Determinantas

Determinantas – tiesinės algebros funkcija, kiekvienai kvadratinei n×n matricai A priskirianti skaliarinę reikšmę det(A). Determinantai svarbūs integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto $n\times n$ formulė yra tokia:

det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{n!}(-1)^{p(i)}\cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}}\ldots a_{nk_{in}}

kur

$|A|$ ir $det(A)$ – determinanto žymėjimas.

Antros eilės determinantas

2×2 matrica

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

turi determinantą

\det(A)=ad-bc\,

.

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

a_{11}x+a_{12}y=c_{1},

a_{21}x+a_{22}y=c_{2}.

Surandamas determinantas:

D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:

x={\frac {D_{x}}{D}},

y={\frac {D_{y}}{D}},

kur

D_{x}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}\\c_{2}&a_{22}\end{vmatrix}},

D_{y}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}\\a_{21}&c_{2}\end{vmatrix}}.

Formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Jei D=0, bet $D_{x}$ arba $D_{y}$ nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Jei $D=D_{x}=D_{y}=0$ , tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

{x+2y=8,

{3x - y=3.

Sistemos determinantas yra

D={\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}}=1\cdot (-1)-3\cdot 2=-7;

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

D_{x}={\begin{vmatrix}8&2\\3&-1\end{vmatrix}}=-8-6=-14;

Panašiai randamas

D_{y}={\begin{vmatrix}1&8\\3&3\end{vmatrix}}=3-24=-21;

x=D_{x}/D=-14/(-7)=2;

y=D_{y}/D=-21/(-7)=3.

Determinantas 3 $\times$ 3

$detA=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=$

$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=c_{1}

a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=c_{2}

a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=c_{3}

sprendinius:

x_{1}={\frac {D_{1}}{D}},

x_{2}={\frac {D_{2}}{D}},

x_{3}={\frac {D_{3}}{D}},

kur

D_{1}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}&a_{13}\\c_{2}&a_{22}&a_{23}\\c_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}},

D_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}&a_{13}\\a_{21}&c_{2}&a_{23}\\a_{31}&c_{3}&a_{33}\end{vmatrix}},

D_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&c_{3}\\a_{21}&a_{22}&c_{2}\\a_{31}&a_{32}&c_{3}\end{vmatrix}}.

Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.

Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą

2x_{1}+x_{2}-x_{3}=0,

3x_{1}+4x_{2}+6x_{3}=-5

x_{1}+x_{3}=1.

D=detA={\begin{vmatrix}2&1&-1\\3&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&1&-1\\-3&4&6\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}3&1\\-3&4\end{vmatrix}}=15;

Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

D_{1}={\begin{vmatrix}0&1&-1\\-5&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\-5&10&6\\1&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-5&10\\1&1\end{vmatrix}}=15;

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

D_{2}={\begin{vmatrix}2&0&-1\\3&-5&6\\1&1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\15&-5&6\\3&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}15&-5\\3&1\end{vmatrix}}=-30;

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

D_{3}={\begin{vmatrix}2&1&0\\3&4&-5\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&1&0\\8&4&-5\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}2&1\\8&4\end{vmatrix}}=0;

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

x_{1}={\frac {D_{1}}{detA}}={\frac {15}{15}}=1;\qquad x_{2}={\frac {D_{2}}{detA}}={\frac {-30}{15}}=-2;\qquad x_{3}={\frac {D_{3}}{detA}}={\frac {0}{15}}=0.

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

detA={\begin{vmatrix}1&0&1\\0&0&2\\-1&3&1\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-6\not =0;

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.

A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}0&2\\3&1\end{vmatrix}}=-6;\qquad A_{12}=(-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}0&2\\-1&1\end{vmatrix}}=-2;

A_{13}=(-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}0&0\\-1&3\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}0&1\\3&1\end{vmatrix}}=3;

A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}}=2;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-3;

A_{31}=(-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{32}=(-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}=-2;

A_{33}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}}=0;

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:

A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}}={\frac {1}{-6}}\cdot {\begin{bmatrix}-6&3&0\\-2&2&-2\\0&-3&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\0&{\frac {1}{2}}&0\end{bmatrix}}.

Išspręsime sistemą

3x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=2,

x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=10,

6x_{1}+7x_{2}-3x_{3}=5

matricų metodu.

$A={\begin{bmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{bmatrix}};\qquad B={\begin{bmatrix}2\\10\\5\end{bmatrix}};\qquad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}};$

$X=A^{-1}\cdot B;\qquad A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}};$

$detA={\begin{vmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&14&-8\\1&-3&2\\0&25&-15\end{vmatrix}}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}14&-8\\25&-15\end{vmatrix}}=-2\cdot 5{\begin{vmatrix}7&-4\\5&-3\end{vmatrix}}=10\not =0;$ Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.

A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}-3&2\\7&-3\end{vmatrix}}=-5;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}5&-2\\7&-3\end{vmatrix}}=1;\qquad A_{31}={\begin{vmatrix}5&-2\\-3&2\end{vmatrix}}=4;

A_{12}=-{\begin{vmatrix}1&2\\6&-3\end{vmatrix}}=15;\qquad A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}3&-2\\6&-3\end{vmatrix}}=3;\qquad A_{32}=-{\begin{vmatrix}3&-2\\1&2\end{vmatrix}}=-8;

A_{13}={\begin{vmatrix}1&-3\\6&7\end{vmatrix}}=25;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}3&5\\6&7\end{vmatrix}}=9;\qquad A_{33}={\begin{vmatrix}3&5\\1&-3\end{vmatrix}}=-14;

A^{-1}={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{bmatrix}};

X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\10\\5\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}20\\20\\70\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\\7\end{pmatrix}};

x_{1}=2;

x_{2}=2;

x_{3}=7.

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-8,

2x_{1}+7x_{2}-5x_{3}=26,

x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25.

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

A={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\3&-2&4&|-8\\2&7&-5&|26\end{bmatrix}}=

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos $A^{~}$ pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą: