Determinantas

Iš Wikibooks.
Peršokti į: navigacija, paiešką

Determinantastiesinės algebros funkcija, kiekvienai kvadratinei n×n matricai A priskirianti skaliarinę reikšmę det(A). Determinantai svarbūs integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto formulė yra tokia:

kur

  • ir – determinanto žymėjimas.



Antros eilės determinantas[keisti]

2×2 matrica

turi determinantą

.

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

Surandamas determinantas:

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:

kur

Formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Jei D=0, bet arba nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Jei , tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

{x+2y=8,
{3x - y=3.

Sistemos determinantas yra

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

Panašiai randamas

Determinantas 3 3[keisti]

sudedami
atimami

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules[keisti]

Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

sprendinius:

kur

Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.


  • Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą

Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu[keisti]

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:


Išspręsime sistemą

matricų metodu.

Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu[keisti]

Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą

Iš paskutinės lygties
Iš antros lygties surandame
Iš pirmos lygties randame
Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).

Ketvirtos eilės determinantas[keisti]

Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:

Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.