Matematika/Apibrėžtinis integralas

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Rymano integralo savybės[keisti]

Rymano integralas pasižymi tokiomis savybėmis, kurias gana lengva suprasti, laikant integralą plotu.

  • Stačiakampio, kurio viena kraštinė lygi 0, plotas lygus 0.
  • Jei , tai . T. y. integruojant iš dešinės į kairę, plotas laikomas neigiamu. Taip yra todėl, kad dydžiai integralinėje sumoje yra neigiami.
  • Jei , tai . Plotus galima sudėti, jei jie nesikerta. Dėl praeitos savybės, taip sudėti galima net ir tada, kai yra už intervalo galų, jei tik ten funkcija yra integruojama.
  • Jei ir yra integruojamos kažkokiame intervale, tai integruojama ir šių funkcijų sandauga . Atvirkščias teiginys yra neteisingas.

Skaičiavimas[keisti]

Skaičiuoti Rymano integralą naudojantis apibrėžimu ne visada įmanoma, be to, tai yra labai sudėtinga. Dažniausiai praktikoje naudojama Niutono-Leibnico formulė, kuri sieja neapibrėžtinį integralą su apibrėžtiniu, nors iš esmės tai yra visiškai skirtingi dalykai:

Čia yra viena iš pirmykščių funkcijų. Pavyzdžiui, rasime integralą , t. y. plotą po parabolės šaka, apribota tiesėmis :

Iš pradžių surandame:
Tada į šitą formulę įstatome a ir b reikšmes:

Tada atimame F(a) iš F(b):

Radome plotą esantį po dešine parabolės šaka, kuris apribotas, šiuo atveju, tik viena iš dešinės pusės statmena x ašiai tiese (kurios ilgis yra ).

Pavyzdžiai[keisti]

kur Apibrėžtinio integralo integravimas dalimis:

  • kur
  • Apskaičiuosime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis tankis

  • Keičiame Kadangi , kai ir kai tai

Parabolės.
  • Apskaičiuosime figūros, apribotos kreivių ir plotą.
Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį iš čia Tuomet

Elipsė.
  • Apskaičiuokime figūros, apribotos elipse plotą.
Apskaičiuokime plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanonine lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis Pirmajame ketvirtyje x kinta nuo 0 iki a, todėl t kinta nuo iki 0 (tokias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį vietoje x jo reikšmes 0 ir a). Į formulę vietoje y įrašykime o vietoje įrašykime kadangi Tuomet

  • Apskaičiuosime kūno, apriboto paraboloido ir plokštumos , tūrį.
Jei paraboloidą kirstume plokštuma tai jo pjūvyje gautume elipsę

kurios kanoninė lygtis Tos elipsės pusašės lygios Kadangi (iš ankstesnio pavyzdžio), tai Tuomet

Plotas apribotas parabolės ir tiesės.
  • Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos grafikais funkcijų ir
Rasime abscises taškų susikirtimo tiesės su prabole Išsprendę lygtį

gauname Tai ir yra integravimo ribos. Ieškomas figūros plotas pagal formulę toks:

  • Tą patį plotą apribota parabole ir tiese apskaičiuosime paprastu budu. Surandame su x ašimi susikirtimo tašką parabolės Surandame plotą po parabole kai
Dabar surandame plotą po parabole nuo iki

Dabar iš pirmo ploto po parabole atimame trikampio plotą:
Apatinį (ieškomą) plotą trečiajame ketvirtyje gauname atėmę iš trikampio ploto:
Susumavę viršutinį (virš ašies Ox) ieškomą plotą ir apatinį (po ašimi Ox) ieškomą plotą gauname visą ieškomą plotą apribotą parabolės ir tiesės:
10.16.
  • Pavyzdis. Skritulys, apribotas apskritimo (a>b), sukamas apie ašį Ox (10.16 pav). Apskaičiuokime gauto sukinio, vadinamo toru, tūrį.
Sprendimas. Toro tūris lygus dviejų sukinių tūrių skirtumui: pirmasis sukinys gaunamas sukant kreivinę trapeciją ABCDE, o antrasis - trapeciją ABFDE. Išsprendžiame lygį kintamojo y atžvilgiu:
Lanko BCD lygtis o lanko BFD lygtis
Tuomet toro tūris bus lygus
Pažymėkime: , . Gausime:
Čia pasinaudojome dvigubu faktorialu.
Parinkime a=4, b=3. Tuomet
Patikrinsime ar gausime tą patį atsakymą pasinaudodami integralu lentele Taigi, a=4, b=3. Tuomet
Internetinis integratorius duoda tokį integravimą http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28b%5E2-x%5E2%29%5E%281%2F2%29&random=false .
Pasinaudodami trigonometrija išintegruokime be dvigubo faktorialo, taigi, Todėl, kai a=4, b=3, turime: