Matematika/Koši formulė

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search
Kad įrodytume Koši formulę, pirmiausia reikia žinoti Rolio teoremą. Toliau segmentas reiškia uždarą intervalą.


Išvestinės nulio teorema[keisti]

8.10 pav.
Rolio teorema. Sakykime, funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei tai segmento [a; b] viduje yra taškas kuriame išvestinės reikšmė lygi nuliui:
Trumpai galima sakyti, kad tarp dviejų skiringų argumento reikšmių, kurias atitinka vienodos diferencijuojamos funkcijos reikšmės, būtinai tos funkcijos išvestinė lygi nuliui.
Įrodymas. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai ta funkcija pasiekia šiame segmente savo maksimaliąją reikšmę M ir minimaliąją reikšmę m. Galimi du atvejai: 1) 2) Kadangi 1 atveju tai išvestinė f'(x) lygi nuliui bet kuriame segmento [a; b] taške. Atveju, kai atsižvelgę į sąlygą galime tvirtinti, kad bent vieną iš dviejų reikšmių M ir m funkcija pasiekia kokiame nors vidiniame segmento [a; b] taške Todėl funkcija f(x) tame taške turi lokalinį ekstremumą. Kadangi funkcija f(x) diferencijuojama taške tai Teorema visiškai įrodyta.
Rolio teorema turi paprastą geometrinę prasmę: jei kreivės y = f(x) kraštinės ordinatės vienodos, tai kreivėje y = f(x) yra bent vienas taškas, per kurį nubrėžta kreivės liestinė yra lygiagreti ašiai Ox (8.10 pav.).
Rolio teorema pagrįsta daugelis matematinės analizės formulių ir teoremų.

Bendroji baigtinių pokyčių formulė (Koši formulė)[keisti]

Įrodysime teoremą, apibendrinančią anksčiau įrodytąją Lagranžo teoremą.
Koši teorema. Sakykime, funkcijos f(x) ir g(x) tolydžios segmente [a; b] ir diferencijuojamos visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei išvestinė g'(x) nelygi nuliui visuose vidiniuose segmento [a; b] taškuose, tai to segmento viduje yra toks taškas kad teisinga lygybė
Ji vadinama bendrąja baigtinių pokyčių formule, arba Koši formule.
Įrodymas. Pirmiausia įsitikinsime, kad Jei taip nebūtų, tai funkcija g(x) segmente [a; b] tenkintų visas Rolio teoremos sąlygas, todėl pagal tą teoremą segmento [a; b] viduje turėtų būti toks taškas kad Kadangi tai prieštarauja teoremos sąlygoms, tai Vadinasi, galime sudaryti pagalbinę funkciją
Iš funkcijų f(x) ir g(x) savybių, nurodytų teoremos sąlygoje, išplaukia, kad F(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Be to, lengva įsitikinti, kad Vadinasi, segmento [a; b] viduje yra toks taškas kad
Turėdami galvoje, kad ir pasinaudoję (8.21) lygybe, gausime
Atsižvelgę į tai, kad iš (8.22) lygybės gauname (8.19) Koši formulę. Teorema įrodyta.
1 pastaba. Lagranžo formulė yra atskiras Koši formulės atvejis, kai
2 pastaba. (8.19) formulei nebūtina sąlyga