Kompleksiniai skaičiai

Iš Wikibooks.

Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:

,

kur a ir brealieji skaičiai, o menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

Nors priimta, kad , tačiau ši išraiška turi būti taikoma su tam tikromis išlygomis.

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais[keisti]

Sudėtis

Atimtis

,

Daugyba

Dalyba

  • .
  • .

Įrodymai[keisti]

Sudėtis

Atimtis

,

Daugyba

Dalyba

  • .
  • .

Dalybos:

.
  • .

Pavyzdys.

.
.
Čia gauto vektoriaus z koordinatės (x; y)=(-7, 26).
Gauto vektoriaus z ilgis :.
,
.
.

Kaip matome naujo vektoriaus z ilgį galima surasti ir be menamojo vieneto i.

.

Kaip matome praktiškai visiškai tiksliai suradome naujo vektoriaus z koordinates (-7, 26), be panaudojimo menamojo vieneto savybių (i2=-1) ir menamasis vienetas atliko tik žymeklio vaidmenį.

Čia mes sudėjome du kampus per kuriuos buvo pasukti nuo x ašies abu vektoriai ((a, b) ir (c, d)). Pavyzdžiui vektorius (a, b) su x ašimi sudaro =~68.2 laipsnių kampą, o vektorius (c, d) su x ašimi sudaro =~36.87 laipsnių kampą. Kai mes sudauginome , tai kampai susidėjo ir atsirado naujas vektorius kurio ilgis ir kuris su x ašimi sudaro =36.87+68.2=~105.07 laipsnių kampą. Kaip matome kampus galima sudėti ir be kompleksinių skaičių, o sudaugintų vektorių ilgius ( ir bei naujo atsiradusio vektoriaus ilgį taip pat rasti be kompleksinių skaičių (o tiksliau be menamojo vieneto i ).

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje[keisti]

  • Kompleksinių skaičių daugyba.
Aukščiau nustatėme, kad dviejų kompleksinių skaičių ir sandauga yra lygi
Sakykime, duoti du bet kokie kompleksiniai skaičiai
ir
Pagal daugybos apibrėžimą ((7.2) formulė)
Pasinaudojome trigonometrinėmis formulėmis:
Vadinasi, sudauginus du kompleksinius skaičius, jų argumentai (pasisukimo nuo ašies Ox kampai) sudedami.
Kai kampai gauname:
Kai kampai ir gauname Muavro formulę, kai n=2:
Indukcijos metodu galima įrodyti Muavro formulę bet kokiam n:
Pastarąją forumulę galima užrašyti ir šitaip:


  • Muavro formulės įrodymas indukcijos metodu.
Remdamiesi kompleksinių skaičių sandaugos (7.7) formule, turime
arba
arba
arba
..........
arba


  • Kompleksinių skaičių dalyba.
Dviejų kompleksinių skaičių ir dalmuo yra lygus
Analogiškai remdamiesi (7.4) formule, įsitikiname, kad kompleksinių skaičių ir dalmuo išreiškiamas šitaip ( nelygus nuliui, t. y. ):
Čia pasinaudojome trigonometrinėmis formulėmis:

Muavro formulė[keisti]

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:


Didelę reikšmę turi vienetinio ilgio kompleksiniai skaičiai, kai r=1.

  • Kai , tai
.

ir t.t. Vienetinio ilgio vektorius kaskart nuo x ašies pasisuka po 45 laipsnius prieš laikrodžio rodyklę (kai kampas laipsniai).

  • Pavyzdžiui turime vieno taško koordinatę 0.6 ir turime koordinatę 0.8. Tada , o . Taigi turime ir . Sudauginus turime: (0.6+0.8i)(0.8+0.6i)=0.48+0.36i+0.64i-0.48=i. Taigi gavome, kad x ašis yra 0, o y ašis yra 1. Taigi gavome tą patį tarsi sudėję du kampus, kur pirmas kampas yra laipsnio, o antras kampas yra laipnsio.
  • Pavyzdys. Duotas kampas laipsnių, kas yra lygu . Ir duotas kampas laipsnių arba . Žinome, kad pirmo taško ant vienetinio apskritimo (kurio spindulys r=1, o centras O=(0; 0)) koordinatės yra , o antro taško koordinatės yra . Žinome, kad ir . Taip pat ir .
Įrodysime, kad kosinuso ir sinuso formulės gautos Teiloro eilutės pagalba yra teisingos (nes kalkuliatorius kosinuso ir sinuso reikšmes skaičiuoja naudodamsis Teiloro eilute, bet galima patikrinti ir betarpiškai įstačius reikšmę į teiloro eilutę kosinuso, tik ilgas tikrinimas gausis).

Sudėsime kampus 60 laispnių ir 15 laipnsių ir tokiu budu gausime kampą 60+15=75 laipsnių. Arba kampus galime sudėti taip: . Dabar sudauginsime kompleksinius skaičius (sudauginsime du taškus):

.
Kampas taipogi gali būti surastas taip:
  • Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra Antro taško koordinatės yra .

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

.
, tai yra lygu 109.4122945 laipsnio.
tai yra lygu 70.58770545 laipsnio. Ir .
, tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.
, tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.
, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
arba laipsnio.


  • Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra Antro taško koordinatės yra .

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

.
, tai yra lygu 62.71183043 laipsnio.
tai yra lygu 62.71183035 laipsnio.
, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
arba laipsnio.
  • Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra Antro taško koordinatės yra .

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

.
, tai yra lygu 78,97203515 laipsnio.
tai yra lygu 78,97203493 laipsnio.
, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
, tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.
, tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.
arba laipsnio.
  • Pavyzdys. Sudėsime 3 kampus laipsnių. Kampas taip pat lygus radiano. Kampo galai yra taškai ir Ir .
, tai yra 30 laipsnių.
, tai yra 60 laipsnių.
, tai yra 90 laipsnių.
  • Pavyzdys. Pasinaudodami kompleksinių skaičių dalybos taisykle , atimsime vieną kampą iš kito. Pirmo taško koordinatės yra , o antro taško koordinatės yra . Atimsime antrą kampą iš pirmo.
.
, tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.
tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.
, tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.
, tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.
, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
arba laipsnio.
Pritaikę vektorių formulę dvimatėms koordinatėms, galime patikrinti, kad:
Šios vektrorių formulės dvimatėms koordinatėms (skirtos kampui atimti) išplaukia iš vektorių formulių, surasti kampui tarp dviejų vektorių:


Muavro formulės panaudojimas sinuso ir kosinuso n-gubų kampų išreiškimui paprastais (viengubais)[keisti]

ir su dideliais n patogu nustatynėti, naudojantis Muavro formule kompleksiniams skaičiams:
iš kur
Reiškinį išdėstėme pagal Binomo formulę.


  • Pavyzdys. Išreikšime ir sinuso ir kosinuso laipsniais.
Pakėlę kubu, gauname
arba
Atskyrę realiąją ir menamąją dalį, turėsime

Kompleksinių skaičių laukas[keisti]

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

Lauke C mes turime:

  • vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
  • vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
  • atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
  • atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b):

Kompleksinių skaičių plokštuma[keisti]

Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).

Trigonometrinė forma[keisti]

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos () dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

,

Čia

,
.

Formulė kai yra vadinama Oilerio formule: .

Šiuo atveju kompleksinis skaičius turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b - y ašimi. Kampas yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b). yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).


Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje[keisti]

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

dalyba:

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

Šaknies traukimo operacija:

- egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai gaunamos reikšmės kartojasi.

Šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje[keisti]

Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus formulė:


  • Pavyzdis. Išskaičiuosime
Čia ir . Iš bendrosios šaknies formulės
Todėl
Nesunku matyti, kad
visiems

Tuo patikriname šaknies traukimą.


  • Ištraukti penkto laipsnio šaknį iš kompleksinio skaičiaus
Sprendimas. Randame spindulį
Toliau taikydami formule galime užrašyti
Pažymėkime:
Dabar žinome, kad arba nes ir Arba ir Bet kadangi realioji dalis neigiama tai o ne
Dabar galime rasti visas šaknis:


  • Ištraukti kubinę šaknį iš ir kai ir
Gauname
Surandame vektoriaus ilgį r (tiek a tiek b ilgis r vienodas):
Padalinę a ir br gausime normalizuotus a ir b [tipo vektorius]:
Atėjo laikas išsiaiškinti kokiuose vienetinio apskritimo ketvirčiuose guli vektoriai ir (kiek laipsnių vektoriai ir pasisukę prieš laikrodžio rodyklę nuo ašies Ox).
Vektoriaus realioji dalis yra su minuso ženklu, o menamoji dalis su pliuso ženklu. Todėl vektoriaus realioji dalis yra ir iš to galima pasakyti, kad vektorius yra arba antrame arba trečiame ketvirtyje. Bet menamoji vektoriaus dalis yra teigiama, todėl vektorius guli antrame ketvirtyje.
laipsnių.
laipsnių.
Vektorius yra antrame ketvirtyje, todėl laipsnių.
Vektorius yra trečiame ketvirtyje, nes realioji dalis ir menamoji dalis yra neigiamos. Trečias ketvirtis yra nuo 180 laipsnių iki 270 laipsnių, todėl negali būti laipsnių. Tačiau
laipsnių (arba 360-19.760326976=340.239673024 laipsnių). Kadangi vektorius guli trečiame ketvirtyje, tai laipsnių (arba radianų).
Pažymėkime
Tada žinodami, kad (0, 1, 2) ir gauname
Radome trys a šaknis. Analogiškai randame trys b šaknis:
Kubinės lygties sprendinys turėtų būti , bet kadangi
tai mes turime sudėti rastas ir reikšmes taip, kad menamosios dalys pasinaikintų ir liktų tik 3 realieji sprendiniai. Tokiu budu gauname trys realiuosius lygties sprendinius:
Arba tiesiog realiąsias dalis padauginti iš 2, o menamąsias dalis ignoruoti. Nes, pavyzdžiui, ir yra jungtiniai kompleksiniai skaičiai, kaip ir kitos dvi poros.
Daugiau apie kubinės lygties sprendimą žiūrėti čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Diskriminantas#Kubinės_lygties_sprendimas_Kordano_metodu

Vieneto šaknys[keisti]

Jei bet kuris kompleksinis skaičius, pakeltas n-tu laipsniu, lygus 1, tai jis yra to laipsnio vieneto šaknis.

  • Pavyzdis. Rasime šaknis ištrauktas iš

Šaknies traukimas iš kompleksinio skaičiaus[keisti]


Patikriname:

  • Turime kompleksinio skaičiaus koordinates . Šis taškas yra ant apskritimo (kurio spindulys r=1) linijos. Žinome, kad it . Tada
radiano arba 36.86989765 laipsnių,
radiano arba 36.86989765 laipsnių.
Rasime šaknį kompleksinio skaičiaus . Taigi:
Patikriname kokį kampą su ašmi Ox sudaro gautos koordinatės esančios ant apskritimo lanko kurio spindulys r=1.
radiano arba 18.43494883 laipsnio,
radiano arba 18.43494882 laipsnio.
Naujai gautas kampas yra pusė pradinio kampo, nes

laipsnio,

Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus įrodymas[keisti]

Dabar įrodysime, kad kvadratinė šaknis iš kompleksinio skaičiaus visada yra kompleksinis skaičius.

Tegu iš kompleksinio skaičiaus turime ištraukti kvadratinę šaknį. Jei ta šaknis yra kompleksinis skaičius, tai, pažymėję jį , turėsime:
Iš čia gauname lygčių sistemą:
{
{
Abi puses pakeliame kvadratu:
{
{
Sudedame dvi lygtis ir gauname:
Pridėję prie paskutinės lygties lygtį gauname:
iš lygties atėmę lygtį gauname:
Iš to gauname:
Šios gautos ir reikšmės turi tenkinti pirmos sistemos antrą lygtį Todėl jei teigiamas skaičius, tai ir reikia imti su tais pačiais ženklais, o jeigu yra neigiamas skaičius, tai ir reikia imti su priešingais ženklais.

Kompleksinio skaičiaus argumentas[keisti]

Kompleksinio skaičiaus z argumentas nusako kiek laipsnių (arba radianų) kompleksinio skaičiaus taškas (arba vektorius) pasisukęs nuo teigiamos Ox ašies prieš laikrodžio rodyklę ir žymimas
Pavyzdžiui, jei tai
Jei tai


Pavyzdžiai[keisti]

  • Duoti du normalizuoti kompleksiniai skaičiai:
(normalizuoti reiškia, kad jų ilgiai lygūs ; gal reikėtų sakyti, normuoti, arba vienetinio ilgio).
Rasime ir
Taigi, gavome laipsnių ir laipsniai.


  • Apskaičiuoti argumentą
Sprendimas.

Jungtiniai kompleksiniai skaičiai[keisti]

Kompleksinio skaičiaus jungtinis kompleksinis skaičius yra Savaime aišku, kompleksinis skaičius lygus nuliui tada ir tik tada, kai jo jungtinis skaičius lygus nuliui.
Pavyzdžiai
  • Kompleksiniai skaičiai ir yra jungtiniai (vienas kito atžvilgiu).
  • Kompleksinio skaičiaus jungtinis kompleksinis skaičius yra


Suma ir sandauga jungtinių kompleksinių skaičių yra realieji skaičiai. Iš tiesu,
Jungtinių kompleksinių skaičių savybės
1) nes
2) nes
3) nes
4) nes


Jeigu skaičius kokiu nors budu išreikštas per kompleksinius skaičius taikant sudėtį, daugybą, atimtį ir dalybą, tai pakeičiant visus skaičius į jiems jungtinius (pakeičiant į ), mes gausime skaičių jungtinį skaičiui (gausime ).


Svarbios nelygybės[keisti]

Kompleksinio skaičiaus modulis yra jo (vektoriaus) ilgis ir lygus
Dviejų kompleksinių skaičių sandaugos modulis lygus tų kompleksinių skaičių modulių sandaugai. T. y., jei duoti du kompleksiniai skaičiai ir tai
Ši lygybė išplaukia iš kompleksinių skaičių daugybos trigonometrinėje formoje. Iš tikro, jei duoti du kompleksiniai skaičiai ir tai ir nes
1 pav. OB < OA + AB.
Kompleksinių skaičių sumos moduliui yra tokios svarbios nelygybės:
t. y. sumos modulis dviejų kompleksinių skaičių mažesnis arba lygus sumai modulių dėmenų, bet didesnis arba lygus skirtumui šitų modulių. (11) nelygybė išplaukia iš žinomos teoremos elementariosios geometrijos apie trikampio kraštines žinant, kad lygus lygiagretainio įsitrižainei su kraštinėmis ir
Iš 1 paveikslėlio matyti, kad ir vektorių ilgių suma yra didesnė už vektoriaus ilgį (t. y. arba OB < OA + AB).
(11) nelygybėse lygybės ženklas gali būti gautas tik kai ir 0 guli ant vienos tiesės.
Iš (11), atsižvelgiant į tai, kad ir
išplaukia taip pat nelygybės
t. y. skirtumo moduliui tinka tokios pat nelygybės kaip ir sumos moduliui.
Nelygybes (11) galima buvo gauti taip pat štai tokiu budu. Tegu ir tegu trigonometrinė forma skaičiaus yra Sudėdami atskirai realiąsias ir atskirai menamąsias dalis, gauname:
padaugindami abi dalis pirmos lygybės iš abi dalis antros lygybės — iš ir sudedami, gauname:
t. y.
Iš čia, kadangi kosinusas niekada nebūna daugiau už vientetą, seka nelygybė t. y.
Iš kitos pusės,
Iš čia, pagal įrodyta ir iš (12),
[ ]
( modulyje mažiau gali sumažint [] nei pridėti pats modulis )
iš kur
Tenka pastebėti, kad kompleksiniams skaičiams supratimai "daugiau" ir "mažiau" negali būti protingai nustatyti, nes šitie skaičiai, skirtingai nei realieji skaičiai, yra ne ant tiesios linijos, kurios taškai aiškiu budu sutvarkyti, o ant plokštumos. Todėl pačius kompleksinius skaičius (o ne jų modulius) niekada negalima sujunginėti nelygybės ženklais.


Šios nelygybės reikalingos įrodinėjant pagrindinę algebros teoremą. Pagrindinė algebros teorema kompleksinių skaičių yra tokia:
Bet koks polinomas su bet kokiais skaitiniais koeficientais, laipsnis kurio ne mažesnis už vienetą, turi bent vieną šaknį, bendru atveju kompleksinę.

Nuorodos[keisti]