Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search
Nagrinėsime tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį
Į klausimą, kokia yra šios lygties bendrojo sprendinio strukutūra, atsako tokia teorema.
Teorema. Jei yra bendrasis homogeninės lygties
sprendinys, - kuris nors atskirasis (39) nehomogeninės lygties sprendinys, tai (39) lygties bendrasis sprendinys yra
Įrodymas. Pirmiausia įrodysime, kad reiškinys yra (39) lygties sprendinys. Kadangi - (40) lygties sprendinys, o - (39) lygties sprendinys, tai jie turi tenkinti atitinkamas lygtis, todėl
Sudėję šias lygybes ir pritaikę išvestinių savybes, gauname
Ši lygybė rodo, kad yra (39) lygties sprendinys.
Dar kartą akcentuojame: norint išspręsti tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį, reikia rasti ją atitinkančios homogeninės lygties bendrąjį sprendinį ir bet kurį atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Konstantų variacijos metodas[keisti]

Jau išsiaiškinome, kaip galima rasti tiesinės homogeninės lygties bendrąjį sprendinį Taip pat įrodėme, kad pridėję prie bet kurį atskirąjį tiesinės nehomogeninės lygties sprendinį gauname bendrąjį nehomogeninės lygties sprendinį. Dabar išnagrinėsime radimo būdą.
Tarkime, kad ir - antrosios eilės (40) homogeninės lygties atskirųjų sprendinių fundamentalioji sistema. Tuomet šios lygties bendrasis sprendinys yra
Nehomogeninės lygties, nusakomos (39) formule, atskirojo sprendinio ieškosime tardami, kad jį galima užrašyti tokiu pat reiškiniu, kaip ir (41) sprendinį, tačiau vietoj ir įrašysime kol kas nežinomas funkcijas ir (konstantas pakeisime funkcijomis). Taigi mūsų tikslas - rasti funkcijas ir be to, tokias, su kuriomis reiškinys
būtų (39) lygties sprendinys. Išdiferencijuokime (42) lygybę:
ir parinkime tokias, kad būtų
Tuomet
Išdiferencijuokime šį reiškinį:
ir išraiškas, apibrėžiamas atitinkamai (42), (44) ir (45) lygybe, irašykime į (39) lygtį:
Pertvarkę turime:
Kadangi ir - homogeninės lygties () sprendiniai, tai suskliausti reiškiniai lygūs nuliui. Iš (46) lygybės gauname:
Vadinasi, (42) reiškinys yra (39) lygties sprendinys, kai funkcijos ir tenkina (43) ir (47) sąlygas.
Taigi gauname dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą
Kadangi tos sistemos determinantas yra Vronskio determinantas, sudarytas iš tiesiškai nepriklausomų sprendinių ir tai jis nelygus nuliui. Todėl iš (48) sistemos galima rasti vieninteles funkcijas ir
(48) sistemos sprendinį pažymėkime taip:
Tuomet ir rasime integruodami:
čia ir - konstantos.
Taigi (39) lygties atskirasis sprendinys yra (pagal (42))
o bendrasis sprendinys
Arba, kas visiškai tas pats:

Pavyzdžiai[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Charakteringoji lygtis turi šaknis Todėl bendrasis homogeninės lygties sprendinys Remdamiesi (48) lygčių sistema, sudarome sistemą
Pirmosios lygties abi puses padauginę iš o antrosios - iš bei sudėję lygtis panariui, gauname lygtį
iš čia
Tuomet iš sistemos pirmosios lygties turime:
Vadinasi,
Taigi duotosios lygties atskirasis sprendinys
o bendrasis sprendinys

Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atskirojo sprendinio parinkimo metodas (I.)[keisti]

Nagrinėkime lygtį
kurios koeficientai ir yra pastovūs, o dešinioji pusė gali įgyti tam tikras išraiškas.
Tarkime, kad yra daugianario ir rodiklinės funkcijos sandauga:
čia - n-tojo laipsnio daugianaris, - realusis skaičius.
Atskirojo sprendinio ieškosime tardami, kad jis irgi yra n-tojo laipsnio daugianaris su neapibrėžtais koeficientais ir rodiklinės funkcijos sandauga:
Kadangi apibrėžtas (50) formule, yra (49) lygties atskirasis sprendinys, tai jis turi tikti tai lygčiai. Randame ir
Įrašę jas į (49) lygtį, gauname tapatybę
Ją pertvarkę ir suprastinę iš turime:
1. Kai nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi, tai (ir ) ir kairiojoje lygybės pusėje, kaip ir dešiniojoje , yra n-tojo laipsnio daugianaris. Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, galime rasti daugianario koeficientus.
2. Kai sutampa su viena nekartotine charakteringosios lygties () šaknimi, tai bet Kadangi yra -ojo laipsnio daugianaris, tai (51) lygybė negali būti tapatybė. Todėl, parinkdami atskirąjį sprendinį turime imti -ojo laipsnio daugianarį, tiesa, be laisvojo nario, nes diferencijuojant jis ir taip dingsta. Šį kartą
(Pagal sąlygą kairė pusė turi būti tokio pačio laipsnio kaip ir bet prie gavome koeficientą nulį, nes , todėl kad kairėje pusėje gauti padauginome x.)
3. Kai sutampa su kartotine charakteringosios lygties () šaknimi, tai Kadangi pagal Vieto teoremą,
tai ir yra -ojo laipsnio daugianaris, todėl (51) lygybės kairiojoje pusėje yra -ojo laipsnio daugianaris (). Vadinasi, (51) lygybė negali būti tapatybė. Šį kartą turime parinkti

Pavyzdžiai[keisti]

  • Išspręskime lygtį
kai: a) b)
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties () bendrasis sprendinys
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
a) Kai tai daugianaris (jis yra antrojo laipsnio) ir Kadangi nesutampa nė su viena charakteringosios lygties šaknimi, tai, pagal (50) formulę,
(daugianaris nes jis turi būti antrojo laipsnio; beje, pirmojo laipsnio daugianaris yra trečiojo laipsnio ir t.t.).
Toliau randame:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš jos randame: Todėl ir bendrasis duotosios lygties sprendinys
b) Kai tai Kadangi yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl, pagal (52) formulę,
Toliau sprendžiama analogiškai a) atvejui.
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties () sprendinys yra


  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai tai Kadangi yra nulinio laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
Patikriname:


  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai tai Kadangi yra nulinio laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties () sprendinys yra
Patikriname:

Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atskirojo sprendinio parinkimo metodas (II.)[keisti]

Tarkime, kad
čia ir - atitinkamai n-tojo ir m-tojo laipsnio daugianariai, - realieji skaičiai. Pažymėkime (jei m>n, tada l=m; jei m<n, tada l=n).


1. Kai nėra charakteringosios lygties šaknis, tai atskirąjį (49) lygties sprendinį rasime pagal formulę
čia - l-tojo laipsnio daugianariai su neapibrėžtais koeficientais.


2. Kai sutampa su charakteringosios lygties () šaknimi, tai atskirasis sprendinys gaunamas iš (54) formulės, padauginus dešiniąją jos pusę iš x. Taigi
Paminėsime, kad ir tuo atveju, kai funkcija sudaro tik vienas dėmuo arba atskirasis sprendinys nusakomas (54) arba (55) formule (taigi jį sudaro du dėmenys).

Pavyzdžiai[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis tai
Šiame pavyzdyje taigi dydis nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi. Todėl, ieškodami taikysime (54) formulę. Kadangi prie yra pastovus daugiklis 3 (), tai vietoj daugianarių ir rašysime nežinomus skaičius M ir N. Taigi
Randame:
Įrašę ir išraiškas į duotąją lygtį, gauname tapatybę
Sulyginę koeficientus prie ir gauname dvi lygtis:
Padaugine antrą lygtį iš dviejų ir pridėję prie pirmos gauname:
Ši sistema turi sprendinį
Taigi
o bendrasis duotosios lygties () sprendinys


  • Išspręskime lygtį
kai: a) b)
Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
a) Kai tai dešinioji lygties pusė turi išraišką
Kadangi šį kartą yra pirmojo laipsnio daugianaris, o nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad sutampa su šaknų realiąja dalimi), tai sprendinio išraišką nusako (50) formulė. Taigi
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
b) Kai tai dešinioji lygties pusė turi išraišką, apibrėžiamą formule Šį kartą ir dydis sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl atskirojo sprendinio išraišką nusako (55) formulė. Taigi
Randame:
Įrašę ir išraiškas į duotąją lygtį, sutraukę panašiuosius narius ir suprastinę iš gauname tapatybę
Iš čia
todėl
Taigi
o bendrasis duotosios lygties sprendinys


  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Kad rasti homogeninės lygties sprendinį, į homogeninę lygtį įstatome ir gauname:
Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Kai tai dešinioji lygties pusė turi išraišką
Kadangi yra pirmojo laipsnio daugianaris, o nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi, tai sprendinio išraišką nusako (50) formulė. Taigi
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra

Nuorodos[keisti]