Aptarimas:Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys

Neveikia taip kaip b)

• Išspręskime lygtį

$y''-5y'+6y=f(x),$

kai: a) $f(x)=2x^{2}e^{x};$ b) $f(x)=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y''-5y'+6y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^{2}-5k+6=0$ turi 6aknis $k_{1}=2$ ir $k_{2}=3,$ tai homogeninės lygties ($y''-5y'+6y=0$) bendrasis sprendinys

${\bar {y}}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

a) Kai $f(x)=2x^{2}e^{x},$ tai daugianaris $P_{n}(x)=2x^{2}$ (jis yra antrojo laipsnio) ir $\alpha =1.$ Kadangi $\alpha =1$ nesutampa nė su viena charakteringosios lygties šaknimi, tai, pagal (50) formulę,

${\tilde {y}}=(ax^{2}+bx+c)e^{x}$

(daugianaris $Q_{n}(x)=ax^{2}+bx+c,$ nes jis turi būti antrojo laipsnio; beje, pirmojo laipsnio daugianaris yra $ax+b,$ trečiojo laipsnio $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ir t.t.).

Toliau randame:

${\tilde {y}}'=((ax^{2}+bx+c)e^{x})'=2axe^{x}+ax^{2}e^{x}+be^{x}+bxe^{x}+ce^{x}=$

$=(ax^{2}+2ax+bx+b+c)e^{x},$

${\tilde {y}}''=(ax^{2}+4ax+bx+2a+2b+c)e^{x}.$

Įrašę ${\tilde {y}},\;{\tilde {y}}',\;{\tilde {y}}''$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(ax^{2}+4ax+bx+2a+2b+c)e^{x}-5(ax^{2}+2ax+bx+b+c)e^{x}+6(ax^{2}+bx+c)e^{x}=2x^{2}e^{x},$

$(ax^{2}+4ax+bx+2a+2b+c)-5(ax^{2}+2ax+bx+b+c)+6(ax^{2}+bx+c)=2x^{2},$

$ax^{2}+4ax+bx+2a+2b+c-5ax^{2}-10ax-5bx-5b-5c+6ax^{2}+6bx+6c=2x^{2},$

$2ax^{2}-6ax+2bx+2a-3b+2c=2x^{2}.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^{2}\quad |\;2a=2,$

$x^{1}\quad |\;-6a+2b=0,\quad ||\;(2b=6,\;b=3)$

$x^{0}\quad |\;2a-3b+2c=0.\quad ||\;(2-9+2c=0,\;c=-7/2=3.5)$

Iš jos randame: $a=1,\;b=3,\;c=3.5.$ Todėl ${\tilde {y}}=(x^{2}+3x+3.5)e^{x}$ ir bendrasis duotosios lygties sprendinys

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+(x^{2}+3x+3.5)e^{x}.$

b) Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_{n}(x)=2x-3,\;\alpha =3.$ Kadangi $P_{n}(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_{n}(x)=ax+b;\;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl, pagal (52) formulę,

${\tilde {y}}=x(ax+b)e^{3x}=(ax^{2}+bx)e^{3x}.$

Toliau sprendžiama analogiškai a) atvejui.

$x^{2}\quad |\;2a=0,\quad ||\;(a=0/2=0)$

$x^{1}\quad |\;-6a+2b=2,\quad ||\;(2b=2,\;b=1)$

$x^{0}\quad |\;2a-3b+2c=-3.\quad ||\;(2\cdot 0-3\cdot 1+2c=-3,\;2c=0,\;c=0)$

Iš sistemos randame: $a=0,\;b=1.$ Todėl ${\tilde {y}}=(0\cdot x^{2}+1\cdot x)e^{3x}=xe^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y''-5y'+6y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+xe^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde {y}}'=(xe^{3x})'=e^{3x}+3xe^{3x};$

${\tilde {y}}''=(e^{3x}+3xe^{3x})'=3e^{3x}+3e^{3x}+9xe^{3x}=6e^{3x}+9xe^{3x};$

$y''-5y'+6y=(2x-3)e^{3x},$

$6e^{3x}+9xe^{3x}-5(e^{3x}+3xe^{3x})+6xe^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$6e^{3x}+9xe^{3x}-5e^{3x}-15xe^{3x}+6xe^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$e^{3x}+9xe^{3x}-9xe^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

Neteisingas sprendimas

• Išspręskime lygtį

$y''-6y'+9y=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y''-6y'+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^{2}-6k+9=0$ turi šaknis $k_{1}=3$ ir $k_{2}=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

${\bar {y}}=(C_{1}+xC_{2})e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_{n}(x)=2x-3,\;\alpha =3.$ Kadangi $P_{n}(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_{n}(x)=ax+b;\;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

${\tilde {y}}=x^{2}(ax+b)e^{3x}=(ax^{3}+bx^{2})e^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde {y}}'=((ax^{3}+bx^{2})e^{3x})'=3ax^{2}e^{3x}+3ax^{3}e^{3x}+2bxe^{3x}+3bx^{2}e^{3x}=$

$=(3ax^{3}+3ax^{2}+3bx^{2}+2bx)e^{3x},$

${\tilde {y}}''=(9ax^{2}+6ax+6bx+2b)e^{3x}+3(3ax^{3}+3ax^{2}+3bx^{2}+2bx)e^{3x}=$

$=(9ax^{3}+18ax^{2}+6ax+9bx^{2}+12bx+2b)e^{3x}.$

Įrašę ${\tilde {y}},\;{\tilde {y}}',\;{\tilde {y}}''$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9ax^{3}+18ax^{2}+6ax+9bx^{2}+12bx+2b)e^{3x}-6(3ax^{3}+3ax^{2}+3bx^{2}+2bx)e^{3x}+9(ax^{2}+bx)e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$9ax^{3}+18ax^{2}+6ax+9bx^{2}+12bx+2b-18ax^{3}-18ax^{2}-18bx^{2}-12bx+9ax^{2}+9bx=2x-3,$

$9ax^{3}-18ax^{3}+18ax^{2}-18ax^{2}+9ax^{2}+6ax+9bx^{2}-18bx^{2}+12bx-12bx+9bx+2b=2x-3,$

$-9ax^{3}+9ax^{2}+6ax-9bx^{2}+9bx+2b=2x-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^{3}\quad |\;-9a=0,$

$x^{2}\quad |\;9a-9b=0,$

$x^{1}\quad |\;6a+9b=2,$

$x^{0}\quad |\;2b=-3.$

Iš sistemos randame: $a=(2+9\cdot 1.5)/6=(2+13.5)/6=2.58(3)=31/12,\;b=-3/2=-1.5.$ Todėl ${\tilde {y}}=({\frac {31}{12}}x^{2}-{\frac {3}{2}}x)e^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y''-6y'+9y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=C_{1}e^{3x}+xC_{2}e^{3x}+({\frac {31}{12}}x^{2}-{\frac {3}{2}}x)e^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde {y}}'=(({\frac {31}{12}}x^{2}-{\frac {3}{2}}x)e^{3x})'=({\frac {62}{12}}x-{\frac {3}{2}})e^{3x}+3({\frac {31}{12}}x^{2}-{\frac {3}{2}}x)e^{3x}=$

$=({\frac {31}{12}}x^{2}+{\frac {62}{12}}x-{\frac {9}{2}}x-{\frac {3}{2}})e^{3x}=({\frac {31}{12}}x^{2}+{\frac {62-9\cdot 6}{12}}x-{\frac {3}{2}})e^{3x}=$

$=({\frac {31}{12}}x^{2}+{\frac {8}{12}}x-{\frac {3}{2}})e^{3x}=({\frac {31}{12}}x^{2}+{\frac {2}{3}}x-{\frac {3}{2}})e^{3x},$

${\tilde {y}}''=(({\frac {31}{12}}x^{2}+{\frac {2}{3}}x-{\frac {3}{2}})e^{3x})'=({\frac {62}{12}}x+{\frac {2}{3}})e^{3x}+3({\frac {31}{12}}x^{2}+{\frac {2}{3}}x-{\frac {3}{2}})e^{3x}=$

$={\frac {31}{6}}xe^{3x}+{\frac {2}{3}}e^{3x}+{\frac {93}{12}}x^{2}e^{3x}+{\frac {6}{3}}xe^{3x}-{\frac {9}{2}}e^{3x}=$

$=({\frac {93}{12}}x^{2}+{\frac {31}{6}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {2}{3}}-{\frac {9}{2}})e^{3x}=({\frac {93}{12}}x^{2}+{\frac {62-6}{12}}x+{\frac {4-27}{6}})e^{3x}=$

$=({\frac {93}{12}}x^{2}+{\frac {54}{12}}x-{\frac {23}{6}})e^{3x}=({\frac {31}{4}}x^{2}+{\frac {9}{2}}x-{\frac {23}{6}})e^{3x};$

${\tilde {y}}''-6{\tilde {y}}'+9{\tilde {y}}=(2x-3)e^{3x},$

$({\frac {31}{4}}x^{2}+{\frac {9}{2}}x-{\frac {23}{6}})e^{3x}-6({\frac {31}{12}}x^{2}+{\frac {2}{3}}x-{\frac {3}{2}})e^{3x}+9({\frac {31}{12}}x^{2}-{\frac {3}{2}}x)e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$({\frac {31}{4}}x^{2}+{\frac {9}{2}}x-{\frac {23}{6}}-{\frac {31}{2}}x^{2}-{\frac {4}{3}}x+{\frac {9}{2}}+{\frac {93}{4}}x^{2}-{\frac {27}{2}}x)e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$({\frac {31}{4}}x^{2}-{\frac {31}{2}}x^{2}+{\frac {93}{4}}x^{2}+{\frac {9}{2}}x-{\frac {4}{3}}x-{\frac {27}{2}}x-{\frac {23}{6}}+{\frac {9}{2}})e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$(-{\frac {31}{4}}x^{2}+{\frac {93}{4}}x^{2}-{\frac {4}{3}}x-{\frac {18}{2}}x+{\frac {54-46}{2}})e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$({\frac {62}{4}}x^{2}-{\frac {4}{3}}x-9x+{\frac {8}{2}})e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$({\frac {31}{2}}x^{2}+{\frac {-4-27}{3}}x+4)e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$({\frac {31}{2}}x^{2}-{\frac {31}{3}}x+4)e^{3x}=(2x-3)e^{3x}.$

Neteisingas sprendimas 2

• Išspręskime lygtį

$y''-6y'+9y=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y''-6y'+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^{2}-6k+9=0$ turi šaknis $k_{1}=3$ ir $k_{2}=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

${\bar {y}}=(C_{1}+xC_{2})e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_{n}(x)=2x-3,\;\alpha =3.$ Kadangi $P_{n}(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_{n}(x)=a;\;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

${\tilde {y}}=x^{2}ae^{3x}=ax^{2}e^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde {y}}'=(ax^{2}e^{3x})'=(3ax^{2}+2ax)e^{3x},$

${\tilde {y}}''=(6ax+2a)e^{3x}+3(3ax^{2}+2ax)e^{3x}=(9ax^{2}+12ax+2a)e^{3x}.$

Įrašę ${\tilde {y}},\;{\tilde {y}}',\;{\tilde {y}}''$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9ax^{2}+12ax+2a)e^{3x}-6(3ax^{2}+2ax)e^{3x}+9ax^{2}e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$9ax^{2}+12ax+2a-18ax^{2}-12ax+9ax^{2}=2x-3,$

$9ax^{2}-18ax^{2}+9ax^{2}+12ax-12ax+2a=2x-3,$

$2a=2x-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^{1}\quad |\;0=2,$

$x^{0}\quad |\;2b=-3.$

Iš sistemos randame: $a=0,\;b=-3/2=-1.5.$ Todėl ${\tilde {y}}=(0\cdot x-1.5)e^{3x}=-1.5e^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y''-6y'+9y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=C_{1}e^{3x}+xC_{2}e^{3x}-{\frac {3}{2}}e^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde {y}}'=(-{\frac {3}{2}}e^{3x})'=-{\frac {9}{2}}e^{3x},$

