Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.
Naudosime tokį žymėjimą: x, x1, x2 ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.
Pagrindinė algebros teorema
[keisti]
-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).
Bendra forma:
Sprendinys:
Nepilnoji kvadratinė lygtis
[keisti]
Bendra forma:
Sprendimas:
Pilnoji kvadratinė lygtis
[keisti]
Bendra forma:
Sprendimas:
randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:
Tada jei
, tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:
- Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.



- Patikriname:


Tuo atveju, kai lygties šaknys kompleksiniai skaičiai
[keisti]
- Lygties
sprendiniai


- kurie yra kompleksiniai skaičia randami taip:



- Lygties
sprendiniai


- kurie yra kompleksiniai skaičia randami taip:


- Pavyzdis. Rasti sprendinius lygties

- Sprendimas.



- Patikriname, kad




- ir




Kvadratinė lygtis, kurios 
[keisti]
Bendra forma:
Sprendimas:
iškeliame x prieš skliaustus:
Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad
Kvadratinė lygtis, kurios 
[keisti]
Duota kvadratinė lygtis:

kurią perrašome taip:

- Čia

- Todėl:








Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks
[keisti]
Duota kvadratinė lygtis:


kurią perrašome taip:

- Čia

- Todėl:








Bendra forma:
Sprendimas:
pažymime
, tada
.
,
o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra
ir
.
Grįžtame prie pažymėjimo:
,
o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius
.
Jei yra lygtis

- Tai



- ir taip toliau, kur

Jei yra lygtis

- tai lygties sprendiniai:


Jei yra lygtis

- tai lygties sprendiniai:



Ketvirto laispnio lygtis
[keisti]
Jei yra lygtis

- tai lygties sprendiniai:




Bendra forma:
Sprendimas:
Lygtį padalijame iš a ir keitiniu
,
pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą
.
Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:
Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:
1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.
2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.
3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.
Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis
Kai D > 0, ši šaknis vienintelė
Kai D ≤ 0, tai lygtį
padaliję iš reiškinio
, gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.
Kubinė lygtis, kurios 
[keisti]
Bet kokia kūbinė lygtis, kurios
yra išsprendžiama be jokių sunkumu.
- Pavyzdis Turime kūbinę lygtį
be skaičiaus d. Tuomet ją sprendžiame taip:


- Vadinasi arba x=0 arba

Išsprendžiame kvadratinę lygtį ir gauname tris realiasias šaknis arba dvi, arba vieną x=0, kai diskriminantas neigiamas.
Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu
[keisti]
Yra kubinė lygtis:

- Pakeičiame
gauname:








- Pažymime
ir pakeitę gauname:

- Tegu
yra sprendinis lygties
(pagal teorema lygtis
turi 3 kompleksines šaknis). Įvedame pagalbinį u ir tikimes, kad polinomas

- padės surasti
[jei lygtis
bus teisingai išspresta].
- Polinomo koeficientai - kompleksiniai skaičiai, ir todėl jis turi dvi kompleksines šaknis
ir
, be to, pagal Vijeto formulę,


- Įstatę
į lygtį
gauname:




- Iš lygties
turime, kad:


- Todėl gauname:



- Dabar turime nauja gabaliuką iš Vijeto teoremos, tai yra lygtis
Mes žinome, kad koeficientas q priklauso lygčiai
. Todėl taip pat turime padaryti ir su kitu gabaliuku, kad sudėtos ir sudaugintos dalys duotų koeficientus (b ir c Vijeto teoremoje žymimi kvadratinėje lygtyje), taigi pakeliame kubu lygtyje
narius
,
ir kitą pusę. Ir gauname:

- Šios dalys
yra g ir s koeficientai kvadratinės lygties
kuri turi sprendinius
ir
(iš Vijeto teoremos). Taigi, užtenka paaiškinimų, o dabar įstatome koeficientus į kvadratinę lygtį ir gauname:

- Randame diskriminantą:

- Randame sprendinius:
![{\displaystyle z_{1}={\frac {-g+{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {-q+{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}}}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot (-q+{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}}),\quad \alpha ={\sqrt[{3}]{z_{1}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-q+{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}})}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b116a7e202b419da6bd7501bbd40be9b90b531)
![{\displaystyle z_{2}={\frac {-g-{\sqrt {D}}}{2}}={\frac {-q-{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}}}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot (-q-{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}}),\quad \beta ={\sqrt[{3}]{z_{2}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-q-{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7986a6136b34758bb61f77a0db293dd99a868adc)
- Toliau
ir
įsistatome į lygtį
kad surasti lygties
sprendinį (šaknį)
. Taigi, gauname:
![{\displaystyle x_{0}=\alpha +\beta ={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-q+{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}})}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-q-{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7304dbbaefa6301fcd991f8acd1a5142a39f6d)
![{\displaystyle x_{0}=\alpha +\beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af86908d9d0f935dc6837ee811aa6d4e1fe82b9)
- Kalbant apie kompleksinius sprendinius, negalima imti tokių sprendinių, kurie netenkina salygos


- Na, o visi sprendiniai yra šie:



- Jei sudėti ant apskritimo, kurio spindulys r=1, taškus
ir
, tai
laipsnių, o
laipsnių. Na o
, todėl
laipsnių (arba 0 laipsnių).


- Pavyzdis. Išspresti lygtį

- Keitinys
(čia a yra koeficientas esantis prie
) suprastina šitą lygtį į tokią lygtį:





- Čia
,
, todėl

- t. y. lygtis
turi vieną tikrąjį ir du kompleksinius sprendinius.
- Pagal formulę:
![{\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {-9}{2}}+{\sqrt {{\frac {(-9)^{2}}{4}}+{\frac {(-6)^{3}}{27}}}}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}+{\frac {7}{2}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {16}{2}}}={\sqrt[{3}]{8}}=2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02632476cac911a9cac17c410dcf43b51d9b750a)
![{\displaystyle \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {-9}{2}}-{\sqrt {{\frac {(-9)^{2}}{4}}+{\frac {(-6)^{3}}{27}}}}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}-{\frac {7}{2}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {2}{2}}}={\sqrt[{3}]{1}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7167b33f98d49f2ee2f28832f10cba1cd2e887dd)
- Todėl
t. y.
. Du kitus sprendinius rasime pagal formules:


- Iš čia gauname, kad sprendiniai užduotos lygties yra skaičiai:



- Patikriname, kai
, tai:
- Patikriname, kai
, tai:

- Pavyzdis. Išspręsti lygtį
- Čia
,
, todėl

![{\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {16}{2}}+{\sqrt {0}}}}={\sqrt[{3}]{-8+0}}={\sqrt[{3}]{-8}}=-2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4cac29467da66c6dbbc513910382b090d5bc29)
![{\displaystyle \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {16}{2}}-{\sqrt {0}}}}={\sqrt[{3}]{-8}}=-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af97c4a74706e7779564949c24a28444402da5f)
- Iš čia seka:
t. y.
Todėl



- Patikriname įstatę
ir gauname:

- Patikriname įstatę
ir gauname:

- Pasinaudodami šiuo pavyzdžiu patvirtinsime šias formules:




- čia
,
,
,
,
. Atitinkamai turime:




- Kai
tai



- Taip pat ir su q, kai
tai



- Pavyzdis. Išspręsti lygtį
- Čia
,
, todėl

- Tokiu atveju, jeigu pasilikti srityje realiųjų skaičių, Kardano formulė šiai lygybei netinka, nors šios lygties sprendiniai ir yra 2, 3 ir
.
- Kaip galima išspręsti šitą lygtį žiūrėti čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Kompleksiniai_skaičiai#Šaknies_traukimo_operacijos_trigonometrinėje_formoje
Kanoninė forma:

- Padaliname iš a ir įvedame vietoje x naują kintamjį

- kur
ir 
- Kardano sprendiniai

kur
- o
ir
yra sprendiniai lygties
t. y. 
- Tuo atveju, kai
tris tikrieji sprendiniai išreiškiami kompleksiniais dydžiais, ir protinga naudotis lentelės skaičiavimo budu.
- Pavyzdis.
Čia p=2, q=1; 
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {9}}}}={\sqrt[{3}]{-1+3}}={\sqrt[{3}]{2}}=1.25992105,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3deb984685c0b34825a46a695ad2f50b81c0b47)
![{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}={\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {9}}}}={\sqrt[{3}]{-1-3}}={\sqrt[{3}]{-4}}=-1.587401052,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1575a4b542483dbc82ff0fde0576bb838f1e03)
- Tikrasis sprendinis yra
![{\displaystyle y_{1}=u+v={\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{-4}}=1.25992105-1.587401052=-0.327480002;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15f56e9fd32b44eaab90e3579ddf838a2a7a2bc)
- Kompleksiniai sprendiniai:
- Patikriname:
- Pavyzdis.
Čia p=1/3, q=1/2; 
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {0.287037037}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}+0.535758375}}={\sqrt[{3}]{0.035758375}}=0.329452338,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327a5d565ce2e6dd58ec5f741240eb1360816db3)
![{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}-{\sqrt {0.287037037}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{2}}-0.535758375}}={\sqrt[{3}]{-1.035758375}}=-1.011780142,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c21ebe6d62050c93bfb74ec18a52445463154b)
- Tikrasis sprendinis yra

- Patikriname:

- Pavyzdis.
Čia p=7/3=2.3(3), q=18/2=9; 
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}={\sqrt[{3}]{-9+{\sqrt {93.7037037}}}}={\sqrt[{3}]{-9+9.68006734}}={\sqrt[{3}]{0.680067339}}=0.879394961,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d324be3fe7e5424a3a66a3e8745d5b4d7ce57229)
![{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}={\sqrt[{3}]{-9-{\sqrt {93.7037037}}}}={\sqrt[{3}]{-9-9.68006734}}={\sqrt[{3}]{-18.68006734}}=-2.65333944,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d623d6363d53856aa0e1add31d58c1c7d06501a)
- Tikrasis sprendinis yra

- Patikriname:

Kūbinės lygties sprendiniai
[keisti]
Jei duota lygtis

- tai jos 3 sprendiniai yra šie:
- Pavyzdis. Rasime lygties
realųjį sprendinį. Gauname:
![{\displaystyle =-{\frac {5}{3}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-223}{54}}+{\sqrt {{\frac {-4096}{729}}+17.05384088}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-223}{54}}-{\sqrt {{\frac {-4096}{729}}+17.05384088}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf4e07335382ce5151bdd9db585db7bd77ca2e3)
![{\displaystyle =-{\frac {5}{3}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-223}{54}}+{\sqrt {11.43518519}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-223}{54}}-{\sqrt {11.43518519}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7410f4867c1d7a3305c1964b259618789ecf94)
![{\displaystyle =-{\frac {5}{3}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-223}{54}}+3.381595065}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-223}{54}}-3.381595065}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e14919f699ad8f91f78918a1cc9f9f1f9b405d)
![{\displaystyle =-{\frac {5}{3}}+{\sqrt[{3}]{-0.748034565}}+{\sqrt[{3}]{-7.511224695}}=-{\frac {5}{3}}-0.907765950-1.958409849=-{\frac {5}{3}}-2.866175799=-4.532842466.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3075315cec70d48e3dd108ec7da627585929a2e)
- Patikriname:


- Pavyzdis. Rasime lygties
realųjį sprendinį. Gauname:
![{\displaystyle =-1+{\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}+{\sqrt {-8+20.25}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}-{\sqrt {-8+20.25}}}}=-1+{\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}+{\sqrt {12.25}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}-{\sqrt {12.25}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fdc76cd37e262291ad562b9378d063a39c8e368)
![{\displaystyle =-1+{\sqrt[{3}]{4.5+3.5}}+{\sqrt[{3}]{4.5-3.5}}=-1+{\sqrt[{3}]{8}}+{\sqrt[{3}]{1}}=-1+2+1=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541de74179b8f578aefdf61bd9a3c63d4030538c)
- Patikriname:

- Pavyzdis. Rasime lygties
realųjį sprendinį. Gauname:
![{\displaystyle =-{\frac {2}{3}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {308}{54}}+{\sqrt {29.51851852}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {308}{54}}-{\sqrt {29.51851852}}}}=-{\frac {2}{3}}+{\sqrt[{3}]{11.13679845}}+{\sqrt[{3}]{0.270608957}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5980539f2701fe4bf9f9c909ab7fc6e5bc7ee49d)

- Patikriname:
