}xy\mathbf {d} x+(x^{2}+y^{2})\mathbf {d} y,$ kai L - apskritimas $x^{2}+y^{2}=ax$ (a>0), apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodyklę).

Kadangi skritulyje $x^{2}+y^{2}\leq ax$ funkcijos $P(x,y)=xy$ ir $Q(x,y)=x^{2}+y^{2}$ bei jų dalinės išvestinės ${\partial P \over \partial y}=x$ ir ${\partial Q \over \partial x}=2x$ yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę.

Turime:

$\int _{L}xy\;dx+(x^{2}+y^{2})dy=\iint _{D}(2x-x)\;dx\;dy=\iint _{D}x\;dx\;dy.$

Randame apskritimo y išraišką:

$x^{2}+y^{2}=ax,$

$y^{2}=ax-x^{2},$

$y={\sqrt {ax-x^{2}}}.$

Randame y išvestinę, o paskui ir dy:

$y'={\frac {dy}{dx}}=({\sqrt {ax-x^{2}}})'={\frac {(ax-x^{2})'}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}={\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}};$

$dy={\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\;dx.$

Apskritimo spindulys $R={\frac {a}{2}},$ nes pavyzdžiui, kai $a=3,$ tai $x^{2}+y^{2}=3x.$ Žinome, kad šis apskritimas liečiasi koordinačių pradžios taške O(0; 0) ir kad ašis Ox dalina apskritimą pusiau. Vadinasi, kai $x=0$ ir $y=0,$ tai gauname teisingą lygybę $0^{2}+0^{2}=3\cdot 0.$ Vadinasi taškas (0; 0) priklauso apskritimui $x^{2}+y^{2}=3x.$ Kitas apskritimo taškas yra (3; 0), kuris yra ant Ox ašies. Įstačius taško (3; 0) koordinates į apskritimo lygtį $x^{2}+y^{2}=3x$ gauname $3^{2}+0^{2}=3\cdot 3.$ Žinome, kad taškas (3; 0) yra toliausias taškas ant Ox ašies. Todėl apskritimo $x^{2}+y^{2}=3x$ spindulys yra $R={\frac {3}{2}}={\frac {a}{2}}.$

Kadangi apskritimo $x^{2}+y^{2}=ax$ spindulys yra $R={\frac {a}{2}}$ ir Ox ašis dalina apskritimą per pusę, tai didžiausia y reikšmė gali būti $R={\frac {a}{2}}.$ Vadinasi integravimas vyksta pirmame ir ketvirtame ketvirčiuose. Bet, kadangi, skritulio $x^{2}+y^{2}\leq ax$ plotas yra vienodas ketvirtame ketviryje kaip ir pirmame, tai užtenka apskaičiuoti skritulio plotą tik pirmame ketvirtyje, o paskui gautą plotą padauginti iš dviejų. Kad apskaičiuoti skritulio $x^{2}+y^{2}\leq ax$ plotą pirmame ketvirtyje, turime žinoti integravimo ribas. Nustatome, kad x kinta nuo 0 iki a, o y kinta nuo 0 iki $R={\frac {a}{2}}.$

Taikydami Gryno formulę, integruojame (pasinaudodami internetiniu integratoriumi):

$\iint _{D}xdxdy=2\int _{0}^{a}x(\int _{0}^{\sqrt {ax-x^{2}}}dy)dx=2\int _{0}^{a}x(y|_{0}^{\sqrt {ax-x^{2}}})dx=2\int _{0}^{a}x{\sqrt {ax-x^{2}}}dx=$

$=2\cdot {\frac {{\sqrt {-x(x-a)}}\left(3a^{3}\arctan \left({\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}\right)+{\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}(-3a^{2}-2ax+8x^{2})\right)}{24{\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}|_{0}^{a}=$

$={\frac {3a^{3}\arctan \left({\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}\right)+{\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}(-3a^{2}-2ax+8x^{2})}{12}}|_{0}^{a}=$

$={\frac {3a^{3}\arctan \left({\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {a-a}}}\right)+{\sqrt {a}}{\sqrt {a-a}}(-3a^{2}-2a\cdot a+8a^{2})}{12}}-{\frac {3a^{3}\arctan \left({\frac {\sqrt {0}}{\sqrt {a-0}}}\right)+{\sqrt {0}}{\sqrt {a-0}}(-3a^{2}-2a\cdot 0+8\cdot 0^{2})}{12}}=$

$={\frac {3a^{3}\arctan {\frac {\sqrt {a}}{0}}}{12}}-{\frac {3a^{3}\arctan {\frac {0}{\sqrt {a}}}}{12}}={\frac {3a^{3}\arctan({\text{error}})}{12}}-{\frac {3a^{3}\arctan(0)}{12}}=$

$={\frac {3a^{3}\arctan(\infty )}{12}}-{\frac {3a^{3}\cdot 0}{12}}={\frac {3a^{3}\cdot {\frac {\pi }{2}}}{12}}-0={\frac {3a^{3}\cdot \pi }{24}}={\frac {a^{3}\pi }{8}}.$

Pasitikriname (įstatydami y ir dy ir pasinaudodami internetiniu integratoriumi):

$\int _{L}xy\;dx+(x^{2}+y^{2})dy=\int _{L}x{\sqrt {ax-x^{2}}}\;dx+(x^{2}+({\sqrt {ax-x^{2}}})^{2}){\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\;dx=$

