Aptarimas:Matematika/Trilypis integralas

Per daug tokių pačių pavyzdžių

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=18y$ (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 9), o spindulys r=9), $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas).

Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį $\rho ^{2}=18\rho \sin \phi ,$ $\rho =18\sin \phi .$ Paraboloido lygtis tampa tokia: $z=\rho ^{2}.$ Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl $\phi$ kinta nuo 0 iki ${\frac {\pi }{2}}.$

$V=\iiint _{V}{\mathsf {d}}x{\mathsf {d}}y{\mathsf {d}}z=\iiint _{V}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{18\sin \phi }\int _{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{18\sin \phi }z|_{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =$

$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{18\sin \phi }\rho (\rho ^{2}-0){\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{18\sin \phi }\rho ^{3}{\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{18\sin \phi }{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {(18\sin \phi )^{4}}{4}}-{\frac {0^{4}}{4}}){\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {104976\sin ^{4}\phi }{4}}{\mathsf {d}}\phi =$

$=26244\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi =26244\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\cos(4\phi )-4\cos(2\phi )+3 \over 8}{\mathsf {d}}\phi ={\frac {6561}{2}}({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\phi )-2\sin(2\phi )+3\phi )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$

$={\frac {6561}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot {\frac {\pi }{2}})-2\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+3\cdot {\frac {\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot 0)-2\sin(2\cdot 0)+3\cdot 0)]=$

$={\frac {6561}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(2\pi )-2\sin(\pi )+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(0)-2\sin(0))]=$

$={\frac {6561}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0)]={\frac {6561}{2}}\cdot {\frac {3\pi }{2}}={\frac {19683\pi }{4}}=15458.99205.$

kur $\sin ^{4}A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3 \over 8}.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį ${\frac {19683\pi }{4}}$ padauginti iš 2.

Palyginimui cilindro viename oktante tūris yra $V_{cil1}={\frac {\pi r^{2}h}{2}}={\frac {\pi \cdot 9^{2}\cdot 18^{2}}{2}}={\frac {\pi \cdot 81\cdot 324}{2}}=13122\pi =41223.9788.$

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais $x^{2}+y^{2}=14y$ (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 7), o spindulys r=7), $z=0$ (plokštuma ant plokštumos xOy), $z=x^{2}+y^{2}$ (paraboloidas).

Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį $\rho ^{2}=14\rho \sin \phi ,$ $\rho =14\sin \phi .$ Paraboloido lygtis tampa tokia: $z=\rho ^{2}.$ Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl $\phi$ kinta nuo 0 iki ${\frac {\pi }{2}}.$

$V=\iiint _{V}{\mathsf {d}}x{\mathsf {d}}y{\mathsf {d}}z=\iiint _{V}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{14\sin \phi }\int _{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho {\mathsf {d}}z=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{14\sin \phi }z|_{0}^{\rho ^{2}}\rho {\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =$

$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{14\sin \phi }\rho (\rho ^{2}-0){\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{14\sin \phi }\rho ^{3}{\mathsf {d}}\phi {\mathsf {d}}\rho =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho ^{4}}{4}}|_{0}^{14\sin \phi }{\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\frac {(14\sin \phi )^{4}}{4}}-{\frac {0^{4}}{4}}){\mathsf {d}}\phi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {38416\sin ^{4}\phi }{4}}{\mathsf {d}}\phi =$

$=9604\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{4}\phi {\mathsf {d}}\phi =9604\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\cos(4\phi )-4\cos(2\phi )+3 \over 8}{\mathsf {d}}\phi ={\frac {2401}{2}}({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\phi )-2\sin(2\phi )+3\phi )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$

$={\frac {2401}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot {\frac {\pi }{2}})-2\sin(2\cdot {\frac {\pi }{2}})+3\cdot {\frac {\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(4\cdot 0)-2\sin(2\cdot 0)+3\cdot 0)]=$

$={\frac {2401}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot \sin(2\pi )-2\sin(\pi )+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot \sin(0)-2\sin(0))]=$

$={\frac {2401}{2}}[({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0+{\frac {3\pi }{2}})-({\frac {1}{4}}\cdot 0-2\cdot 0)]={\frac {2401}{2}}\cdot {\frac {3\pi }{2}}={\frac {7203\pi }{4}}=5657.222971.$

kur $\sin ^{4}A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3 \over 8}.$

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį ${\frac {7203\pi }{4}}$ padauginti iš 2.

Palyginimui cilindro viename oktante tūris yra $V_{cil1}={\frac {\pi r^{2}h}{2}}={\frac {\pi \cdot 7^{2}\cdot 14^{2}}{2}}={\frac {\pi \cdot 49\cdot 196}{2}}=4802\pi =15085.92792.$

Iššaukiantys pavyzdžiai

• Rasime kūno tūrį V, kurį išpjauna praboloidas $z=1-x^{2}-y^{2}.$ Reikšmė z lygi 1, kai reikšmės x ir y lygios 0. Iš šonų kūna riboja begalinė prizmė (stačiakampis gretasienis) su kraštinėmis x=1, y=1.

