Matematika/Kreiviniai integralai

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Šis straipsnis yra apie pirmojo ir antrojo tipo kreivinius integralus.

Pirmojo tipo kreivinis integralas[keisti]

Pirmojo tipo kreivinis integralas naudojamas dvimačio ar trimačio lanko masės apskaičiavimui. Galima apskaičiuoti masę, kai ji pastovi ar kai kinta pagal tam tikrą funkciją. Jeigu masė pastovi, tai jos skaičiavimas sutampa su lanko ilgio skaičiavimu.

  • kai kreivė L apibrėžta lygtimi y=y(x), o
  • Kai kreivė L apibrėžta parametrinėmis lygtimis tai todėl
  • Kai prametrinėmis lygtimis apibrėžta erdvinė kreivė L, tai
  • Kai kreivė L polinėje koordinačių sistemoje apibrėžta lygtimi tai ir

Pavyzdžiai[keisti]

  • Apskaičiuokime integralą kai L - prabolės lankas nuo taško (0; 0) iki taško (1; 1/2).
Remdamiesi sąlyga randame y'=x, Pritaikę pirmą formulę, gauname

kur


  • Apskaičiuosime kreivinį integralą kur AB - parabolės lankas nuo taško (0; 0) iki taško (2; 2).
Turime

Pagal pirmą formulę gauname


  • Apskaičiuokime kreivės lanko L masę, kai tankis kreivės taške yra tiesiog proporcingas to taško ordinatei (y) ir atvirkščiai proporcingas kvadratinei šakniai iš to taško abscisės (), be to, taške jo (tankio) reikšmė lygi 8 g/cm.
Kreivės lanko masę, kai to lanko tankis lygus , apskaičiuosime pagal formulę

Pagal uždavinio sąlyga, tankis lygus čia k - proporcingumo koeficientas. Kadangi , kai tai iš lygybės gauname: k=3. Tuomet, pagal formule, Norėdami apskaičiuoti šį integralą, taikysime pirmą formulę. Iš sąlygos turime ir Tuomet kur Arba galėjome apskaičiuoti integruodami dalimis: kur

cikloidė
  • Apskaičiuokime integralą kai L - pirmoji cikloidės arka.

Taikome antrą formulę. Randame: Tuomet

Pirmąjį integralą integruojame dalimis, pažymėdami gauname

Antrąjį integralą apskaičiuojame taikydami formulę reiškia

Todėl bendras integralas lygus:


  • Reikia apskaičiuoti integralą pagal vieną viją susuktos linijos:

Pagal trečią formulę gauname:


  • Apskaičiuosime integralą kur AB - dalis logoritminės kreivės nuo iki

Pagal pirmą formulę kur


  • Apskaičiuosime kreivinį integralą kur AB - dalis apskritimo
Kadangi

tai pagal antrą formulę gauname


  • Apskaičiuokime kai L - apskritimas
Integralą apskaičiuokime, Dekatro koordinates pakeitę polinėmis. Kreivės L lygtis šioje koordinačių sistemoje yra Randame

Tuomet

Kreivės lanko ilgis[keisti]

Kreivės lanko ilgis randamas pagal šitas formules:

  • kai kreivė L apibrėžta lygtimi y=y(x), o
  • Kai kreivė L apibrėžta parametrinėmis lygtimis tai todėl
Elementariausias pavyzdis, kai reikia perrašyti funkcija parametrinėmis lygtimis. Tuomet pasirenkame (suteikiame parametrus iksui ir igrikui) . Gauname išvestines . Vadinasi integralas atrodys taip:
  • Kai prametrinėmis lygtimis apibrėžta erdvinė kreivė L, tai
  • Kai kreivė L polinėje koordinačių sistemoje apibrėžta lygtimi tai ir
Polinėse koordinatėse taikoma ta pati pitagoro teorema. Geresniam išaiškiniui, tegu (tai spiralės funkcija). Tegu kinta nuo 0 iki Kai x kinta pastoviu greičiu, o y kitimo greitis kinta pagal tam tikrą funkciją, tada turime formulę Polinėse koordinatėse pakeičiame Pagal Pitagoro teoremą Dekarto koordinačių sistemoje sudedame pakelta kvadratu x pastovų pakitimą su y nepastoviu pakitimu (y') pakeltu kvadratu ir paskui traukiame šaknį. Polinėse koordinatėse apskritimo ilgis Vadinasi [spiralės] lanko dalies ilgis yra Mes pridedame prie ir iš sumos ištraukę šaknį gauname kiekvienos lanko atkarpos ilgį. Bet, kadangi mes viską užrašome per o integruojame apskritimu (reikšme didesne), tai viską padaliname iš ir gauname Apėjimas prieš laikrodžio rodyklę nuo 0 iki kinta pastoviu greičiu, tačiau lanko ilgiai priklauso nuo Todėl formulėje ir yra kuris priklauso nuo o kad tenkinti Pitagoro teoremą jis pakeltas kvadratu. Vietoje bus įstatyta o vietoje bus įstatyta ir gausime, kad kiekvienos mažos dalies ilgis yra Čia n (pavyzdžiui, ) nusako į kiek dalių daliname parametrinę reikšmę kuri simbolizuoja lanką ir pastovų apėjimą prieš laikrodžio rodyklę pastoviu greičiu. Todėl Kai mes skaičiuojame kreivės ilgį pagal šitą formulę tai mes pasirenkame, kad arba x arba y kistu pastoviu greičiu (didėtų linijiniai). Taigi, x didėja linijiniai, o y lyginamas su x greičio kitimu ir y didėja arba mažėja ne linijiniai, kai x didėja linijiniai. Taigi, Spindulio dalies ilgis yra Mes galime užrašyti ir Todėl gauname Šiuo atveju didėja linijiniai, o v nelinijiniai, bet pagal tam tikrą funkciją. Kad viskas būtų palyginta per - t. y. per lanko apeimą prieš laikrodžio rodykle, kiekvieną kartą didinant i (i naturalus skaičius), mes turime, kad po kiekvieno i padidėjimo apėjimas vyksta greičiu Todėl, kad prilygtų apėjimo tempui, mes daliname iš ir gauname Tuomet viskas yra suderinta ir kreivės lanko ilgis yra Padalinti reikia visų pirma todėl, kad mes apeiname prieš laikrodžio rodyklę greičiu konstanta didesniu, negu didėja spindulio ilgis.
Baigdami išspręsime pavyzdį, kai surasdami spiralės lanko ilgį:
=95,562904188437929879480297191115-2,6(6)=92,896237521771263212813630524448;
čia ir arba
Va čia "Free Pascal" kodas:
   var
   a:longint;
   c:real;
   begin
   for a:=1 to 628318531  do
   c:=c+0.00000001*sqrt(sqr(sqr(a*0.00000001))+sqr(a*2.0/100000000));
   writeln(c);
   readln;
   end.
kuris duoda atsakymą 92,8962378457359 po 16 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Optimizuotas šio kodo variantas:
   var
   a:longint;
   c,b:real;
   begin
   for a:=1 to 628318531  do
   c:=c+sqrt(sqr(sqr(a*0.00000001))+sqr(a*0.00000002));
   b:=c*0.00000001;
   writeln(b);
   readln;
   end.
duoda atsakymą 92,8962378457489 po 11 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.
Šis kodas:
   var
   a:longint;
   c,b:real;
   begin
   for a:=1 to 62831853  do
   c:=c+sqrt(sqr(sqr(a*0.0000001))+sqr((sqr(a*0.0000001)-sqr((a-1)*0.0000001))/0.0000001));
   b:=c*0.0000001;
   writeln(b);
   readln;
   end.
duoda atsakymą 92,8962389233553 po dviejų sekundžių. Tikslesnė (ne daug tikslesnė, nes kaip tik ir kur reikia apvalint ten 0) šio kodo versija:
   var
   a:longint;
   c,b:real;
   begin
   for a:=1 to 628318531  do
   c:=c+sqrt(sqr(sqr(a*0.00000001))+sqr((sqr(a*0.00000001)-sqr((a-1)*0.00000001))*100000000));
   b:=c*0.00000001;
   writeln(b);
   readln;
   end.
duoda atsakymą 92,8962378085099 po 15 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.
Labiausiai teoriją atitinkantis kodas yra šis:
   var
   a:longint;
   c,b:real;
   begin
   for a:=1 to 1000000000  do
   c:=c+sqrt(sqr(sqr(a*0.0000000062831853))+sqr((sqr(a*0.0000000062831853)-sqr((a-1)*0.0000000062831853))/0.0000000062831853));
   b:=c*0.0000000062831853;
   writeln(b);
   readln;
   end.
duodantis atsakymą 92,8962373310520 po 30 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Su patikslinta reikšme panaudojus kodą:
   var
   a:longint;
   c,b:real;
   begin
   for a:=1 to 1000000000  do
   c:=c+sqrt(sqr(sqr(a*0.000000006283185307179586))+sqr((sqr(a*0.000000006283185307179586)-sqr((a-1)*0.000000006283185307179586))/0.000000006283185307179586));
   b:=c*0.000000006283185307179586;
   writeln(b);
   readln;
   end
gauname atsakymą 92,8962376285006 po 31 sekundės su 2,6 GHz procesoriumi.
Panaudojus vietoje dalybos daugybą () šiame kode:
   var
   a:longint;
   c,b:real;
   begin
   for a:=1 to 1000000000  do
   c:=c+sqrt(sqr(sqr(a*0.0000000062831853))+sqr((sqr(a*0.0000000062831853)-sqr((a-1)*0.0000000062831853))*159154943.0918953));
   b:=c*0.0000000062831853;
   writeln(b);
   readln;
   end.
gauname atsakymą 92,8962373100457 po 24 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Pastebime, kad kodas (dviem kodais aukščiau ir duodantis atsakymą 92,8962378085099), kuris skaičiavo 15 sekundžių turi tokį ryši su šiuo kodu: 24/15=1.6 ir 1000000000/628318531=1.59154943.

Pavyzdžiai[keisti]

  • Apskaičiuokime kreivės lanko ilgį.
Randame Tuomet

Palyginimui, atkarpos ilgis iš taško (0; 0) iki taško (4; ) yra pagal pitagoro teoremą:

  • Apskaičiuosime lanko ilgį pusiaukūbinės parabolės jei Iš lygties randame: Iš pirmos formulės gausime

kur ; . Palyginimui, atkarpos ilgis nuo taško (0; 0) iki taško (5; ) yra:

  • Apskaičiuosime lanko ilgį pusiaukūbinės parabolės jei Iš lygties randame: Gausime

kur ; . Palyginimui, linijos ilgis nuo taško (1; 1) iki taško (5; ) yra

  • Apskaičiuosime parabolės lanko ilgį, kai

Randame . Gauname

čia

Iš kompiuterio kalkuliatoriaus reikšmės (hiperbolinio arksinuso):
Palyginimui, linijos ilgis nuo taško (0; 0) iki taško (5; 25) yra:

  • Apskaičiuosime parabolės lanko ilgį, kai

Randame . Gauname

čia

Iš kompiuterio kalkuliatoriaus reikšmės (hiperbolinio arksinuso):

Palyginimui, tiesės ilgis nuo taško (1; 1) iki taško (5; 25) yra: Čia taip išintegravo Wolfram Research integratorius, kad . Štai nuoroda: http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%281%2B4x%5E2%29%5E%281%2F2%29&random=false .

Toks būdas neteisingas:

Patikriname atsakymą kitu budu:

  • Apskaičiuosime parabolės lanko ilgį, kai

Randame . Gauname

čia

Iš kompiuterio kalkuliatoriaus reikšmės (hiperbolinio arksinuso):


  • Apskaičiuosime parabolės lanko ilgį, kai

Randame . Pasinaudodami integralų lentele , gauname

Palyginimui, linijos ilgis nuo taško (0; 0) iki taško (4; 16) yra

Patikrinsime parbolės lanko ilgį padalindami parabolės šaką į 10 atkarpų-tiesių, kai 0<x<4. Kiekvienos atkarpos projekcijos į Ox ašį ilgis yra 0,4. Todėl reikiau gauti visas x reikšmes:

Dabar toliau reikia surasti visas y reikšmes, įstačius x reikšmes:

Dabar belieka surasti atkarpu ilgius kaip nuo taško (0; 0) iki taško (0,4; 0,16); nuo taško (0,4; 0,16) iki (0,8; 0,64) ir taip toliau:

Toliau reikia sudėti visų atkarpų ilgį, kad gauti parabolės šakos ilgį, kai x kinta nuo 0 iki 4. Gauname:

Padalinus į daugiau dalių atsakymas taptų panašesnis į atsakymą gautą integravimo budu.