$=2\int _{0}^{a}\left(x{\sqrt {ax-x^{2}}}+(x^{2}+({\sqrt {ax-x^{2}}})^{2}){\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\right)dx=$

$=2\int _{0}^{a}\left(x{\sqrt {ax-x^{2}}}+(x^{2}+ax-x^{2}){\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\right)dx=$

$=2\int _{0}^{a}\left(x{\sqrt {ax-x^{2}}}+{\frac {ax(a-2x)}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\right)dx=$

$=2\int _{0}^{a}\left(x{\sqrt {ax-x^{2}}}+{\frac {a^{2}x-2ax^{2}}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\right)dx=$

$=2\int _{0}^{a}{\frac {2x(ax-x^{2})+a^{2}x-2ax^{2}}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}dx=$

$=2\int _{0}^{a}{\frac {2ax^{2}-2x^{3}+a^{2}x-2ax^{2}}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}dx=$

$=\int _{0}^{a}{\frac {-2x^{3}+a^{2}x}{\sqrt {ax-x^{2}}}}dx=\int _{0}^{a}{\frac {x(a^{2}-2x^{2})}{\sqrt {ax-x^{2}}}}dx=$

$={\frac {1}{3}}{\sqrt {ax-x^{2}}}(-3a^{2}+4ax+2x^{2})|_{0}^{a}=$

$={\frac {1}{3}}{\sqrt {a\cdot a-a^{2}}}(-3a^{2}+4a\cdot a+2a^{2})-{\frac {1}{3}}{\sqrt {a\cdot 0-0^{2}}}(-3a^{2}+4a\cdot 0+2\cdot 0^{2})=$

$={\frac {1}{3}}{\sqrt {0}}(-3a^{2}+4a^{2}+2a^{2})-{\frac {1}{3}}{\sqrt {0}}(-3a^{2}+0+0)=0-0=0.$

Pastaba, kad taip gauname dalyba iš nulio ir neįmanoma vietomis išintegruoti įstatant a arba 0. Bet gauname kažką panašesnio į teisingą atsakymą:

$=\int _{0}^{a}{\frac {-2x^{3}+a^{2}x}{\sqrt {ax-x^{2}}}}dx=$

$={\frac {x(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3})-3a^{3}{\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{12{\sqrt {-x(x-a)}}}}|_{0}^{a}=$

$=\left({\frac {x(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3})}{12{\sqrt {x(a-x)}}}}-{\frac {3a^{3}{\sqrt {x(a-x)}}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{12{\sqrt {x(a-x)}}}}\right)|_{0}^{a}=$

$=\left({\frac {x(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3})}{12{\sqrt {x(a-x)}}}}-{\frac {3a^{3}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{12}}\right)|_{0}^{a}=$

$=\left({\frac {{\sqrt {x}}(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3})}{12{\sqrt {a-x}}}}-{\frac {a^{3}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{a}.$

Toliau pasinaudojame internetiniu polinomų dalikliu parinkę $a=3$ gauname $(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3})/(a-x)=(-8x^{3}-6x^{2}+63x+81)/(-x+3)=8x^{2}+30x+27.$ Toliau integruojame:

$\left({\frac {{\sqrt {x}}(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3}){\sqrt {a-x}}}{12(a-x)}}-{\frac {a^{3}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{a}=$

$=\left({\frac {{\sqrt {x}}(3\cdot 3^{3}+7\cdot 3^{2}x-2\cdot 3x^{2}-8x^{3}){\sqrt {3-x}}}{12(3-x)}}-{\frac {3^{3}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {3-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{3}=$

$=\left({\frac {(-8x^{3}-6x^{2}+63x+81){\sqrt {x(3-x)}}}{12(-x+3)}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {3-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{3}=$

$=\left({\frac {(8x^{2}+30x+27){\sqrt {x(3-x)}}}{12}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {3-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{3}=$

$=\left({\frac {(8\cdot 3^{2}+30\cdot 3+27){\sqrt {3(3-3)}}}{12}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3-3}}}}{4}}\right)-\left({\frac {(8\cdot 0^{2}+30\cdot 0+27){\sqrt {0(3-0)}}}{12}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {0}}{\sqrt {3-0}}}}{4}}\right)=$

$=\left({\frac {(72+90+27){\sqrt {3\cdot 0}}}{12}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {3}}{0}}}{4}}\right)-\left(0-{\frac {27\arctan(0)}{4}}\right)=$

$=\left(0-{\frac {27\arctan(\infty )}{4}}\right)-\left(-{\frac {27\cdot 0}{4}}\right)=$

$=\left(-{\frac {27\cdot {\frac {\pi }{2}}}{4}}\right)-0=-{\frac {27\pi }{8}}.$

Kadangi $a^{3}=3^{3}=27,$ tai seniau gautas atsakymas ${\frac {a^{3}\pi }{8}}$ įstačius $a=3$ atitinka ir iš to darome išvada, kad Gryno formulė veikia teisingai (išskyrus minusiuką).

Ploto apskaičiavimas

Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės: $D=\oint _{L}-ydx=\oint _{L}xdy={1 \over 2}\oint _{L}xdy-ydx.$ Jos išvedamos šitaip:

$\iint _{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint _{L}Pdx+Qdy.$

• Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei $P(x,y)=-y,$ $Q(x,y)=0.$ Tada ${\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=0.$ Pagal formulę turime:

$\iint _{D}(0+1)dxdy=\oint _{L}-ydx+0dy.$ Integralas $\iint _{D}dxdy$ lygus paaviršiui srities D , todėl, $D=\iint _{D}dxdy=-\oint _{L}ydx.$

• Sakykime $P(x,y)=0,$ $Q(x,y)=x,$ analoginiu budu randame, kad

$D=\oint _{L}xdy.$

• Ir, pagaliau, paėmę funkcijas $P(x,y)=-{1 \over 2}y,\;Q(x,y)={1 \over 2}x,$ gauname formulę

$D=\iint _{D}({1 \over 2}+{1 \over 2})dxdy=\iint _{D}dxdy={1 \over 2}\oint _{L}xdy-ydx.$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime plotą apribotą elipse ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1,$ pagal formulę $D=\oint _{L}xdy.$ Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: $x=a\cos t,$ $y=b\sin t,$ $0\leq t\leq 2\pi ,$ $dy=b\cos t,$ gauname:

$D=\oint _{L}xdy=\int _{0}^{2\pi }a\cos tb\cos tdt={ab \over 2}\int _{0}^{2\pi }(1+\cos(2t))dt={ab \over 2}(2\pi +{\sin(2t) \over 2}|_{0}^{2\pi })=\pi ab.$

• Apskaičiuosime plotą figuros apribotos elipse pagal formulę $s=\iint _{D}dxdy={1 \over 2}\oint _{L}xdy-ydx.$

Sprendimas. Pasinaudoję parametrinėmis elipsės lygtimis $x=a\cos t,\;$ $y=b\sin t,\;$ $0\leq t\leq 2\pi ,\;$ turime: $dx=-a\sin t\;dt,\;$ $dy=b\cos t\;dt,\;$ ir pagal formulę gauname

$s={1 \over 2}\oint _{L}x\;dy-y\;dx=$

$={1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }(a\cos t\;b\cos t-b\sin t\;(-a\sin t))dt={ab \over 2}\int _{0}^{2\pi }(\cos ^{2}t+\sin ^{2}t)dt={ab \over 2}\int _{0}^{2\pi }dt={ab \over 2}\cdot 2\pi =\pi ab.$

Jėgos darbas

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę $A=\int _{BC}Pdx+Qdy.$ Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip: $A=\int _{BC}Pdx+Qdy+Rdz.$

• Apskaičiuosime darbą jėgos $F(x,y)$ persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.

Pagal sąlyga, $|F(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};$ Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: $P=-x,$ $Q=-y$ [ženklas "$-$" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime $A=-\oint _{L}xdx+ydy,$ kur L - elipsė $x=a\cos t,\;y=b\sin t,$ $0\leq t\leq 2\pi .$ Todėl

$A=-\int _{0}^{2\pi }a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin(t)b\cos(t)dt=-\int _{0}^{2\pi }(b^{2}-a^{2})\sin(t)\cos t\;dt=$ $={a^{2}-b^{2} \over 2}\int _{0}^{2\pi }\sin(2t)dt={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{2\pi }=0.$

Jei t keistusi nuo 0 iki ${\pi \over 2},$ integralas butu lygus

${a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2\cdot {\pi \over 2}))-{a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2\cdot 0))=$

$={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos \pi +\cos(0))={a^{2}-b^{2} \over 4}(-(-1)+1)={a^{2}-b^{2} \over 2}.$

Tarkime, jei $a=5,\;b=3,$ tai padarytas darbas pirmame ketvirtyje yra $A={a^{2}-b^{2} \over 2}={5^{2}-3^{2} \over 2}={\frac {25-9}{2}}={\frac {16}{2}}=8.$

Kad patikrinti ar apskaičiuota teisingai reikia sudėti visas x reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Taip pat reikia sudėti visas y reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Galiausiai reikia sudėti sumas x ir y reikšmių, kad gauti darbą A pirmame ketvirtyje.

Arba tiesiog darbas yra lygus $A={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}};$ čia $x_{n}$ yra visos x reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki a; analogiškai $y_{n}$ yra visos y reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki b.

Kuris iš šių variantų yra darbas A, paaiškės pasumavus ir paskaičiavus. Sutapimas ar ne, bet $A=3+5=8$ pagal pirmą variantą. Na, o pagal antrą variantą turime:

$A={\frac {5}{10}}\sum _{n=1}^{10}{\sqrt {(n(3/10))^{2}+((10-n)(5/10))^{2}}}=$

$A=({\sqrt {0.3^{2}+5^{2}}}+{\sqrt {0.6^{2}+4.5^{2}}}+{\sqrt {0.9^{2}+4^{2}}}+{\sqrt {1.2^{2}+3.5^{2}}}+{\sqrt {1.5^{2}+3^{2}}}+$

$+{\sqrt {1.8^{2}+2.5^{2}}}+{\sqrt {2.1^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {2.4^{2}+1.5^{2}}}+{\sqrt {2.7^{2}+1^{2}}}+{\sqrt {3^{2}+0.5^{2}}})/10=$

$=5(5.0089919+4.539823785+4.1+3.7+3.354101966+$

$+3.08058436+2.9+2.83019434+2.879236+3.041381265)/10=$

$=5\cdot 35.43431361/10=17.717156805.$

Iš tikro, ko gero, mes apskaičiuojame tokiu budu ne darbą atlikta apeinant elipsės liniją pirmame ketvirtyje, o darbą atlikta apeinant tiesę pirmame ketvirtyje. Štai kodas programos "Free Pascal" (FreePascal IDE for Win32 for i386; Target CPU: i386; Version 1.0.12 2011/04/23; <Compiler Version 2.4.4>; <Debugger GDB 7.2>; Copyright <C> 1998-2009):

    var
    a:longint;
    c:real;
    begin
      for a:=1 to 10
      do
      c:=c+0.5*sqrt(sqr(a*0.3)+sqr((11-a)*0.5));
      writeln(c);
    readln;
    end.

gauname $A=17.7171568203085.$

Panaudojus šį kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
   for a:=1 to 1000000000  do
   c:=c+0.000000005*sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000001-a)*0.000000005));
   writeln(c);
   readln;
   end.

gauname atsakymą $A=16.4328975236327$ po 22 sekundžių ant 2.6 GHz procesoriaus.