${\tilde {y}}''=-{\frac {27}{2}}e^{3x};$

${\tilde {y}}''-6{\tilde {y}}'+9{\tilde {y}}=(2x-3)e^{3x},$

$-{\frac {27}{2}}e^{3x}-6(-{\frac {9}{2}}e^{3x})+9(-{\frac {3}{2}}e^{3x})=(2x-3)e^{3x},$

$-{\frac {27}{2}}e^{3x}+27e^{3x}-{\frac {27}{2}}e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$0=(2x-3)e^{3x}.$

Neteisingas sprendimas 3

• Išspręskime lygtį

$y''-6y'+9y=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y''-6y'+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^{2}-6k+9=0$ turi šaknis $k_{1}=3$ ir $k_{2}=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

${\bar {y}}=(C_{1}+xC_{2})e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_{n}(x)=2x-3,\;\alpha =3.$ Kadangi $P_{n}(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_{n}(x)=a;\;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

${\tilde {y}}=x^{2}ae^{3x}=ax^{2}e^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde {y}}'=(ax^{2}e^{3x})'=(3ax^{2}+2ax)e^{3x},$

${\tilde {y}}''=(6ax+2a)e^{3x}+3(3ax^{2}+2ax)e^{3x}=(9ax^{2}+12ax+2a)e^{3x}.$

Įrašę ${\tilde {y}},\;{\tilde {y}}',\;{\tilde {y}}''$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9ax^{2}+12ax+2a)e^{3x}-6(3ax^{2}+2ax)e^{3x}+9ax^{2}e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$9ax^{2}+12ax+2a-18ax^{2}-12ax+9ax^{2}=2x-3,$

$9ax^{2}-18ax^{2}+9ax^{2}+12ax-12ax+2a=2x-3,$

$2a=2x-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^{1}\quad |\;0=2,$

$x^{0}\quad |\;2a=-3.$

Iš sistemos randame: $a=-1.5.$ Todėl ${\tilde {y}}=-1.5xe^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y''-6y'+9y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=C_{1}e^{3x}+xC_{2}e^{3x}-{\frac {3}{2}}xe^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde {y}}'=(-{\frac {3}{2}}xe^{3x})'=-{\frac {9}{2}}xe^{3x}-{\frac {3}{2}}e^{3x},$

${\tilde {y}}''=(-{\frac {9}{2}}xe^{3x}-{\frac {3}{2}}e^{3x})'=-{\frac {27}{2}}xe^{3x}-{\frac {9}{2}}e^{3x}-{\frac {9}{2}}e^{3x}=$

$=-{\frac {27}{2}}xe^{3x}-9e^{3x};$

${\tilde {y}}''-6{\tilde {y}}'+9{\tilde {y}}=(2x-3)e^{3x},$

$-{\frac {27}{2}}xe^{3x}-9e^{3x}-6(-{\frac {9}{2}}xe^{3x}-{\frac {3}{2}}e^{3x})+9(-{\frac {3}{2}}xe^{3x})=(2x-3)e^{3x},$

$-{\frac {27}{2}}xe^{3x}-9e^{3x}+27xe^{3x}+9e^{3x}-{\frac {27}{2}}xe^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$-{\frac {27}{2}}xe^{3x}+27xe^{3x}-{\frac {27}{2}}xe^{3x}-9e^{3x}+9e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$0=(2x-3)e^{3x}.$

Neteisingas sprendimas 4

• Išspręskime lygtį

$y''-6y'+9y=-3e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y''-6y'+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^{2}-6k+9=0$ turi šaknis $k_{1}=3$ ir $k_{2}=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

${\bar {y}}=(C_{1}+xC_{2})e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=-3e^{3x},$ tai $P_{n}(x)=-3,\;\alpha =3.$ Kadangi $P_{n}(x)$ yra nulinio laipsnio daugianaris, tai $Q_{n}(x)=a;\;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

${\tilde {y}}=x^{2}ae^{3x}=ax^{2}e^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde {y}}'=(ax^{2}e^{3x})'=(3ax^{2}+2ax)e^{3x},$

${\tilde {y}}''=(6ax+2a)e^{3x}+3(3ax^{2}+2ax)e^{3x}=(9ax^{2}+12ax+2a)e^{3x}.$

Įrašę ${\tilde {y}},\;{\tilde {y}}',\;{\tilde {y}}''$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9ax^{2}+12ax+2a)e^{3x}-6(3ax^{2}+2ax)e^{3x}+9ax^{2}e^{3x}=-3e^{3x},$

$9ax^{2}+12ax+2a-18ax^{2}-12ax+9ax^{2}=-3,$

$9ax^{2}-18ax^{2}+9ax^{2}+12ax-12ax+2a=-3,$

$2a=-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname

$x^{0}\quad |\;2a=-3.$

Iš sistemos randame: $a=-1.5.$ Todėl ${\tilde {y}}=-1.5e^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=C_{1}e^{3x}+xC_{2}e^{3x}-{\frac {3}{2}}e^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde {y}}'=(-{\frac {3}{2}}e^{3x})'=-{\frac {9}{2}}e^{3x},$

${\tilde {y}}''=-{\frac {27}{2}}e^{3x};$

${\tilde {y}}''-6{\tilde {y}}'+9{\tilde {y}}=-3e^{3x},$

$-{\frac {27}{2}}e^{3x}-6(-{\frac {9}{2}}e^{3x})+9(-{\frac {3}{2}}e^{3x})=-3e^{3x},$

$-{\frac {27}{2}}e^{3x}+27e^{3x}-{\frac {27}{2}}e^{3x}=-3e^{3x},$

$0=-3e^{3x}.$

Neteisingas sprendimas 5

• Išspręskime lygtį

$y''-6y'+9y=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y''-6y'+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^{2}-6k+9=0$ turi šaknis $k_{1}=3$ ir $k_{2}=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

${\bar {y}}=(C_{1}+xC_{2})e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_{n}(x)=2x-3,\;\alpha =3.$ Kadangi $P_{n}(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_{n}(x)=a;\;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

${\tilde {y}}=x^{2}ae^{3x}=ax^{2}e^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde {y}}'=(ax^{2}e^{3x})'=(3ax^{2}+2ax)e^{3x},$

${\tilde {y}}''=(6ax+2a)e^{3x}+3(3ax^{2}+2ax)e^{3x}=(9ax^{2}+12ax+2a)e^{3x}.$

Įrašę ${\tilde {y}},\;{\tilde {y}}',\;{\tilde {y}}''$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9ax^{2}+12ax+2a)e^{3x}-6(3ax^{2}+2ax)e^{3x}+9ax^{2}e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$9ax^{2}+12ax+2a-18ax^{2}-12ax+9ax^{2}=2x-3,$

$9ax^{2}-18ax^{2}+9ax^{2}+12ax-12ax+2a=2x-3,$

$2a=2x-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^{1}\quad |\;0=2,$

$x^{0}\quad |\;2a=-3.$

Iš sistemos randame: $a=-1.5.$ Todėl ${\tilde {y}}=-1.5x^{2}e^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y''-6y'+9y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=C_{1}e^{3x}+xC_{2}e^{3x}-{\frac {3}{2}}x^{2}e^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde {y}}'=(-{\frac {3}{2}}x^{2}e^{3x})'=-{\frac {9}{2}}x^{2}e^{3x}-{\frac {6}{2}}xe^{3x},$

${\tilde {y}}''=(-{\frac {9}{2}}x^{2}e^{3x}-{\frac {6}{2}}xe^{3x})'=-{\frac {18}{2}}xe^{3x}-{\frac {6}{2}}e^{3x}+3(-{\frac {9}{2}}x^{2}-{\frac {6}{2}}x)e^{3x}=$

$=-9xe^{3x}-3e^{3x}-{\frac {27}{2}}x^{2}e^{3x}-9xe^{3x}=-{\frac {27}{2}}x^{2}e^{3x}-18xe^{3x}-3e^{3x};$

${\tilde {y}}''-6{\tilde {y}}'+9{\tilde {y}}=(2x-3)e^{3x},$

$-{\frac {27}{2}}x^{2}e^{3x}-18xe^{3x}-3e^{3x}-6(-{\frac {9}{2}}x^{2}e^{3x}-{\frac {6}{2}}xe^{3x})+9(-{\frac {3}{2}}x^{2}e^{3x})=(2x-3)e^{3x},$

$-{\frac {27}{2}}x^{2}e^{3x}-18xe^{3x}-3e^{3x}+27x^{2}e^{3x}+18xe^{3x}-{\frac {27}{2}}x^{2}e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$-18xe^{3x}-3e^{3x}+18xe^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$-3e^{3x}=(2x-3)e^{3x}.$

Problemos su a) variantu, nes lygtis yra $y''+4y'+13y=f(x)$

• Išspręskime lygtį

$y''-4y'+13y=f(x),$

kai: a) $f(x)=xe^{-2x};$ b) $f(x)=e^{-2x}\sin(3x).$

Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis $k^{2}+4k+13=0$ turi šaknis $k_{1,2}=-2\pm 3i,$ tai homogeninės lygties $y''-4y'+13y=0$ bendrasis sprendinys ${\bar {y}}=e^{-2x}(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)).$

a) Kai $f(x)=xe^{-2x},$ tai dešinioji lygties pusė turi išraišką $P_{n}(x)e^{\alpha x}.$

Kadangi šį kartą $P_{n}(x)=x$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, o $\alpha =-2$ nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad $\alpha =-2$ sutampa su šaknų $-2\pm 3i$ realiąja dalimi), tai sprendinio ${\tilde {y}}$ išraišką nusako (50) formulė. Taigi

${\tilde {y}}=(ax+b)e^{-2x}.$

Randame išvestines:

${\tilde {y}}'=((ax+b)e^{-2x})'=ae^{-2x}-2(ax+b)e^{-2x}=(-2ax+a-b)e^{-2x},$

${\tilde {y}}''=-2ae^{-2x}-2(-2ax+a-b)e^{-2x}=-2ae^{-2x}+(4ax-2a+2b)e^{-2x}=2(2ax-a+b)e^{-2x}.$

Įrašę ${\tilde {y}},\;{\tilde {y}}',\;{\tilde {y}}''$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

${\tilde {y}}''-4{\tilde {y}}'+13{\tilde {y}}=xe^{-2x},$

$2(2ax-a+b)e^{-2x}-4(-2ax+a-b)e^{-2x}+13(ax+b)e^{-2x}=xe^{-2x},$

$4ax-2a+2b+8ax-4a+4b+13ax+13b=x,$

$25ax-6a+19b=x.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^{1}\quad |\;25a=1,$

$x^{0}\quad |\;-6a+19b=0.$

Iš sistemos randame: $a={\frac {1}{25}}=0.04,\;b={\frac {6a}{19}}={\frac {6}{25\cdot 19}}={\frac {6}{475}}=0.012631579.$ Todėl ${\tilde {y}}=\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x}.$ Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=e^{-2x}(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x))+\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x}.$

Patikriname:

${\tilde {y}}'=\left(\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x}\right)'={\frac {1}{25}}e^{-2x}-2\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x},$

$=\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {1}{25}}-{\frac {12}{475}}\right)e^{-2x}=\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {19-12}{475}}\right)e^{-2x}=\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {7}{475}}\right)e^{-2x},$

${\tilde {y}}''=-{\frac {2}{25}}e^{-2x}-2\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {7}{475}}\right)e^{-2x}=\left({\frac {4}{25}}x-{\frac {14}{475}}-{\frac {2}{25}}\right)e^{-2x}=$

$=\left({\frac {4}{25}}x-{\frac {14+36}{475}}\right)e^{-2x}=\left({\frac {4}{25}}x-{\frac {50}{475}}\right)e^{-2x};$

${\tilde {y}}''-4{\tilde {y}}'+13{\tilde {y}}=xe^{-2x},$

$\left({\frac {4}{25}}x-{\frac {50}{475}}\right)e^{-2x}-4\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {7}{475}}\right)e^{-2x}+13\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x}=xe^{-2x},$

${\frac {4}{25}}x-{\frac {50}{475}}+{\frac {8}{25}}x-{\frac {28}{475}}+{\frac {13}{25}}x+{\frac {78}{475}}=x,$

${\frac {4+8+13}{25}}x+{\frac {78-50-28}{475}}=x,$

${\frac {25}{25}}x+{\frac {0}{475}}=x,$

$x=x.$

Neteisingai surastos išvestinės (paskutiniame pavyzdyje)

