Matematika/Vektorius

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Vektorius – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip -- vektoriumi:

.
kur v yra d skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija -- kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v.

Vektoriaus daugyba iš skaliaro[keisti]

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:

.

Dviejų vektorių suma[keisti]

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius: . Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra komutatyvi, t. y., v+w=w+v.

Skaliarinė vektorių sandauga[keisti]

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, yra vektoriai a(3; 5; 6) ir b(4; 0; 1), tai jų skaliarinė sandauga bus lygi:

Vektoriaus ilgis[keisti]

Išnagrinėkime atvejį, kai atliekama vektoriaus skaliarinė sandauga su juo pačiu. Plokštumos (2-matės erdvės) bei įprastos koordinačių sistemos atveju turėsime:

.

Prisiminus Pitagoro teoremą, teigiančią, jog stataus trikampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trikampio kraštinių ilgių kvadratų sumai, tampa natūralus toks vektoriaus ilgio apibūdinimas:

.
Atkreipkite dėmesį, jog jei nors vienas iš vektoriaus narių bus didesnis nei kiti, tai jo pakėlimas kvadratu lems viso vektoriaus ilgį.

Pavyzdžiui, vektoriaus a(3; -2; 4) ilgis (tai yra ilgis nuo taško (0; 0; 0) iki taško (3; -2; 4)):

Pavyzdžiui, žinomos vektoriaus pradžios A(3; 2; -4) ir galo B(6; -5; -2) koordinatės. Tada vektoriaus ilgis bus

Jeigu vektoriaus pradžios koordinatės A(0; 0; 0), o galo koordinatės B(6; -5; -2), tai vektoriaus AB ilgis bus:


Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

||cv||=c ||v||.
  • Pavyzdžiui, vektorius a(3; -2; 4) ir skaliaras c=5. Tada ca=(15; -10; 20).

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

||v+w||<=||v||+||w||.
  • Pavyzdžiui, yra vektoriai v=(3; -2; 4) ir w=(1; 5; 8). z=v+w=(3+1; -2+5; 4+8)=(4; 3; 12).
||v||+||w||=5.385164807+9.486832981=14.87199779.

Atstumas tarp vektorių[keisti]

Atstumas tarp vieno vektoriaus galo ir kito vektoriaus galo (atstumas tarp dviejų taškų n-matėje koordinačių sistemoje) matuojamas pagal formulę:

Pavyzdžiai

  • Turime vektorius v=[3, 6], w=[7, 4]. Atstumas tarp jų galų:


  • Rasime trikampio, esančio trimatėje erdvėje, plotą. Trikampio viršunių koordinates (x; y; z) yra tokios: A(8; 3; -3); B(3; 2; -1); C(4; 0; -3). Dabar reikia surasti tiesių ilgius AB, AC ir BC:

Taikydami Herono formule apskaičiuojame trikampio pusperimetrį p:

Ir trikampio plotą S:

  • Rasime trikampio plotą, kurio višunės yra taškuose A(1; 3; -2), B(2; -1; 3), C(0; 2; 4).

Šio trikampio plotą galima apskaičiuoti naudojantis vektorine sandauga. AB=(2-1; -1-3; 3+2)=(1; -4; 5), AC=(0-1; 2-3; 4+2)=(-1; -1; 6).

Vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis[keisti]

Vektoriaus projekcija į ašį Ox yra:
Vektoriaus projekcija į ašį Oy yra:
Vektoriaus projekcija į ašį Oz yra:

Tada

Vectoriaus ortas yra:

Projekcija vieno vektoriaus į kitą vektorių[keisti]

Vektoriaus a projekcija vektoriuje b yra lygi

  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4), b=(6; 0). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4), b=(0; 6). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:


  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(6; 0), b=(3; 4). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(0; 6), b=(3; 4). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:


  • Randame projekcija vektoriaus AD={4; 4; -6} vektoriuje AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, tos projekcijos ilgis yra AE. Gauname:

Pusiaukampinė tarp vektorių[keisti]

Jei duoti vektoriai a=OA ir b=OB, tai pusiaukampinės ON=c (arba tiesiog, taško N koordinatės, kai taškas O(0; 0; 0)) koordinatės yra:

Vektoriaus a ortas yra
Vektoriaus ON ortas yra:
Vektoriaus ortas ir vektorius yra vienakrypčiai, tačiau vektoriaus orto ilgis lygus 1.
Vektorių a ir b ortų ilgiai lygus vienam,
Vektorių padauginus iš skaliaro, vektroriaus ilgis pasikeičia, o kryptis išlieka ta pati.
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(5; 3), b=(4; 20). Pusiaukampinė yra:
Jei yra taškai O(0; 0), A(5; 3), B(4; 20), tai taškas N(1.053609061; 1.495076431) su tašku O(0; 0) sudaro tiesę ON, kuri yra pusiaukampinė tarp tiesių OA ir OB.
Randame kampą tarp tiesių ON ir OB.
arba 23.86315547 laipsnio.
Randame kampą tarp tiesių OA ir OB, gauname:
arba 47.72631099 laipsnių. Palyginimui,


  • Rasime pusiaukampinę kampo tarp vektorių AB ir AC. Sudėję šių vektorių ortus gausime naują vektorių AG, kurio koordinatės yra:
Rasime kampą tarp vektoriaus AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir vektoriaus AB={2; 3; 1}. Taigi,
radiano arba 40.98844149 laipsnio.
Patikrinimui, rasime kampą tarp vektoriaus AC={-4; 4; -1} ir AB={2; 3; 1}, taigi
radiano arba 81,97688296 laipsnio. Patikriname, kad

Kampo tarp vektorių radimas su kosinusu[keisti]

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

.

Remiantis šia formule tampa akivaizdu kodėl yra sakoma, jog skaliarinė vektorių sandauga parodo vektorių atitikimą (panašumą) vienas kitam.

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4).
arba 109,4712206 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas surastas teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

Iš kosinusų teoremos žinome, kad ;

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0).
arba 63,43494882 laipsnių.
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(3; 5; 11), b=(7; 8; 2).
arba 51.95075583 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas surastas teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(3; 5; 11) iki taško b=(7; 8; 2) yra lygus

Iš kosinusų teoremos žinome, kad ;


  • Rasti, kampą tarp vektoriaus ir vektoriaus
arba 83.84541865 laipsniai.


  • Įrodyti, kad kampas tarp vektoriaus orto ir vektoriaus orto išvestinės lygus 90 laipsnių, kai parametras .
Sprendimas.
Vektoriaus išvestinė yra:
Randame vektorių reikšmes taške :
Randame kampą tarp vektoriaus ir vektoriaus taške :
arba 90 laipsnių.


  • Duota kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis
Rasti:
a) kreivės liestinės vektorių;
b) normalizuotą kreivės liestinės vektorių (ortą);
c) kreivės normalės vektorių iš normalizuoto liestinės vektoriaus;
d) kampą tarp liestinės orto (vektoriaus) ir normalės vektoriaus, kai parametro t reikšmė lygi 1 (kai );
e) kampą tarp liestinės vektoriaus ir normalės vektoriaus, kai , naudojantis normalės vektororiaus formule kuri šiai kreivei yra padauginti iš reikia tą funkciją, kurios rodiklis ant t mažiausias; kadangi reikia prilyginti t, jei turi mažiausią rodiklį virš t, tai gaunasi, kad parametro t ir reikšmė nekinta (funkcijos kitimo greitis visose taškuose lygus nuliui, nes ), bet linija vis tiek kyla aukštyn, todėl tą linijos kilimą reikia kompensuoti (nes trys koordinačių ašys), kad tikrai būtų liestinės normalė, bet taip padaryti galima tik padarius reikšmę viena trečiąja didesne.
f) kampą tarp liestinės vektoriaus ir normalės vektoriaus, kai , naudojantis normalės vektororiaus formule
Sprendimas.
a) Kreivės liestinės vektorius yra
b) Vektoriaus ilgis yra:
Kreivės liestinės normalizuotas vektorius yra šis:
jo reikšmė, kai yra
c) Kreivės normalės vektorius yra liestinės vektoriaus orto išvestinė:
su reikšme kreivės normalės vektorius statmenas liestienei yra:
normalizuotas kreivės normalės vektorius yra šis:
d) Kampas tarp kreivės liestinės normalizuoto vektoriaus ir kreivės normalės vektoriaus yra toks:
arba 90 laipsnių.
e) Kreivės liestinės vektorius yra
kreivės liestinės vektorius, kai yra:
kreivės liestinės vektoriaus ortas, kai , yra:
kreivės pseudonormalės vektorius yra:
kreivės normalės vektorius yra:
kreivės pseudonormalės vektorius, kai , yra:
kreivės normalės vektorius, kai , yra:
kreivės pseudonormalės normalizuotas vektorius, kai yra:
kreivės normalės normalizuotas vektorius, kai yra:
kampas tarp pseudonormalės ir liestinės vektorių yra:
arba 76.75702383 laipsniai;
kampas tarp liestinės ir normalės vektoriaus yra:
arba 90 laipsnių.
f) Kampas tarp pseudonormalės ir liestinės yra laipsniai;
kreivės normalės vektorius yra:
kreivės normalės vektorius, kai yra:
kreivės liestinės vektorius yra
kreivės liestinės vektorius, kai yra
Jeigu vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui, tai vektoriai yra statmeni vienas kitam:


  • Duota kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis
Rasti:
a) kreivės liestinės vektorių;
b) normalizuotą kreivės liestinės vektorių (ortą);
c) kreivės normalės vektorių iš normalizuoto liestinės vektoriaus;
d) kampą tarp liestinės orto (vektoriaus) ir normalės vektoriaus, kai parametro t reikšmė lygi 1;
e) normalizuotą liestinės vektorių naudojantis formule ir palyginti su normalizuotu liestinės vektoriu kai ir kai ;
f) tikrąjį kreivės normalės vektorių naudojantis formule kai ir kai ; apskaičiuoti kampą tarp šio normalės vektoriaus ir tarp liestinės vektoriaus, kai ir kai ;
g) tikrąjį kreivės normalės vektorių naudojantis formule kai ir kai ; apskaičiuoti kampą tarp šio normalės vektoriaus ir tarp liestinės vektoriaus, kai ir kai .
Sprendimas.
a) Kreivės liestinės vektorius yra
b) Vektoriaus ilgis yra:
Kreivės liestinės normalizuotas vektorius yra šis:
jo reikšmė, kai yra
c) Kreivės normalės vektorius yra liestinės vektoriaus orto išvestinė:
su reikšme kreivės normalės vektorius statmenas liestienei yra:
normalizuotas kreivės normalės vektorius yra šis:
d) Kampas tarp kreivės liestinės normalizuoto vektoriaus ir kreivės normalės vektoriaus yra toks:
arba 90 laipsnių.
e) Kai normalizuotas liestinės vektorius yra:
kai liestinės vektorius yra:
kai normalizuotas liestinės vektorius yra:
liestinės vektoriaus b reikšmė, kai yra:
normalizuoto liestinės vektoriaus b reikšmė, kai yra:
liestinės vektoriaus b reikšmė, kai yra:
normalizuoto vektoriaus b reikšmė, kai yra tokia pati kaip normalizuoto a vektoriaus:
f) 'Tikrasis' kreivės normalės vektorius yra:
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai yra:
normalizuotas 'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai yra:
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai yra:
normalizuotas 'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai yra:
kampas tarp liestinės vektoriaus a ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra lygus 90 laipsnių, nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:
liestinės vektorius, kai yra:
kampas tarp liestinės vektoriaus ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra 90 laipsnių, nes šių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui:
g) 'Tikrasis' kreivės normalės vektorius yra:
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai yra:
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai yra:
kampas tarp liestinės vektoriaus a ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra lygus 90 laipsnių, nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

Kampo tarp vektorių radimas su sinusu[keisti]

kur yra kampas tarp vektorių a ir b.

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0).

radiano arba 63.43494882 laipsnio.
Pasitikriname:
radiano arba 63,43494882 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas surastas teisingai. Atkarpos t ilgis iš taško a=(1; -2; 0) iki taško b=(3; 0; 0) yra lygus

Iš kosinusų teoremos žinome, kad ;

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

Trikampio plotas yra

Kampo tarp vektorių sinusas yra

radianų arba laipsnių, kur
Taikydami kosinusų toeremą ir Herono formulę patikrinsime ar kampas ir trikampio plotas S surasti teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį

Iš kosinusų teoremos žinome, kad ;
radiano arba 109.4712206 laipsnio.

Idomus faktas, jog

radiano arba 70.52877937 laipsnio.

Dar kitas būdas patikrinti:

  • Duoti vektoriai a=(1; 2; 3), b=(3; 5; 4).

radiano arba 19.10660535 laipsnio.
Patikriname kitu budu:
radiano arba 19.10660535 laipsnio.
Pagal Pitagoro teoremą patikriname atsakymą. Tiek vektorius a, tiek vektorius b išeina iš taško (x; y; z)=(0; 0; 0). Vadinasi vektorius a ir vektorius b liečiasi tame pačiame taške, kurį pavadiname A. Taškas B turi koordinates (1; 2; 3), o taškas C turi koordinates (3; 5; 4). Tokiu budu ||a||=AB=a, o ||b||=AC=b. Turime trikampį ABC. Iš taško B(1; 2; 3) nuleista aukštinė h į trikampio kraštinę AC, susikirtimo tašką aukštinės h su kraštine AC, pavadinkime D. Kraštine AD=x, o kraštinė DC=||b||-x=b-x. BC=c.

;

arba 42.95197812 laipsnio.

arba 42.95197812 laipsnio.
Trikampio ABC plotas yra
Trikampio ABC plotą randame taikydami Herono formulę:

Dar budas pasitikrinti trikampio ABC plotą:

Galbūt plotai ir kampai nesutampa skaičiuojant skirtingais būdais, nes trikampis ABC yra lygiašonis ir jam kosinusų teorema ar/ir kitos formulės netinka. Bet pasibraižius grafikus ir patikrinus kampus tarp vektorių įvairiais budais, buvo padaryta išvada, kad jokių budu atsakymas negali buti 42.95197812 laipsniai, o kažkurtai apie 18-20 laipsnių. Todėl kyla išvada, kad kosinusų teorema netinkama skaičiuoti kampams tų trikampių, kurie yra lygiašoniai.

  • Duoti vektoriai a=(4; 3; 0), b=(10; 0; 0). Rasime kampą tarp jų.

radiano arba 36,86989765 laipsnio.
Patikriname kitu budu:
radiano arba 36,86989765 laipsnio.
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(3; 5; 11), b=(7; 8; 2).

radiano arba 51,95075583 laipsnio.
Pagal Pitagoro teoremą patikriname atsakymą. Tiek vektorius a, tiek vektorius b išeina iš taško (x; y; z)=(0; 0; 0). Vadinasi vektorius a ir vektorius b liečiasi tame pačiame taške, kurį pavadiname A. Taškas B turi koordinates (3; 5; 11), o taškas C turi koordinates (7; 8; 2). Tokiu budu ||a||=AB=a, o ||b||=AC=b. Turime trikampį ABC. Iš taško C(7; 8; 2) nuleista aukštinė h į trikampio kraštinę AB=a, susikirtimo tašką aukštinės h su kraštine AB, pavadinkime D. Kraštinė AD=x, o kraštinė DB=||a||-x=a-x. BC=c.