Matematika/Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviaisiais koeficientais

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Antrosios eilės tiesine homogenine diferencialine lygtimi su pastoviaisiais koeficientais vadinama lygtis

Tokia lygtis išsprendžiama parinkus
Toliau gauname,
Kadangi nėra tokio k, kad būtų lygi nuliui, tai
Išsprendžiant šią lygtį ir bus gautas diferencialinės lygties sprendinys (arba du sprendiniai). Yra trys atvejai, kai kai ir kai sprendiniai yra kompleksiniai skaičiai.

Vronskio determinantas[keisti]

Vronskio determinantas pavadintas Juzefo Vronskio (J. Wronski, 1776-1853) vardu. Oficialiai laikoma, kad Vronskio determinantas padeda spręsti Antrosios eilės tiesines homogenines diferencialines lygtis su pastoviaisiais koeficientais, tačiau teisybė yra, kad jis neturi su jomis nieko bendro (senovėje šito nesuprato arba ir dabar ne visi supranta, todėl neišima jo iš vadovelių). Dėl šios priežasties Vronskio determinantas čia nebus nagrinėjamas. Bent jau Vronskio determinantas tikrai nereikalingas kai
Vronskio determinanto radimas:
Kai ir yra atskirieji lygties sprendiniai.

Charakteringosios lygties šaknys ir yra realios ir skirtingos[keisti]

Jeigu lygties
sprendiniai ir yra realieji skaičiai ir skirtingi, tuomet diferencialinės lygties sprendiniai yra
Bendrasis lygties
sprendinys yra


Įrodymas. Turime lygtį
Tokia lygtis išsprendžiama parinkus
Toliau gauname,
Kadangi nėra tokio k, kad būtų lygi nuliui, tai
Gavome, kad Tuomet yra du elementariausi diferencialinės lygties sprendiniai:
ir
Bet mes tikimes, kad gali būti ir sudetingesni sprendiniai, todėl parenkame tokią funkciją z, kuri gali buti arba funkcija nuo x (kaip pavyzdžiui ), arba konstanta (). Šią funkciją z padauginame su diferencialinės lygties sprendiniais ir gauname:
ir
Randame ir pirmos ir antros eilės išvestines:
Įstatome reikšmes į lygtį ir gauname:
Mums reikia, kad būtų lygi nuliui ir (tada reiškinys su reikšme ). Suprantame, kad z turi būti konstanta, nes tik tada ir . Suradus, kad , gauname:
Šis paskutinis reiškinys tikrai lygus nuliui su bet kokiu skaičiumi ir su reikšme .
Analogiškai randame, kad
Vadinasi,
Suprantame, kad tiek su reikšme išraiška lygi nuliui, tiek su reikšme išraiška lygi nuliui. Iš diferenciavimo taisyklės žinome, kad todėl įstačius į lygtį reikšmę diferencialinės lygties () lygybė bus patenkinta (abiejose pusėse bus nulis). Todėl bendrasis diferencialinės lygties sprendinys yra


Pavyzdžiai[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Įstatome vietoje y reikšmę ir gauname
padalinus abi puses iš gauname
Charakteringoji lygtis turi dvi skirtingas realiąsias šaknis ir Todėl bendrasis sprendinys yra
Patikriname, kad tikrai yra lygties sprendinys:

Charakteringosios lygties šaknys ir yra vienodos[keisti]

Kadangi šiuo atveju tai turime vieną atskirąjį sprendinį Kad rasti bendrąjį sprendinį užrašykime
Tuomet
Įrašę ir išraiškas į lygtį gauname
Pagal Vieto teoremą todėl ir Todėl gauta forma supaprastėja:
Kad gauti nulį ir kaip nors išspręsti šitą lygtį mums reikia, kad reikšmė būtų lygį nuliui, tuomet liks lygtis
kurią mes jau galime išspresti reikalaudami, kad .
Matome, kad kai nes
Todėl turime bendrąjį sprendinį
kurį galime užrašyti taip:

Pavyzdžiai[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Įstatę į lygtį, gauname
Charakteringoji lygtis turi dvi vienodas realiąsias šaknis (pagal Vieto teorema ir ; diskriminantas ), todėl bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
Patikriname:
Įstatome , ir reikšmes į lygtį ir gauname:


Charakteringosios lygties šaknys ir yra kompleksinės[keisti]

čia be to,
Įrodyta, kad tokiu atveju bendrasis lygties sprendinys užrašomas formule
Įrodymas. Į lygtį įstatome ir gauname:
Taigi, gauname du sprendinius ir
Nesunku suprasti, kad jeigu vieną sprendinį (pavyzdžiui, ) įstatysime į reiškinį tai gausime nulį. Taip pat nulį gausime jei įstatysime į reiškinį kitą sprendinį (). Įstatant į lygtį gauname:
Abiejose lygybės pusėse gausime nulius, taip pat įstačius į lygtį
Be abejonės gausime abiejose lygties pusėse nulius įstačius nes tai tas pats kas padauginti visą lygtį iš konstantos: Taipogi, gausime, kad reiškinys lygus nuliui, jei įstatysime
Nesunku suprasti, kad į reiškinį įstačius gausime nulį (0+0=0), nes Dėl to, taip pat gausime nulį įstačius į reiškinį
Kad atsikratyti i užrašykime sprendinį taip:
Toliau iš trigonometrijos ir kompleksinių skaičių žinome, kad ir Todėl parenkame ir ir gauname:
Toliau parinkime ir (šįkart panaudojame kompleksinius skaičius konstantose, kad atsikratyti kompleksinių skaičių galutiniame sprendinyje) ir užrašykime:
Vėl žinome, kad jeigu sprendinys tenkina lygtį ir jeigu sprendinys tenkina lygtį , tai ir jų suma turi tenkinti lygtį nes Be to, jei prirašysime konstantas tai sprendinys taip pat tenkins lygtį, pagal anksčiau minėta logiką. Todėl galime užrašyti galutinį bendrąjį lygties sprendinį (be kompleksinių skaičių):


Pavyzdžiai[keisti]

  • Išspręskime lygtį
Sprendimas. Charakteringoji lygtis turi dvi kompleksines šaknis: Taigi Todėl remiantis formule bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
Čia