Determinantas – tiesinės algebros funkcija, kiekvienai kvadratinei n×n matricai A priskirianti skaliarinę reikšmę det(A). Determinantai svarbūs integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.
Determinanto
formulė yra tokia:

kur
ir
– determinanto žymėjimas.
Antros eilės determinantas[keisti]
2×2 matrica

turi determinantą
.
Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:


Surandamas determinantas:

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:


kur


Formulės vadinamos Kramerio formulėmis.
Jei D=0, bet
arba
nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta).
Jei
, tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).
Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:
- {x+2y=8,
- {3x - y=3.
Sistemos determinantas yra

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

Panašiai randamas


Determinantas 3
3[keisti]
Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.
Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules[keisti]
Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:



sprendinius:



kur



Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.
- Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą




Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu[keisti]
Determinanto radimas naudojant adjunktą:

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.





Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:

Išspręsime sistemą



matricų metodu.
Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.






Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu[keisti]
Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:



Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos
pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą



- Iš paskutinės lygties

- Iš antros lygties surandame

- Iš pirmos lygties randame

- Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).
Ketvirtos eilės determinantas[keisti]
Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:

Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.