Diskriminantas

Iš Wikibooks.
Peršokti į: navigacija, paiešką

Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.

Naudosime tokį žymėjimą: x, x1, x2 ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.

Pagrindinė algebros teorema[keisti]

-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).

Tiesinė lygtis[keisti]

Bendra forma:

Sprendinys:

Nepilnoji kvadratinė lygtis[keisti]

Bendasdzcra forma:

Sprendimas:

Pilnoji kvadratinė lygtis[keisti]

Bendra forma:

Sprendimas:

randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:

Tada jei , tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

  • Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.
Patikriname:

Tuo atveju, kai lygties šaknys kompleksiniai skaičiai[keisti]

Lygties sprendiniai
kurie yra kompleksiniai skaičia randami taip:


Lygties sprendiniai
kurie yra kompleksiniai skaičia randami taip:


  • Pavyzdis. Rasti sprendinius lygties
Sprendimas.
Patikriname, kad
ir

Kvadratinė lygtis, kurios [keisti]

Bendra forma:

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

Kvadratinė lygtis, kurios [keisti]

Duota kvadratinė lygtis:

kurią perrašome taip:

Čia
Todėl:

Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks[keisti]

Duota kvadratinė lygtis:

kurią perrašome taip:

Čia
Todėl:

Bikvadratinė lygtis[keisti]

Bendra forma:

Sprendimas:

pažymime , tada .

,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra ir .

Grįžtame prie pažymėjimo:

,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius .

Vijeto teorema[keisti]

Jei yra lygtis

Tai
ir taip toliau, kur

Kvadratinė lygtis[keisti]

Jei yra lygtis

tai lygties sprendiniai:

Kubinė lygtis[keisti]

Jei yra lygtis

tai lygties sprendiniai:

Ketvirto laispnio lygtis[keisti]

Jei yra lygtis

tai lygties sprendiniai:

Pilnoji kubinė lygtis[keisti]

Bendra forma:

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu , pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

.

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:

1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį padaliję iš reiškinio , gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.

Kubinė lygtis, kurios [keisti]

Bet kokia kūbinė lygtis, kurios yra išsprendžiama be jokių sunkumu.


  • Pavyzdis Turime kūbinę lygtį be skaičiaus d. Tuomet ją sprendžiame taip:
Vadinasi arba x=0 arba

Išsprendžiame kvadratinę lygtį ir gauname tris realiasias šaknis arba dvi, arba vieną x=0, kai diskriminantas neigiamas.

Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu[keisti]

Yra kubinė lygtis:

Pakeičiame gauname:
Pažymime ir pakeitę gauname:
Tegu yra sprendinis lygties (pagal teorema lygtis turi 3 kompleksines šaknis). Įvedame pagalbinį u ir tikimes, kad polinomas
padės surasti [jei lygtis bus teisingai išspresta].
Polinomo koeficientai - kompleksiniai skaičiai, ir todėl jis turi dvi kompleksines šaknis ir , be to, pagal Vijeto formulę,
Įstatę į lygtį gauname:
Iš lygties turime, kad:
Todėl gauname:
Dabar turime nauja gabaliuką iš Vijeto teoremos, tai yra lygtis Mes žinome, kad koeficientas q priklauso lygčiai . Todėl taip pat turime padaryti ir su kitu gabaliuku, kad sudėtos ir sudaugintos dalys duotų koeficientus (b ir c Vijeto teoremoje žymimi kvadratinėje lygtyje), taigi pakeliame kubu lygtyje narius , ir kitą pusę. Ir gauname:
Šios dalys yra g ir s koeficientai kvadratinės lygties kuri turi sprendinius ir (iš Vijeto teoremos). Taigi, užtenka paaiškinimų, o dabar įstatome koeficientus į kvadratinę lygtį ir gauname:
Randame diskriminantą:
Randame sprendinius:
Toliau ir įsistatome į lygtį kad surasti lygties sprendinį (šaknį) . Taigi, gauname:
Kalbant apie kompleksinius sprendinius, negalima imti tokių sprendinių, kurie netenkina salygos
Na, o visi sprendiniai yra šie:
Jei sudėti ant apskritimo, kurio spindulys r=1, taškus ir , tai laipsnių, o laipsnių. Na o , todėl laipsnių (arba 0 laipsnių).


  • Pavyzdis. Išspresti lygtį
Keitinys (čia a yra koeficientas esantis prie ) suprastina šitą lygtį į tokią lygtį:
Čia , , todėl
t. y. lygtis turi vieną tikrąjį ir du kompleksinius sprendinius.
Pagal formulę:
Todėl t. y. . Du kitus sprendinius rasime pagal formules:
Iš čia gauname, kad sprendiniai užduotos lygties yra skaičiai:
Patikriname, kai , tai:

Patikriname, kai , tai:
  • Pavyzdis. Išspręsti lygtį

Čia , , todėl
Iš čia seka: t. y. Todėl
Patikriname įstatę ir gauname:
Patikriname įstatę ir gauname:
Pasinaudodami šiuo pavyzdžiu patvirtinsime šias formules:
čia , , , , . Atitinkamai turime:
Kai tai
Taip pat ir su q, kai tai


  • Pavyzdis. Išspręsti lygtį

Čia , , todėl
Tokiu atveju, jeigu pasilikti srityje realiųjų skaičių, Kardano formulė šiai lygybei netinka, nors šios lygybė sprendiniai ir yra 2, 3 ir .

Kubinė lygtis[keisti]

Kanoninė forma:

Padaliname iš a ir įvedame vietoje x naują kintamjį
kur ir
Kardano sprendiniai

kur

o ir yra sprendiniai lygties t. y.
Tuo atveju, kai tris tikrieji sprendiniai išreiškiami kompleksiniais dydžiais, ir protinga naudotis lentelės skaičiavimo budu.
  • Pavyzdis. Čia p=2, q=1;
Tikrasis sprendinis yra
Kompleksiniai sprendiniai:

Patikriname:


  • Pavyzdis. Čia p=1/3, q=1/2;
Tikrasis sprendinis yra
Patikriname:


  • Pavyzdis. Čia p=7/3=2.3(3), q=18/2=9;
Tikrasis sprendinis yra
Patikriname:

Kūbinės lygties sprendiniai[keisti]

Jei duota lygtis

tai jos 3 sprendiniai yra šie:


  • Pavyzdis. Rasime lygties realųjį sprendinį. Gauname:

Patikriname:
Galbūt nebuvo gautas 0, nes šis skaičius neturėtų būti neigiamas.


  • Pavyzdis. Rasime lygties realųjį sprendinį. Gauname:

Patikriname:


  • Pavyzdis. Rasime lygties realųjį sprendinį. Gauname:

Patikriname:

Nuorodos[keisti]