Determinantas

Determinantas – tiesinės algebros funkcija, kiekvienai kvadratinei n×n matricai A priskirianti skaliarinę reikšmę det(A). Determinantai svarbūs integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto $n\times n$ formulė yra tokia:

$det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{n!}(-1)^{p(i)}\cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}}\ldots a_{nk_{in}}$

kur

• $|A|$ ir $det(A)$ – determinanto žymėjimas.

Antros eilės determinantas

2×2 matrica

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

turi determinantą

$\det(A)=ad-bc\,$.

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

$a_{11}x+a_{12}y=c_{1},$

$a_{21}x+a_{22}y=c_{2}.$

Surandamas determinantas:

$D={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:

$x={\frac {D_{x}}{D}},$

$y={\frac {D_{y}}{D}},$

kur

$D_{x}={\begin{bmatrix}c_{1}&a_{12}\\c_{2}&a_{22}\end{bmatrix}},$

$D_{y}={\begin{bmatrix}a_{11}&c_{1}\\a_{21}&c_{2}\end{bmatrix}}.$

Formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Jei D=0, bet $D_{x}$ arba $D_{y}$ nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Jei $D=D_{x}=D_{y}=0$, tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

{x+2y=8,

{3x - y=3.

Sistemos determinantas yra

$D={\begin{bmatrix}1&2\\3&-1\end{bmatrix}}=1\cdot (-1)-3\cdot 2=-7;$

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

$D_{x}={\begin{bmatrix}8&2\\3&-1\end{bmatrix}}=-8-6=-14;$

Panašiai randamas

$D_{y}={\begin{bmatrix}1&8\\3&3\end{bmatrix}}=3-24=-21;$

$x=D_{x}/D=-14/(-7)=2;$ $y=D_{y}/D=-21/(-7)=3.$

Determinantas 3 $\times$ 3

sudedami

atimami

$detA=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=$

$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=c_{1}$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=c_{2}$

$a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=c_{3}$

sprendinius:

$x_{1}={\frac {D_{1}}{D}},$

$x_{2}={\frac {D_{2}}{D}},$

$x_{3}={\frac {D_{3}}{D}},$

kur

$D_{1}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}&a_{13}\\c_{2}&a_{22}&a_{23}\\c_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}},$

$D_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}&a_{13}\\a_{21}&c_{2}&a_{23}\\a_{31}&c_{3}&a_{33}\end{vmatrix}},$

$D_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&c_{3}\\a_{21}&a_{22}&c_{2}\\a_{31}&a_{32}&c_{3}\end{vmatrix}}.$

Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.

• Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą

$2x_{1}+x_{2}-x_{3}=0,$

$3x_{1}+4x_{2}+6x_{3}=-5$

$x_{1}+x_{3}=1.$

$D=detA={\begin{vmatrix}2&1&-1\\3&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&1&-1\\-3&4&6\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}3&1\\-3&4\end{vmatrix}}=15;$

Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

$D_{1}={\begin{vmatrix}0&1&-1\\-5&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\-5&10&6\\1&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-5&10\\1&1\end{vmatrix}}=15;$

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

$D_{2}={\begin{vmatrix}2&0&-1\\3&-5&6\\1&1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\15&-5&6\\3&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}15&-5\\3&1\end{vmatrix}}=-30;$

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

$D_{3}={\begin{vmatrix}2&1&0\\3&4&-5\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&1&0\\8&4&-5\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}2&1\\8&4\end{vmatrix}}=0;$

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

$x_{1}={\frac {D_{1}}{detA}}={\frac {15}{15}}=1;\qquad x_{2}={\frac {D_{2}}{detA}}={\frac {-30}{15}}=-2;\qquad x_{3}={\frac {D_{3}}{detA}}={\frac {0}{15}}=0.$

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

$detA={\begin{vmatrix}1&0&1\\0&0&2\\-1&3&1\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-6\not =0;$

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.

$A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}0&2\\3&1\end{vmatrix}}=-6;\qquad A_{12}=(-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}0&2\\-1&1\end{vmatrix}}=-2;$

$A_{13}=(-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}0&0\\-1&3\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}0&1\\3&1\end{vmatrix}}=3;$

$A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}}=2;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-3;$

$A_{31}=(-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{32}=(-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}=-2;$

$A_{33}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}}=0;$

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:

$A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{vmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{vmatrix}}={\frac {1}{-6}}\cdot {\begin{vmatrix}-6&3&0\\-2&2&-2\\0&-3&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\0&{\frac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}.$

Išspręsime sistemą

$3x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=2,$

$x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=10,$

$6x_{1}+7x_{2}-3x_{3}=5$

matricų metodu.

$A={\begin{bmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{bmatrix}};\qquad B={\begin{bmatrix}2\\10\\5\end{bmatrix}};\qquad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}};$

$X=A^{-1}\cdot B;\qquad A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}};$

$detA={\begin{vmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&14&-8\\1&-3&2\\0&25&-15\end{vmatrix}}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}14&-8\\25&-15\end{vmatrix}}=-2\cdot 5{\begin{vmatrix}7&-4\\5&-3\end{vmatrix}}=10\not =0;$ Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.

$A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}-3&2\\7&-3\end{vmatrix}}=-5;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}5&-2\\7&-3\end{vmatrix}}=1;\qquad A_{31}={\begin{vmatrix}5&-2\\-3&2\end{vmatrix}}=4;$

$A_{12}=-{\begin{vmatrix}1&2\\6&-3\end{vmatrix}}=15;\qquad A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}3&-2\\6&-3\end{vmatrix}}=3;\qquad A_{32}=-{\begin{vmatrix}3&-2\\1&2\end{vmatrix}}=-8;$

$A_{13}={\begin{vmatrix}1&-3\\6&7\end{vmatrix}}=25;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}3&5\\6&7\end{vmatrix}}=9;\qquad A_{33}={\begin{vmatrix}3&5\\1&-3\end{vmatrix}}=-14;$

$A^{-1}={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{bmatrix}};$

$X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\10\\5\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}20\\20\\70\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\\7\end{pmatrix}};$

$x_{1}=2;$ $x_{2}=2;$ $x_{3}=7.$

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

$3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-8,$

$2x_{1}+7x_{2}-5x_{3}=26,$

$x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25.$

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

$A={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\3&-2&4&|-8\\2&7&-5&|26\end{bmatrix}}=$

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos $A^{~}$ pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&13&-21&|76\end{bmatrix}}=$

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=$

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&0&113&|-339\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=$

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

$={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&-1&19&|-58\\0&0&113&|-339\end{bmatrix}}.$

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą

$x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25,$

$-x_{2}+19x_{3}=-58,$

$113x_{3}=-339.$

Iš paskutinės lygties $x_{3}={\frac {-339}{113}}=-3.$

Iš antros lygties surandame $x_{2}=58+19x_{3}=58-57=1.$

Iš pirmos lygties randame $x_{1}=-25+3x_{2}-8x_{3}=-25+3+24=2.$

Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).

Ketvirtos eilės determinantas

Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:

$D={\begin{vmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{vmatrix}}=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}1&-1&2\\1&3&-4\\-5&3&-3\end{vmatrix}}+(-1)^{3+3}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}3&1&2\\-5&1&-4\\1&-5&-3\end{vmatrix}}+$

$+(-1)^{3+4}\cdot (-1)\cdot {\begin{vmatrix}3&1&-1\\-5&1&3\\1&-5&3\end{vmatrix}}=2\cdot 16-40+48=40.$ Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.