Aptarimas:Matematika/Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys

Neveikia taip kaip b)

• Išspręskime lygtį

$y^{″}-5y^{\prime }+6y=f(x),$

kai: a) $f(x)=2x^2{e}^x;$ b) $f(x)=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y^{″}-5y^{\prime }+6y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^2-5k+6=0$ turi 6aknis $k_1=2$ ir $k_2=3,$ tai homogeninės lygties ($y^{″}-5y^{\prime }+6y=0$) bendrasis sprendinys

$\overline{y}=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

a) Kai $f(x)=2x^2{e}^x,$ tai daugianaris $P_n(x)=2x^2$ (jis yra antrojo laipsnio) ir $\alpha =1.$ Kadangi $\alpha =1$ nesutampa nė su viena charakteringosios lygties šaknimi, tai, pagal (50) formulę,

$\tilde{y}=(a{x}^2+bx+c)e^x$

(daugianaris $Q_n(x)=a{x}^2+bx+c,$ nes jis turi būti antrojo laipsnio; beje, pirmojo laipsnio daugianaris yra $ax+b,$ trečiojo laipsnio $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ir t.t.).

Toliau randame:

${\tilde{y}}^{\prime }=((a{x}^2+bx+c)e^x{)}^{\prime }=2ax{e}^x+a{x}^2{e}^x+b{e}^x+bx{e}^x+c{e}^x=$

$=(a{x}^2+2ax+bx+b+c)e^x,$

${\tilde{y}}^{″}=(a{x}^2+4ax+bx+2a+2b+c)e^x.$

Įrašę $\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime },{\tilde{y}}^{″}$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(a{x}^2+4ax+bx+2a+2b+c)e^x-5(a{x}^2+2ax+bx+b+c)e^x+6(a{x}^2+bx+c)e^x=2x^2{e}^x,$

$(a{x}^2+4ax+bx+2a+2b+c)-5(a{x}^2+2ax+bx+b+c)+6(a{x}^2+bx+c)=2x^2,$

$a{x}^2+4ax+bx+2a+2b+c-5a{x}^2-10ax-5bx-5b-5c+6a{x}^2+6bx+6c=2x^2,$

$2a{x}^2-6ax+2bx+2a-3b+2c=2x^2.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^2|2a=2,$

$x^1|-6a+2b=0,||(2b=6,b=3)$

$x^0|2a-3b+2c=0.||(2-9+2c=0,c=-7/2=3.5)$

Iš jos randame: $a=1,b=3,c=\mathrm{3.5.}$ Todėl $\tilde{y}=(x^2+3x+3.5)e^x$ ir bendrasis duotosios lygties sprendinys

$y=\overline{y}+\tilde{y}=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}+(x^2+3x+3.5)e^x.$

b) Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_n(x)=2x-3,\alpha =3.$ Kadangi $P_n(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_n(x)=ax+b;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimi, todėl, pagal (52) formulę,

$\tilde{y}=x(ax+b)e^{3x}=(a{x}^2+bx)e^{3x}.$

Toliau sprendžiama analogiškai a) atvejui.

$x^2|2a=0,||(a=0/2=0)$

$x^1|-6a+2b=2,||(2b=2,b=1)$

$x^0|2a-3b+2c=-3.||(2\cdot 0-3\cdot 1+2c=-3,2c=0,c=0)$

Iš sistemos randame: $a=0,b=1.$ Todėl $\tilde{y}=(0\cdot x^2+1\cdot x)e^{3x}=x{e}^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y^{″}-5y^{\prime }+6y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y=\overline{y}+\tilde{y}=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}+x{e}^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde{y}}^{\prime }=(x{e}^{3x}{)}^{\prime }=e^{3x}+3x{e}^{3x};$

${\tilde{y}}^{″}=(e^{3x}+3x{e}^{3x}{)}^{\prime }=3e^{3x}+3e^{3x}+9x{e}^{3x}=6e^{3x}+9x{e}^{3x};$

$y^{″}-5y^{\prime }+6y=(2x-3)e^{3x},$

$6e^{3x}+9x{e}^{3x}-5(e^{3x}+3x{e}^{3x})+6x{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$6e^{3x}+9x{e}^{3x}-5e^{3x}-15x{e}^{3x}+6x{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$e^{3x}+9x{e}^{3x}-9x{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

Neteisingas sprendimas

• Išspręskime lygtį

$y^{″}-6y^{\prime }+9y=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y^{″}-6y^{\prime }+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^2-6k+9=0$ turi šaknis $k_1=3$ ir $k_2=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

$\overline{y}=(C_1+x{C}_2)e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_n(x)=2x-3,\alpha =3.$ Kadangi $P_n(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_n(x)=ax+b;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

$\tilde{y}=x^2(ax+b)e^{3x}=(a{x}^3+b{x}^2)e^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde{y}}^{\prime }=((a{x}^3+b{x}^2)e^{3x}{)}^{\prime }=3a{x}^2{e}^{3x}+3a{x}^3{e}^{3x}+2bx{e}^{3x}+3b{x}^2{e}^{3x}=$

$=(3a{x}^3+3a{x}^2+3b{x}^2+2bx)e^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=(9a{x}^2+6ax+6bx+2b)e^{3x}+3(3a{x}^3+3a{x}^2+3b{x}^2+2bx)e^{3x}=$

$=(9a{x}^3+18a{x}^2+6ax+9b{x}^2+12bx+2b)e^{3x}.$

Įrašę $\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime },{\tilde{y}}^{″}$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9a{x}^3+18a{x}^2+6ax+9b{x}^2+12bx+2b)e^{3x}-6(3a{x}^3+3a{x}^2+3b{x}^2+2bx)e^{3x}+9(a{x}^2+bx)e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$9a{x}^3+18a{x}^2+6ax+9b{x}^2+12bx+2b-18a{x}^3-18a{x}^2-18b{x}^2-12bx+9a{x}^2+9bx=2x-3,$

$9a{x}^3-18a{x}^3+18a{x}^2-18a{x}^2+9a{x}^2+6ax+9b{x}^2-18b{x}^2+12bx-12bx+9bx+2b=2x-3,$

$-9a{x}^3+9a{x}^2+6ax-9b{x}^2+9bx+2b=2x-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^3|-9a=0,$

$x^2|9a-9b=0,$

$x^1|6a+9b=2,$

$x^0|2b=-3.$

Iš sistemos randame: $a=(2+9\cdot 1.5)/6=(2+13.5)/6=2.58(3)=31/12,b=-3/2=-\mathrm{1.5.}$ Todėl $\tilde{y}=(\frac{31}{12}{x}^2-\frac{3}{2}x)e^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y^{″}-6y^{\prime }+9y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y=\overline{y}+\tilde{y}=C_1{e}^{3x}+x{C}_2{e}^{3x}+(\frac{31}{12}{x}^2-\frac{3}{2}x)e^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde{y}}^{\prime }=((\frac{31}{12}{x}^2-\frac{3}{2}x)e^{3x}{)}^{\prime }=(\frac{62}{12}x-\frac{3}{2})e^{3x}+3(\frac{31}{12}{x}^2-\frac{3}{2}x)e^{3x}=$

$=(\frac{31}{12}{x}^2+\frac{62}{12}x-\frac{9}{2}x-\frac{3}{2})e^{3x}=(\frac{31}{12}{x}^2+\frac{62-9\cdot 6}{12}x-\frac{3}{2})e^{3x}=$

$=(\frac{31}{12}{x}^2+\frac{8}{12}x-\frac{3}{2})e^{3x}=(\frac{31}{12}{x}^2+\frac{2}{3}x-\frac{3}{2})e^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=((\frac{31}{12}{x}^2+\frac{2}{3}x-\frac{3}{2})e^{3x}{)}^{\prime }=(\frac{62}{12}x+\frac{2}{3})e^{3x}+3(\frac{31}{12}{x}^2+\frac{2}{3}x-\frac{3}{2})e^{3x}=$

$=\frac{31}{6}x{e}^{3x}+\frac{2}{3}{e}^{3x}+\frac{93}{12}{x}^2{e}^{3x}+\frac{6}{3}x{e}^{3x}-\frac{9}{2}{e}^{3x}=$

$=(\frac{93}{12}{x}^2+\frac{31}{6}x+\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}-\frac{9}{2})e^{3x}=(\frac{93}{12}{x}^2+\frac{62-6}{12}x+\frac{4-27}{6})e^{3x}=$

