Aptarimas:Matematika/Vektorius

VA CIA KAIP NEREIKIA DARYTI, kad negauti klaidingo kampo:

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi

$a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-2&2\\3&0&-4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-2&2\\0&-4\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}1&2\\3&-4\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}1&-2\\3&0\end{vmatrix}}k=8i+10j+6k=(8;10;6).$

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

$S_{\Delta \nabla }=||a\times b||={\sqrt {8^{2}+10^{2}+6^{2}}}={\sqrt {200}}=10{\sqrt {2}}.$

Trikampio plotas yra

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}||a\times b||=5{\sqrt {2}}.$

Kampo tarp vektorių sinusas yra

$\sin \phi ={\frac {||a\times b||}{||a||\cdot ||b||}}={\frac {10{\sqrt {2}}}{3\cdot 5}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}},$

$\phi =\arcsin {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}=1.230959417$ radianų arba $\phi =70,52877937$ laipsnių, kur

$||a||={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {9}}=3,$

$||b||={\sqrt {3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}}={\sqrt {25}}=5.$

Taikydami kosinusų toeremą ir Herono formulę patikrinsime ar kampas $\phi$ ir trikampio plotas S surasti teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

$f={\sqrt {(1-3)^{2}+(-2-0)^{2}+(2-(-4))^{2}}}={\sqrt {4+4+36}}={\sqrt {44}}=2{\sqrt {11}}=6.633249581.$

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį $p={3+5+2{\sqrt {11}} \over 2}=4+{\sqrt {11}}=7.31662479.$ $S_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-f)}}={\sqrt {(4+{\sqrt {11}})(7.31662479-3)(7.31662479-5)(4+{\sqrt {11}}-2{\sqrt {11}})}}=$ $={\sqrt {7.31662479\cdot 4.31662479\cdot 2.31662479\cdot (4-{\sqrt {11}})}}={\sqrt {50}}=5{\sqrt {2}}=7.071067812.$

Iš kosinusų teoremos žinome, kad $f^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\phi )$;

$\cos \phi ={f^{2}-a^{2}-b^{2} \over -2ab}={(2{\sqrt {11}})^{2}-3^{2}-5^{2} \over -2\cdot 3\cdot 5}={44-9-25 \over -30}={10 \over -30}=-{1 \over 3}.$

$\phi =\arccos(-{1 \over 3})=1.910633236$ radiano arba 109.4712206 laipsnio.

Idomus faktas, jog

$\phi =\arccos {1 \over 3}=1.230959417$ radiano arba 70.52877937 laipsnio.

Dar kitas būdas patikrinti:

$\cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {b} \|}}={\frac {1\cdot 3+(-2)\cdot 0+2\cdot (-4)}{{\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}}}}={\frac {3+0-8}{{\sqrt {1+4+4}}\cdot {\sqrt {9+0+16}}}}=$

$={\frac {-5}{{\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {25}}}}={\frac {-5}{15}}=-{\frac {1}{3}}.$

spalvotas paveikslelis

Nereikia bandyti duprasti spavloto paveikslelio, $\sin \theta$ ir n prasmes, nes ten nieko teisingo ir konkretaus nera. Šis paveikslėlis labiau tiktų apibūdinti mišriąją vektorių sandauga, kai n yra statmenas lygiagretainiui, kuris gaunamas is vektorinės sandaugos 'modulyje' $||a\times b||$. Tuomet lygiagretainio gretasienio tūris yra $V=||n||\cdot ||a\times b||$. Zemiau pateiktas bandymas ka nors suprast:

Vektorinė vektorių sandauga

Grafinis vektorinės sandaugos pavaizdavimas

Vektorinės vektorių sandaugos rezultatas yra vektorius. Vektorinė vektorių sandauga turi prasmę tik didesnio nei dviejų matavimų erdvėse.

Vektorių a  ×  b sandauga yra vektorius, statmenas a ir b ir yra aprašytas taip:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} ,$

kur $\theta$ yra kampas tarp vektorių a ir b , o vektorius n yra statmenas a ir b vektoriams ir betkurioms tiesiems, kurios jungia bet kuriuos vektorių a ir b taškus.

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0), n=(0; 0; 10). Kampas tarp vektoriaus a ir b yra lygus $\theta =1.107148718$ arba 63,43494882 laipsnių.

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-2&0\\3&0&0\end{vmatrix}}=$

$=i\cdot (-2)\cdot 0+j\cdot 0\cdot 3+k\cdot 1\cdot 0-i\cdot 0\cdot 0-j\cdot 1\cdot 0-k\cdot (-2)\cdot 3=0i+0j-6k=(0;0;-6).$

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+0^{2}}}={\sqrt {5}}\approx 2.236067978.$

$\left\|\mathbf {b} \right\|={\sqrt {3^{2}+0^{2}+0^{2}}}={\sqrt {9}}=3.$

$\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )=3{\sqrt {5}}=6.708203933.$

$\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )=3{\sqrt {5}}\cdot \sin 1.107148718=6.708203933\cdot 0.877913565=5.88922323.$

Kadangi vektorinė sandauga keičia ženklą esant veidrodiniam atspindžiui (P-simetrija), jos rezultatas kartais vadinamas pseudo-vektoriumi.

Angliskoje wikipedijoje raso http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Alternative_formulation , kad

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta \ .$

Taciau pagal formule is skyriaus "kampas tarp vektoriu":

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {b} \|}}={\frac {1\cdot 3+(-2)\cdot 0+0\cdot 0}{{\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+0^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}+0^{2}+0^{2}}}}}={\frac {3}{{\sqrt {1+4+0}}\cdot {\sqrt {9+0+0}}}}=$

$={\frac {3}{{\sqrt {5}}\cdot 3}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}=0.447213595.$

$\theta =\arccos {\frac {1}{\sqrt {5}}}=\arccos 0.447213595=1.107148718$ radiano arba 63,43494882 laipsnių.

Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas $\theta$ surastas teisingai. Atkarpos t ilgis iš taško a=(1; -2; 0) iki taško b=(3; 0; 0) yra lygus

$t={\sqrt {(1-3)^{2}+(-2-0)^{2}+(0-0)^{2}}}={\sqrt {4+4+0}}={\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}=2.828427125.$

Iš kosinusų teoremos žinome, kad $t^{2}\ =\|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}-2\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {b} \|\cos \theta$;

$\cos \theta ={t^{2}-\|\mathbf {a} \|^{2}-\|\mathbf {b} \|^{2} \over -2\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}={({\sqrt {8}})^{2}-{\sqrt {5}}^{2}-3^{2} \over -2\cdot {\sqrt {5}}\cdot 3}={8-5-9 \over -6{\sqrt {5}}}={-6 \over -6{\sqrt {5}}}={1 \over {\sqrt {5}}}.$

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+0^{2}}}={\sqrt {5}}\approx 2.236067978.$

$\left\|\mathbf {b} \right\|={\sqrt {3^{2}+0^{2}+0^{2}}}={\sqrt {9}}=3.$

Reiškia jei

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta \$

tai

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-2&0\\3&0&0\end{vmatrix}}=$

$=i\cdot (-2)\cdot 0+j\cdot 0\cdot 3+k\cdot 1\cdot 0-i\cdot 0\cdot 0-j\cdot 1\cdot 0-k\cdot (-2)\cdot 3=0i+0j-6k=(0;0;-6).$

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|={\sqrt {0^{2}+0^{2}+(-6)^{2}}}={\sqrt {36}}=6.$

$\sin \theta ={\frac {\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}{\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}}={\frac {6}{{\sqrt {5}}\cdot 3}}={\frac {2}{\sqrt {5}}}=0.894427191;$

$\theta =\arcsin {\frac {2}{\sqrt {5}}}=\arcsin 0.894427191=1.107148718$ radiano arba 63.43494882 laipsnio.

blogas pavyzdys?

Nei vienas is vektoriniu budu nedave teisingo atsakymo ir atsakymas pats keistas gavosi per Herono formule, tai greiciausiai blogas pavyzdys, t.y. vektorius c nestatmenas plokstumai ant kurios guli vektoriai a ir b. Problema yra tame, kad neaisku kuris vektorius yra statmenas kuriems.

• Duoti vektoriai a=(1; 2; -2), b=(1; -2; 1), c=(1; -2; 3), kurių pradžios koordinatės yra (0; 0; 0). Rasime gretasienio tūrį:

$V=(a\times b)\cdot c={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}=c_{x}\cdot (-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}+c_{y}\cdot (-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{vmatrix}}+c_{z}\cdot (-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}1&2&-2\\1&-2&1\\1&-2&3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&0&-1\\2&0&1\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}2&-1\\2&1\end{vmatrix}}=-8.$

Gretasienio tūris yra |-8|=8. Taip pat galima skaičiuot taip:

$V={\begin{vmatrix}1&2&-2\\1&-2&1\\1&-2&3\end{vmatrix}}=$

$=1\cdot (-2)\cdot 3+2\cdot 1\cdot 1+(-2)\cdot 1\cdot (-2)-(-2)\cdot (-2)\cdot 1-2\cdot 1\cdot 3-1\cdot 1\cdot (-2)=-6+2+4-4-6+2=-8.$

Patikriname ar atsakymas bus toks pat naudojant vektorine sandauga sudaugina su statmeno vektoriaus ilgiu:

$a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&2&-2\\1&-2&1\end{vmatrix}}=$

$=i\cdot 2\cdot 1+j\cdot (-2)\cdot 1+k\cdot 1\cdot (-2)-i\cdot (-2)\cdot (-2)-j\cdot 1\cdot 1-k\cdot 2\cdot 1=$

$=2i-4i-2j-j-2k-2k=-2i-3j-4k=(-2;-3;-4).$

$||a\times b||={\sqrt {(-2)^{2}+(-3)^{2}+(-4)^{2}}}={\sqrt {4+9+16}}={\sqrt {29}}=5.385164807.$

$||c||={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}={\sqrt {1+4+9}}={\sqrt {14}}.$

$V=||a\times b||\cdot ||c||={\sqrt {29}}\cdot {\sqrt {14}}={\sqrt {406}}=20.14944168.$

Patikriname taikydami Herono formulę.