• Išspręskime lygtį

$y''-4y'+13y=xe^{-2x}.$

Sprendimas. Kad rasti homogeninės lygties $y''-4y'+13y=0$ sprendinį, į homogeninę lygtį įstatome $y=e^{kx}$ ir gauname:

$(e^{kx})''-4(e^{kx})'+13e^{kx}=0,$

$k^{2}e^{kx}-4ke^{kx}+13e^{kx}=0,$

$k^{2}-4k+13=0.$

Kadangi charakteringoji lygtis $k^{2}-4k+13=0$ turi šaknis $k_{1,2}=2\pm 3i,$ tai homogeninės lygties $y''-4y'+13y=0$ bendrasis sprendinys ${\bar {y}}=e^{2x}(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)).$

Kai $f(x)=xe^{-2x},$ tai dešinioji lygties pusė turi išraišką $P_{n}(x)e^{\alpha x}.$

Kadangi $P_{n}(x)=x$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, o $\alpha =-2$ nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi, tai sprendinio ${\tilde {y}}$ išraišką nusako (50) formulė. Taigi

${\tilde {y}}=(ax+b)e^{-2x}.$

Randame išvestines:

${\tilde {y}}'=((ax+b)e^{-2x})'=ae^{-2x}-2(ax+b)e^{-2x}=(-2ax+a-b)e^{-2x},$

${\tilde {y}}''=-2ae^{-2x}-2(-2ax+a-b)e^{-2x}=-2ae^{-2x}+(4ax-2a+2b)e^{-2x}=2(2ax-a+b)e^{-2x}.$

Įrašę ${\tilde {y}},\;{\tilde {y}}',\;{\tilde {y}}''$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

${\tilde {y}}''-4{\tilde {y}}'+13{\tilde {y}}=xe^{-2x},$

$2(2ax-a+b)e^{-2x}-4(-2ax+a-b)e^{-2x}+13(ax+b)e^{-2x}=xe^{-2x},$

$4ax-2a+2b+8ax-4a+4b+13ax+13b=x,$

$25ax-6a+19b=x.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^{1}\quad |\;25a=1,$

$x^{0}\quad |\;-6a+19b=0.$

Iš sistemos randame: $a={\frac {1}{25}}=0.04,\;b={\frac {6a}{19}}={\frac {6}{25\cdot 19}}={\frac {6}{475}}=0.012631579.$ Todėl ${\tilde {y}}=\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x}.$ Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=e^{2x}(C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x))+\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x}.$

Patikriname:

${\tilde {y}}'=\left(\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x}\right)'={\frac {1}{25}}e^{-2x}-2\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x},$

$=\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {1}{25}}-{\frac {12}{475}}\right)e^{-2x}=\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {19-12}{475}}\right)e^{-2x}=\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {7}{475}}\right)e^{-2x},$

${\tilde {y}}''=-{\frac {2}{25}}e^{-2x}-2\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {7}{475}}\right)e^{-2x}=\left({\frac {4}{25}}x-{\frac {14}{475}}-{\frac {2}{25}}\right)e^{-2x}=$

$=\left({\frac {4}{25}}x-{\frac {14+36}{475}}\right)e^{-2x}=\left({\frac {4}{25}}x-{\frac {50}{475}}\right)e^{-2x};$

${\tilde {y}}''-4{\tilde {y}}'+13{\tilde {y}}=xe^{-2x},$

$\left({\frac {4}{25}}x-{\frac {50}{475}}\right)e^{-2x}-4\left(-{\frac {2}{25}}x+{\frac {7}{475}}\right)e^{-2x}+13\left({\frac {x}{25}}+{\frac {6}{475}}\right)e^{-2x}=xe^{-2x},$

${\frac {4}{25}}x-{\frac {50}{475}}+{\frac {8}{25}}x-{\frac {28}{475}}+{\frac {13}{25}}x+{\frac {78}{475}}=x,$

${\frac {4+8+13}{25}}x+{\frac {78-50-28}{475}}=x,$

${\frac {25}{25}}x+{\frac {0}{475}}=x,$

$x=x.$