$=(\frac{93}{12}{x}^2+\frac{54}{12}x-\frac{23}{6})e^{3x}=(\frac{31}{4}{x}^2+\frac{9}{2}x-\frac{23}{6})e^{3x};$

${\tilde{y}}^{″}-6{\tilde{y}}^{\prime }+9\tilde{y}=(2x-3)e^{3x},$

$(\frac{31}{4}{x}^2+\frac{9}{2}x-\frac{23}{6})e^{3x}-6(\frac{31}{12}{x}^2+\frac{2}{3}x-\frac{3}{2})e^{3x}+9(\frac{31}{12}{x}^2-\frac{3}{2}x)e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$(\frac{31}{4}{x}^2+\frac{9}{2}x-\frac{23}{6}-\frac{31}{2}{x}^2-\frac{4}{3}x+\frac{9}{2}+\frac{93}{4}{x}^2-\frac{27}{2}x)e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$(\frac{31}{4}{x}^2-\frac{31}{2}{x}^2+\frac{93}{4}{x}^2+\frac{9}{2}x-\frac{4}{3}x-\frac{27}{2}x-\frac{23}{6}+\frac{9}{2})e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$(-\frac{31}{4}{x}^2+\frac{93}{4}{x}^2-\frac{4}{3}x-\frac{18}{2}x+\frac{54-46}{2})e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$(\frac{62}{4}{x}^2-\frac{4}{3}x-9x+\frac{8}{2})e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$(\frac{31}{2}{x}^2+\frac{-4-27}{3}x+4)e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$(\frac{31}{2}{x}^2-\frac{31}{3}x+4)e^{3x}=(2x-3)e^{3x}.$

Neteisingas sprendimas 2

• Išspręskime lygtį

$y^{″}-6y^{\prime }+9y=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y^{″}-6y^{\prime }+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^2-6k+9=0$ turi šaknis $k_1=3$ ir $k_2=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

$\overline{y}=(C_1+x{C}_2)e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_n(x)=2x-3,\alpha =3.$ Kadangi $P_n(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_n(x)=a;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

$\tilde{y}=x^{2}a{e}^{3x}=a{x}^2{e}^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde{y}}^{\prime }=(a{x}^2{e}^{3x}{)}^{\prime }=(3a{x}^2+2ax)e^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=(6ax+2a)e^{3x}+3(3a{x}^2+2ax)e^{3x}=(9a{x}^2+12ax+2a)e^{3x}.$

Įrašę $\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime },{\tilde{y}}^{″}$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9a{x}^2+12ax+2a)e^{3x}-6(3a{x}^2+2ax)e^{3x}+9a{x}^2{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$9a{x}^2+12ax+2a-18a{x}^2-12ax+9a{x}^2=2x-3,$

$9a{x}^2-18a{x}^2+9a{x}^2+12ax-12ax+2a=2x-3,$

$2a=2x-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^1|0=2,$

$x^0|2b=-3.$

Iš sistemos randame: $a=0,b=-3/2=-\mathrm{1.5.}$ Todėl $\tilde{y}=(0\cdot x-1.5)e^{3x}=-1.5e^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y^{″}-6y^{\prime }+9y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y=\overline{y}+\tilde{y}=C_1{e}^{3x}+x{C}_2{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde{y}}^{\prime }=(-\frac{3}{2}{e}^{3x}{)}^{\prime }=-\frac{9}{2}{e}^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=-\frac{27}{2}{e}^{3x};$

${\tilde{y}}^{″}-6{\tilde{y}}^{\prime }+9\tilde{y}=(2x-3)e^{3x},$

$-\frac{27}{2}{e}^{3x}-6(-\frac{9}{2}{e}^{3x})+9(-\frac{3}{2}{e}^{3x})=(2x-3)e^{3x},$

$-\frac{27}{2}{e}^{3x}+27e^{3x}-\frac{27}{2}{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$0=(2x-3)e^{3x}.$

Neteisingas sprendimas 3

• Išspręskime lygtį

$y^{″}-6y^{\prime }+9y=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y^{″}-6y^{\prime }+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^2-6k+9=0$ turi šaknis $k_1=3$ ir $k_2=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

$\overline{y}=(C_1+x{C}_2)e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_n(x)=2x-3,\alpha =3.$ Kadangi $P_n(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_n(x)=a;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

$\tilde{y}=x^{2}a{e}^{3x}=a{x}^2{e}^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde{y}}^{\prime }=(a{x}^2{e}^{3x}{)}^{\prime }=(3a{x}^2+2ax)e^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=(6ax+2a)e^{3x}+3(3a{x}^2+2ax)e^{3x}=(9a{x}^2+12ax+2a)e^{3x}.$

Įrašę $\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime },{\tilde{y}}^{″}$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9a{x}^2+12ax+2a)e^{3x}-6(3a{x}^2+2ax)e^{3x}+9a{x}^2{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$9a{x}^2+12ax+2a-18a{x}^2-12ax+9a{x}^2=2x-3,$

$9a{x}^2-18a{x}^2+9a{x}^2+12ax-12ax+2a=2x-3,$

$2a=2x-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^1|0=2,$

$x^0|2a=-3.$

Iš sistemos randame: $a=-\mathrm{1.5.}$ Todėl $\tilde{y}=-1.5x{e}^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y^{″}-6y^{\prime }+9y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y=\overline{y}+\tilde{y}=C_1{e}^{3x}+x{C}_2{e}^{3x}-\frac{3}{2}x{e}^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde{y}}^{\prime }=(-\frac{3}{2}x{e}^{3x}{)}^{\prime }=-\frac{9}{2}x{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=(-\frac{9}{2}x{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{3x}{)}^{\prime }=-\frac{27}{2}x{e}^{3x}-\frac{9}{2}{e}^{3x}-\frac{9}{2}{e}^{3x}=$

$=-\frac{27}{2}x{e}^{3x}-9e^{3x};$

${\tilde{y}}^{″}-6{\tilde{y}}^{\prime }+9\tilde{y}=(2x-3)e^{3x},$

$-\frac{27}{2}x{e}^{3x}-9e^{3x}-6(-\frac{9}{2}x{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{3x})+9(-\frac{3}{2}x{e}^{3x})=(2x-3)e^{3x},$

$-\frac{27}{2}x{e}^{3x}-9e^{3x}+27x{e}^{3x}+9e^{3x}-\frac{27}{2}x{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$-\frac{27}{2}x{e}^{3x}+27x{e}^{3x}-\frac{27}{2}x{e}^{3x}-9e^{3x}+9e^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$0=(2x-3)e^{3x}.$

Neteisingas sprendimas 4

• Išspręskime lygtį

$y^{″}-6y^{\prime }+9y=-3e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y^{″}-6y^{\prime }+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^2-6k+9=0$ turi šaknis $k_1=3$ ir $k_2=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

$\overline{y}=(C_1+x{C}_2)e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=-3e^{3x},$ tai $P_n(x)=-3,\alpha =3.$ Kadangi $P_n(x)$ yra nulinio laipsnio daugianaris, tai $Q_n(x)=a;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

$\tilde{y}=x^{2}a{e}^{3x}=a{x}^2{e}^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde{y}}^{\prime }=(a{x}^2{e}^{3x}{)}^{\prime }=(3a{x}^2+2ax)e^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=(6ax+2a)e^{3x}+3(3a{x}^2+2ax)e^{3x}=(9a{x}^2+12ax+2a)e^{3x}.$

Įrašę $\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime },{\tilde{y}}^{″}$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9a{x}^2+12ax+2a)e^{3x}-6(3a{x}^2+2ax)e^{3x}+9a{x}^2{e}^{3x}=-3e^{3x},$

$9a{x}^2+12ax+2a-18a{x}^2-12ax+9a{x}^2=-3,$

$9a{x}^2-18a{x}^2+9a{x}^2+12ax-12ax+2a=-3,$

$2a=-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname

$x^0|2a=-3.$

Iš sistemos randame: $a=-\mathrm{1.5.}$ Todėl $\tilde{y}=-1.5e^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra

$y=\overline{y}+\tilde{y}=C_1{e}^{3x}+x{C}_2{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde{y}}^{\prime }=(-\frac{3}{2}{e}^{3x}{)}^{\prime }=-\frac{9}{2}{e}^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=-\frac{27}{2}{e}^{3x};$

${\tilde{y}}^{″}-6{\tilde{y}}^{\prime }+9\tilde{y}=-3e^{3x},$

$-\frac{27}{2}{e}^{3x}-6(-\frac{9}{2}{e}^{3x})+9(-\frac{3}{2}{e}^{3x})=-3e^{3x},$