Panaudojus šį (teisingesnį) kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
   for a:=0 to 1000000000  do
   c:=c+sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000000-a)*0.000000005))/1000000001;
   writeln(5*c);
   readln;
   end.

gauname atsakymą $A=16.4328975142850$ po 25 sekundžių ant 2.6 GHz procesoriaus.

Integruojant gauname:

$A=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}dx=$

$={\frac {1}{340}}(34x-45){\sqrt {34x^{2}-90x+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34x}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}|_{0}^{5}=$

$={\frac {34\cdot 5-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 5^{2}-90\cdot 5+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 5}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {34\cdot 0-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 0^{2}-90\cdot 0+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 0}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {170-45}{340}}{\sqrt {850-450+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {170}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-45}{340}}{\sqrt {225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {125}{340}}{\sqrt {625}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3\cdot 75-170\cdot 5}{5\cdot 75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-9}{68}}\cdot 15-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (0.6)}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {25}{68}}\cdot 25-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {225-850}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {1125\cdot 0.5688248987}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {625}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {-625}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {639.928011}{396.50472884948}}\right)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (-{\frac {5}{3}})}{396.50472884948}}-(-1.98529412-1.613922772)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\cdot (-1.283795663)}{396.50472884948}}-(-3.599216892)=$

$=9.19117647+3.642504151+3.599216892=16.43289751.$

Apskaičiuojame viską nepriekaištingai tiksliai su kompiuterio kalkuliatoriumi:

$A={\frac {625}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (-5/3)}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (3/5)}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=12.833680621236990323769396193322-(-3.5992168895913637545005254840611)=16.432897510828354078269921677383.$

Toliau bandome rasti atlikta darbą apeita tiese $y=3-{\frac {3x}{5}}$ integruojant $A=-\oint _{L}xdx+ydy.$ Randame $dy=-{\frac {3}{5}}\;dx.$ Turime, kad x integravimo ribos yra 0 iki 5, o y integravimo ribos yra nuo 0 iki 3. Gauname:

$A=-\oint _{L}xdx+ydy=-(\int _{0}^{5}x\;dx-{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}})dx)=-\int _{0}^{5}(x-{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}}))dx=$

$=-\int _{0}^{5}(x-{\frac {9}{5}}+{\frac {9x}{25}})dx=-\int _{0}^{5}(-{\frac {9}{5}}+{\frac {25x+9x}{25}})dx=-\int _{0}^{5}({\frac {34x}{25}}-{\frac {9}{5}})dx=$

$=-({\frac {34x^{2}}{25\cdot 2}}-{\frac {9}{5}}x)|_{0}^{5}=-[({\frac {17\cdot 5^{2}}{25}}-{\frac {9}{5}}\cdot 5)-({\frac {17\cdot 0^{2}}{25}}-{\frac {9}{5}}\cdot 0)]=-(17-9)=-8.$

Pastebime, kad jeigu elipsė būtų apskritimas tai pirmame ketvirtyje atliktas darbas A=0. Taip yra todėl, kad kai x didėja, tada y reikšmės mažėja. Todėl skaičiuoti darbą, ko gero, galėtų būti teisingiau $A=\oint _{L}xdx-ydy$ arba $A=\oint _{L}-xdx+ydy.$ Tuomet akivaizdu, kad $A={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}={\frac {5^{2}+3^{2}}{2}}=17.$

Tą patį darba gauname ir apeinant tiese:

$A=\oint _{L}xdx-ydy=\int _{0}^{5}x\;dx-{\frac {-3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}})dx=\int _{0}^{5}(x+{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}}))dx=$

$=\int _{0}^{5}(x+{\frac {9}{5}}-{\frac {9x}{25}})dx=\int _{0}^{5}({\frac {9}{5}}+{\frac {25x-9x}{25}})dx=\int _{0}^{5}({\frac {16x}{25}}+{\frac {9}{5}})dx=$

$=({\frac {16x^{2}}{25\cdot 2}}+{\frac {9}{5}}x)|_{0}^{5}=({\frac {8\cdot 5^{2}}{25}}+{\frac {9}{5}}\cdot 5)-({\frac {17\cdot 0^{2}}{25}}+{\frac {9}{5}}\cdot 0)=8+9=17.$

Lygiai tą patį darbą gausime ir integruojant taip:

$A=\oint _{L}xdx-ydy=\int _{0}^{5}x\;dx+\int _{0}^{3}y\;dy={\frac {x^{2}}{2}}|_{0}^{5}+{\frac {y^{2}}{2}}|_{0}^{3}={\frac {25}{2}}+{\frac {9}{2}}=17.$

Tą patį gausime ir taip integruojant nuo 0 iki 5:

$A=\int F\;\mathbf {d} F=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}\;\mathbf {d} \left({\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}\right)=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}0.5(x^{2}+(3-3x/5)^{2})^{-0.5}(2x+2(3-3x/5)(-0.6))\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}(x^{2}+(3-3x/5)^{2})^{-0.5}(x-0.6(3-3x/5)\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\frac {{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}(x-1.8+0.36x)}{\sqrt {x^{2}+(3-3x/5)^{2}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}(1.36x-1.8)\;dx=(1.36{\frac {x^{2}}{2}}-1.8x)|_{0}^{5}=$

$=[(0.68x-1.8)x]|_{0}^{5}=(0.68\cdot 5-1.8)\cdot 5=(3.4-1.8)\cdot 5=1.6\cdot 5=8.$

• Nustatyti tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ masę tik pirmame ketvirtyje. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y. $\gamma ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Sprendimas. Pasinaudosime masės skaičiavimo formule

$m=\int _{L}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+\left(3-{\frac {3x}{5}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {3}{5}}\right)^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {9x^{2}}{25}}}}{\sqrt {1+{\frac {9}{25}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {34x^{2}}{25}}}}{\sqrt {\frac {34}{25}}}\;dx=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\int _{0}^{5}{\sqrt {{\frac {34}{25}}x^{2}-{\frac {18}{5}}x+9}}\;dx=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\int _{0}^{5}{\sqrt {1.36x^{2}-3.6x+9}}\;dx=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2\cdot 1.36x}{4\cdot 1.36}}{\sqrt {1.36x^{2}-3.6x+9}}+{\frac {4\cdot 1.36\cdot 9-(-3.6)^{2}}{8\cdot 1.36^{3/2}}}\ln |2\cdot 1.36x-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36x^{2}-3.6x+9)}}|\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2.72x}{5.44}}{\sqrt {1.36x^{2}-3.6x+9}}+{\frac {48.96-12.96}{8\cdot 2.515456^{1/2}}}\ln |2.72x-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36x^{2}-3.6x+9)}}|\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2.72x}{5.44}}{\sqrt {1.36x^{2}-3.6x+9}}+{\frac {36}{12.68815132}}\ln |2.72x-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36x^{2}-3.6x+9)}}|\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2.72\cdot 5}{5.44}}{\sqrt {1.36\cdot 25-3.6\cdot 5+9}}+2.8372927689\ln |2.72\cdot 5-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36\cdot 25-3.6\cdot 5+9)}}|\right)-$

$-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2.72\cdot 0}{5.44}}{\sqrt {1.36\cdot 0^{2}-3.6\cdot 0+9}}+2.8372927689\ln |2.72\cdot 0-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36\cdot 0^{2}-3.6\cdot 0+9)}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {10}{5.44}}{\sqrt {34-18+9}}+2.8372927689\ln |13.6-3.6+2{\sqrt {1.36(34-18+9)}}|\right)-$

$-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6}{5.44}}{\sqrt {9}}+2.8372927689\ln |-3.6+2{\sqrt {1.36\cdot 9}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {10}{5.44}}{\sqrt {25}}+2.8372927689\ln |10+2{\sqrt {1.36\cdot 25}}|\right)-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6}{5.44}}\cdot 3+2.8372927689\ln |-3.6+2{\sqrt {12.24}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {50}{5.44}}+2.8372927689\ln |10+2{\sqrt {34}}|\right)-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-10.8}{5.44}}+2.8372927689\ln |-3.6+2{\sqrt {12.24}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left(9.191176471+2.8372927689\ln |21.66190379|\right)-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-10.8}{5.44}}+2.8372927689\ln |-3.6+2{\sqrt {12.24}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}(9.191176471+8.726250336)-{\frac {\sqrt {34}}{5}}(-1.985294118+3.469823414)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\cdot 17.91742681-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\cdot 1.484529296={\frac {16.43289751{\sqrt {34}}}{5}}=19.16388698.$

Kad tą patį apskaičiuoti su programa "Free Pascal" reikia surasti tiesės ilgį, kai x kinta nuo 0 iki 5 (tai yra tiesės ilgis tik pirmame ketviryje):

$l={\sqrt {5^{2}+3^{2}}}={\sqrt {25+9}}={\sqrt {34}}=5.830951895.$

Todėl "Free Pascal" kodas yra toks:

  var
  a:longint;
  c:real;
  begin
  for a:=1 to 1000000000  do
  c:=c+sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000001-a)*0.000000005));
  writeln(sqrt(sqr(3)+sqr(5))*c/1000000000);
  readln;
  end.

duodantis rezultatą 19,163886990613093 po 18 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.

• Nustatyti parabolės $y=x^{2}$ masę pirmame ketvirtyje, kai x kinta nuo 0 iki 10. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y. $\gamma ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Sprendimas.

Integruojame (pasinaudodami integralų lentelės (31) formule):

$p=\int _{0}^{10}{\sqrt {(x)^{2}+(x^{2})^{2}}}dx=\int _{0}^{10}{\sqrt {x^{2}+x^{4}}}dx=\int _{0}^{10}x{\sqrt {1+x^{2}}}dx=$

$={\frac {1}{3}}(x^{2}+1)^{3/2}|_{0}^{10}={\frac {1}{3}}(10^{2}+1)^{3/2}-{\frac {1}{3}}(0^{2}+1)^{3/2}=$

$={\frac {1}{3}}(101)^{3/2}-{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {1030301}}-{\frac {1}{3}}=$

=338,01247924440330576404858539624.

Toliau, kad surasti kreivės masę (kai kiekviename kreivės taške tankis priklauso nuo tam tikros funkcijos), skaičiuojame:

$m=\int _{0}^{10}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{10}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[(x^{2})']^{2}}}dx=\int _{0}^{10}{\sqrt {x^{2}+(x^{2})^{2}}}{\sqrt {1+[2x]^{2}}}dx=$

$=\int _{0}^{10}{\sqrt {x^{2}+x^{4}}}{\sqrt {1+4x^{2}}}dx=\int _{0}^{10}x{\sqrt {1+x^{2}}}{\sqrt {1+4x^{2}}}dx=\int _{0}^{10}x{\sqrt {4x^{4}+5x^{2}+1}}dx.$

Toliau integruodami taip arba taip ir įstačius x=1 gauname 1,0565457675431157081260089778614 ir 0,95907194527687339898921071078133 atitinkamai. Kita vertus, integruojant taip ir taip gauname tą patį rezultatą ${\frac {1}{12}}x^{2}(8x^{4}+15x^{2}+6).$ Todėl šį rezultatą ir panaudojame toliau integruodami:

$\int _{0}^{10}x{\sqrt {4x^{4}+5x^{2}+1}}dx={\frac {1}{12}}x^{2}(8x^{4}+15x^{2}+6)|_{0}^{10}=$

$={\frac {1}{12}}\cdot 10^{2}(8\cdot 10^{4}+15\cdot 10^{2}+6)-0=$

$={\frac {1}{12}}\cdot 100(80000+1500+6)=$

$={\frac {1}{12}}\cdot 100\cdot 81506=679216.6667.$

Nepriekaištingai tikslus atsakymas yra:

679216,66666666666666666666666667.

Todėl belieka patikrinti ar Wolframo internetinio integratoriaus atsakymas teisingas paėmus išvėstinę ir paskui įstačius x=1 bei palyginti su neišintegruotu reiškiniu:

$({\frac {1}{12}}x^{2}(8x^{4}+15x^{2}+6))'=({\frac {1}{12}}(8x^{6}+15x^{4}+6x^{2}))'={\frac {1}{12}}(48x^{5}+60x^{3}+12x)=4x^{5}+5x^{3}+x=4+5+1=10;$

$x{\sqrt {4x^{4}+5x^{2}+1}}={\sqrt {4x^{6}+5x^{4}+1}}={\sqrt {4+5+1}}={\sqrt {10}}.$

Pasirodo, kad nepridėta šaknis įvedimo formoje į integratorių, bet integruojant taip ir taip gauname tokį patį rezultatą, kuris yra labai sudetingas ir ilgas. Net didžiausioje integralų lentelėje nėra kaip išintegruoti $\int x{\sqrt {1+x^{2}}}{\sqrt {1+4x^{2}}}dx.$ Yra tik $\int {\sqrt {a+bx}}{\sqrt {c+px}}dx,$ bet ir tai integravimas gaunasi su dar dviais pažiūrėjimais į integralų lentelę. Todėl pasinaudojame Free Pascal kodu:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+(sqrt(sqr(a*0.00000001)+sqr(sqr(a*0.00000001)))-sqrt(sqr((a-1.0)*0.00000001)+sqr(sqr((a-1.0)*0.00000001))))*sqrt(sqr(a*0.00000001)+sqr(sqr(a*0.00000001)));
writeln(c);
readln;
end.

kuris duoda atsakymą m=5050,00000667382 po 53 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.

Kai x kinta 0 iki 5, tai integruojant gauname

$p=\int _{0}^{5}{\sqrt {(x)^{2}+(x^{2})^{2}}}dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+x^{4}}}dx=\int _{0}^{10}x{\sqrt {1+x^{2}}}dx=$

$={\frac {1}{3}}(x^{2}+1)^{3/2}|_{0}^{5}={\frac {1}{3}}(5^{2}+1)^{3/2}-{\frac {1}{3}}(0^{2}+1)^{3/2}=$

$={\frac {1}{3}}(26)^{3/2}-{\frac {1}{3}}={\frac {{\sqrt {17576}}-1}{3}}=$

=43,858169117804135193577942278197.

Tą patį atsakymą (43,8581691815329) gauname ir pasinaudodami Free Pascal kodu:

 var
 a:longint;
 c:real;
 begin
 for a:=1 to 1000000000  do
 c:=c+sqrt(sqr(5.0*a/1000000000)+sqr(sqr(5.0*a/1000000000)))/1000000000;
 writeln(c*5);
 readln;
 end.

Kad rasti masę, kai x kinta 0 iki 5, pasinaudojame Free Pascal kodu:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+(sqrt(sqr(5.0*a/1000000000)+sqr(sqr(5.0*a/1000000000)))-sqrt(sqr(5.0*(a-1.0)*0.000000001)+sqr(sqr(5.0*(a-1.0)*0.000000001))))*sqrt(sqr(5.0*a/1000000000)+sqr(sqr(5.0*a/1000000000)));
writeln(c);
readln;
end.

kuris duoda atsakymą $m=325.000000425112$ po 73 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.