$||a||={\sqrt {1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}={\sqrt {1+4+4}}=9.$

$||b||={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {1+4+1}}={\sqrt {6}}=2.449489743.$

$p={a+b+c \over 2}={9+{\sqrt {6}}+{\sqrt {14}} \over 2}=7.595573565.$

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\sqrt {7.595573565(7.595573565-9)(7.595573565-{\sqrt {6}})(7.595573565-{\sqrt {14}})}}=$

$={\sqrt {7.595573565(-1.404426435)5.146083822\cdot 3.853916178}}={\sqrt {-211.5625}}={\sqrt {211.5625}}=14.54518821.$

Rasime kampą tarp vektoriaus a=(1; 2; -2) ir vektoriaus b=(1; -2; 1).

$\cos \phi ={\frac {a\cdot b}{||a||\cdot ||b||}}={\frac {1\cdot 1+2\cdot (-2)+(-2)\cdot 1}{{\sqrt {1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}\cdot {\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}}}={\frac {1-4-2}{{\sqrt {1+4+4}}\cdot {\sqrt {1+4+1}}}}=$

$={\frac {-5}{{\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {6}}}}={\frac {-5}{3\cdot {\sqrt {6}}}}=-0,680413817.$

$\phi =\arccos(-0,680413817)=0,822469154$ arba 47,12401133 laipsnių.

Rasime kampą tarp vektoriaus a=(1; 2; -2) ir vektoriaus c=(1; -2; 3).

$\cos \phi ={\frac {a\cdot c}{||a||\cdot ||c||}}={\frac {1\cdot 1+2\cdot (-2)+(-2)\cdot 3}{{\sqrt {1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}\cdot {\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}}}={\frac {1-4-6}{{\sqrt {1+4+4}}\cdot {\sqrt {1+4+9}}}}=$

$={\frac {-9}{{\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {14}}}}={\frac {-9}{3\cdot {\sqrt {14}}}}=-0,801783725.$

$\phi =\arccos(-0,801783725)=0,640522312$ arba 36,6992252 laipsnių.

Rasime kampą tarp vektoriaus b=(1; -2; 1) ir vektoriaus c=(1; -2; 3).

$\cos \phi ={\frac {b\cdot c}{||b||\cdot ||c||}}={\frac {1\cdot 1+(-2)\cdot (-2)+1\cdot 3}{{\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}\cdot {\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}}}={\frac {1+4+3}{{\sqrt {1+4+1}}\cdot {\sqrt {1+4+9}}}}=$

$={\frac {8}{{\sqrt {6}}\cdot {\sqrt {14}}}}={\frac {8}{\sqrt {84}}}=0,095238095.$

$\phi =\arccos 0,095238095=1,475413668$ arba 84,5349762 laipsnių.

Palikimas laiko gaišimo

• Pavyzdis. Trikampės piramidės viršūnės yra taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško D į sieną ABC, ilgį.

Sprendimas. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško A: AB, AC, AD. Žinome, kad trikampės piramidės tūris

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}|(AB\times AC)\cdot AD|.$

Randame vektorių AB, AC ir AD koordinates:

AB=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},

AC=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},

AD=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.

Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:

$(AB\times AC)\cdot AD={\begin{vmatrix}2&3&1\\-4&4&-1\\4&4&-6\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}4&-1\\4&-6\end{vmatrix}}+3\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}-4&-1\\4&-6\end{vmatrix}}+1\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-4&4\\4&4\end{vmatrix}}=$

$=2\cdot (-1)^{2}\cdot (4\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+3\cdot (-1)^{3}\cdot ((-4)\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+1\cdot (-1)^{4}\cdot ((-4)\cdot 4-4\cdot 4)=$

$=2\cdot (-24+4)-3\cdot (24+4)+1\cdot (-16-16)=2\cdot (-20)-3\cdot 28-32=-40-84-32=-156.$

Tada trikampės piramidės tūris

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot |-156|={\frac {156}{6}}=26.$

Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:

$V_{pir.}={\frac {1}{3}}\cdot S_{\Delta ABC}\cdot h.$

Bet $S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot \|AB\times AC\|,$ todėl

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h.$

Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:

${\frac {1}{6}}|(AB\times AC)\cdot AD|={\frac {1}{6}}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h;$

$h={\frac {|(AB\times AC)\cdot AD|}{\|AB\times AC\|}}={\frac {156}{\sqrt {453}}}=7.329519377,$

kur $AB\times AC={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&3&1\\-4&4&-1\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}3&1\\4&-1\end{vmatrix}}+\mathbf {j} \cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}2&1\\-4&-1\end{vmatrix}}+\mathbf {k} \cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}2&3\\-4&4\end{vmatrix}}=$

$=\mathbf {i} \cdot (3\cdot (-1)-1\cdot 4)-\mathbf {j} \cdot (2\cdot (-1)-1\cdot (-4))+\mathbf {k} \cdot (2\cdot 4-3\cdot (-4))=\mathbf {i} \cdot (-3-4)-\mathbf {j} \cdot (-2+4)+\mathbf {k} \cdot (8+12)=-7\mathbf {i} -2\mathbf {j} +20\mathbf {k} =(-7;-2;20);$

$\|AB\times AC\|={\sqrt {(-7)^{2}+(-2)^{2}+20^{2}}}={\sqrt {49+4+400}}={\sqrt {453}}.$

Toliau pabandysime įrodyti, kad piramidės tūris surastas teisingai. Mes jau turime vieno lygiagretainio plotą į kurį įeina trikampio ABC plotas:

$S_{\Delta \nabla 1}=2\cdot S_{\Delta ABC}=2\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \|AB\times AC\|=\|AB\times AC\|={\sqrt {453}}=21.28379665.$

Antro lygiagretainio plotas yra $S_{\Delta \nabla 2}=2\cdot S_{\Delta ACD}=\|AD\times AC\|.$

$AD\times AC={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\4&4&-6\\-4&4&-1\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}4&-6\\4&-1\end{vmatrix}}+\mathbf {j} \cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}4&-6\\-4&-1\end{vmatrix}}+\mathbf {k} \cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}4&4\\-4&4\end{vmatrix}}=$

$=\mathbf {i} \cdot (4\cdot (-1)-(-6)\cdot 4)-\mathbf {j} \cdot (4\cdot (-1)-(-6)\cdot (-4))+\mathbf {k} \cdot (4\cdot 4-4\cdot (-4))=\mathbf {i} \cdot (-4+24)-\mathbf {j} \cdot (-4-24)+\mathbf {k} \cdot (16+16)=20\mathbf {i} +28\mathbf {j} +32\mathbf {k} =(20;28;32);$

$S_{\Delta \nabla 2}=\|AD\times AC\|={\sqrt {20^{2}+28^{2}+32^{2}}}={\sqrt {400+784+1024}}={\sqrt {2208}}=46.9893605.$

Dabar, jeigu tiesė CD=t yra statmena plokštumai ACD, tai piramidės tūris yra lygus

$V_{pir.}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \|AB\times AC\|\cdot t={\frac {1}{6}}\cdot {\sqrt {453}}\cdot {\sqrt {89}}=33.46515601,$

kur $CD=t={\sqrt {(7-(-1))^{2}+(3-3)^{2}+(-1-4)^{2}}}={\sqrt {8^{2}+0^{2}+(-5)^{2}}}={\sqrt {64+0+25}}={\sqrt {89}}=9.433981132.$

Piramidės Tūris gavosi neteisingas (turėjo būti 26). Vadinasi atkarpa CD nėra stati plokštumai ABC. Bet galbūt tiesė CB=f yra stati plokštumai ACD, tai mes ir pabandysime išsiaiškinti. Randame jos ilgį:

$CB=f={\sqrt {(5-(-1))^{2}+(2-3)^{2}+(6-4)^{2}}}={\sqrt {6^{2}+1+2^{2}}}={\sqrt {36+1+4}}={\sqrt {41}}=6.403124237.$

$V_{pir.}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \|AD\times AC\|\cdot f={\frac {1}{6}}\cdot {\sqrt {453}}\cdot {\sqrt {41}}=22.71379904.$

Panašu, kad tai laiko gaišimas, kad patikrinti visų tiesių statumą ir, kad tokiu būdų nepavyks įrodyti mišrios vektorių sandaugos formulės teisingumo piramidei.

Neaišku ar vektoriai sudaro piramidę

• Duoti vektoriai a=(3; 4; 5), b=(4; 3; 5), c=(-3; -4; 5). Vektorius c su vektoriu b sudaro beveik 90 laipsnių kampą. Vektorius c su vektorium b sudaro kampą

$\cos \theta ={\frac {b\cdot c}{||b||\cdot ||c||}}={\frac {4\cdot (-3)+3\cdot (-4)+5\cdot 5}{{\sqrt {4^{2}+3^{2}+5^{2}}}\cdot {\sqrt {(-3)^{2}+(-4)^{2}}}+5^{2}}}={\frac {1}{{\sqrt {16+9+25}}\cdot {\sqrt {9+16+25}}}}=$

$={\frac {1}{{\sqrt {50}}\cdot {\sqrt {50}}}}={\frac {1}{50}}=0.02;$

$\theta =\arccos {\frac {1}{50}}=1.550794993$ arba 88.854008 laipsnių. Taigi vektorius c yra beveik status abiems vektorioms, ko ir reikia norint surasti apytikslu lygiagretainio gretasienio tūrį (vektoriu c parinkti taip, kad butu status abiems vektoriams yra begalo sunku). Galime patikrinti, kad vektorius c su vektorium a tikrai sudaro 90 laipsniu kampą:

$\cos \phi ={\frac {a\cdot c}{||a||\cdot ||c||}}={\frac {3\cdot (-3)+4\cdot (-4)+5\cdot 5}{{\sqrt {3^{2}+4^{2}+5^{2}}}\cdot {\sqrt {(-3)^{2}+(-4)^{2}}}+5^{2}}}={\frac {0}{{\sqrt {9+16+25}}\cdot {\sqrt {9+16+25}}}}=$

$={\frac {0}{{\sqrt {50}}\cdot {\sqrt {50}}}}=0.$

$\phi =\arccos 0={\pi \over 2}=1.570796327$ arba 90 laipsnių.

Rasime lygiagretainio gretasienio tūrį:

$V={\begin{vmatrix}3&4&5\\4&3&5\\-3&-4&5\end{vmatrix}}=3\cdot 3\cdot 5+4\cdot 5\cdot (-3)+5\cdot 4\cdot (-4)-3\cdot 5\cdot (-4)-4\cdot 4\cdot 5-5\cdot 2\cdot (-3)=$

$=45-60-80+60-80+30=-85.$

Patikriname:

$a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\3&4&5\\4&3&5\end{vmatrix}}=$

$=i\cdot 4\cdot 5+j\cdot 5\cdot 4+k\cdot 3\cdot 3-i\cdot 5\cdot 3-j\cdot 3\cdot 5-k\cdot 4\cdot 4=$

$=20i-15i+20j-15j+9k-16k=0i+0j-4k=(5;5;-7).$

$||a\times b||={\sqrt {5^{2}+5^{2}+(-7)^{2}}}={\sqrt {25+25+49}}={\sqrt {99}}=9.949874371.$

$||c||={\sqrt {(-3)^{2}+(-4)^{2}+5^{2}}}={\sqrt {50}}=7.071067812.$

$V=||a\times b||\cdot ||c||={\sqrt {99}}\cdot {\sqrt {50}}={\sqrt {4950}}=70.3562364.$

Patikriname taikydami Herono formulę.

$||a||={\sqrt {3^{2}+4^{2}+5^{2}}}={\sqrt {50}}=7.071067812.$

$||b||={\sqrt {4^{2}+3^{2}+5^{2}}}={\sqrt {50}}=7.071067812.$

Atstumas tarp taškų a=(3; 4; 5) ir b=(4; 3; 5) yra lygus: $f={\sqrt {(3-4)^{2}+(4-3)^{2}+(5-5)^{2}}}={\sqrt {2}}=1.414213562.$

$p={a+b+f \over 2}={{\sqrt {50}}+{\sqrt {50}}+{\sqrt {2}} \over 2}={\sqrt {50}}+{{\sqrt {2}} \over 2}=7.778174593.$

$S_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-f)}}=$

$={\sqrt {7.778174593({\sqrt {50}}+{{\sqrt {2}} \over 2}-{\sqrt {50}})({\sqrt {50}}+{{\sqrt {2}} \over 2}-{\sqrt {50}})({\sqrt {50}}+{{\sqrt {2}} \over 2}-{\sqrt {2}})}}=$

$={\sqrt {7.778174593\cdot {{\sqrt {2}} \over 2}\cdot {{\sqrt {2}} \over 2}\cdot ({\sqrt {50}}-{{\sqrt {2}} \over 2})}}={\sqrt {7.778174593\cdot {1 \over 2}\cdot 6.363961031}}={\sqrt {24.75}}=4.974937186.$

$S=2S_{\Delta }=2\cdot 4.974937186=9.949874371.$

$V=S\cdot ||c||=9.949874371\cdot {\sqrt {50}}=70.3562364.$

• Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4; 5), b=(4; 3; 5), c=(-3; -4; 5). Vektorius c su vektorium b sudaro kampą

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} }{\|\mathbf {b} \|\cdot \|\mathbf {c} \|}}={\frac {4\cdot (-3)+3\cdot (-4)+5\cdot 5}{{\sqrt {4^{2}+3^{2}+5^{2}}}\cdot {\sqrt {(-3)^{2}+(-4)^{2}}}+5^{2}}}={\frac {1}{{\sqrt {16+9+25}}\cdot {\sqrt {9+16+25}}}}=$

$={\frac {1}{{\sqrt {50}}\cdot {\sqrt {50}}}}={\frac {1}{50}}=0.02;$

$\theta =\arccos {\frac {1}{50}}=1.550794993$ arba 88.854008 laipsnių.

Vektorius c su vektorium a sudaro kampą:

$\cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }{\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {c} \|}}={\frac {3\cdot (-3)+4\cdot (-4)+5\cdot 5}{{\sqrt {3^{2}+4^{2}+5^{2}}}\cdot {\sqrt {(-3)^{2}+(-4)^{2}}}+5^{2}}}={\frac {0}{{\sqrt {9+16+25}}\cdot {\sqrt {9+16+25}}}}=$

$={\frac {0}{{\sqrt {50}}\cdot {\sqrt {50}}}}=0.$

$\phi =\arccos(0)={\pi \over 2}=1.570796327$ arba 90 laipsnių.

Kadangi vektorius a su vektoriumi c sudaro statų kampą, tai vektoriaus c ilgis yra aukštinė piramidės, kurios pagrindas yra trikampis sudarytas iš vektorių a ir b. Apskaičiuosime to trikampio plotą

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\3&4&5\\4&3&5\end{vmatrix}}=i\cdot 4\cdot 5+j\cdot 5\cdot 4+k\cdot 3\cdot 3-i\cdot 5\cdot 3-j\cdot 3\cdot 5-k\cdot 4\cdot 4=$

$=20i-15i+20j-15j+9k-16k=0i+0j-4k=(5;5;-7),$

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}\cdot \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {5^{2}+5^{2}+(-7)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {25+25+49}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {99}}=4.974937186.$

Randame piramidės, kurią sudaro vektoriai a, b ir c aukštinę h, taigi:

$h=\|\mathbf {c} \|={\sqrt {(-3)^{2}+(-4)^{2}+5^{2}}}={\sqrt {9+16+25}}={\sqrt {50}}=5{\sqrt {2}}=7.071067812.$

Randame piramidės, kurią sudaro vektoriai a, b ir c tūrį:

$V_{pir.}={\frac {1}{3}}\cdot S_{\Delta }\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {99}}\cdot 5{\sqrt {2}}={\frac {5{\sqrt {198}}}{6}}=11.7260394.$

Bandydami gauti piramidės tūrį, kurią sudaro vektoriai a, b, c, naudodami mišriąją vektorių sandaugą, gausime neteisingą atsakymą:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}3&4&5\\4&3&5\\-3&-4&5\end{vmatrix}}=3\cdot 3\cdot 5+4\cdot 5\cdot (-3)+5\cdot 4\cdot (-4)-3\cdot 5\cdot (-4)-4\cdot 4\cdot 5-5\cdot 2\cdot (-3)=$

$=45-60-80+60-80+30=-85;$

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\frac {1}{6}}\cdot |-85|={\frac {85}{6}}=14.16666667.$

Klaidingas tikrinimas

• Pavyzdis. Duoti vektoriai a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7}. Apskaičiuosime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį V.

Sprendimas. Piramidės tūris yra lygus 1/6 mišrios vektorių a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7} sandaugos. Taigi:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}8&6&2\\5&9&3\\1&2&7\end{vmatrix}}=8\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}9&3\\2&7\end{vmatrix}}+6\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}5&3\\1&7\end{vmatrix}}+2\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}5&9\\1&2\end{vmatrix}}=$

$=8\cdot (9\cdot 7-3\cdot 2)-6\cdot (5\cdot 7-3\cdot 1)+2\cdot (5\cdot 2-9\cdot 1)=8\cdot (63-6)-6\cdot (35-3)+2\cdot (10-9)=8\cdot 57-6\cdot 32+2\cdot 1=285-192+2=95.$

$V={\frac {1}{6}}\cdot |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\frac {1}{6}}\cdot |95|={\frac {95}{6}}=15.833333333.$

Patikrinsime ar tūrio radimo formulė teisinga, rasdami pusiaukampinės vektorių d tarp vektorių a ir b ir apskaičiuodami pirmidės aukštinės h ilgį nuleistos į pirmidės pagrindą (trikampį), kurį sudaro vektoriai a ir b. Taigi,

${\vec {d}}={\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}+{\frac {\vec {b}}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {8i+6j+2k}{\sqrt {8^{2}+6^{2}+2^{2}}}}+{\frac {5i+9j+3k}{\sqrt {5^{2}+9^{2}+3^{2}}}}={\frac {8i+6j+2k}{\sqrt {64+36+4}}}+{\frac {5i+9j+3k}{\sqrt {25+81+9}}}=$

$={\frac {8i+6j+2k}{\sqrt {104}}}+{\frac {5i+9j+3k}{\sqrt {115}}}={\frac {8i}{\sqrt {104}}}+{\frac {5i}{\sqrt {115}}}+{\frac {6j}{\sqrt {104}}}+{\frac {9j}{\sqrt {115}}}+{\frac {2k}{\sqrt {104}}}+{\frac {3k}{\sqrt {115}}}=$

$={\frac {8{\sqrt {115}}+5{\sqrt {104}}}{\sqrt {11960}}}i+{\frac {6{\sqrt {115}}+9{\sqrt {104}}}{\sqrt {11960}}}j+{\frac {2{\sqrt {115}}+3{\sqrt {104}}}{\sqrt {11960}}}k=1.250716945{\mathsf {i}}+1.427602733{\mathsf {j}}+0.475867577{\mathsf {k}}.$

Surandame kampą tarp vektorių d ir c:

$\cos \phi _{3}={\frac {1.250716945\cdot 1+1.427602733\cdot 2+0.475867577\cdot 7}{{\sqrt {1.250716945^{2}+1.427602733^{2}+0.475867577^{2}}}\cdot {\sqrt {1^{2}+2^{2}+7^{2}}}}}=$

$={\frac {1.250716945+2.855205466+3.331073039}{{\sqrt {1.564292876+2.038049563+0.22644995}}\cdot {\sqrt {1+4+49}}}}={\frac {7.43699545}{{\sqrt {3.82879239}}\cdot {\sqrt {54}}}}={\frac {7.43699545}{\sqrt {206.754789}}}={\frac {7.43699545}{14.37897037}}=0.517213351.$

$\phi _{3}=\arccos(0.517213351)=1.027204568$ radiano arba 58.85448647 laipsnio.

Tuomet aukštinės ilgis yra:

$h=\|{\vec {c}}\|\cdot \sin \phi _{3}={\sqrt {1+4+49}}\cdot \sin(1.027204568)={\sqrt {54}}\cdot 0.8558565=6.289235158.$

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\8&6&2\\5&9&3\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}6&2\\9&3\end{vmatrix}}+\mathbf {j} \cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}8&2\\5&3\end{vmatrix}}+\mathbf {k} \cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}8&6\\5&9\end{vmatrix}}=$

$=\mathbf {i} \cdot (6\cdot 3-2\cdot 9)-\mathbf {j} \cdot (8\cdot 3-2\cdot 5)+\mathbf {k} \cdot (8\cdot 9-6\cdot 5)=(18-18)\mathbf {i} -(24-10)\mathbf {j} +(72-30)\mathbf {k} =0\mathbf {i} -14\mathbf {j} +42\mathbf {k} =(0;-14;42);$

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}\cdot \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {0^{2}+(-14)^{2}+42^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {196+1764}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {1960}}={\sqrt {490}}=22.13594362.$

Piramidės tūris yra:

$V={\frac {1}{3}}\cdot S_{\Delta }\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot {\sqrt {490}}\cdot 6.289235158=46.40605163.$

Klaidingas patikrinimas 2

• Pavyzdis. Trikampės piramidės viršūnės yra taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško D į sieną ABC, ilgį.