  • Apskaičiuosime parabolės lanko ilgį, kai

Randame . Pasinaudodami integralų lentele gauname

Palyginimui, linijos ilgis nuo taško (1; 1) iki taško (4; 16) yra

  • Apskaičiuosime parabolės lanko ilgį, kai

Randame Tada iš integralų lentelės Palyginimui, atkrapos ilgis nuo taško (4; ) iki taško (12; ) yra

  • Apskaičiuosime kreivės lanko ilgį, kai

Randame Gauname

Palyginimui, tiesės ilgis nuo taško (1; 1) iki taško (16; 4) yra


  • Apskaičiuosime kreivės lanko ilgį , kai Randame funkcijos išvestinę Randame kreivės lanko ilgį:


  • Apskaičiuokime cikloidės pirmosios arkos ilgį.
Pirmoji cikloidės arka gaunama, kai parametras t kinta nuo 0 iki Randame:

nes kai Tuomet


  • Rasime lanko AB ilgį susuktos linijos

Pagal trečią formulę:


  • Rasime lanko ilgį kardiodės Pagal ketvirtą formulę turime:

  • Rasime kreivės lanko ilgį, kai Pagal ketvirtą formulę:


Archimedo spiralė.
  • Apskaičiuosime ilgį pirmos vijos Archimedo spiralės:
Pirma vija spiralės pasidaro, keičiantis poliariniui kampui nuo 0 iki Todėl pagal ketvirtą formulę ieškomas ilgis lanko yra


  • Apskaičiuosime vienos vijos linijos ilgį: Tai yra linija apsukta vieną kartą aplink cilindrą, kurio aukštis yra t.

Gauname:

, ,

Randame vienos vijos ilgį:

Kreivės masė[keisti]

Kreivės masė nustatoma pagal formulę
čia kokia nors funkcija.

Pavyzdžiai[keisti]

  • Nustatyti tiesės masę tik pirmame ketvirtyje. Tiesės tankis tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y.
Sprendimas. Pasinaudosime masės skaičiavimo formule
Kad tą patį apskaičiuoti su programa "Free Pascal" reikia surasti tiesės ilgį, kai x kinta nuo 0 iki 5 (tai yra tiesės ilgis tik pirmame ketviryje):
Todėl "Free Pascal" kodas yra toks:
  var
  a:longint;
  c:real;
  begin
  for a:=1 to 1000000000  do
  c:=c+sqrt(sqr(a*0.000000003)+sqr((1000000001-a)*0.000000005));
  writeln(sqrt(sqr(3)+sqr(5))*c/1000000000);
  readln;
  end.
duodantis rezultatą 19,163886990613093 po 18 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.


  • Nustatyti parabolės masę pirmame ketvirtyje, kai x kinta nuo 0 iki 5. Tiesės tankis tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai, t. y.
Sprendimas.
Pasirodo, integruojant taip ir taip gauname tokį patį rezultatą, kuris yra labai sudetingas ir ilgas. Net didžiausioje integralų lentelėje nėra kaip išintegruoti Yra tik bet ir tai integravimas gaunasi su dar dviais pažiūrėjimais į integralų lentelę. Todėl pasinaudojame Free Pascal kodu. Free Pascal kodas, kuris skaičiuoja pagal formulę yra toks:
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+sqr(2*5.0*a/1000000000))*sqrt(sqr(5.0*a/1000000000)+sqr(sqr(5.0*a/1000000000)));
writeln(5*c/1000000000);
readln;
end
ir duoda atsakymą po 48 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Optimizuotas šito kodo variantas:
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+sqr(0.00000001*a))*sqrt(sqr(0.000000005*a)+sqr(sqr(0.000000005*a)));
writeln(0.000000005*c);
readln;
end.
duoda atsakymą po 33 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.
Kitoks kreivės masės apskaičiavimo Free Pascal kodas yra:
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(sqr(0.000000005*a-0.000000005*(a-1))+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*sqrt(sqr(0.000000005*a)+sqr(sqr(0.000000005*a)));
writeln(c);
readln;
end.
kuris duoda atsakymą po 41 sekundės su 2,6 GHz procesoriumi. Optimizuotas šito kodo variantas yra kodas:
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(sqr(0.000000005)+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*sqrt(sqr(0.000000005*a)+sqr(sqr(0.000000005*a)));
writeln(c);
readln;
end
kuris duoda atsakymą po 38 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Dar labiau optimizuotas šito kodo variantas yra:
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(0.000000000000000025+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*sqrt(sqr(0.000000005*a)+sqr(sqr(0.000000005*a)));
writeln(c);
readln;
end.
kuris duoda atsakymą po 38 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi (vadinasi, Free Pascal automatiškai optimizuoja kodą pakeldamas konstantą 0,000000005 kvadratu ir visoms iteracijoms naudodamas gautą 0,000000000000000025 reikšmę).


  • Nustatyti parabolės masę pirmame ketvirtyje, kai x kinta nuo 0 iki 10. Tiesės tankis tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai tik Ox kryptimi, t. y.
Sprendimas. Greičiausias būdas apskaičiuoti, tai ko reikalauja sąlyga (uždavinys) yra toks:
Kitas būdas yra toks:
=669,16822851623458973388183928978 - (2/3)*(1/8)=
=669,16822851623458973388183928978 - 1/12=
=669,08489518290125640054850595645;
čia pasinaudojome integralų lentele
Tuo atveju, jeigu x kinta nuo 0 iki 5 tada:
=84,586453144434159774345479682393-1/12=
=84,50311981110082644101214634906.
Free Pascal kodas duodą tokį patį rezultatą (kai x kinta nuo 0 iki 5):
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(sqr(0.000000005)+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*0.000000005*a;
writeln(c);
readln;
end.
m=84,5031198757743 po 25 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.
Alternatyvus Free Pascal kodas, skaičiuojantis pagal formulę yra šitas:
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+4*sqr(5.0*a/1000000000))*a*5/1000000000;
writeln(c*5/1000000000);
readln;
end.
duodantis atsakymą m=84,5031199367086 po 25 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Optimizuotas jo variantas:
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+4*sqr(5.0*a/1000000000))*a;
writeln(c*sqr(5/1000000000));
readln;
end.
duoda atsakymą m=84,503119936731021 po 23 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi. Dar labiau optimizuotas jo variantas:
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+sqrt(1+4*sqr(0.000000005*a))*a;
writeln(c*sqr(5/1000000000));
readln;
end.
duoda atsakymą m=84,503119936731021 po 17 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi (vadinasi, 1000000000 dalybos operacijų padaroma per 23-17=6 sekundes su 2,6 GHz procesoriumi; tačiau panaudojus šį kodą:
var
a:longint;
c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000  do
c:=c+1/a;
writeln(c);
readln;
end.
gauname atsakymą 21,3004815025070 po 8 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi (beje, )).


  • Nustatyti parabolės masę pirmame ketvirtyje, kai x kinta nuo 0 iki 5. Tiesės tankis tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja proporcingai Ox kryptimi ir Oy kryptimi, t. y.
Sprendimas.
Toliau pasinaudodami Wolframo internetiniu integratoriumi gauname, kad:
=(400,21535937026211982341926834875-0,04684723359840577716947805527494)-(0,08333333333333333333333333333333-0)=
=400,16851213666371404624979029348-0,08333333333333333333333333333333=400,08517880333038071291645696014.
Free Pascal kodas:
 var
 a:longint;
 c:real;
 begin
 for a:=1 to 1000000000  do
 c:=c+sqrt(sqr(0.000000005)+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*(0.000000005*a+sqr(0.000000005*a));
 writeln(c);
 readln;
 end.
duoda atsakymą m=400,085179290551 po 27 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.


  • Nustatyti parabolės masę pirmame ketvirtyje, kai x kinta nuo 0 iki 5. Tiesės tankis tolstant tiesės taškams nuo centro (koordinačių pradžios taško O) didėja pagal formulę
Sprendimas. Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname:

=(62081002,958203958838988831076887+128)/7680=8083,4805935161404738266707131363.
Panaudojus Free Pascal kodą:
 var
 a:longint;
 c:real;
 begin
 for a:=1 to 1000000000  do
 c:=c+sqrt(sqr(0.000000005*a-0.000000005*(a-1))+sqr(sqr(0.000000005*a)-sqr(0.000000005*(a-1))))*sqr(0.000000005*a+sqr(0.000000005*a));
 writeln(c);
 readln;
 end.
gauname atsakymą m=8083,48061127561 po 30 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.
Alternatyvus Free Pascal kodas, skaičiuojantis pagal formulę yra toks:
 var
 a:longint;
 c:real;
 begin
 for a:=1 to 1000000000  do
 c:=c+sqrt(1+sqr(2*0.000000005*a))*sqr(0.000000005*a+sqr(0.000000005*a));
 writeln(c*0.000000005);
 readln;
 end.
ir duoda atsakymą m=8083,4806161241980 po 22 sekundžių su 2,6 GHz procesoriumi.

Sukimo paviršiaus plotas[keisti]

Plotas sukant kokia nors funkcija (pavyzdžiui, parabolę) aplink Ox ašį apskaičiuojamas pagal formule:

Jeigu paviršius gaunamas sukimu aplink ašį Ox kreive AB, nusakomos parametrinėmis lygtimis ir x(t) keičiasi nuo a iki b, keičiantis t nuo iki , tai, pirmoje lygtyje pakeite gauname

Pagaliau, jeigu kreivė užduota lygtimi poliarinėse koordinatėse: kur turi netrūkią išvestine ant tai šis atvejis susiveda į parametrinį uždavima kreivės ir antra formulė priima pavidalą

Sukimo paviršiaus ploto skaičiavimo esmė yra , kur R apskirtimo spindulys. Tai tiesiog, tarsi, vidutinis kreivės [trumpas] atkarpos ilgis padauginamas iš spindulio, kuris yra funkcija y ir Ir gaunama t. y. vienas apsukimas aplink Ox ašį. Toliau gaunama nauja funkcija kuri ir yra integruojama nuo a iki b. Čia yra kreivės lanko ilgis kokiame nors intervale, kai x kinta nuo a iki b.

Pavyzdžiai[keisti]

  • Apskaičiuosime plotą S paviršiaus rutulinio pusiaujo, atsiradusio dėl sukimo pusiauapskritimio, aplink ašį Ox. Pagal pirmą formulę gauname

  • Apskaičiuosime 1/2 rutulio paviršiaus ploto, atsiradusio dėl sukimo pusiauapskritimio (sukama 1/4 apskritimo aplink Ox ašį), aplink ašį Ox, kai R=3. Pagal pirmą formulę gauname

Išvada yra paprasta ir akį režianti: kokį atstuma neimsi kiekviename intervale, ar tai būtų R-2=3-2=1 ar tai būtų 2-1=1, kai R=3, bet paviršiaus plotas visada bus toks pat ir kas svarbiausia teisingas. Nes kai tolstama nuo centro (kai 2 taškai kurie sudaro kreivę link R artėja) tai nuožulnesnis paviršius gaunamas (ilgesnė kreivė-linija, kuri bus sukama aplink Ox ašį), bet trumpesnio ilgio apskritimas gaunasi apsukus aplink Ox ašį. Ir vienas kitą kompensuoja ir visada gaunasi vienodai, nepriklausomai nuo to kokioje srityje paimsi reikšmes (b-a), kurios yra 2 taškai ant Ox ašies.
  • Apskaičiuosime rutulio paviršiaus plotą, atsiradusio dėl sukimo pusiauapskritimio, aplink ašį Ox, kai R=3. Pagal pirmą formulę gauname

Patikriname, kad jei visas rutlio paviršiaus plotas yra , tai dalis rutlio paviršiaus ploto yra Matosi, kad čia nereikia net integruoti ir tas plotas yra kaip arbuzo išpjauta skiltis, tai tos skilties žievė. Ir kad x negali būti daugiau už vieną ir mažiau už -1.
  • Apskaičiuosime rutulio paviršiaus plotą, atsiradusio dėl sukimo pusiauapskritimio, aplink ašį Ox, kai R=3. Pagal pirmą formulę gauname

  • Apskaičiuosime visą rutulio paviršiaus plotą, atsiradusio dėl sukimo pusiauapskritimio, aplink ašį Ox, kai R=3. Pagal pirmą formulę gauname

  • Apskaičiuoti paraboloido paviršiaus plotą, atsiradusio dėl sukimo aplink Ox ašį parabolės , atitinkančiai x kitimosi nuo iki :

kur d(2x+p)=2dx; dx=(d(2x+p))/2.

  • Apskaičiuoti paraboloido paviršiaus plotą, atsiradusio dėl sukimo aplink Ox ašį parabolės , atitinkančiai x kitimosi nuo iki :