Aptarimas:Gryno formulė

Ne tas polinomas padalintas (a ir x ne tas pats), bet polinomas gražiai pasidalijo į $5x^{2}+21x$

• Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

$\int _{L}xy\mathbf {d} x+(x^{2}+y^{2})\mathbf {d} y,$ kai L - apskritimas $x^{2}+y^{2}=ax$ (a>0), apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodyklę).

Kadangi skritulyje $x^{2}+y^{2}\leq ax$ funkcijos $P(x,y)=xy$ ir $Q(x,y)=x^{2}+y^{2}$ bei jų dalinės išvestinės ${\partial P \over \partial y}=x$ ir ${\partial Q \over \partial x}=2x$ yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę.

Turime:

$\int _{L}xy\;dx+(x^{2}+y^{2})dy=\iint _{D}(2x-x)\;dx\;dy=\iint _{D}x\;dx\;dy.$

Randame apskritimo y išraišką:

$x^{2}+y^{2}=ax,$

$y^{2}=ax-x^{2},$

$y={\sqrt {ax-x^{2}}}.$

Randame y išvestinę, o paskui ir dy:

$y'={\frac {dy}{dx}}=({\sqrt {ax-x^{2}}})'={\frac {(ax-x^{2})'}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}={\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}};$

$dy={\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\;dx.$

Apskritimo spindulys $R={\frac {a}{2}},$ nes pavyzdžiui, kai $a=3,$ tai $x^{2}+y^{2}=3x.$ Žinome, kad šis apskritimas liečiasi koordinačių pradžios taške O(0; 0) ir kad ašis Ox dalina apskritimą pusiau. Vadinasi, kai $x=0$ ir $y=0,$ tai gauname teisingą lygybę $0^{2}+0^{2}=3\cdot 0.$ Vadinasi taškas (0; 0) priklauso apskritimui $x^{2}+y^{2}=3x.$ Kitas apskritimo taškas yra (3; 0), kuris yra ant Ox ašies. Įstačius taško (3; 0) koordinates į apskritimo lygtį $x^{2}+y^{2}=3x$ gauname $3^{2}+0^{2}=3\cdot 3.$ Žinome, kad taškas (3; 0) yra toliausias taškas ant Ox ašies. Todėl apskritimo $x^{2}+y^{2}=3x$ spindulys yra $R={\frac {3}{2}}={\frac {a}{2}}.$

Kadangi apskritimo $x^{2}+y^{2}=ax$ spindulys yra $R={\frac {a}{2}}$ ir Ox ašis dalina apskritimą per pusę, tai didžiausia y reikšmė gali būti $R={\frac {a}{2}}.$ Vadinasi integravimas vyksta pirmame ir ketvirtame ketvirčiuose. Bet, kadangi, skritulio $x^{2}+y^{2}\leq ax$ plotas yra vienodas ketvirtame ketviryje kaip ir pirmame, tai užtenka apskaičiuoti skritulio plotą tik pirmame ketvirtyje, o paskui gautą plotą padauginti iš dviejų. Kad apskaičiuoti skritulio $x^{2}+y^{2}\leq ax$ plotą pirmame ketvirtyje, turime žinoti integravimo ribas. Nustatome, kad x kinta nuo 0 iki a, o y kinta nuo 0 iki $R={\frac {a}{2}}.$

Taikydami Gryno formulę, integruojame (pasinaudodami internetiniu integratoriumi):

$\iint _{D}xdxdy=2\int _{0}^{a}x(\int _{0}^{\sqrt {ax-x^{2}}}dy)dx=2\int _{0}^{a}x(y|_{0}^{\sqrt {ax-x^{2}}})dx=2\int _{0}^{a}x{\sqrt {ax-x^{2}}}dx=$

$=2\cdot {\frac {{\sqrt {-x(x-a)}}\left(3a^{3}\arctan \left({\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}\right)+{\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}(-3a^{2}-2ax+8x^{2})\right)}{24{\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}|_{0}^{a}=$

$={\frac {3a^{3}\arctan \left({\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}\right)+{\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}(-3a^{2}-2ax+8x^{2})}{12}}|_{0}^{a}=$

$={\frac {3a^{3}\arctan \left({\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {a-a}}}\right)+{\sqrt {a}}{\sqrt {a-a}}(-3a^{2}-2a\cdot a+8a^{2})}{12}}-{\frac {3a^{3}\arctan \left({\frac {\sqrt {0}}{\sqrt {a-0}}}\right)+{\sqrt {0}}{\sqrt {a-0}}(-3a^{2}-2a\cdot 0+8\cdot 0^{2})}{12}}=$

$={\frac {3a^{3}\arctan {\frac {\sqrt {a}}{0}}}{12}}-{\frac {3a^{3}\arctan {\frac {0}{\sqrt {a}}}}{12}}={\frac {3a^{3}\arctan({\text{error}})}{12}}-{\frac {3a^{3}\arctan(0)}{12}}=$

$={\frac {3a^{3}\arctan(\infty )}{12}}-{\frac {3a^{3}\cdot 0}{12}}={\frac {3a^{3}\cdot {\frac {\pi }{2}}}{12}}-0={\frac {3a^{3}\cdot \pi }{24}}={\frac {a^{3}\pi }{8}}.$

Pasitikriname (įstatydami y ir dy ir pasinaudodami internetiniu integratoriumi):

$\int _{L}xy\;dx+(x^{2}+y^{2})dy=\int _{L}x{\sqrt {ax-x^{2}}}\;dx+(x^{2}+({\sqrt {ax-x^{2}}})^{2}){\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\;dx=$

$=2\int _{0}^{a}\left(x{\sqrt {ax-x^{2}}}+(x^{2}+({\sqrt {ax-x^{2}}})^{2}){\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\right)dx=$

$=2\int _{0}^{a}\left(x{\sqrt {ax-x^{2}}}+(x^{2}+ax-x^{2}){\frac {a-2x}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\right)dx=$

$=2\int _{0}^{a}\left(x{\sqrt {ax-x^{2}}}+{\frac {ax(a-2x)}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\right)dx=$

$=2\int _{0}^{a}\left(x{\sqrt {ax-x^{2}}}+{\frac {a^{2}x-2ax^{2}}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}\right)dx=$

$=2\int _{0}^{a}{\frac {2x(ax-x^{2})+a^{2}x-2ax^{2}}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}dx=$

$=2\int _{0}^{a}{\frac {2ax^{2}-2x^{3}+a^{2}x-2ax^{2}}{2{\sqrt {ax-x^{2}}}}}dx=$

$=\int _{0}^{a}{\frac {-2x^{3}+a^{2}x}{\sqrt {ax-x^{2}}}}dx=\int _{0}^{a}{\frac {x(a^{2}-2x^{2})}{\sqrt {ax-x^{2}}}}dx=$

$={\frac {1}{3}}{\sqrt {ax-x^{2}}}(-3a^{2}+4ax+2x^{2})|_{0}^{a}=$

$={\frac {1}{3}}{\sqrt {a\cdot a-a^{2}}}(-3a^{2}+4a\cdot a+2a^{2})-{\frac {1}{3}}{\sqrt {a\cdot 0-0^{2}}}(-3a^{2}+4a\cdot 0+2\cdot 0^{2})=$

$={\frac {1}{3}}{\sqrt {0}}(-3a^{2}+4a^{2}+2a^{2})-{\frac {1}{3}}{\sqrt {0}}(-3a^{2}+0+0)=0-0=0.$

Pastaba, kad taip gauname dalyba iš nulio ir neįmanoma vietomis išintegruoti įstatant a arba 0. Bet gauname kažką panašesnio į teisingą atsakymą:

$=\int _{0}^{a}{\frac {-2x^{3}+a^{2}x}{\sqrt {ax-x^{2}}}}dx=$

$={\frac {x(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3})-3a^{3}{\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{12{\sqrt {-x(x-a)}}}}|_{0}^{a}=$

$=\left({\frac {x(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3})}{12{\sqrt {x(a-x)}}}}-{\frac {3a^{3}{\sqrt {x(a-x)}}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{12{\sqrt {x(a-x)}}}}\right)|_{0}^{a}=$

$=\left({\frac {x(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3})}{12{\sqrt {x(a-x)}}}}-{\frac {3a^{3}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{12}}\right)|_{0}^{a}=$

$=\left({\frac {{\sqrt {x}}(3a^{3}+7a^{2}x-2ax^{2}-8x^{3})}{12{\sqrt {a-x}}}}-{\frac {a^{3}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{a}=$

$=\left({\frac {{\sqrt {x}}(7a^{2}x-2ax^{2}-5x^{3}){\sqrt {a-x}}}{12(a-x)}}-{\frac {a^{3}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{a}.$

Toliau pasinaudojame internetiniu polinomų dalikliu parinkę $a=3$ gauname $(7a^{2}x-2ax^{2}-5x^{3})/(a-x)=(-5x^{3}-6x^{2}+63x)/(-x+3)=5x^{2}+21x.$ Toliau integruojame:

$\left({\frac {{\sqrt {x}}(7a^{2}x-2ax^{2}-5x^{3}){\sqrt {a-x}}}{12(a-x)}}-{\frac {a^{3}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {a-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{a}=$

$=\left({\frac {{\sqrt {x}}(7\cdot 3^{2}x-2\cdot 3x^{2}-5x^{3}){\sqrt {3-x}}}{12(3-x)}}-{\frac {3^{3}\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {3-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{3}=$

$=\left({\frac {(-5x^{3}-6x^{2}+63x){\sqrt {x(3-x)}}}{12(-x+3)}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {3-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{3}=$

$=\left({\frac {(5x^{2}+21x){\sqrt {x(3-x)}}}{12}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {3-x}}}}{4}}\right)|_{0}^{3}=$

$=\left({\frac {(5\cdot 3^{2}+21\cdot 3){\sqrt {3(3-3)}}}{12}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3-3}}}}{4}}\right)-\left({\frac {(5\cdot 0^{2}+21\cdot 0){\sqrt {0(3-0)}}}{12}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {0}}{\sqrt {3-0}}}}{4}}\right)=$

$=\left({\frac {(45+63){\sqrt {3\cdot 0}}}{12}}-{\frac {27\arctan {\frac {\sqrt {3}}{0}}}{4}}\right)-\left(0-{\frac {27\arctan(0)}{4}}\right)=$

$=\left(0-{\frac {27\arctan(\infty )}{4}}\right)-\left(-{\frac {27\cdot 0}{4}}\right)=$

$=\left(-{\frac {27\cdot {\frac {\pi }{2}}}{4}}\right)-0=-{\frac {27\pi }{8}}.$

Kadangi $a^{3}=3^{3}=27,$ tai seniau gautas atsakymas ${\frac {a^{3}\pi }{8}}$ įstačius $a=3$ atitinka ir iš to darome išvada, kad Gryno formulė veikia teisingai (išskyrus minusiuką).

Kvaili sutapimai

• Apskaičiuosime darbą jėgos $F(x,y)$ persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.

Pagal sąlyga, $|F(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};$ Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: $P=-x,$ $Q=-y$ [ženklas "$-$" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime $A=-\oint _{L}xdx+ydy,$ kur L - elipsė $x=a\cos t,\;y=b\sin t,$ $0\leq t\leq 2\pi .$ Todėl

$A=-\int _{0}^{2\pi }a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin(t)b\cos(t)dt=-\int _{0}^{2\pi }(b^{2}-a^{2})\sin(t)\cos t\;dt=$ $={a^{2}-b^{2} \over 2}\int _{0}^{2\pi }\sin(2t)dt={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{2\pi }=0.$

Jei t keistusi nuo 0 iki ${\pi \over 2},$ integralas butu lygus ${a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 2}.$ Tarkime, jei $a=5,\;b=3,$ tai padarytas darbas pirmame ketvirtyje yra $A={a^{2}-b^{2} \over 2}={5^{2}-3^{2} \over 2}={\frac {25-9}{2}}={\frac {16}{2}}=8.$

Kad patikrinti ar apskaičiuota teisingai reikia sudėti visas x reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Taip pat reikia sudėti visas y reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Galiausiai reikia sudėti sumas x ir y reikšmių, kad gauti darbą A pirmame ketvirtyje.

Arba tiesiog darbas yra lygus $A=\sum _{n=1}^{100}{\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}};$ čia $x_{n}$ yra visos x reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki a; analogiškai $y_{n}$ yra visos y reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki b.

Kuris iš šių variantų yra darbas A, paaiškės pasumavus ir paskaičiavus. Sutapimas ar ne, bet $A=3+5=8$ pagal pirmą variantą. Na, o pagal antrą variantą turime:

$A=\sum _{n=1}^{10}{\sqrt {(n(3/10))^{2}+((10-n)(5/10))^{2}}}=$

$A={\sqrt {0.3^{2}+5^{2}}}+{\sqrt {0.6^{2}+4.5^{2}}}+{\sqrt {0.9^{2}+4^{2}}}+{\sqrt {1.2^{2}+3.5^{2}}}+{\sqrt {1.5^{2}+3^{2}}}+$

$+{\sqrt {1.8^{2}+2.5^{2}}}+{\sqrt {2.1^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {2.4^{2}+1.5^{2}}}+{\sqrt {2.7^{2}+1^{2}}}+{\sqrt {3^{2}+0.5^{2}}}=$

$=5.0089919+4.539823785+4.1+3.7+3.354101966+$

$+3.08058436+2.9+2.83019434+2.879236+3.082207=$

$=35.475139351.$

Na, pagal pirmą variantą tikrai ne sutapimas, nes, jei $a=8,\;b=6,$ tai $A=8+6=14$ ir $A={a^{2}-b^{2} \over 2}={8^{2}-6^{2} \over 2}={64-36 \over 2}={\frac {28}{2}}=14.$

Bet ne, vis dėl to tai sutapimas, nes jei $a=8,\;b=7,$ tai $A=8+7=15$ ir $A={a^{2}-b^{2} \over 2}={8^{2}-7^{2} \over 2}={64-49 \over 2}={\frac {15}{2}}=7.5.$

Integruojant gauname:

$A=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}dx=$

$={\frac {1}{340}}(34x-45){\sqrt {34x^{2}-90x+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34x}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}|_{0}^{5}=$

$={\frac {34\cdot 5-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 5^{2}-90\cdot 5+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 5}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {34\cdot 0-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 0^{2}-90\cdot 0+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 0}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {170-45}{340}}{\sqrt {850-450+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {170}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-45}{340}}{\sqrt {225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {125}{340}}{\sqrt {625}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3\cdot 75-170\cdot 5}{5\cdot 75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-9}{68}}\cdot 15-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (0.6)}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {25}{68}}\cdot 25-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {225-850}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {1125\cdot 0.5688248987}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {625}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {-625}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {639.928011}{396.50472884948}}\right)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (-{\frac {5}{3}})}{396.50472884948}}-(-1.98529412-1.613922772)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\cdot (-1.283795663)}{396.50472884948}}-(-3.599216892)=$

$=9.19117647+3.642504151+3.599216892=16.43289751.$

Pastebime, kad $2A/10=2\cdot 16.43289751/10=3.286579503.$

Per daug kodų

• Apskaičiuosime darbą jėgos $F(x,y)$ persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.

Pagal sąlyga, $|F(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};$ Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: $P=-x,$ $Q=-y$ [ženklas "$-$" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime $A=-\oint _{L}xdx+ydy,$ kur L - elipsė $x=a\cos t,\;y=b\sin t,$ $0\leq t\leq 2\pi .$ Todėl

$A=-\int _{0}^{2\pi }a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin(t)b\cos(t)dt=-\int _{0}^{2\pi }(b^{2}-a^{2})\sin(t)\cos t\;dt=$ $={a^{2}-b^{2} \over 2}\int _{0}^{2\pi }\sin(2t)dt={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{2\pi }=0.$

Jei t keistusi nuo 0 iki ${\pi \over 2},$ integralas butu lygus

${a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2\cdot {\pi \over 2}))-{a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2\cdot 0))=$

$={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos \pi +\cos(0))={a^{2}-b^{2} \over 4}(-(-1)+1)={a^{2}-b^{2} \over 2}.$

Tarkime, jei $a=5,\;b=3,$ tai padarytas darbas pirmame ketvirtyje yra $A={a^{2}-b^{2} \over 2}={5^{2}-3^{2} \over 2}={\frac {25-9}{2}}={\frac {16}{2}}=8.$

Kad patikrinti ar apskaičiuota teisingai reikia sudėti visas x reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Taip pat reikia sudėti visas y reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Galiausiai reikia sudėti sumas x ir y reikšmių, kad gauti darbą A pirmame ketvirtyje.

Arba tiesiog darbas yra lygus $A={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}};$ čia $x_{n}$ yra visos x reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki a; analogiškai $y_{n}$ yra visos y reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki b.

Kuris iš šių variantų yra darbas A, paaiškės pasumavus ir paskaičiavus. Sutapimas ar ne, bet $A=3+5=8$ pagal pirmą variantą. Na, o pagal antrą variantą turime:

$A={\frac {1}{10}}\sum _{n=1}^{10}{\sqrt {(n(3/10))^{2}+((10-n)(5/10))^{2}}}=$

$A=({\sqrt {0.3^{2}+5^{2}}}+{\sqrt {0.6^{2}+4.5^{2}}}+{\sqrt {0.9^{2}+4^{2}}}+{\sqrt {1.2^{2}+3.5^{2}}}+{\sqrt {1.5^{2}+3^{2}}}+$

$+{\sqrt {1.8^{2}+2.5^{2}}}+{\sqrt {2.1^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {2.4^{2}+1.5^{2}}}+{\sqrt {2.7^{2}+1^{2}}}+{\sqrt {3^{2}+0.5^{2}}})/10=$

$=(5.0089919+4.539823785+4.1+3.7+3.354101966+$

$+3.08058436+2.9+2.83019434+2.879236+3.041381265)/10=$

$=35.43431361/10=3.543431361.$

Iš tikro, ko gero, mes apskaičiuojame tokiu budu ne darbą atlikta apeinant elipsės liniją pirmame ketvirtyje, o darbą atlikta apeinant tiesę pirmame ketvirtyje. Štai kodas programos "Free Pascal" (FreePascal IDE for Win32 for i386; Target CPU: i386; Version 1.0.12 2011/04/23; <Compiler Version 2.4.4>; <Debugger GDB 7.2>; Copyright <C> 1998-2009):

     var
     a:longint;
     b,d,c:real;
     begin
     c:=0;
       for a:=1 to 10
       do
       c:=c+0.1*sqrt(sqr(a*0.3)+sqr((10-a)*0.5)); 
       writeln(c);
     readln;
     end.

Gauname atsakymą $A=3.19325040614418.$

Arba darome taip (pradedame ne nuo 1, o nuo 0, bet tada reikėtų dalinti iš 11, o ne iš 10 kol a iki mažo skaičiaus skaičiuojamas):

     var
     a:longint;
     b,d,c:real;
     begin
     c:=0;
       for a:=0 to 10
       do
       c:=c+0.1*sqrt(sqr(a*0.3)+sqr((10-a)*0.5)); 
       writeln(c);
     readln;
     end.

Ir gauname atsakymą $A=3.69325040614418.$

Panaudojus šį kodą:

    var
    a:longint;
    c:real;
    begin
      for a:=1 to 10
      do
      c:=c+0.1*sqrt(sqr(a*0.3)+sqr((11-a)*0.5));
      writeln(c);
    readln;
    end.

gauname $A=3.54343136406170.$

Kad gauti tikslesnį atsakymą naudojame šį kodą:

     var
     a:longint;
     b,d,c:real;
     begin
     c:=0;
       for a:=1 to 100
       do
       c:=c+0.01*sqrt(sqr(a*0.03)+sqr((100-a)*0.05)); 
       writeln(c);
     readln;
     end.

Tokiu budu gauname gana tikslų atsakymą $A=3.27664616925457.$

Kad gauti labai tikslų atsakymą naudojame tokį kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
       for a:=1 to 1000000
       do
       c:=c+0.000001*sqrt(sqr(a*0.000003)+sqr((1000000-a)*0.000005)); 
       writeln(c);
   readln;
   end.

Gauname atsakymą $A=3.28657850216630.$

Kad gauti labai labai tikslų atsakymą naudojame šį kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
       for a:=1 to 1000000000  do
       c:=c+0.000000001*sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000000-a)*0.000000005)); 
       writeln(c);
   readln;
   end.

Gauname atsakymą $A=3.28657950114378$ po 22 sekundžių ant 2.6 GHz procesoriaus.

Jei naudojame šį kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
       for a:=0 to 1000000000  do
       c:=c+0.000000001*sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000000-a)*0.000000005)); 
       writeln(c);
   readln;
   end.

tai gauname atsakymą $A=3.28657950614378.$

Panaudojus šį kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
   for a:=1 to 1000000000  do
   c:=c+0.000000001*sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000001-a)*0.000000005));
   writeln(c);
   readln;
   end.

gauname atsakymą $A=3.28657950471730.$

Integruojant gauname:

$A=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}dx=$

$={\frac {1}{340}}(34x-45){\sqrt {34x^{2}-90x+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34x}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}|_{0}^{5}=$

$={\frac {34\cdot 5-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 5^{2}-90\cdot 5+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 5}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {34\cdot 0-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 0^{2}-90\cdot 0+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 0}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {170-45}{340}}{\sqrt {850-450+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {170}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-45}{340}}{\sqrt {225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {125}{340}}{\sqrt {625}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3\cdot 75-170\cdot 5}{5\cdot 75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-9}{68}}\cdot 15-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (0.6)}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {25}{68}}\cdot 25-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {225-850}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {1125\cdot 0.5688248987}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {625}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {-625}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {639.928011}{396.50472884948}}\right)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (-{\frac {5}{3}})}{396.50472884948}}-(-1.98529412-1.613922772)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\cdot (-1.283795663)}{396.50472884948}}-(-3.599216892)=$

$=9.19117647+3.642504151+3.599216892=16.43289751.$

Pastebime, kad $2A/10=2\cdot 16.43289751/10=3.286579503.$ Apskaičiuojame viską nepriekaištingai tiksliai su kompiuterio kalkuliatoriumi:

$A={\frac {625}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (-5/3)}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (3/5)}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=12.833680621236990323769396193322-(-3.5992168895913637545005254840611)=16.432897510828354078269921677383.$

Randame, kad $A/5=16.432897510828354078269921677383/5=3.2865795021656708156539843354766.$

Toliau bandome rasti atlikta darbą apeita tiese $y=3-{\frac {3x}{5}}$ integruojant $A=-\oint _{L}xdx+ydy.$ Randame $dy=-{\frac {3}{5}}\;dx.$ Turime, kad x integravimo ribos yra 0 iki 5, o y integravimo ribos yra nuo 0 iki 3. Gauname:

$A=-\oint _{L}xdx+ydy=-(\int _{0}^{5}x\;dx-{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}})dx)=-\int _{0}^{5}(x-{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}}))dx=$

$=-\int _{0}^{5}(x-{\frac {9}{5}}+{\frac {9x}{25}})dx=-\int _{0}^{5}(-{\frac {9}{5}}+{\frac {25x+9x}{25}})dx=-\int _{0}^{5}({\frac {34x}{25}}-{\frac {9}{5}})dx=$

$=-({\frac {34x^{2}}{25\cdot 2}}-{\frac {9}{5}}x)|_{0}^{5}=-[({\frac {17\cdot 5^{2}}{25}}-{\frac {9}{5}}\cdot 5)-({\frac {17\cdot 0^{2}}{25}}-{\frac {9}{5}}\cdot 0)]=-(17-9)=-8.$

Akivaizdu, kad atsakymas $A=-8$ yra neteisingas, o atsakymas A=8 elipsei yra teisingas, nes elipsės lankas yra ilgesnis nei tiesės atkarpa pirmame ketvirtyje ir pagal sąlygą jėgos dydis proporcingas atstumui nuo centro, todėl elipsės lanko taškai yra toliau nuo centro nei tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ atkarpos taškai. Ir todėl elipsės darbas A=8 yra didesnis už darbą A=3.2865795 tiesės atkarpa.

Pastebime, kad jeigu elipsė būtų apskritimas tai pirmame ketvirtyje atliktas darbas A=0. Taip yra todėl, kad kai x didėja, tada y reikšmės mažėja. Todėl skaičiuoti darbą, ko gero, galėtų būti teisingiau $A=\oint _{L}xdx-ydy$ arba $A=\oint _{L}-xdx+ydy.$ Tuomet akivaizdu, kad $A={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}={\frac {5^{2}+3^{2}}{2}}=17.$

Tą patį darba gauname ir apeinant tiese:

$A=\oint _{L}xdx-ydy=\int _{0}^{5}x\;dx-{\frac {-3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}})dx=\int _{0}^{5}(x+{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}}))dx=$

$=\int _{0}^{5}(x+{\frac {9}{5}}-{\frac {9x}{25}})dx=\int _{0}^{5}({\frac {9}{5}}+{\frac {25x-9x}{25}})dx=\int _{0}^{5}({\frac {16x}{25}}+{\frac {9}{5}})dx=$

$=({\frac {16x^{2}}{25\cdot 2}}+{\frac {9}{5}}x)|_{0}^{5}=({\frac {8\cdot 5^{2}}{25}}+{\frac {9}{5}}\cdot 5)-({\frac {17\cdot 0^{2}}{25}}+{\frac {9}{5}}\cdot 0)=8+9=17.$

Lygiai tą patį darbą gausime ir integruojant taip:

$A=\oint _{L}xdx-ydy=\int _{0}^{5}x\;dx+\int _{0}^{3}y\;dy={\frac {x^{2}}{2}}|_{0}^{5}+{\frac {y^{2}}{2}}|_{0}^{3}={\frac {25}{2}}+{\frac {9}{2}}=17.$

Tą patį gausime ir taip integruojant nuo 0 iki 5:

$A=\int F\;\mathbf {d} F=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}\;\mathbf {d} \left({\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}\right)=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}0.5(x^{2}+(3-3x/5)^{2})^{-0.5}(2x+2(3-3x/5)(-0.6))\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}(x^{2}+(3-3x/5)^{2})^{-0.5}(x-0.6(3-3x/5)\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\frac {{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}(x-1.8+0.36x)}{\sqrt {x^{2}+(3-3x/5)^{2}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}(1.36x-1.8)\;dx=(1.36{\frac {x^{2}}{2}}-1.8x)|_{0}^{5}=$

$=[(0.68x-1.8)x]|_{0}^{5}=(0.68\cdot 5-1.8)\cdot 5=(3.4-1.8)\cdot 5=1.6\cdot 5=8.$

O visgi vadovėliuose nėra kreivės masės skaičiavimo formulių (todėl ir atsakymas neteisingas)

• Nustatyti tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ masę tik pirmame ketvirtyje. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y. $\gamma ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Sprendimas. Pasinaudosime masės skaičiavimo formule

$m=\int _{L}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+\left(3-{\frac {3x}{5}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {3}{5}}\right)^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+9-{\frac {6x}{5}}+{\frac {9x^{2}}{25}}}}{\sqrt {1+{\frac {9}{25}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {9-{\frac {6x}{5}}+{\frac {34x^{2}}{25}}}}{\sqrt {\frac {34}{25}}}\;dx.$

Toliau integruodami gauname:

$m=\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {34x^{2}-30x+225}}\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {34x-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)|_{0}^{5}=$

$=\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {34\cdot 25-30\cdot 5+225}}\left({\frac {25}{2}}-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 5-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {34\cdot 0-30\cdot 0+225}}\left({\frac {0^{2}}{2}}-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 0-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {850-150+225}}{\frac {25\cdot 68-30}{2\cdot 68}}+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {170-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {225}}\left(-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=\left({\frac {5{\sqrt {34}}}{25}}{\sqrt {37}}{\frac {1670}{136}}+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {31}{3{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-\left({\frac {3{\sqrt {34}}}{5}}\left(-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} (-{\frac {1}{\sqrt {33}}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=\left({\frac {\sqrt {1258}}{5}}{\frac {1670}{136}}+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} (1.798802445)}{396.5047288}}\right)-\left(-{\frac {9{\sqrt {34}}}{68}}+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} (-0.174077656)}{396.5047288}}\right)=$

$=\left({\frac {334{\sqrt {1258}}}{136}}+{\frac {7425\cdot 1.349859008}{396.5047288}}\right)-\left(-{\frac {9{\sqrt {34}}}{68}}+{\frac {7425\cdot (-0.173210253)}{396.5047288}}\right)=$

$=\left({\frac {167{\sqrt {1258}}}{68}}+{\frac {10022.7031344}{396.5047288}}\right)-\left(-{\frac {9{\sqrt {34}}}{68}}+{\frac {-1286.086127}{396.5047288}}\right)=$

$=(87.1059615+25.27763834)-(-0.771743633-3.243558105)=$

$=112.3835998-(-4.015301739)=116.3989015.$

X failai (skyrius Jėgos darbas)

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę $A=\int _{BC}Pdx+Qdy.$ Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip: $A=\int _{BC}Pdx+Qdy+Rdz.$

• Apskaičiuosime darbą jėgos $F(x,y)$ persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.

Pagal sąlyga, $|F(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};$ Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: $P=-x,$ $Q=-y$ [ženklas "$-$" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime $A=-\oint _{L}xdx+ydy,$ kur L - elipsė $x=a\cos t,\;y=b\sin t,$ $0\leq t\leq 2\pi .$ Todėl

$A=-\int _{0}^{2\pi }a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin(t)b\cos(t)dt=-\int _{0}^{2\pi }(b^{2}-a^{2})\sin(t)\cos t\;dt=$ $={a^{2}-b^{2} \over 2}\int _{0}^{2\pi }\sin(2t)dt={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{2\pi }=0.$

Jei t keistusi nuo 0 iki ${\pi \over 2},$ integralas butu lygus

${a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2\cdot {\pi \over 2}))-{a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2\cdot 0))=$

$={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos \pi +\cos(0))={a^{2}-b^{2} \over 4}(-(-1)+1)={a^{2}-b^{2} \over 2}.$

Tarkime, jei $a=5,\;b=3,$ tai padarytas darbas pirmame ketvirtyje yra $A={a^{2}-b^{2} \over 2}={5^{2}-3^{2} \over 2}={\frac {25-9}{2}}={\frac {16}{2}}=8.$

Kad patikrinti ar apskaičiuota teisingai reikia sudėti visas x reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Taip pat reikia sudėti visas y reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Galiausiai reikia sudėti sumas x ir y reikšmių, kad gauti darbą A pirmame ketvirtyje.

Arba tiesiog darbas yra lygus $A={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}};$ čia $x_{n}$ yra visos x reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki a; analogiškai $y_{n}$ yra visos y reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki b.

Kuris iš šių variantų yra darbas A, paaiškės pasumavus ir paskaičiavus. Sutapimas ar ne, bet $A=3+5=8$ pagal pirmą variantą. Na, o pagal antrą variantą turime:

$A={\frac {1}{10}}\sum _{n=1}^{10}{\sqrt {(n(3/10))^{2}+((10-n)(5/10))^{2}}}=$

$A=({\sqrt {0.3^{2}+5^{2}}}+{\sqrt {0.6^{2}+4.5^{2}}}+{\sqrt {0.9^{2}+4^{2}}}+{\sqrt {1.2^{2}+3.5^{2}}}+{\sqrt {1.5^{2}+3^{2}}}+$

$+{\sqrt {1.8^{2}+2.5^{2}}}+{\sqrt {2.1^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {2.4^{2}+1.5^{2}}}+{\sqrt {2.7^{2}+1^{2}}}+{\sqrt {3^{2}+0.5^{2}}})/10=$

$=(5.0089919+4.539823785+4.1+3.7+3.354101966+$

$+3.08058436+2.9+2.83019434+2.879236+3.041381265)/10=$

$=35.43431361/10=3.543431361.$

Iš tikro, ko gero, mes apskaičiuojame tokiu budu ne darbą atlikta apeinant elipsės liniją pirmame ketvirtyje, o darbą atlikta apeinant tiesę pirmame ketvirtyje. Štai kodas programos "Free Pascal" (FreePascal IDE for Win32 for i386; Target CPU: i386; Version 1.0.12 2011/04/23; <Compiler Version 2.4.4>; <Debugger GDB 7.2>; Copyright <C> 1998-2009):

    var
    a:longint;
    c:real;
    begin
      for a:=1 to 10
      do
      c:=c+0.1*sqrt(sqr(a*0.3)+sqr((11-a)*0.5));
      writeln(c);
    readln;
    end.

gauname $A=3.54343136406170.$

Panaudojus šį kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
   for a:=1 to 1000000000  do
   c:=c+0.000000001*sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000001-a)*0.000000005));
   writeln(c);
   readln;
   end.

gauname atsakymą $A=3.28657950471730$ po 22 sekundžių ant 2.6 GHz procesoriaus.

Panaudojus šį (teisingesnį) kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
   for a:=0 to 1000000000  do
   c:=c+sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000000-a)*0.000000005))/1000000001;
   writeln(c);
   readln;
   end.

gauname atsakymą $A=3.28657950285701$ po 25 sekundžių ant 2.6 GHz procesoriaus.

Integruojant gauname:

$A=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}dx=$

$={\frac {1}{340}}(34x-45){\sqrt {34x^{2}-90x+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34x}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}|_{0}^{5}=$

$={\frac {34\cdot 5-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 5^{2}-90\cdot 5+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 5}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {34\cdot 0-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 0^{2}-90\cdot 0+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 0}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {170-45}{340}}{\sqrt {850-450+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {170}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-45}{340}}{\sqrt {225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {125}{340}}{\sqrt {625}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3\cdot 75-170\cdot 5}{5\cdot 75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-9}{68}}\cdot 15-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (0.6)}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {25}{68}}\cdot 25-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {225-850}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {1125\cdot 0.5688248987}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {625}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {-625}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {639.928011}{396.50472884948}}\right)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (-{\frac {5}{3}})}{396.50472884948}}-(-1.98529412-1.613922772)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\cdot (-1.283795663)}{396.50472884948}}-(-3.599216892)=$

$=9.19117647+3.642504151+3.599216892=16.43289751.$

(Update: Perskaičiavus gaunasi:

(9,1911764705882352941176470588235+3,6425041506487550296517491344981)-(-3,3088235294117647058823529411765-1,6139227719443049309711137193553)=

=12,833680621236990323769396193322-(-4,9227463013560696368534666605317)=17,756426922593059960622862853854.

Update 2: Ne -3,3088, o -1,9852941176470588235294117647059.)

Pastebime, kad $2A/10=2\cdot 16.43289751/10=3.286579503.$ Apskaičiuojame viską nepriekaištingai tiksliai su kompiuterio kalkuliatoriumi:

$A={\frac {625}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (-5/3)}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (3/5)}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=12.833680621236990323769396193322-(-3.5992168895913637545005254840611)=16.432897510828354078269921677383.$

Randame, kad $A/5=16.432897510828354078269921677383/5=3.2865795021656708156539843354766.$

Toliau bandome rasti atlikta darbą apeita tiese $y=3-{\frac {3x}{5}}$ integruojant $A=-\oint _{L}xdx+ydy.$ Randame $dy=-{\frac {3}{5}}\;dx.$ Turime, kad x integravimo ribos yra 0 iki 5, o y integravimo ribos yra nuo 0 iki 3. Gauname:

$A=-\oint _{L}xdx+ydy=-(\int _{0}^{5}x\;dx-{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}})dx)=-\int _{0}^{5}(x-{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}}))dx=$

$=-\int _{0}^{5}(x-{\frac {9}{5}}+{\frac {9x}{25}})dx=-\int _{0}^{5}(-{\frac {9}{5}}+{\frac {25x+9x}{25}})dx=-\int _{0}^{5}({\frac {34x}{25}}-{\frac {9}{5}})dx=$

$=-({\frac {34x^{2}}{25\cdot 2}}-{\frac {9}{5}}x)|_{0}^{5}=-[({\frac {17\cdot 5^{2}}{25}}-{\frac {9}{5}}\cdot 5)-({\frac {17\cdot 0^{2}}{25}}-{\frac {9}{5}}\cdot 0)]=-(17-9)=-8.$

Akivaizdu, kad atsakymas $A=-8$ yra neteisingas, o atsakymas A=8 elipsei yra teisingas, nes elipsės lankas yra ilgesnis nei tiesės atkarpa pirmame ketvirtyje ir pagal sąlygą jėgos dydis proporcingas atstumui nuo centro, todėl elipsės lanko taškai yra toliau nuo centro nei tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ atkarpos taškai. Ir todėl elipsės darbas A=8 yra didesnis už darbą A=3.2865795 tiesės atkarpa.

Pastebime, kad jeigu elipsė būtų apskritimas tai pirmame ketvirtyje atliktas darbas A=0. Taip yra todėl, kad kai x didėja, tada y reikšmės mažėja. Todėl skaičiuoti darbą, ko gero, galėtų būti teisingiau $A=\oint _{L}xdx-ydy$ arba $A=\oint _{L}-xdx+ydy.$ Tuomet akivaizdu, kad $A={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}={\frac {5^{2}+3^{2}}{2}}=17.$

Tą patį darba gauname ir apeinant tiese:

$A=\oint _{L}xdx-ydy=\int _{0}^{5}x\;dx-{\frac {-3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}})dx=\int _{0}^{5}(x+{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}}))dx=$

$=\int _{0}^{5}(x+{\frac {9}{5}}-{\frac {9x}{25}})dx=\int _{0}^{5}({\frac {9}{5}}+{\frac {25x-9x}{25}})dx=\int _{0}^{5}({\frac {16x}{25}}+{\frac {9}{5}})dx=$

$=({\frac {16x^{2}}{25\cdot 2}}+{\frac {9}{5}}x)|_{0}^{5}=({\frac {8\cdot 5^{2}}{25}}+{\frac {9}{5}}\cdot 5)-({\frac {17\cdot 0^{2}}{25}}+{\frac {9}{5}}\cdot 0)=8+9=17.$

Lygiai tą patį darbą gausime ir integruojant taip:

$A=\oint _{L}xdx-ydy=\int _{0}^{5}x\;dx+\int _{0}^{3}y\;dy={\frac {x^{2}}{2}}|_{0}^{5}+{\frac {y^{2}}{2}}|_{0}^{3}={\frac {25}{2}}+{\frac {9}{2}}=17.$

Tą patį gausime ir taip integruojant nuo 0 iki 5:

$A=\int F\;\mathbf {d} F=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}\;\mathbf {d} \left({\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}\right)=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}0.5(x^{2}+(3-3x/5)^{2})^{-0.5}(2x+2(3-3x/5)(-0.6))\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}(x^{2}+(3-3x/5)^{2})^{-0.5}(x-0.6(3-3x/5)\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\frac {{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}(x-1.8+0.36x)}{\sqrt {x^{2}+(3-3x/5)^{2}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}(1.36x-1.8)\;dx=(1.36{\frac {x^{2}}{2}}-1.8x)|_{0}^{5}=$

$=[(0.68x-1.8)x]|_{0}^{5}=(0.68\cdot 5-1.8)\cdot 5=(3.4-1.8)\cdot 5=1.6\cdot 5=8.$

• Nustatyti tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ masę tik pirmame ketvirtyje. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y. $\gamma ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Sprendimas. Pasinaudosime masės skaičiavimo formule

$m=\int _{L}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+\left(3-{\frac {3x}{5}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {3}{5}}\right)^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+9-{\frac {6x}{5}}+{\frac {9x^{2}}{25}}}}{\sqrt {1+{\frac {9}{25}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {9-{\frac {6x}{5}}+{\frac {34x^{2}}{25}}}}{\sqrt {\frac {34}{25}}}\;dx.$

Toliau integruodami gauname:

$m=\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {34x^{2}-30x+225}}\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {34x-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)|_{0}^{5}=$

$=\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {34\cdot 25-30\cdot 5+225}}\left({\frac {25}{2}}-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 5-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {34\cdot 0-30\cdot 0+225}}\left({\frac {0^{2}}{2}}-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 0-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {850-150+225}}{\frac {25\cdot 68-30}{2\cdot 68}}+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {170-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-\left({\frac {\sqrt {34}}{25}}{\sqrt {225}}\left(-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=\left({\frac {5{\sqrt {34}}}{25}}{\sqrt {37}}{\frac {1670}{136}}+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {31}{3{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-\left({\frac {3{\sqrt {34}}}{5}}\left(-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} (-{\frac {1}{\sqrt {33}}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=\left({\frac {\sqrt {1258}}{5}}{\frac {1670}{136}}+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} (1.798802445)}{396.5047288}}\right)-\left(-{\frac {9{\sqrt {34}}}{68}}+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} (-0.174077656)}{396.5047288}}\right)=$

$=\left({\frac {334{\sqrt {1258}}}{136}}+{\frac {7425\cdot 1.349859008}{396.5047288}}\right)-\left(-{\frac {9{\sqrt {34}}}{68}}+{\frac {7425\cdot (-0.173210253)}{396.5047288}}\right)=$

$=\left({\frac {167{\sqrt {1258}}}{68}}+{\frac {10022.7031344}{396.5047288}}\right)-\left(-{\frac {9{\sqrt {34}}}{68}}+{\frac {-1286.086127}{396.5047288}}\right)=$

$=(87.1059615+25.27763834)-(-0.771743633-3.243558105)=$

$=112.3835998-(-4.015301739)=116.3989015.$

Perskaičiavus gaunas m=41.4470084394957645512263519847-(-4.015301738572567547333986879663)=45.462310178068332098560338864363.

Wolframo integratoriui varžteliai atsisuko, nes integruojant tą patį taip ir taip nuo 0 iki 5 gauname skirtingus atsakymus atitinkamai:

$16.43289751$ ir

${\frac {45.46231018}{\sqrt {\frac {34}{25}}}}=38.98360936.$

Beje, integruojant taip nuo 0 iki 5 gauname:

(13,865120473473883114631633205975+5,0555276680167165753752595311952)-(-0,66176470588235294117647058823529-0,64871162108625555582601097623286)=

=18,92064814149059969000689273717-(-1,3104763269686084970024815644681)=20,231124468459208187009374301638.

Pilna klaidų, bet vis tiek kažkas ne taip integruojant su ${\sqrt {34/25}}$ ir be

• Nustatyti tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ masę tik pirmame ketvirtyje. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y. $\gamma ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Sprendimas. Pasinaudosime masės skaičiavimo formule

$m=\int _{L}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+\left(3-{\frac {3x}{5}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {3}{5}}\right)^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+9-{\frac {6x}{5}}+{\frac {9x^{2}}{25}}}}{\sqrt {1+{\frac {9}{25}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {9-{\frac {6x}{5}}+{\frac {34x^{2}}{25}}}}{\sqrt {\frac {34}{25}}}\;dx.$

Toliau integruodami gauname:

$m={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34x^{2}-30x+225}}\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {34x-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34\cdot 25-30\cdot 5+225}}\left({\frac {25}{2}}-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 5-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34\cdot 0-30\cdot 0+225}}\left({\frac {0^{2}}{2}}-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 0-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {850-150+225}}{\frac {25\cdot 68-30}{2\cdot 68}}+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {170-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {225}}\left(-{\frac {15}{68}}\right)+{\frac {7425\operatorname {arcsinh} {\frac {-15}{15{\sqrt {33}}}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}(373.46372888228+25.27763834)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}(-3.3088235294-3.243558105)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\cdot 398.74136722228-{\frac {\sqrt {34}}{25}}(-6.5523816344)={\frac {405.293749{\sqrt {34}}}{25}}=94.52993411.$

Wolframo integratoriui varžteliai atsisuko, nes integruojant tą patį taip ir taip nuo 0 iki 5 gauname skirtingus atsakymus atitinkamai:

$16.43289751$ ir

${\frac {94.52993411}{\sqrt {\frac {34}{25}}}}=81.05874977.$

Beje, integruojant taip nuo 0 iki 5 gauname:

(13,865120473473883114631633205975+5,0555276680167165753752595311952)-(-0,66176470588235294117647058823529-0,64871162108625555582601097623286)=

=18,92064814149059969000689273717-(-1,3104763269686084970024815644681)=20,231124468459208187009374301638. Na, bent jau apytiksliai gauname kažką panašaus į $3.286579502$:

$m={\frac {\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}}={\frac {20.23112447{\sqrt {\frac {34}{25}}}}{\sqrt {34}}}={\frac {23.59334271}{\sqrt {34}}}={\frac {20.23112447}{5}}=4.046224894.$

Nors šita formulė ir skirta kreivės svorio centro koordinačių nustatymui ($x_{C}=4.046224894$), bet sprendžiant iš kai kurių matematikos vadovelių, kreivės masę galima apskaičiuoti, bet tada, matyt, reikia pačiam sugalvoti formulę, pagal kurią skaičiuoti (nebent ten turima galvoje, kad kreivės ilgis lygus masei, o tankis toks pat visuose kreivės taškuose).

Tačiau, ko gero,

$x_{C}=m={\frac {16.43289751{\sqrt {\frac {34}{25}}}}{\sqrt {34}}}={\frac {19.16388697}{\sqrt {34}}}={\frac {16.43289751}{5}}=3.286579502.$

Wolframo integratorius integruoja skirtingai išskleistą ir neišskleistą funkciją ir skirtingai su skirtingomis konstantomis

(Taip 1.16619*sqrt(9-18*x/5 +(34*x^2)/25) integruojant gauname 19,163865128930380119022361244004; čia 1,16619=(34/25)^(1/2).)

• Nustatyti tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ masę tik pirmame ketvirtyje. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y. $\gamma ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Sprendimas. Pasinaudosime masės skaičiavimo formule

$m=\int _{L}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+\left(3-{\frac {3x}{5}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {3}{5}}\right)^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {9x^{2}}{25}}}}{\sqrt {1+{\frac {9}{25}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {34x^{2}}{25}}}}{\sqrt {\frac {34}{25}}}\;dx.$

Toliau integruodami gauname:

$m={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34x^{2}-90x+225}}\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {34x-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34\cdot 25-90\cdot 5+225}}\left({\frac {25}{2}}-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 5-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34\cdot 0-90\cdot 0+225}}\left({\frac {0^{2}}{2}}-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 0-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {850-450+225}}{\frac {25\cdot 68-90}{2\cdot 68}}+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {170-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {225}}\left(-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}(295.95588235294+18.21252075)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}(-9.926470588-8.0696138597)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\cdot 314.1684031-{\frac {\sqrt {34}}{25}}(-17.99608445)={\frac {332.1644875{\sqrt {34}}}{25}}=77.47340592.$

Wolframo integratoriui varžteliai atsisuko, nes integruojant tą patį taip ir taip nuo 0 iki 5 gauname skirtingus atsakymus atitinkamai:

$16.43289751$ ir

${\frac {77.47340592}{\sqrt {\frac {34}{25}}}}=66.4328975.$

Beje, integruojant taip nuo 0 iki 5 gauname:

[34^0.5]*[(45,955882352941176470588235294118+18,21252075324377514825874567249)-(-9,9264705882352941176470588235294-8,0696138597215246548555685967763)]/25=

=[34^0.5]*[64,168403106184951618846980966608-(-17,996084447956818772502627420306)]/25=

=[34^0.5]*82,164487554141770391349608386914/25=19,163886975712642545064105297031. Na, bent jau apytiksliai gauname kažką panašaus į $3.286579502$:

$m={\frac {\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}}={\frac {19.1638869757{\sqrt {\frac {34}{25}}}}{\sqrt {34}}}={\frac {19.1638869757}{5}}=3.832777395.$

Nors šita formulė ir skirta kreivės svorio centro koordinačių nustatymui ($x_{C}=3.832777395$), bet sprendžiant iš kai kurių matematikos vadovelių, kreivės masę galima apskaičiuoti, bet tada, matyt, reikia pačiam sugalvoti formulę, pagal kurią skaičiuoti (nebent ten turima galvoje, kad kreivės ilgis lygus masei, o tankis toks pat visuose kreivės taškuose).

Tačiau, ko gero,

$x_{C}=m={\frac {16.43289751{\sqrt {\frac {34}{25}}}}{\sqrt {34}}}={\frac {19.16388697}{\sqrt {34}}}={\frac {16.43289751}{5}}=3.286579502.$

Wolframo integratorius tikrai turi problemų tame kaip pateikti integravimo funkciją

• Nustatyti tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ masę tik pirmame ketvirtyje. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y. $\gamma ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Sprendimas. Pasinaudosime masės skaičiavimo formule

$m=\int _{L}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+\left(3-{\frac {3x}{5}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {3}{5}}\right)^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {9x^{2}}{25}}}}{\sqrt {1+{\frac {9}{25}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {34x^{2}}{25}}}}{\sqrt {\frac {34}{25}}}\;dx.$

Toliau integruodami gauname:

$m={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34x^{2}-90x+225}}\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {34x-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34\cdot 25-90\cdot 5+225}}\left({\frac {25}{2}}-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 5-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34\cdot 0-90\cdot 0+225}}\left({\frac {0^{2}}{2}}-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 0-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {850-450+225}}{\frac {25\cdot 68-90}{2\cdot 68}}+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {170-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {225}}\left(-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}(295.95588235294+18.21252075)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}(-9.926470588-8.0696138597)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\cdot 314.1684031-{\frac {\sqrt {34}}{25}}(-17.99608445)={\frac {332.1644875{\sqrt {34}}}{25}}=77.47340592.$

Wolframo integratoriui varžteliai atsisuko, nes integruojant tą patį taip ir taip nuo 0 iki 5 gauname skirtingus atsakymus atitinkamai:

$16.43289751$ ir

${\frac {77.47340592}{\sqrt {\frac {34}{25}}}}=66.4328975.$

Beje, integruojant taip nuo 0 iki 5 gauname:

[34^0.5]*[(45,955882352941176470588235294118+18,21252075324377514825874567249)-(-9,9264705882352941176470588235294-8,0696138597215246548555685967763)]/25=

=[34^0.5]*[64,168403106184951618846980966608-(-17,996084447956818772502627420306)]/25=

=[34^0.5]*82,164487554141770391349608386914/25=19,163886975712642545064105297031.

Wolframo integratorius duoda keistus sutapimus:

$m={\frac {\int _{0}^{5}\gamma dx}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}}={\frac {19.1638869757}{\sqrt {34}}}=3.286579502.$

Nors formulė (${\frac {\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}}$) ir skirta kreivės svorio centro koordinatės nustatymui ($x_{C}$), bet sprendžiant iš kai kurių matematikos vadovelių, kreivės masę galima apskaičiuoti, bet tada, matyt, reikia pačiam sugalvoti formulę, pagal kurią skaičiuoti (nebent ten turima galvoje, kad kreivės ilgis lygus masei, o tankis toks pat visuose kreivės taškuose).

Tačiau, ko gero,

$x_{C}=m={\frac {\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}}={\frac {16.43289751{\sqrt {\frac {34}{25}}}}{\sqrt {34}}}={\frac {19.16388697}{\sqrt {34}}}={\frac {16.43289751}{5}}=3.286579502.$

Uždavinys baigtas spręsti

• Nustatyti tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ masę tik pirmame ketvirtyje. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y. $\gamma ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Sprendimas. Pasinaudosime masės skaičiavimo formule

$m=\int _{L}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+\left(3-{\frac {3x}{5}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {3}{5}}\right)^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {9x^{2}}{25}}}}{\sqrt {1+{\frac {9}{25}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {34x^{2}}{25}}}}{\sqrt {\frac {34}{25}}}\;dx.$

Toliau integruodami gauname:

$m={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34x^{2}-90x+225}}\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {34x-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34\cdot 25-90\cdot 5+225}}\left({\frac {25}{2}}-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 5-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {34\cdot 0-90\cdot 0+225}}\left({\frac {0^{2}}{2}}-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {34\cdot 0-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {850-450+225}}{\frac {25\cdot 68-90}{2\cdot 68}}+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {170-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}\left({\sqrt {225}}\left(-{\frac {45}{68}}\right)+{\frac {5625\operatorname {arcsinh} {\frac {-45}{75}}}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}(295.95588235294+18.21252075)-{\frac {\sqrt {34}}{25}}(-9.926470588-8.0696138597)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{25}}\cdot 314.1684031-{\frac {\sqrt {34}}{25}}(-17.99608445)={\frac {332.1644875{\sqrt {34}}}{25}}=77.47340592.$

Wolframo integratoriui varžteliai atsisuko, nes integruojant tą patį taip ir taip nuo 0 iki 5 gauname skirtingus atsakymus atitinkamai:

$16.43289751$ ir

${\frac {77.47340592}{\sqrt {\frac {34}{25}}}}=66.4328975.$

Beje, integruojant taip nuo 0 iki 5 gauname:

[34^0.5]*[(45,955882352941176470588235294118+18,21252075324377514825874567249)-(-9,9264705882352941176470588235294-8,0696138597215246548555685967763)]/25=

=[34^0.5]*[64,168403106184951618846980966608-(-17,996084447956818772502627420306)]/25=

=[34^0.5]*82,164487554141770391349608386914/25=19,163886975712642545064105297031.

Wolframo integratorius duoda keistus sutapimus:

$m={\frac {\int _{0}^{5}\gamma dx}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}}={\frac {19.1638869757}{\sqrt {34}}}=3.286579502.$

Nors formulė (${\frac {\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}}$) ir skirta kreivės svorio centro koordinatės nustatymui ($x_{C}$), bet sprendžiant iš kai kurių matematikos vadovelių, kreivės masę galima apskaičiuoti, bet tada, matyt, reikia pačiam sugalvoti formulę, pagal kurią skaičiuoti (nebent ten turima galvoje, kad kreivės ilgis lygus masei, o tankis toks pat visuose kreivės taškuose).

Tačiau, ko gero,

$x_{C}=m={\frac {\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}}={\frac {16.43289751{\sqrt {\frac {34}{25}}}}{\sqrt {34}}}={\frac {19.16388697}{\sqrt {34}}}={\frac {16.43289751}{5}}=3.286579502.$

Kad išsiaiškinti teisybę pasinaudosime integralų lentele:

$\int {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\;dx={\frac {b+2ax}{4a}}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+{\frac {4ac-b^{2}}{8a^{3/2}}}\ln |2ax+b+2{\sqrt {a(ax^{2}+bx+c)}}|.$

Tada integruojame:

$\int _{L}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+[y']^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+\left(3-{\frac {3x}{5}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {3}{5}}\right)^{2}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {9x^{2}}{25}}}}{\sqrt {1+{\frac {9}{25}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {9-{\frac {18x}{5}}+{\frac {34x^{2}}{25}}}}{\sqrt {\frac {34}{25}}}\;dx=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\int _{0}^{5}{\sqrt {{\frac {34}{25}}x^{2}-{\frac {18}{5}}x+9}}\;dx=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\int _{0}^{5}{\sqrt {1.36x^{2}-3.6x+9}}\;dx=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2\cdot 1.36x}{4\cdot 1.36}}{\sqrt {1.36x^{2}-3.6x+9}}+{\frac {4\cdot 1.36\cdot 9-(-3.6)^{2}}{8\cdot 1.36^{3/2}}}\ln |2\cdot 1.36x-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36x^{2}-3.6x+9)}}|\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2.72x}{5.44}}{\sqrt {1.36x^{2}-3.6x+9}}+{\frac {48.96-12.96}{8\cdot 2.515456^{1/2}}}\ln |2.72x-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36x^{2}-3.6x+9)}}|\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2.72x}{5.44}}{\sqrt {1.36x^{2}-3.6x+9}}+{\frac {36}{12.68815132}}\ln |2.72x-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36x^{2}-3.6x+9)}}|\right)|_{0}^{5}=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2.72\cdot 5}{5.44}}{\sqrt {1.36\cdot 25-3.6\cdot 5+9}}+2.8372927689\ln |2.72\cdot 5-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36\cdot 25-3.6\cdot 5+9)}}|\right)-$

$-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6+2.72\cdot 0}{5.44}}{\sqrt {1.36\cdot 0^{2}-3.6\cdot 0+9}}+2.8372927689\ln |2.72\cdot 0-3.6+2{\sqrt {1.36(1.36\cdot 0^{2}-3.6\cdot 0+9)}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {10}{5.44}}{\sqrt {34-18+9}}+2.8372927689\ln |13.6-3.6+2{\sqrt {1.36(34-18+9)}}|\right)-$

$-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6}{5.44}}{\sqrt {9}}+2.8372927689\ln |-3.6+2{\sqrt {1.36\cdot 9}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {10}{5.44}}{\sqrt {25}}+2.8372927689\ln |10+2{\sqrt {1.36\cdot 25}}|\right)-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-3.6}{5.44}}\cdot 3+2.8372927689\ln |-3.6+2{\sqrt {12.24}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {50}{5.44}}+2.8372927689\ln |10+2{\sqrt {34}}|\right)-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-10.8}{5.44}}+2.8372927689\ln |-3.6+2{\sqrt {12.24}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\left(9.191176471+2.8372927689\ln |21.66190379|\right)-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\left({\frac {-10.8}{5.44}}+2.8372927689\ln |-3.6+2{\sqrt {12.24}}|\right)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}(9.191176471+8.726250336)-{\frac {\sqrt {34}}{5}}(-1.985294118+3.469823414)=$

$={\frac {\sqrt {34}}{5}}\cdot 17.91742681-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\cdot 1.484529296={\frac {16.43289751{\sqrt {34}}}{5}}=19.16388698.$

Vadinasi, randame tiesės masę kaip prašyta sąlygoje:

$m={\frac {\int _{0}^{5}\gamma {\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+[y']^{2}}}dx}}={\frac {19.16388698}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+\left(-{\frac {3}{5}}\right)^{2}}}dx}}={\frac {19.16388698}{\int _{0}^{5}{\sqrt {1+{\frac {9}{25}}}}dx}}={\frac {19.16388698}{\int _{0}^{5}{\sqrt {\frac {34}{25}}}dx}}=$

$={\frac {19.16388698}{{\frac {\sqrt {34}}{5}}x|_{0}^{5}}}={\frac {19.16388698}{{\frac {\sqrt {34}}{5}}\cdot 5-{\frac {\sqrt {34}}{5}}\cdot 0}}={\frac {19.16388698}{\sqrt {34}}}=3.286579502.$

Iš skyriaus Jėgos darbas neteisingi atsakymai (iš tikro masė yra p, o ne m)

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę $A=\int _{BC}Pdx+Qdy.$ Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip: $A=\int _{BC}Pdx+Qdy+Rdz.$

• Apskaičiuosime darbą jėgos $F(x,y)$ persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.

Pagal sąlyga, $|F(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};$ Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: $P=-x,$ $Q=-y$ [ženklas "$-$" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime $A=-\oint _{L}xdx+ydy,$ kur L - elipsė $x=a\cos t,\;y=b\sin t,$ $0\leq t\leq 2\pi .$ Todėl

$A=-\int _{0}^{2\pi }a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin(t)b\cos(t)dt=-\int _{0}^{2\pi }(b^{2}-a^{2})\sin(t)\cos t\;dt=$ $={a^{2}-b^{2} \over 2}\int _{0}^{2\pi }\sin(2t)dt={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{2\pi }=0.$

Jei t keistusi nuo 0 iki ${\pi \over 2},$ integralas butu lygus

${a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2\cdot {\pi \over 2}))-{a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2\cdot 0))=$

$={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos \pi +\cos(0))={a^{2}-b^{2} \over 4}(-(-1)+1)={a^{2}-b^{2} \over 2}.$

Tarkime, jei $a=5,\;b=3,$ tai padarytas darbas pirmame ketvirtyje yra $A={a^{2}-b^{2} \over 2}={5^{2}-3^{2} \over 2}={\frac {25-9}{2}}={\frac {16}{2}}=8.$

Kad patikrinti ar apskaičiuota teisingai reikia sudėti visas x reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Taip pat reikia sudėti visas y reikšmes ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje. Galiausiai reikia sudėti sumas x ir y reikšmių, kad gauti darbą A pirmame ketvirtyje.

Arba tiesiog darbas yra lygus $A={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}};$ čia $x_{n}$ yra visos x reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki a; analogiškai $y_{n}$ yra visos y reikšmės ant elipsės linijos pirmame ketvirtyje nuo 0 iki b.

Kuris iš šių variantų yra darbas A, paaiškės pasumavus ir paskaičiavus. Sutapimas ar ne, bet $A=3+5=8$ pagal pirmą variantą. Na, o pagal antrą variantą turime:

$A={\frac {1}{10}}\sum _{n=1}^{10}{\sqrt {(n(3/10))^{2}+((10-n)(5/10))^{2}}}=$

$A=({\sqrt {0.3^{2}+5^{2}}}+{\sqrt {0.6^{2}+4.5^{2}}}+{\sqrt {0.9^{2}+4^{2}}}+{\sqrt {1.2^{2}+3.5^{2}}}+{\sqrt {1.5^{2}+3^{2}}}+$

$+{\sqrt {1.8^{2}+2.5^{2}}}+{\sqrt {2.1^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {2.4^{2}+1.5^{2}}}+{\sqrt {2.7^{2}+1^{2}}}+{\sqrt {3^{2}+0.5^{2}}})/10=$

$=(5.0089919+4.539823785+4.1+3.7+3.354101966+$

$+3.08058436+2.9+2.83019434+2.879236+3.041381265)/10=$

$=35.43431361/10=3.543431361.$

Iš tikro, ko gero, mes apskaičiuojame tokiu budu ne darbą atlikta apeinant elipsės liniją pirmame ketvirtyje, o darbą atlikta apeinant tiesę pirmame ketvirtyje. Štai kodas programos "Free Pascal" (FreePascal IDE for Win32 for i386; Target CPU: i386; Version 1.0.12 2011/04/23; <Compiler Version 2.4.4>; <Debugger GDB 7.2>; Copyright <C> 1998-2009):

    var
    a:longint;
    c:real;
    begin
      for a:=1 to 10
      do
      c:=c+0.1*sqrt(sqr(a*0.3)+sqr((11-a)*0.5));
      writeln(c);
    readln;
    end.

gauname $A=3.54343136406170.$

Panaudojus šį kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
   for a:=1 to 1000000000  do
   c:=c+0.000000001*sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000001-a)*0.000000005));
   writeln(c);
   readln;
   end.

gauname atsakymą $A=3.28657950471730$ po 22 sekundžių ant 2.6 GHz procesoriaus.

Panaudojus šį (teisingesnį) kodą:

   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
   for a:=0 to 1000000000  do
   c:=c+sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000000-a)*0.000000005))/1000000001;
   writeln(c);
   readln;
   end.

gauname atsakymą $A=3.28657950285701$ po 25 sekundžių ant 2.6 GHz procesoriaus.

Integruojant gauname:

$A=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}dx=$

$={\frac {1}{340}}(34x-45){\sqrt {34x^{2}-90x+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34x}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}|_{0}^{5}=$

$={\frac {34\cdot 5-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 5^{2}-90\cdot 5+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 5}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {34\cdot 0-45}{340}}{\sqrt {34\cdot 0^{2}-90\cdot 0+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {34\cdot 0}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {170-45}{340}}{\sqrt {850-450+225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}}-{\frac {170}{75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-45}{340}}{\sqrt {225}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3}{5}})}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$={\frac {125}{340}}{\sqrt {625}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {3\cdot 75-170\cdot 5}{5\cdot 75}})}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-9}{68}}\cdot 15-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (0.6)}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {25}{68}}\cdot 25-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {225-850}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {1125\cdot 0.5688248987}{396.50472884948}}\right)=$

$={\frac {625}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} ({\frac {-625}{375}})}{396.50472884948}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {639.928011}{396.50472884948}}\right)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (-{\frac {5}{3}})}{396.50472884948}}-(-1.98529412-1.613922772)=$

$=9.19117647-{\frac {1125\cdot (-1.283795663)}{396.50472884948}}-(-3.599216892)=$

$=9.19117647+3.642504151+3.599216892=16.43289751.$

Pastebime, kad $2A/10=2\cdot 16.43289751/10=3.286579503.$ Apskaičiuojame viską nepriekaištingai tiksliai su kompiuterio kalkuliatoriumi:

$A={\frac {625}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (-5/3)}{68{\sqrt {34}}}}-\left({\frac {-135}{68}}-{\frac {1125\operatorname {arcsinh} (3/5)}{68{\sqrt {34}}}}\right)=$

$=12.833680621236990323769396193322-(-3.5992168895913637545005254840611)=16.432897510828354078269921677383.$

Randame, kad $A/5=16.432897510828354078269921677383/5=3.2865795021656708156539843354766.$

Toliau bandome rasti atlikta darbą apeita tiese $y=3-{\frac {3x}{5}}$ integruojant $A=-\oint _{L}xdx+ydy.$ Randame $dy=-{\frac {3}{5}}\;dx.$ Turime, kad x integravimo ribos yra 0 iki 5, o y integravimo ribos yra nuo 0 iki 3. Gauname:

$A=-\oint _{L}xdx+ydy=-(\int _{0}^{5}x\;dx-{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}})dx)=-\int _{0}^{5}(x-{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}}))dx=$

$=-\int _{0}^{5}(x-{\frac {9}{5}}+{\frac {9x}{25}})dx=-\int _{0}^{5}(-{\frac {9}{5}}+{\frac {25x+9x}{25}})dx=-\int _{0}^{5}({\frac {34x}{25}}-{\frac {9}{5}})dx=$

$=-({\frac {34x^{2}}{25\cdot 2}}-{\frac {9}{5}}x)|_{0}^{5}=-[({\frac {17\cdot 5^{2}}{25}}-{\frac {9}{5}}\cdot 5)-({\frac {17\cdot 0^{2}}{25}}-{\frac {9}{5}}\cdot 0)]=-(17-9)=-8.$

Akivaizdu, kad atsakymas $A=-8$ yra neteisingas, o atsakymas A=8 elipsei yra teisingas, nes elipsės lankas yra ilgesnis nei tiesės atkarpa pirmame ketvirtyje ir pagal sąlygą jėgos dydis proporcingas atstumui nuo centro, todėl elipsės lanko taškai yra toliau nuo centro nei tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ atkarpos taškai. Ir todėl elipsės darbas A=8 yra didesnis už darbą A=3.2865795 tiesės atkarpa.

Pastebime, kad jeigu elipsė būtų apskritimas tai pirmame ketvirtyje atliktas darbas A=0. Taip yra todėl, kad kai x didėja, tada y reikšmės mažėja. Todėl skaičiuoti darbą, ko gero, galėtų būti teisingiau $A=\oint _{L}xdx-ydy$ arba $A=\oint _{L}-xdx+ydy.$ Tuomet akivaizdu, kad $A={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}={\frac {5^{2}+3^{2}}{2}}=17.$

Tą patį darba gauname ir apeinant tiese:

$A=\oint _{L}xdx-ydy=\int _{0}^{5}x\;dx-{\frac {-3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}})dx=\int _{0}^{5}(x+{\frac {3}{5}}(3-{\frac {3x}{5}}))dx=$

$=\int _{0}^{5}(x+{\frac {9}{5}}-{\frac {9x}{25}})dx=\int _{0}^{5}({\frac {9}{5}}+{\frac {25x-9x}{25}})dx=\int _{0}^{5}({\frac {16x}{25}}+{\frac {9}{5}})dx=$

$=({\frac {16x^{2}}{25\cdot 2}}+{\frac {9}{5}}x)|_{0}^{5}=({\frac {8\cdot 5^{2}}{25}}+{\frac {9}{5}}\cdot 5)-({\frac {17\cdot 0^{2}}{25}}+{\frac {9}{5}}\cdot 0)=8+9=17.$

Lygiai tą patį darbą gausime ir integruojant taip:

$A=\oint _{L}xdx-ydy=\int _{0}^{5}x\;dx+\int _{0}^{3}y\;dy={\frac {x^{2}}{2}}|_{0}^{5}+{\frac {y^{2}}{2}}|_{0}^{3}={\frac {25}{2}}+{\frac {9}{2}}=17.$

Tą patį gausime ir taip integruojant nuo 0 iki 5:

$A=\int F\;\mathbf {d} F=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}\;\mathbf {d} \left({\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}\right)=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}0.5(x^{2}+(3-3x/5)^{2})^{-0.5}(2x+2(3-3x/5)(-0.6))\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}(x^{2}+(3-3x/5)^{2})^{-0.5}(x-0.6(3-3x/5)\;dx=$

$=\int _{0}^{5}{\frac {{\sqrt {x^{2}+(3-{\frac {3x}{5}})^{2}}}(x-1.8+0.36x)}{\sqrt {x^{2}+(3-3x/5)^{2}}}}\;dx=$

$=\int _{0}^{5}(1.36x-1.8)\;dx=(1.36{\frac {x^{2}}{2}}-1.8x)|_{0}^{5}=$

$=[(0.68x-1.8)x]|_{0}^{5}=(0.68\cdot 5-1.8)\cdot 5=(3.4-1.8)\cdot 5=1.6\cdot 5=8.$

• Nustatyti tiesės $y=3-{\frac {3x}{5}}$ masę tik pirmame ketvirtyje. Tiesės tankis $\gamma$ tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y. $\gamma ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Sprendimas. Pasinaudosime masės skaičiavimo formule

$$