$-\frac{27}{2}{e}^{3x}+27e^{3x}-\frac{27}{2}{e}^{3x}=-3e^{3x},$

$0=-3e^{3x}.$

Neteisingas sprendimas 5

• Išspręskime lygtį

$y^{″}-6y^{\prime }+9y=(2x-3)e^{3x}.$

Sprendimas. Pirmiausia išspręskime lygtį $y^{″}-6y^{\prime }+9y=0.$ Kadangi charakteringoji lygtis $k^2-6k+9=0$ turi šaknis $k_1=3$ ir $k_2=3,$ tai homogeninės lygties bendrasis sprendinys

$\overline{y}=(C_1+x{C}_2)e^{3x}.$

Toliau, atsižvelgdami į dešiniosios pusės išraišką, parinksime atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį.

Kai $f(x)=(2x-3)e^{3x},$ tai $P_n(x)=2x-3,\alpha =3.$ Kadangi $P_n(x)$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, tai $Q_n(x)=a;\alpha =3$ sutampa su charakteringosios lygties šaknimis, todėl, pagal (53) formulę,

$\tilde{y}=x^{2}a{e}^{3x}=a{x}^2{e}^{3x}.$

Randame išvestines:

${\tilde{y}}^{\prime }=(a{x}^2{e}^{3x}{)}^{\prime }=(3a{x}^2+2ax)e^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=(6ax+2a)e^{3x}+3(3a{x}^2+2ax)e^{3x}=(9a{x}^2+12ax+2a)e^{3x}.$

Įrašę $\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime },{\tilde{y}}^{″}$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

$(9a{x}^2+12ax+2a)e^{3x}-6(3a{x}^2+2ax)e^{3x}+9a{x}^2{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$9a{x}^2+12ax+2a-18a{x}^2-12ax+9a{x}^2=2x-3,$

$9a{x}^2-18a{x}^2+9a{x}^2+12ax-12ax+2a=2x-3,$

$2a=2x-3.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^1|0=2,$

$x^0|2a=-3.$

Iš sistemos randame: $a=-\mathrm{1.5.}$ Todėl $\tilde{y}=-1.5x^2{e}^{3x}.$ Bendrasis duotosios lygties ($y^{″}-6y^{\prime }+9y=(2x-3)e^{3x}$) sprendinys yra

$y=\overline{y}+\tilde{y}=C_1{e}^{3x}+x{C}_2{e}^{3x}-\frac{3}{2}{x}^2{e}^{3x}.$

Patikriname:

${\tilde{y}}^{\prime }=(-\frac{3}{2}{x}^2{e}^{3x}{)}^{\prime }=-\frac{9}{2}{x}^2{e}^{3x}-\frac{6}{2}x{e}^{3x},$

${\tilde{y}}^{″}=(-\frac{9}{2}{x}^2{e}^{3x}-\frac{6}{2}x{e}^{3x}{)}^{\prime }=-\frac{18}{2}x{e}^{3x}-\frac{6}{2}{e}^{3x}+3(-\frac{9}{2}{x}^2-\frac{6}{2}x)e^{3x}=$

$=-9x{e}^{3x}-3e^{3x}-\frac{27}{2}{x}^2{e}^{3x}-9x{e}^{3x}=-\frac{27}{2}{x}^2{e}^{3x}-18x{e}^{3x}-3e^{3x};$

${\tilde{y}}^{″}-6{\tilde{y}}^{\prime }+9\tilde{y}=(2x-3)e^{3x},$

$-\frac{27}{2}{x}^2{e}^{3x}-18x{e}^{3x}-3e^{3x}-6(-\frac{9}{2}{x}^2{e}^{3x}-\frac{6}{2}x{e}^{3x})+9(-\frac{3}{2}{x}^2{e}^{3x})=(2x-3)e^{3x},$

$-\frac{27}{2}{x}^2{e}^{3x}-18x{e}^{3x}-3e^{3x}+27x^2{e}^{3x}+18x{e}^{3x}-\frac{27}{2}{x}^2{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$-18x{e}^{3x}-3e^{3x}+18x{e}^{3x}=(2x-3)e^{3x},$

