Antrojo tipo kreivinis integralas fizikoje reiškia jėgų lauko darbą.
Taip pat antrojo tipo kreivinį integralą galima apibrėžti erdvine kreive L:
Funkcijos išreikštos parametrinėmis lygtimis[keisti]
Tarkime, kad kreivės L lanko AB parametrinės lygtis yra 
lanko pradžios tašką A atitinka parametro t reikšme
, o lanko tašką B - reikšmė T. Dar sakykime, kad x(t), y(t) ir jų isvestinės x'(t), y'(t) yra dolydžios atkarpoje [
; T] funkcijos,
- irgi tolydžios kreivės L taškuose funkcijos. Tuomet
Tas pats taikoma ir erdvinei kreivei:
- Apskaičiuokime
kai L - apskritimo
lankas nuo taško
iki taško 
- Įrašę į apskritimo lygtis taškų A ir B koordinates, sužinome, kad tašką A atitinka parametro reikšmė, lygi
o taško B - reikšmė, lygi 
Randame:
Tuomet
- Apskaičiuosime integralą
kur AB - ketvirtis apskritimo
A Atitinka t=0, B atitinka 
- Turime
Gauname
- Apskaičiuosime integralą
palei atkarpą AB, jungiančią taškus A(1; 2; -1) ir B(3; 3; 2).
- Lygtis tiesės AB:


arba parametrinėje formoje:
Atkarpai AB parametras t keičiasi nuo
iki
Todėl,
- Duotame pavyzdyje parametru galima parinkti bet kurį iš kintamųjų x, y arba z.
Pavyzdžiui, parinkę parametru y, užrašysime lygtį atkarpos AB formoje:

Pritaikydami auksčiau išvestą formulę gausime:
- Apskaičiuosime integralą
kur L - viena apvija spiralinės linijos cilindro paviršiumi
nuo
iki 
- Randame:

Apskaičiuosime kiekvieną dalį atskirai.
kur
kur
- Todėl

- Apskaičiuoti darbą jėgos
kai persikelia materialus taškas palei elipsę teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipso nukreipta į centrą elipso ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki centro elipsės.
- Sprendimas. Pagal sąlygą,
koordinatės jėgos
tokios:
[ženklas "
" paaiškinmas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę
turime
čia L - elipsė
Randame
. Todėl,




- Pastebėsime, kad iš to, kad integralas pasirodė lygus nuliui, seka, kad pointegralinė išraiška yra pilnas diferencialas tam tikros funkcijos (raskite šią funkciją savarankiškai).
Apskaičiavimas kreivinių integralų antrojo tipo[keisti]
Jei kreivė AB išreikšta lygtimi
,
kur
- netruki diferencijuojama funkcija, tai
Analogiškai gali būti x(y).
- Apskaičiuosime integralą:
palei lanką AB prabolės
, jei
Parinkę parametru x ir pakeitę
gausime:
- Apskaičiuosime integralą
kur L - lankas prabolės
nuo taško A(0; 0) iki taško B(1; 3).
Gauname:
- Apskaičiuosime integralą
kur L - konturas stačiakampio, padaryto iš tiesių
ir 
- Paveiksle teigiama kryptis apėjimo konturo L paženklinta rodyklėmis. Padalinę visą kontūrą integravimo į dalis, užrašysime:
Lengva pastebėti, kad integralai palei dalis AB ir CD lygus nuliui, todėl, kad ant jų y yra pastovus ir, dėl to
Todėl lieka apskaičiuoti integralus pagal sritis BC ir DA. Pagal formulę [ vietoje x įrašę y ir vietoje y(x) įrašę x(y)], gauname
Takiu budu, galutinai turime
Trikampis trimatėje erdvėje.
- Apskaičiuosime integralą
pagal laužtę ABCA su viršūnėmis A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1).
- Pagal apibrėžimą

nes kelias integravimo guli plokštumoje yOz, statmenoje ašiai Ox (todėl
ir
Lygtį atkarpos AB užrašysime pavidale:
Taip kaip
turime
- Lygtį atkarpos CA užrašysime pavidale:
Taip kaip
turime:
Rezultate gauname:
- Apskaičiuosime integralą
jeigu AOB - lankas prabolės
be to A(1; -1), B(1; 1). Atsižvelgiant į savybes kreivinių integralų, gausime:
Kadangi lanko AO lygtis yra
be to
lankas OB turi lygtį
tai
- Šiame pavyzdyje paprasčiau naudoti parametrą y, pakeičiant atitinkamai formulę:
Integravimo keliai sutampa.
- Apskaičiuosime integralą
kur:
- a) AB - tiesė
sujungianti taškus (0; 0) ir (1; 1);
- b) AB - parabolė y=x², sujungianti tuos pačius taškus (0; 0) ir (1; 1);
- c) AB - laužtė, pereinanti per taškus (0; 0), (1; 0), (1; 1).
- Pagal vieno iš kinamųjų pakeitimo formulę turime:
- a)
![{\displaystyle \int _{AB}3x^{2}y\;dx+(x^{3}+1)dy=\int _{0}^{1}[3x^{2}\cdot x+(x^{3}+1)]dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb40e04e68fbe1d9e138a18e646447a019273fa9)
- b)
![{\displaystyle \int _{AB}3x^{2}y\;dx+(x^{3}+1)dy=\int _{0}^{1}[3x^{2}\cdot x^{2}+(x^{3}+1)2x]dx=\int _{0}^{1}(5x^{4}+2x)dx=(x^{5}+x^{2})|_{0}^{1}=2;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b607c3c90cfbded5d3d12f65166d832c824d950)
- c)

Vienodo atsakymo gavimas integruojant skirtingais keliais yra dėl to, kad


- Apskaičiuokime integralą
nuo taško O(0; 0) iki taško A(1; 1), kai integravimo kelias L nusakomas lygtimi: a)
b)
c) 
- a) Randame
Turime:
- b) Kadangi
tai
- c) Iš sąlygos
turime:
Tuomet
- Šiuo atveju pavyzdį galėjome spręsti ir neišreikšdami kintąmąjį y kintamuoju x. Laikykime x funkcija, o y argumentu. Tuomet iš sąlygos
turime:
y kitimo rėžiai yra nuo 0 iki 1. Dabar duotąjį integralą pakeiskime apibrėžtiniu, įrašydami vietoje x ir dx jų išraiškas:
- Visais triais atvejais integravimo pradžia ir pabaiga sutapo, tačiau integruodami galvome skirtingus atsakymus, nes


Prabolė, tiesė
AB ir laužtė
ACB.
nuo taško A(1; 1) iki taško B(2; 4), kai integravimo kelias L nusakomas:
- a) tiesės
atkarpa;
- b) parabolės
lanku;
- c) laužte ACB.
- a) Iš lygties
turime:
kitimo rėžiai yra nuo 1 iki 2. Tuomet
- b) kai
tai
ir
- c) Integravimo kelią suskaidysime į dvi atkarpas: AC ir CB. Atkarpos AC taškuose x kinta nuo 1 iki 2,
todėl kelio AC taškuose
atkarpos CB taškuose y kinta nuo 1 iki 4,
todėl kelio CB taškuose
Tuomet
- Visais variantais gavome tokį patį kreivinio integralo atsakymą. Sakoma, kad krivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, o priklauso tik nuo integravimo kreivės pradžios ir pabaigos taškų. Taip yra todėl, kad

Sąlyga, kad kreivinio integralo reikšmė nepriklausytų nuo integravimo kelio[keisti]
Kad integralas
nepriklausytų nuo integravimo kelio jis turi tenkint tokią lygybę:
arba
Trimatis vektorius su dedamosiomis (projekcijomis koordinačių ašims)
išreiškiamas per integralą
nepriklauso nuo integravimo kelio, jei:
- Apskaičiuosime, pavyzdžiui, integralą
pagal atkarpą tiesės AB, jungiančios taškus A(1; 0; 0) ir B(1; 1; 1). Lygtis tiesės AB:


t. y.
Išrinkę parametru y, turime:
- Apskaičiuosime dabar tą patį integralą pagal lanką prabolės AB, aprašamos lygtimis
Parinke parametru y (
), gausime:
- Šis pavyzdys parodo, kad integralo
reikšmė priklauso nuo formos kreivės pagal kurią vyksta integravimas. Taip yra todėl, nes
Taip pat skaitykite[keisti]