Antrojo tipo kreivinis integralas

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Antrojo tipo kreivinis integralas fizikoje reiškia jėgų lauko darbą.

Taip pat antrojo tipo kreivinį integralą galima paibrėžti erdvine kreive L:

Funkcijos išreikštos parametrinėmis lygtimis[keisti]

Tarkime, kad kreivės L lanko AB parametrinės lygtis yra lanko pradžios tašką A atitinka parametro t reikšme , o lanko tašką B - reikšmė T. Dar sakykime, kad x(t), y(t) ir jų isvestinės x'(t), y'(t) yra dolydžios atkarpoje [; T] funkcijos, - irgi tolydžios kreivės L taškuose funkcijos. Tuomet Tas pats taikoma ir erdvinei kreivei:

Pavyzdžiai[keisti]

  • Apskaičiuokime kai L - apskritimo lankas nuo taško iki taško
Įrašę į apskritimo lygtis taškų A ir B koordinates, sužinome, kad tašką A atitinka parametro reikšmė, lygi o taško B - reikšmė, lygi

Randame: Tuomet

  • Apskaičiuosime integralą kur AB - ketvirtis apskritimo A Atitinka t=0, B atitinka
Turime Gauname

  • Apskaičiuosime integralą palei atkarpą AB, jungiančią taškus A(1; 2; -1) ir B(3; 3; 2).
Lygtis tiesės AB:

arba parametrinėje formoje: Atkarpai AB parametras t keičiasi nuo iki Todėl,

Duotame pavyzdyje parametru galima parinkti bet kurį iš kintamųjų x, y arba z.

Pavyzdžiui, parinkę parametru y, užrašysime lygtį atkarpos AB formoje:

Pritaikydami auksčiau išvestą formulę gausime:

  • Apskaičiuosime integralą kur L - viena apvija spiralinės linijos cilindro paviršiumi nuo iki
Randame:

Apskaičiuosime kiekvieną dalį atskirai. kur kur

Todėl
  • Apskaičiuoti darbą jėgos kai persikelia materialus taškas palei elipsę teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipso nukreipta į centrą elipso ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki centro elipsės.
Sprendimas. Pagal sąlygą, koordinatės jėgos tokios: [ženklas "" paaiškinmas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime
čia L - elipsė Randame . Todėl,
Pastebėsime, kad iš to, kad integralas pasirodė lygus nuliui, seka, kad pointegralinė išraiška yra pilnas diferencialas tam tikros funkcijos (raskite šią funkciją savarankiškai).

Apskaičiavimas kreivinių integralų antrojo tipo[keisti]

Jei kreivė AB išreikšta lygtimi , kur - netruki diferencijuojama funkcija, tai Analogiškai gali būti x(y).

Pavyzdžiai[keisti]

  • Apskaičiuosime integralą: palei lanką AB prabolės , jei Parinkę parametru x ir pakeitę gausime:

  • Apskaičiuosime integralą kur L - lankas prabolės nuo taško A(0; 0) iki taško B(1; 3).
Gauname:

Kvadratas.
  • Apskaičiuosime integralą kur L - konturas stačiakampio, padaryto iš tiesių ir
Paveiksle teigiama kryptis apėjimo konturo L paženklinta rodyklėmis. Padalinę visą kontūrą integravimo į dalis, užrašysime:

Lengva pastebėti, kad integralai palei dalis AB ir CD lygus nuliui, todėl, kad ant jų y yra pastovus ir, dėl to Todėl lieka apskaičiuoti integralus pagal sritis BC ir DA. Pagal formulę [ vietoje x įrašę y ir vietoje y(x) įrašę x(y)], gauname Takiu budu, galutinai turime

Trikampis trimatėje erdvėje.
  • Apskaičiuosime integralą pagal laužtę ABCA su viršūnėmis A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1).
Pagal apibrėžimą

nes kelias integravimo guli plokštumoje yOz, statmenoje ašiai Ox (todėl ir Lygtį atkarpos AB užrašysime pavidale: Taip kaip turime

