Matematika/Lopitalio taisyklė

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Lopitalio taisyklė (Liopitalio taisyklė) skirta riboms neapibrėžtumo atvejais skaičiuoti, pasiūlyta Gijomo Lopitalio (1661-1704).

Pagrindinė Lopitalio taisyklės esmė yra išvestinės taikymas skaitikliui ir vardikliui atskirai.

I. Neapibrėžtumai ir

Teorema. Sakykime, kad
1)funkcijos f(x) ir g(x) apibrėžtos ir diferencijuojamos taško x=a aplinkoje;
2) arba
3) egzistuoja
Tada


II. Neapibrėžtumas

Šio tipo neapibrėžtumą galima pakeisti neapibrėžtumu arba Iš tikrųjų, sakykime, kad

Kadangi

tai

ir gauname neapibrėžtumą Analogiškai galime gauti ir neapibrėžtumą

III. Neapibrėžtumas

Jį galime pakeisti neapibrėžtumu Sakykime, kad ir Tada

Gavome neapibrėžtumą kurį skaičiuoti jau mokame.


IV. Neapibrėžtumai

Šio tipo neapibrėžtumai pakeičiami neapibrėžtumu remianti tapatybe (f(x)>0):

Laipsnio rodiklyje turime neapibrėžtumą

Pavyzdžiai[keisti]

  • Apskaičiuosime (m>0). Neapibrėžtumas Taikome I taisyklę:
  • Apskaičiuosime (m>0). Neapibrėžtumas Taikome II taisyklę:
  • Apskaičiuosime Neapibrėžtumas Pertvarkome pagal III taisyklę ir paskui taikome du kartus I taisyklę:
Kitaip:
  • Apskaičiuosime Neapibrėžtumas
  • Du kartus pritaikius Lopitalio taisyklę, apskaičiuojama ribinė reikšmė
  • Tris kartus pritaikius Lopitalio taisyklę, apskaičiuojama ribinė reikšmė
  • Kitaip:


Taikėmė II taisyklę.


  • Pritaikius Lopitalio taisyklę n kartų, apskaičiuojama ribinė reikšmė


  • Sakykime, Tada
Pritaikę Lopitalio taisyklę, gauname
Iš to aišku, kad


Lopitalio taisyklės įrodymas[keisti]

Pirmiausia, kad įrodyti Lopitalio taisyklę reikia žinoti Lagranžo formulę ir Koši formulę.
Lagranžo formulė yra tokia:
čia yra vienintelė argumento reikšmė iš intervalo [a; b].
Koši formulę galima gauti iš Lagranžo formulės. Tarkime, kad intervale [a; b] yra dvi tolydžios funkcijos f(x) ir g(x) ( intervale [a; b]), tada intervale [a; b] yra tokie taškai ir kad teisinga lygybė
Atskriai funkciai f(x) turime Lagranžo formulę:
ir atskriai funkciai g(x) turime Lagranžo formulę:
Padalinus kairiąsias abiejų funkcijų puses vieną iš kitos ir padalinus abiejų funkcijų dešiniąsias puses gausime Koši formulę:
(Iš tikro, Koši formulėje ir jos išvedimas yra ne iš Lagranžo formulės, bet įrodinėjant Lopitalio taisyklę galima naudotis ir tokia Koši-Paraboloido formule).


Neapibrėžtumo aiškinimas. Sakome, kad dviejų funkcijų santykis kai yra neapibrėžtumas jei
Kadangi ir lygūs 0, tai nagrinėkime tokį , kuris yra arti taško a ( yra taško a aplinkoje). Intervalas [a; ] tenkina Loši teoremos sąlygas. Pagal tą teoremą intervalo [a; ] viduje yra toks taškas (arba pagal Koši-Paraboloido formulę išvestą iš lagranžo formulės yra tokie taškai ir atitinkamai funkcijoms f(x) ir g(x)), kad
arba
Atsižvelgę į tai, kad pagal papildomą apibrėžimą (8.25) lygybę galime užrašyti šitaip:
arba
Dabar tarkime, kad šioje lygybėje . Tada, savaime aišku, (arba ir ). Taigi,