$V=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{1-x^{2}-y^{2}}dz=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\;z|_{0}^{1-x^{2}-y^{2}}=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}((1-x^{2}-y^{2})-0)dy=$

$=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}(1-x^{2}-y^{2})dy=\int _{0}^{1}dx(y-x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}})|_{0}^{1}=\int _{0}^{1}(1-x^{2}\cdot 1-{\frac {1^{3}}{3}})dx=(x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x}{3}})|_{0}^{1}=1-{\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}=0.3(3).$

Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus $V_{4}=4\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}.$

Tūris, kurį gausime atėmę šį tūrį is cilindro tūrio, kurio aukštis h=1 ir spindulys r=1, yra tūris po paraboloidu $V_{pp}=V_{cil}-V_{4}=\pi r^{2}h-\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{1-x^{2}-y^{2}}dz=\pi \cdot 1^{2}\cdot 1-{\frac {4}{3}}=\pi -{\frac {4}{3}}=3.141592654-1.333333333=1.80825932.$

Rodos šis skaičiavimo būdas neteisingas, nors ir naudojamas matematikos knygoje(-se).

• Rasime kūno tūrį V, esantį po paraboloidu $z=x^{2}+y^{2}$, o iš šonų apribotu begalinio aukščio stačiakampiu gretasieniu, kurio kraštinės x arba y lygios ${\sqrt {2}}$.

$V=\int _{0}^{\sqrt {2}}dx\int _{0}^{\sqrt {2}}dy\int _{0}^{x^{2}+y^{2}}dz=\int _{0}^{\sqrt {2}}dx\int _{0}^{\sqrt {2}}dy\;z|_{0}^{x^{2}+y^{2}}=\int _{0}^{\sqrt {2}}dx\int _{0}^{\sqrt {2}}((x^{2}+y^{2})-0)dy=$

$=\int _{0}^{\sqrt {2}}dx\int _{0}^{\sqrt {2}}(x^{2}+y^{2})dy=\int _{0}^{\sqrt {2}}dx(x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}})|_{0}^{\sqrt {2}}=\int _{0}^{\sqrt {2}}(x^{2}\cdot {\sqrt {2}}+{\frac {({\sqrt {2}})^{3}}{3}})dx=$

$=({\sqrt {2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\sqrt {2^{3}}}\cdot {\frac {x}{3}})|_{0}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}{\frac {({\sqrt {2}})^{3}}{3}}+{\sqrt {2^{3}}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{3}}={\frac {({\sqrt {2}})^{4}}{3}}+{\sqrt {2^{4}}}\cdot {\frac {1}{3}}=$

$={\frac {4}{3}}+{\frac {4}{3}}={\frac {8}{3}}=2.6666667.$

Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus $V_{4}=4\cdot {\frac {8}{3}}={\frac {32}{3}}=10.66666667.$

• Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, išpjaunamą iš begalinės prizmės su kraštais $x=\pm 2,\;y=\pm 2$ paraboloidais $x^{2}+y^{2}=4-z,$ $x^{2}+y^{2}=4(z+2)$.

$z_{1}=4-x^{2}-y^{2},$ $z_{2}={\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}-2.$ Kai reikšmės x ir y yra 0, tai $z_{1}=4$, $z_{2}=-2,$ šie taškai ir yra aukčiausias ir žemiausias taškai. Kai, pavyzdžiui, $x=2$, $y=0$, tada $z_{1}=4-x^{2}-y^{2}=4-2^{2}-0^{2}=0,$ $z_{2}={\frac {2^{2}+0^{2}}{4}}-2=-1.$

$V=\int _{0}^{2}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{2}{\mathsf {d}}y\int _{{\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}-2}^{4-x^{2}-y^{2}}{\mathsf {d}}z=\int _{0}^{2}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{2}{\mathsf {d}}y\;z|_{{\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}-2}^{4-x^{2}-y^{2}}=\int _{0}^{2}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{2}[(4-x^{2}-y^{2})-({\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}-2)]{\mathsf {d}}y=$

$=\int _{0}^{2}{\mathsf {d}}x\int _{0}^{2}(6-x^{2}-y^{2}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{4}}){\mathsf {d}}y=\int _{0}^{2}{\mathsf {d}}x(6y-x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}y}{4}}-{\frac {y^{3}}{4\cdot 3}})|_{0}^{2}=\int _{0}^{2}(6\cdot 2-x^{2}\cdot 1-{\frac {2^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}\cdot 1}{4}}-{\frac {2^{3}}{12}}){\mathsf {d}}x=$

$=\int _{0}^{2}(12-x^{2}-{\frac {8}{3}}-{\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {8}{12}}){\mathsf {d}}x=\int _{0}^{2}({\frac {12\cdot 12-8\cdot 4-8}{12}}-x^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}){\mathsf {d}}x=\int _{0}^{2}({\frac {144-32-8}{12}}-x^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}){\mathsf {d}}x=$

$=\int _{0}^{2}({\frac {104}{12}}-x^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}){\mathsf {d}}x=({\frac {104x}{12}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{3}}{4\cdot 3}})|_{0}^{2}={\frac {104\cdot 2}{12}}-{\frac {2^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{12}}={\frac {208-4\cdot 8-8}{12}}={\frac {168}{12}}=14.$

Kad gauti tūrį visuose 8-iuose oktantuose, reikia $14$ padauginti iš 4.

Palyginimui, stačiakampio gretasienio tūris, kurio kraštinės a=2, b=2, c=6 yra lygus $V_{big}=2\cdot 2\cdot 6=24.$