Lygtį atkarpos CA užrašysime pavidale: Taip kaip turime:

Rezultate gauname:

Parabolė.
  • Apskaičiuosime integralą jeigu AOB - lankas prabolės be to A(1; -1), B(1; 1). Atsižvelgiant į savybes kreivinių integralų, gausime:

Kadangi lanko AO lygtis yra be to lankas OB turi lygtį tai

Šiame pavyzdyje paprasčiau naudoti parametrą y, pakeičiant atitinkamai formulę:

Integravimo keliai sutampa.
  • Apskaičiuosime integralą kur:
a) AB - tiesė sujungianti taškus (0; 0) ir (1; 1);
b) AB - parabolė y=x², sujungianti tuos pačius taškus (0; 0) ir (1; 1);
c) AB - laužtė, pereinanti per taškus (0; 0), (1; 0), (1; 1).
Pagal vieno iš kinamųjų pakeitimo formulę turime:
a)

b)
c)

Vienodo atsakymo gavimas integruojant skirtingais keliais yra dėl to, kad

  • Apskaičiuokime integralą nuo taško O(0; 0) iki taško A(1; 1), kai integravimo kelias L nusakomas lygtimi: a) b) c)
a) Randame Turime:

b) Kadangi tai

c) Iš sąlygos turime: Tuomet

Šiuo atveju pavyzdį galėjome spręsti ir neišreikšdami kintąmąjį y kintamuoju x. Laikykime x funkcija, o y argumentu. Tuomet iš sąlygos turime: y kitimo rėžiai yra nuo 0 iki 1. Dabar duotąjį integralą pakeiskime apibrėžtiniu, įrašydami vietoje x ir dx jų išraiškas:

Visais triais atvejais integravimo pradžia ir pabaiga sutapo, tačiau integruodami galvome skirtingus atsakymus, nes
Prabolė, tiesė AB ir laužtė ACB.
  • Apskaičiuokime integralą

nuo taško A(1; 1) iki taško B(2; 4), kai integravimo kelias L nusakomas:

a) tiesės atkarpa;
b) parabolės lanku;
c) laužte ACB.
a) Iš lygties turime: kitimo rėžiai yra nuo 1 iki 2. Tuomet

b) kai tai ir

c) Integravimo kelią suskaidysime į dvi atkarpas: AC ir CB. Atkarpos AC taškuose x kinta nuo 1 iki 2, todėl kelio AC taškuose atkarpos CB taškuose y kinta nuo 1 iki 4, todėl kelio CB taškuose Tuomet

Visais variantais gavome tokį patį kreivinio integralo atsakymą. Sakoma, kad krivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, o priklauso tik nuo integravimo kreivės pradžios ir pabaigos taškų. Taip yra todėl, kad

Sąlyga, kad kreivinio integralo reikšmė nepriklausytų nuo integravimo kelio[keisti]

Kad integralas nepriklausytų nuo integravimo kelio jis turi tenkint tokią lygybę: arba

Trimatis vektorius su dedamosiomis (projekcijomis koordinačių ašims) išreiškiamas per integralą nepriklauso nuo integravimo kelio, jei:

Prabolė ir tiesė.
  • Apskaičiuosime, pavyzdžiui, integralą pagal atkarpą tiesės AB, jungiančios taškus A(1; 0; 0) ir B(1; 1; 1). Lygtis tiesės AB:

t. y. Išrinkę parametru y, turime:

Apskaičiuosime dabar tą patį integralą pagal lanką prabolės AB, aprašamos lygtimis Parinke parametru y ( ), gausime:

Šis pavyzdys parodo, kad integralo reikšmė priklauso nuo formos kreivės pagal kurią vyksta integravimas. Taip yra todėl, nes

Taip pat skaitykite[keisti]