Neapibrėžtumo aiškinimas. Sakome, kad dviejų funkcijų santykis kai yra neapibrėžtumas kai
(vietoj gali būti arba ).
Taikydami Koši formulę segmentui (segmentu vadinamas uždaras intervalas aukšojoj matematikoje) [x; a], galime tvirtinti, jog jame yra toks taškas kad
Iš čia
Kai x artėja prie a, bet niekad nepriartėja (niekad netampa a), tai
be kita ko, kai tai taip pat priartėja prie a, bet kokiu norimu tikslumu. Tokiu budu, gauname apytikslę formulę, bet kokiu norimu tikslumu tašką [apytiksliai] lygiu a, bet ne apsoliučiai lygiu a reikšmei. Todėl paskutinę formulę galime užrašyti šitaip:
Profesionalesnis neapibrėžtumo aiškinimas. Tarkime, kad
Sakykime, ir labai priarteja prie a (tad dėl šios priežasties yra labai mažas skaičius) ir tenkina sąlygą Be to keliomis eilėmis (kiek eilių daugiau galima pasirinkti) daugiau už o keliomis eilėmis daugiau už
Taikydami Koši formulę segmentui galime tvirtinti, jog jame yra toks taškas kad
Iš čia
Kadangi pagal sąlygą keliomis eilėmis daugiau už ir keliomis eilėmis daugiau už tai galime užrašyti paskutinę formulę taip:
Kai tai taškas esantis tarp ir irgi artėja prie a. Todėl
Gali kilti natūralus klausimas: kas, jeigu skirtumas tarp ir labai mažas (kai ir artėja į a) ir be to tik vos daugiau nei (taip pat ir tik vos daugiau nei )?
Atsakymas yra toks, kad tada formulėje
nėra o yra kažkoks nesuderintas skaičius
Todėl formulė
bus teisinga [ir egzistuoja] tik tada, kai tenkinama sąlyga, kad keliomis eilėmis daugiau už ir keliomis eilėmis daugiau už
Pavyzdys apie tai, kada Lopitalio taisyklė egzistuoja ir kada neegzistuoja. Tarkime turime funkciją Kai , tai Galimi du atvejai, kai ir artėja į 1: pirmas atvejis, kai tik vos skiriasi nuo antras atvejis, kai keliomis eilėmis skiriasi nuo
Išnagrinėkime pirmąjį atvejį. Imkime ir . Tada
Išnagrinėkime antrąjį atvejį. Imkime ir . Tada
Matome, kad pirmuoju atveju formulė
pavirsta į tokią
kur C yra nemažas skaičius (gali gautis, priklausomai nuo g(x) funkcijos, apie 0.3 arba apie 3).
Antruoju atveju formulė
pavirsta į tokią
kur c yra labai mažas skaičius (priklausomai nuo g(x) funkcijos, c gali gautis lygus apie 0.999 arba apie 1.001).
Pirmuoju atveju Lopitalio taisyklė neegzistuoja. Antruoju atveju Lopitalio taisyklė egzistuoja (nes antruoju atveju Lopitalio taisyklės formulėje nėra jokios gana didelės konstantos C). Pirmuoju atveju gaunama tokia formulė:
kuri nėra Lopitalio taisyklės formulė (dėl gana didelės konstantos C). Vadinasi, Lopitalio taisyklė neskaičiuoja pagal formulę, kai ir yra neapsakomai arti vienas kito ir tik vos daugiau nei bei tik vos daugiau nei kai ir artėja į a.
Kai tai tada Lopitalio taisyklė egzistuos tik tada daugumai [ne rodiklinių (rodiklinė yra, pvz., )] funkcijų, kai bus keliomis eilėmis didesnis už nes tik tada bus keliomis eilėmis didesnis skaičius už skaičių ir bus keliomis eilėmis didesnis skaičius už skaičių.
Update 1. Gali būti (turbūt taip ir yra), kad jeigu riba (kai ) nėra lygi 0 arba , tai tada nesvarbu kokiu budu ir artėja į a, vistiek formulėje
šitas dėmuo artėja į 1. Ir tada tai reiškia, kad Lopitalio taisyklė visada egzistuoja, nepriklausomai nuo to ar tik vos daugiau nei bei tik vos daugiau nei (kai ir artėja į a) ar skirtumai dideli ( tarp ir bei tarp ir , kai ir artėja į a).