Alternatyvus Free Pascal kodas, kuris skaičiuoja pagal formulę $m=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(x^{2})^{2}}}{\sqrt {1+(2x)^{2}}}dx,$ yra toks:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+sqr(2*5.0*a/1000000000))*sqrt(sqr(5.0*a/1000000000)+sqr(sqr(5.0*a/1000000000)));
writeln(5*c/1000000000);
readln;
end

ir duoda atsakymą $m=327.860390075605$ po 48 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Optimizuotas šito kodo variantas:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+sqr(0.00000001*a))*sqrt(sqr(0.000000005*a)+sqr(sqr(0.000000005*a)));
writeln(0.000000005*c);
readln;
end.

duoda atsakymą $m=327.86039007560539$ po 33 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.

Kitoks kreivės masės apskaičiavimo Free Pascal kodas yra:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(sqr(0.000000005*a-0.000000005*(a-1))+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*sqrt(sqr(0.000000005*a)+sqr(sqr(0.000000005*a)));
writeln(c);
readln;
end.

kuris duoda atsakymą $m=327.860389859764$ po 41 sekundės su 2,6 GHz procesoriumi. Optimizuotas šito kodo variantas yra kodas:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(sqr(0.000000005)+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*sqrt(sqr(0.000000005*a)+sqr(sqr(0.000000005*a)));
writeln(c);
readln;
end

kuris duoda atsakymą $m=327.860389859763$ po 38 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Dar labiau optimizuotas šito kodo variantas yra:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(0.000000000000000025+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*sqrt(sqr(0.000000005*a)+sqr(sqr(0.000000005*a)));
writeln(c);
readln;
end.

kuris duoda atsakymą $m=327.860389859763$ po 38 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi (vadinasi, Free Pascal automatiškai optimizuoja kodą pakeldamas konstantą 0,000000005 kvadratu ir visoms iteracijoms naudodamas gautą 0,000000000000000025 reikšmę).

• Nustatyti parabolės $y=x^{2}$ masę pirmame ketvirtyje, kai x kinta nuo 0 iki 10. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai tik Ox kryptimi, t. y. $\gamma =x.$

Sprendimas. Greičiausias būdas apskaičiuoti, tai ko reikalauja sąlyga (uždavinys) yra toks:

$m=\int _{0}^{10}x\;dx={\frac {x^{2}}{2}}|_{0}^{10}={\frac {10^{2}}{2}}-{\frac {0^{2}}{2}}=50.$

Kitas būdas yra toks:

$m=\int _{0}^{10}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{10}x{\sqrt {1+(2x)^{2}}}dx=\int _{0}^{10}x{\sqrt {1+4x^{2}}}dx=$

$=\int _{0}^{10}2x{\sqrt {{\frac {1}{4}}+x^{2}}}dx={\frac {2}{3}}(x^{2}+{\frac {1}{4}})^{3/2}|_{0}^{10}=$

$={\frac {2}{3}}(10^{2}+{\frac {1}{4}})^{3/2}-{\frac {2}{3}}(0^{2}+{\frac {1}{4}})^{3/2}=$

$={\frac {2}{3}}\cdot 100.25^{3/2}-{\frac {2}{3}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}=$

=669,16822851623458973388183928978 - (2/3)*(1/8)=

=669,16822851623458973388183928978 - 1/12=

=669,08489518290125640054850595645;

čia pasinaudojome integralų lentele $\int x{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}dx={\frac {1}{3}}(x^{2}\pm a^{2})^{3/2}.$

Tuo atveju, jeigu x kinta nuo 0 iki 5 tada:

$m=\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{5}x{\sqrt {1+4x^{2}}}dx=2\int _{0}^{5}x{\sqrt {{\frac {1}{4}}+x^{2}}}dx=$

$={\frac {2}{3}}(5^{2}+{\frac {1}{4}})^{3/2}-{\frac {2}{3}}(0^{2}+{\frac {1}{4}})^{3/2}=$

$={\frac {2}{3}}\cdot 25.25^{3/2}-{\frac {2}{3}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}=$

=84,586453144434159774345479682393-1/12=

=84,50311981110082644101214634906.

Free Pascal kodas duodą tokį patį rezultatą (kai x kinta nuo 0 iki 5):

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(sqr(0.000000005)+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*0.000000005*a;
writeln(c);
readln;
end.

m=84,5031198757743 po 25 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.

Alternatyvus Free Pascal kodas, skaičiuojantis pagal formulę $m=\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{5}x{\sqrt {1+4x^{2}}}dx$ yra šitas:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+4*sqr(5.0*a/1000000000))*a*5/1000000000;
writeln(c*5/1000000000);
readln;
end.

duodantis atsakymą m=84,5031199367086 po 25 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Optimizuotas jo variantas:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+4*sqr(5.0*a/1000000000))*a;
writeln(c*sqr(5/1000000000));
readln;
end.

duoda atsakymą m=84,503119936731021 po 23 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Dar labiau optimizuotas jo variantas:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+4*sqr(0.000000005*a))*a;
writeln(c*sqr(5/1000000000));
readln;
end.

duoda atsakymą m=84,503119936731021 po 17 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi (vadinasi, 1000000000 dalybos operacijų padaroma per 23-17=6 sekundes su 2,6 GHz procesoriumi; tačiau panaudojus šį kodą:

var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+1/a;
writeln(c);
readln;
end.

gauname atsakymą 21,3004815025070 po 8 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi (beje, $\int _{1}^{10^{9}}{\frac {1}{x}}\;dx=\ln(10^{9})-\ln(1)=9\ln(10)-0=20.7232658369464$)).

• Nustatyti parabolės $y=x^{2}$ masę pirmame ketvirtyje, kai x kinta nuo 0 iki 5. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai Ox kryptimi ir Oy kryptimi, t. y. $\gamma =x+y.$

Sprendimas.

$y'=(x^{2})'=2x;$

$m=\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{5}(x+y){\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{5}(x+x^{2}){\sqrt {1+4x^{2}}}dx=2\int _{0}^{5}x(1+x){\sqrt {{\frac {1}{4}}+x^{2}}}dx;$

Toliau pasinaudodami Wolframo internetiniu integratoriumi gauname, kad:

$m=\int _{0}^{5}(x+x^{2}){\sqrt {1+4x^{2}}}dx=\left({\frac {1}{96}}{\sqrt {4x^{2}+1}}(24x^{3}+32x^{2}+3x+8)-{\frac {1}{64}}{\text{arcsinh}}(2x)\right)|_{0}^{5}=$

$=\left({\frac {1}{96}}{\sqrt {4\cdot 5^{2}+1}}(24\cdot 5^{3}+32\cdot 5^{2}+3\cdot 5+8)-{\frac {1}{64}}{\text{arcsinh}}(2\cdot 5)\right)-\left({\frac {1}{96}}{\sqrt {4\cdot 0^{2}+1}}(24\cdot 0^{3}+32\cdot 0^{2}+3\cdot 0+8)-{\frac {1}{64}}{\text{arcsinh}}(2\cdot 0)\right)=$

$=\left({\frac {1}{96}}{\sqrt {101}}(24\cdot 125+32\cdot 25+15+8)-{\frac {1}{64}}{\text{arcsinh}}(10)\right)-\left({\frac {1}{96}}{\sqrt {1}}\cdot 8-{\frac {1}{64}}{\text{arcsinh}}(0)\right)=$

$=\left({\frac {1}{96}}{\sqrt {101}}(3000+800+15+8)-{\frac {1}{64}}{\text{arcsinh}}(10)\right)-\left({\frac {1}{12}}-{\frac {1}{64}}{\text{arcsinh}}(0)\right)=$

$=\left({\frac {3823}{96}}{\sqrt {101}}-{\frac {1}{64}}{\text{arcsinh}}(10)\right)-\left({\frac {1}{12}}-{\frac {1}{64}}{\text{arcsinh}}(0)\right)=$

=(400,21535937026211982341926834875-0,04684723359840577716947805527494)-(0,08333333333333333333333333333333-0)=

=400,16851213666371404624979029348-0,08333333333333333333333333333333=400,08517880333038071291645696014.

Free Pascal kodas:

 var
 a:longint;
 c:real;
 begin
 for a:=1 to 1000000000  do
 c:=c+sqrt(sqr(0.000000005)+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*(0.000000005*a+sqr(0.000000005*a));
 writeln(c);
 readln;
 end.

duoda atsakymą m=400,085179290551 po 27 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.

• Nustatyti parabolės $y=x^{2}$ masę pirmame ketvirtyje, kai x kinta nuo 0 iki 5. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja pagal formulę $\gamma =(x+y)^{2}.$

Sprendimas. Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname:

$m=\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{5}(x+y)^{2}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{5}(x+x^{2})^{2}{\sqrt {1+4x^{2}}}dx=$

$={\frac {1}{7680}}\left(2{\sqrt {4x^{2}+1}}(640x^{5}+1536x^{4}+1000x^{3}+128x^{2}+105x-64)-105{\text{arcsinh}}(2x)\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {1}{7680}}\left(2{\sqrt {101}}(640\cdot 3125+1536\cdot 625+1000\cdot 125+128\cdot 25+105\cdot 5-64)-105{\text{arcsinh}}(10)\right)-{\frac {1}{7680}}\left(2{\sqrt {1}}\cdot (-64)-105{\text{arcsinh}}(0)\right)=$

$={\frac {1}{7680}}\left(2{\sqrt {101}}(2000000+960000+125000+3200+525-64)-105{\text{arcsinh}}(10)\right)-{\frac {1}{7680}}\left(-128-0\right)=$

$={\frac {1}{7680}}\left(2{\sqrt {101}}\cdot 3088661-105{\text{arcsinh}}(10)\right)+{\frac {128}{7680}}=$

$={\frac {1}{7680}}\left(62081317,771613740125811409969418-314,81340978128682257889253144763\right)+{\frac {128}{7680}}=$

=(62081002,958203958838988831076887+128)/7680=8083,4805935161404738266707131363.

Panaudojus Free Pascal kodą:

 var
 a:longint;
 c:real;
 begin
 for a:=1 to 1000000000  do
 c:=c+sqrt(sqr(0.000000005*a-0.000000005*(a-1))+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*sqr(0.000000005*a+sqr(0.000000005*a));
 writeln(c);
 readln;
 end.

gauname atsakymą m=8083,48061127561 po 30 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.

Alternatyvus Free Pascal kodas, skaičiuojantis pagal formulę $m=\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx=\int _{0}^{5}(x+x^{2})^{2}{\sqrt {1+4x^{2}}}dx$ yra toks:

 var
 a:longint;
 c:real;
 begin
 for a:=1 to 1000000000  do
 c:=c+sqrt(1+sqr(2*0.000000005*a))*sqr(0.000000005*a+sqr(0.000000005*a));
 writeln(c*0.000000005);
 readln;
 end.

ir duoda atsakymą m=8083,4806161241980 po 22 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.

Taip pat skaitykite

• Gauso formulė
• Antrojo tipo kreivinis integralas
• Pilnųjų diferencialų integravimas
• Apibrėžtinis integralas