$-3e^{3x}=(2x-3)e^{3x}.$

Problemos su a) variantu, nes lygtis yra $y^{″}+4y^{\prime }+13y=f(x)$

• Išspręskime lygtį

$y^{″}-4y^{\prime }+13y=f(x),$

kai: a) $f(x)=x{e}^{-2x};$ b) $f(x)=e^{-2x}\sin (3x).$

Sprendimas. Kadangi charakteringoji lygtis $k^2+4k+13=0$ turi šaknis $k_{1,2}=-2\pm 3i,$ tai homogeninės lygties $y^{″}-4y^{\prime }+13y=0$ bendrasis sprendinys $\overline{y}=e^{-2x}(C_1\cos (3x)+C_2\sin (3x)).$

a) Kai $f(x)=x{e}^{-2x},$ tai dešinioji lygties pusė turi išraišką $P_n(x)e^{\alpha x}.$

Kadangi šį kartą $P_n(x)=x$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, o $\alpha =-2$ nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi (nesvarbu, kad $\alpha =-2$ sutampa su šaknų $-2\pm 3i$ realiąja dalimi), tai sprendinio $\tilde{y}$ išraišką nusako (50) formulė. Taigi

$\tilde{y}=(ax+b)e^{-2x}.$

Randame išvestines:

${\tilde{y}}^{\prime }=((ax+b)e^{-2x}{)}^{\prime }=a{e}^{-2x}-2(ax+b)e^{-2x}=(-2ax+a-b)e^{-2x},$

${\tilde{y}}^{″}=-2a{e}^{-2x}-2(-2ax+a-b)e^{-2x}=-2a{e}^{-2x}+(4ax-2a+2b)e^{-2x}=2(2ax-a+b)e^{-2x}.$

Įrašę $\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime },{\tilde{y}}^{″}$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

${\tilde{y}}^{″}-4{\tilde{y}}^{\prime }+13\tilde{y}=x{e}^{-2x},$

$2(2ax-a+b)e^{-2x}-4(-2ax+a-b)e^{-2x}+13(ax+b)e^{-2x}=x{e}^{-2x},$

$4ax-2a+2b+8ax-4a+4b+13ax+13b=x,$

$25ax-6a+19b=x.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^1|25a=1,$

$x^0|-6a+19b=0.$

Iš sistemos randame: $a=\frac{1}{25}=0.04,b=\frac{6a}{19}=\frac{6}{25\cdot 19}=\frac{6}{475}=\mathrm{0.012631579.}$ Todėl $\tilde{y}=(\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x}.$ Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra

$y=\overline{y}+\tilde{y}=e^{-2x}(C_1\cos (3x)+C_2\sin (3x))+(\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x}.$

Patikriname:

${\tilde{y}}^{\prime }={\left((\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{25}{e}^{-2x}-2(\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x},$

$=(-\frac{2}{25}x+\frac{1}{25}-\frac{12}{475})e^{-2x}=(-\frac{2}{25}x+\frac{19-12}{475})e^{-2x}=(-\frac{2}{25}x+\frac{7}{475})e^{-2x},$

${\tilde{y}}^{″}=-\frac{2}{25}{e}^{-2x}-2(-\frac{2}{25}x+\frac{7}{475})e^{-2x}=(\frac{4}{25}x-\frac{14}{475}-\frac{2}{25})e^{-2x}=$

$=(\frac{4}{25}x-\frac{14+36}{475})e^{-2x}=(\frac{4}{25}x-\frac{50}{475})e^{-2x};$

${\tilde{y}}^{″}-4{\tilde{y}}^{\prime }+13\tilde{y}=x{e}^{-2x},$

$(\frac{4}{25}x-\frac{50}{475})e^{-2x}-4(-\frac{2}{25}x+\frac{7}{475})e^{-2x}+13(\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x}=x{e}^{-2x},$

$\frac{4}{25}x-\frac{50}{475}+\frac{8}{25}x-\frac{28}{475}+\frac{13}{25}x+\frac{78}{475}=x,$

$\frac{4+8+13}{25}x+\frac{78-50-28}{475}=x,$

$\frac{25}{25}x+\frac{0}{475}=x,$

$x=x.$

Neteisingai surastos išvestinės (paskutiniame pavyzdyje)

• Išspręskime lygtį

$y^{″}-4y^{\prime }+13y=x{e}^{-2x}.$

Sprendimas. Kad rasti homogeninės lygties $y^{″}-4y^{\prime }+13y=0$ sprendinį, į homogeninę lygtį įstatome $y=e^{kx}$ ir gauname:

$(e^{kx}{)}^{″}-4(e^{kx}{)}^{\prime }+13e^{kx}=0,$

$k^2{e}^{kx}-4k{e}^{kx}+13e^{kx}=0,$

$k^2-4k+13=0.$

Kadangi charakteringoji lygtis $k^2-4k+13=0$ turi šaknis $k_{1,2}=2\pm 3i,$ tai homogeninės lygties $y^{″}-4y^{\prime }+13y=0$ bendrasis sprendinys $\overline{y}=e^{2x}(C_1\cos (3x)+C_2\sin (3x)).$

Kai $f(x)=x{e}^{-2x},$ tai dešinioji lygties pusė turi išraišką $P_n(x)e^{\alpha x}.$

Kadangi $P_n(x)=x$ yra pirmojo laipsnio daugianaris, o $\alpha =-2$ nesutampa su charakteringosios lygties šaknimi, tai sprendinio $\tilde{y}$ išraišką nusako (50) formulė. Taigi

$\tilde{y}=(ax+b)e^{-2x}.$

Randame išvestines:

${\tilde{y}}^{\prime }=((ax+b)e^{-2x}{)}^{\prime }=a{e}^{-2x}-2(ax+b)e^{-2x}=(-2ax+a-b)e^{-2x},$

${\tilde{y}}^{″}=-2a{e}^{-2x}-2(-2ax+a-b)e^{-2x}=-2a{e}^{-2x}+(4ax-2a+2b)e^{-2x}=2(2ax-a+b)e^{-2x}.$

Įrašę $\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime },{\tilde{y}}^{″}$ išraiškas į duotąją lygtį gauname tapatybę:

${\tilde{y}}^{″}-4{\tilde{y}}^{\prime }+13\tilde{y}=x{e}^{-2x},$

$2(2ax-a+b)e^{-2x}-4(-2ax+a-b)e^{-2x}+13(ax+b)e^{-2x}=x{e}^{-2x},$

$4ax-2a+2b+8ax-4a+4b+13ax+13b=x,$

$25ax-6a+19b=x.$

Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname sistemą

$x^1|25a=1,$

$x^0|-6a+19b=0.$

Iš sistemos randame: $a=\frac{1}{25}=0.04,b=\frac{6a}{19}=\frac{6}{25\cdot 19}=\frac{6}{475}=\mathrm{0.012631579.}$ Todėl $\tilde{y}=(\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x}.$ Bendrasis duotosios lygties sprendinys yra

$y=\overline{y}+\tilde{y}=e^{2x}(C_1\cos (3x)+C_2\sin (3x))+(\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x}.$

Patikriname:

${\tilde{y}}^{\prime }={\left((\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{25}{e}^{-2x}-2(\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x},$

$=(-\frac{2}{25}x+\frac{1}{25}-\frac{12}{475})e^{-2x}=(-\frac{2}{25}x+\frac{19-12}{475})e^{-2x}=(-\frac{2}{25}x+\frac{7}{475})e^{-2x},$

${\tilde{y}}^{″}=-\frac{2}{25}{e}^{-2x}-2(-\frac{2}{25}x+\frac{7}{475})e^{-2x}=(\frac{4}{25}x-\frac{14}{475}-\frac{2}{25})e^{-2x}=$

$=(\frac{4}{25}x-\frac{14+36}{475})e^{-2x}=(\frac{4}{25}x-\frac{50}{475})e^{-2x};$

${\tilde{y}}^{″}-4{\tilde{y}}^{\prime }+13\tilde{y}=x{e}^{-2x},$

$(\frac{4}{25}x-\frac{50}{475})e^{-2x}-4(-\frac{2}{25}x+\frac{7}{475})e^{-2x}+13(\frac{x}{25}+\frac{6}{475})e^{-2x}=x{e}^{-2x},$

$\frac{4}{25}x-\frac{50}{475}+\frac{8}{25}x-\frac{28}{475}+\frac{13}{25}x+\frac{78}{475}=x,$

$\frac{4+8+13}{25}x+\frac{78-50-28}{475}=x,$

$\frac{25}{25}x+\frac{0}{475}=x,$

$x=x.$