Sprendimas. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško A: AB, AC, AD. Žinome, kad trikampės piramidės tūris

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}|(AB\times AC)\cdot AD|.$

Randame vektorių AB, AC ir AD koordinates:

AB=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},

AC=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},

AD=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.

Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:

$(AB\times AC)\cdot AD={\begin{vmatrix}2&3&1\\-4&4&-1\\4&4&-6\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}4&-1\\4&-6\end{vmatrix}}+3\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}-4&-1\\4&-6\end{vmatrix}}+1\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-4&4\\4&4\end{vmatrix}}=$

$=2\cdot (-1)^{2}\cdot (4\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+3\cdot (-1)^{3}\cdot ((-4)\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+1\cdot (-1)^{4}\cdot ((-4)\cdot 4-4\cdot 4)=$

$=2\cdot (-24+4)-3\cdot (24+4)+1\cdot (-16-16)=2\cdot (-20)-3\cdot 28-32=-40-84-32=-156.$

Tada trikampės piramidės tūris

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot |-156|={\frac {156}{6}}=26.$

Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:

$V_{pir.}={\frac {1}{3}}\cdot S_{\Delta ABC}\cdot h.$

Bet $S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot \|AB\times AC\|,$ todėl

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h.$

Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:

${\frac {1}{6}}|(AB\times AC)\cdot AD|={\frac {1}{6}}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h;$

$h={\frac {|(AB\times AC)\cdot AD|}{\|AB\times AC\|}}={\frac {156}{\sqrt {453}}}=7.329519377,$

kur $AB\times AC={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&3&1\\-4&4&-1\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}3&1\\4&-1\end{vmatrix}}+\mathbf {j} \cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}2&1\\-4&-1\end{vmatrix}}+\mathbf {k} \cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}2&3\\-4&4\end{vmatrix}}=$

$=\mathbf {i} \cdot (3\cdot (-1)-1\cdot 4)-\mathbf {j} \cdot (2\cdot (-1)-1\cdot (-4))+\mathbf {k} \cdot (2\cdot 4-3\cdot (-4))=\mathbf {i} \cdot (-3-4)-\mathbf {j} \cdot (-2+4)+\mathbf {k} \cdot (8+12)=-7\mathbf {i} -2\mathbf {j} +20\mathbf {k} =(-7;-2;20);$

$\|AB\times AC\|={\sqrt {(-7)^{2}+(-2)^{2}+20^{2}}}={\sqrt {49+4+400}}={\sqrt {453}}=21.28379665.$

Toliau įrodysime, kad piramidės tūris surastas teisingai. Rasime pusiaukampinę kampo tarp vektorių AB ir AC. Sudėję šių vektorių ortus gausime naują vektorių AG, kurio koordinatės yra:

${\vec {AG}}={\frac {\vec {AB}}{\|{\vec {AB}}\|}}+{\frac {\vec {AC}}{\|{\vec {AC}}\|}}={\frac {2i+3j+1k}{\sqrt {2^{2}+3^{2}+1^{2}}}}+{\frac {-4i+4j-1k}{\sqrt {(-4)^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}}}={\frac {2i+3j+1k}{\sqrt {4+9+1}}}+{\frac {-4i+4j-1k}{\sqrt {16+16+1}}}=$

$={\frac {2i+3j+1k}{\sqrt {14}}}+{\frac {-4i+4j-1k}{\sqrt {33}}}={\frac {2i}{\sqrt {14}}}+{\frac {-4i}{\sqrt {33}}}+{\frac {3j}{\sqrt {14}}}+{\frac {4j}{\sqrt {33}}}+{\frac {k}{\sqrt {14}}}+{\frac {-k}{\sqrt {33}}}={\frac {2{\sqrt {33}}-4{\sqrt {14}}}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {33}}}}i+{\frac {3{\sqrt {33}}+4{\sqrt {14}}}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {33}}}}j+{\frac {{\sqrt {33}}-{\sqrt {14}}}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {33}}}}k=$

$={\frac {2{\sqrt {33}}-4{\sqrt {14}}}{\sqrt {462}}}i+{\frac {3{\sqrt {33}}+4{\sqrt {14}}}{\sqrt {462}}}j+{\frac {{\sqrt {33}}-{\sqrt {14}}}{\sqrt {462}}}k=-0.16178814i+1.49809435j+0.093183585k.$

Rasime kampą tarp vektoriaus AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir vektoriaus AB={2; 3; 1}. Taigi,

$\cos \phi _{1}={\frac {-0.16178814\cdot 2+1.49809435\cdot 3+0.093183585\cdot 1}{{\sqrt {(-0.16178814)^{2}+1.49809435^{2}+0.093183585^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{2}+3^{2}+1^{2}}}}}=$

$={\frac {-0.32357628+4.49428305+0.093183585}{{\sqrt {0.026175402+2.244286682+0.00868318}}\cdot {\sqrt {4+9+1}}}}={\frac {4.263890355}{{\sqrt {2.279145264}}\cdot {\sqrt {14}}}}={\frac {4.263890355}{\sqrt {31.9080337}}}={\frac {4.263890355}{5.648719651}}=0.754841914.$

$\phi _{1}=\arccos(0.754841914)=0.715383259$ radiano arba 40.98844149 laipsnio.

Patikrinimui, rasime kampą tarp vektoriaus AC={-4; 4; -1} ir AB={2; 3; 1}, taigi

$\cos \phi _{2}={\frac {(-4)\cdot 2+4\cdot 3+(-1)\cdot 1}{{\sqrt {(-4)^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{2}+3^{2}+1^{2}}}}}={\frac {-8+12-1}{{\sqrt {16+16+1}}\cdot {\sqrt {4+9+1}}}}={\frac {3}{{\sqrt {33}}\cdot {\sqrt {14}}}}={\frac {3}{\sqrt {462}}}=0.139572631.$

$\phi _{2}=\arccos {\frac {3}{\sqrt {462}}}=1.430766518$ radiano arba 81,97688296 laipsnio. Patikriname, kad $\phi _{2}=2\cdot \phi _{1}=2\cdot 40.98844149=81.97688298.$

Surandame kampą tarp vektorių AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir AD={4; 4; -6}, taigi:

$\cos \phi _{3}={\frac {-0.16178814\cdot 4+1.49809435\cdot 4+0.093183585\cdot (-6)}{{\sqrt {(-0.16178814)^{2}+1.49809435^{2}+0.093183585^{2}}}\cdot {\sqrt {4^{2}+4^{2}+(-6)^{2}}}}}=$

$={\frac {-0.64715256+5.9923774-0.55910151}{{\sqrt {0.026175402+2.244286682+0.00868318}}\cdot {\sqrt {16+16+36}}}}={\frac {4.78612333}{{\sqrt {2.279145264}}\cdot {\sqrt {68}}}}={\frac {4.78612333}{\sqrt {154.981878}}}={\frac {4.78612333}{12.44917178}}=0.384453152.$

$\phi _{3}=\arccos(0.384453152)=1.176180953$ radiano arba 67.39020453 laipsnio.

Piramidės aukštinės h (kuri nuleista iš taško D į piramidės pagrindą ABC) ilgis yra tiesės AD ilgis padaugintas iš $\sin \phi _{3},$ todėl gauname:

$h=\|{\vec {AD}}\|\cdot \sin \phi _{3}={\sqrt {4^{2}+4^{2}+(-6)^{2}}}\cdot \sin(1.176180953)={\sqrt {16+16+36}}\cdot 0.923144503={\sqrt {68}}\cdot 0.923144503=8.246211251\cdot 0.923144503=7.61244459.$

Randame ABCD piramidės tūrį:

$V={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot S_{\Delta ABC}={\frac {1}{3}}\cdot h\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \|{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}\|={\frac {7.61244459}{6}}\cdot {\sqrt {453}}=1.268740765\cdot 21.28379665=27.00362045.$

Tašką į kurį nuleista aukštinė iš taško D, pavadiname tašku E. Randame projekcija vektoriaus AD={4; 4; -6} vektoriuje AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, tos projekcijos ilgis yra AE. Gauname:

$AE=pr_{\vec {AG}}{\vec {AD}}={\frac {{\vec {AD}}\cdot {\vec {AG}}}{\|{\vec {AG}}\|}}={\frac {4\cdot (-0.16178814)+4\cdot 1.49809435+(-6)\cdot 0.093183585}{\sqrt {(-0.16178814)^{2}+1.49809435^{2}+0.093183585^{2}}}}=$

$={\frac {-0.64715256+5.9923774-0.55910151}{\sqrt {0.026175402+2.244286682+0.00868318}}}={\frac {4.78612333}{\sqrt {2.279145264}}}={\frac {4.78612333}{1.509683829}}=3.170281908.$

Iš Pitagoro teoremos randame aukštine h=DE, taigi:

$DE=h={\sqrt {AD^{2}-AE^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {68}})^{2}-3.170281908^{2}}}={\sqrt {68-10.05068737}}={\sqrt {57.94931263}}=7.612444589.$

Patikrinsime ar vektoriai AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, AB={2; 3; 1} ir AC={-4; 4; -1} komplanarūs (ar vektoriai guli toje pačioje plokštumoje):

$({\vec {AG}}\times {\vec {AB}})\cdot {\vec {AC}}={\begin{vmatrix}-0.16178814&1.49809435&0.093183585\\2&3&1\\-4&4&-1\end{vmatrix}}=$

$=-0.16178814\cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}3&1\\4&-1\end{vmatrix}}+1.49809435\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}2&1\\-4&-1\end{vmatrix}}+0.093183585\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}2&3\\-4&4\end{vmatrix}}=$

$=-0.16178814\cdot (-3-4)-1.49809435\cdot (-2-(-4))+0.093183585\cdot (8-(-12))=$

$=-0.16178814\cdot (-7)-1.49809435\cdot 2+0.093183585\cdot 20=1.13251698-2.9961887+1.8636717=-0.00000002.$

Mišrios vektorių sandaugos rezultatas yra 0, todėl vektoriai AG, AB ir AC priklauso tai pačiai plokštumai.