Aptarimas:Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys

Iš Wikibooks.
Pereiti į navigaciją Jump to search

Neveikia taip kaip b)[keisti]

  • Išspręskime lygtį
kai: a) b)
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi 6aknis ir tai homogeninės lygties () bendrasis sprendinys
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
a) Kai tai daugianaris (jis yra antrojo laipsnio) ir Kadangi nesutampa nė su viena charakteringosios lygties šaknimi, tai, pagal (50) formulę,
(daugianaris nes jis turi būti antrojo laipsnio; beje, pirmojo laipsnio daugianaris yra trečiojo laipsnio ir t.t.).
Toliau randame:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš jos randame: Todėl ir bendrasis duotosios lygties sprendinys
b) Kai tai Kadangi yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl, pagal (52) formulę,
Toliau sprendžiama analogiškai a) atvejui.
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties () sprendinys yra
Patikriname:

Neteisingas sprendimas[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai tai Kadangi yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties () sprendinys yra
Patikriname:


Neteisingas sprendimas 2[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai tai Kadangi yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties () sprendinys yra
Patikriname:

Neteisingas sprendimas 3[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai tai Kadangi yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties () sprendinys yra
Patikriname:

Neteisingas sprendimas 4[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai tai Kadangi yra nulinio laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
Patikriname:

Neteisingas sprendimas 5[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis ir tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.
Kai tai Kadangi yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties () sprendinys yra
Patikriname:

Problemos su a) variantu, nes lygtis yra [keisti]

  • Išspręskime lygtį
kai: a) b)
Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
a) Kai tai dešinioji lygties pusė turi išraišką
Kadangi šį kartą yra pirmojo laipsnio daugianaris, o nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad sutampa su šaknų realiąja dalimi), tai sprendinio išraišką nusako (50) formulė. Taigi
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
Patikriname:

Neteisingai surastos išvestinės (paskutiniame pavyzdyje)[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Kad rasti homogeninės lygties sprendinį, į homogeninę lygtį įstatome ir gauname:
Kadangi charakteringoji lygtis turi šaknis tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys
Kai tai dešinioji lygties pusė turi išraišką
Kadangi yra pirmojo laipsnio daugianaris, o nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi, tai sprendinio išraišką nusako (50) formulė. Taigi
Randame išvestines:
Įrašę išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:
Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą
Iš sistemos randame: Todėl Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
Patikriname: