Antrojo tipo kreivinis integralas

Iš Wikibooks.
Peršokti į: navigacija, paiešką

Antrojo tipo kreivinis integralas fizikoje reiškia jėgų lauko darbą.

Taip pat antrojo tipo kreivinį integralą galima paibrėžti erdvine kreive L:

Funkcijos išreikštos parametrinėmis lygtimis[keisti]

Tarkime, kad kreivės L lanko AB parametrinės lygtis yra lanko pradžios tašką A atitinka parametro t reikšme , o lanko tašką B - reikšmė T. Dar sakykime, kad x(t), y(t) ir jų isvestinės x'(t), y'(t) yra dolydžios atkarpoje [; T] funkcijos, - irgi tolydžios kreivės L taškuose funkcijos. Tuomet Tas pats taikoma ir erdvinei kreivei:

Pavyzdžiai[keisti]

  • Apskaičiuokime kai L - apskritimo lankas nuo taško iki taško
Įrašę į apskritimo lygtis taškų A ir B koordinates, sužinome, kad tašką A atitinka parametro reikšmė, lygi o taško B - reikšmė, lygi

Randame: Tuomet

  • Apskaičiuosime integralą kur AB - ketvirtis apskritimo A Atitinka t=0, B atitinka
Turime Gauname

  • Apskaičiuosime integralą palei atkarpą AB, jungiančią taškus A(1; 2; -1) ir B(3; 3; 2).
Lygtis tiesės AB:

arba parametrinėje formoje: Atkarpai AB parametras t keičiasi nuo iki Todėl,

Duotame pavyzdyje parametru galima parinkti bet kurį iš kintamųjų x, y arba z.

Pavyzdžiui, parinkę parametru y, užrašysime lygtį atkarpos AB formoje:

Pritaikydami auksčiau išvestą formulę gausime:

  • Apskaičiuosime integralą kur L - viena apvija spiralinės linijos cilindro paviršiumi nuo iki
Randame:

Apskaičiuosime kiekvieną dalį atskirai. kur kur

Todėl
  • Apskaičiuoti darbą jėgos kai persikelia materialus taškas palei elipsę teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipso nukreipta į centrą elipso ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki centro elipsės.
Sprendimas. Pagal sąlygą, koordinatės jėgos tokios: [ženklas "" paaiškinmas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime
čia L - elipsė Randame . Todėl,
Pastebėsime, kad iš to, kad integralas pasirodė lygus nuliui, seka, kad pointegralinė išraiška yra pilnas diferencialas tam tikros funkcijos (raskite šią funkciją savarankiškai).

Apskaičiavimas kreivinių integralų antrojo tipo[keisti]

Jei kreivė AB išreikšta lygtimi , kur - netruki diferencijuojama funkcija, tai Analogiškai gali būti x(y).

Pavyzdžiai[keisti]

  • Apskaičiuosime integralą: palei lanką AB prabolės , jei Parinkę parametru x ir pakeitę gausime:

  • Apskaičiuosime integralą kur L - lankas prabolės nuo taško A(0; 0) iki taško B(1; 3).
Gauname:

Kvadratas.
  • Apskaičiuosime integralą kur L - konturas stačiakampio, padaryto iš tiesių ir
Paveiksle teigiama kryptis apėjimo konturo L paženklinta rodyklėmis. Padalinę visą kontūrą integravimo į dalis, užrašysime:

Lengva pastebėti, kad integralai palei dalis AB ir CD lygus nuliui, todėl, kad ant jų y yra pastovus ir, dėl to Todėl lieka apskaičiuoti integralus pagal sritis BC ir DA. Pagal formulę [ vietoje x įrašę y ir vietoje y(x) įrašę x(y)], gauname Takiu budu, galutinai turime

Trikampis trimatėje erdvėje.
  • Apskaičiuosime integralą pagal laužtę ABCA su viršūnėmis A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1).
Pagal apibrėžimą

nes kelias integravimo guli plokštumoje yOz, statmenoje ašiai Ox (todėl ir Lygtį atkarpos AB užrašysime pavidale: Taip kaip turime

Lygtį atkarpos CA užrašysime pavidale: Taip kaip turime:

Rezultate gauname:

Parabolė.
  • Apskaičiuosime integralą jeigu AOB - lankas prabolės be to A(1; -1), B(1; 1). Atsižvelgiant į savybes kreivinių integralų, gausime:

Kadangi lanko AO lygtis yra be to lankas OB turi lygtį tai

Šiame pavyzdyje paprasčiau naudoti parametrą y, pakeičiant atitinkamai formulę:

Integravimo keliai sutampa.
  • Apskaičiuosime integralą kur:
a) AB - tiesė sujungianti taškus (0; 0) ir (1; 1);
b) AB - parabolė y=x², sujungianti tuos pačius taškus (0; 0) ir (1; 1);
c) AB - laužtė, pereinanti per taškus (0; 0), (1; 0), (1; 1).
Pagal vieno iš kinamųjų pakeitimo formulę turime:
a)

b)
c)

Vienodo atsakymo gavimas integruojant skirtingais keliais yra dėl to, kad

  • Apskaičiuokime integralą nuo taško O(0; 0) iki taško A(1; 1), kai integravimo kelias L nusakomas lygtimi: a) b) c)
a) Randame Turime:

b) Kadangi tai

c) Iš sąlygos turime: Tuomet

Šiuo atveju pavyzdį galėjome spręsti ir neišreikšdami kintąmąjį y kintamuoju x. Laikykime x funkcija, o y argumentu. Tuomet iš sąlygos turime: y kitimo rėžiai yra nuo 0 iki 1. Dabar duotąjį integralą pakeiskime apibrėžtiniu, įrašydami vietoje x ir dx jų išraiškas:

Visais triais atvejais integravimo pradžia ir pabaiga sutapo, tačiau integruodami galvome skirtingus atsakymus, nes
Prabolė, tiesė AB ir laužtė ACB.
  • Apskaičiuokime integralą

nuo taško A(1; 1) iki taško B(2; 4), kai integravimo kelias L nusakomas:

a) tiesės atkarpa;
b) parabolės lanku;
c) laužte ACB.
a) Iš lygties turime: kitimo rėžiai yra nuo 1 iki 2. Tuomet

b) kai tai ir

c) Integravimo kelią suskaidysime į dvi atkarpas: AC ir CB. Atkarpos AC taškuose x kinta nuo 1 iki 2, todėl kelio AC taškuose atkarpos CB taškuose y kinta nuo 1 iki 4, todėl kelio CB taškuose Tuomet

Visais variantais gavome tokį patį kreivinio integralo atsakymą. Sakoma, kad krivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, o priklauso tik nuo integravimo kreivės pradžios ir pabaigos taškų. Taip yra todėl, kad

Sąlyga, kad kreivinio integralo reikšmė nepriklausytų nuo integravimo kelio[keisti]

Kad integralas nepriklausytų nuo integravimo kelio jis turi tenkint tokią lygybę: arba

Trimatis vektorius su dedamosiomis (projekcijomis koordinačių ašims) išreiškiamas per integralą nepriklauso nuo integravimo kelio, jei:

Prabolė ir tiesė.
  • Apskaičiuosime, pavyzdžiui, integralą pagal atkarpą tiesės AB, jungiančios taškus A(1; 0; 0) ir B(1; 1; 1). Lygtis tiesės AB:

t. y. Išrinkę parametru y, turime:

Apskaičiuosime dabar tą patį integralą pagal lanką prabolės AB, aprašamos lygtimis Parinke parametru y ( ), gausime:

Šis pavyzdys parodo, kad integralo reikšmė priklauso nuo formos kreivės pagal kurią vyksta integravimas. Taip yra todėl, nes

Taip pat skaitykite[keisti]