Aptarimas:Diskriminantas

Sprendiniu lyg ir nereikia sudėti

IR LYGTAIS DAUG KO NEREIKIA DARYTI KAS RAŠOMA ŽEMIAU

Na, o visi realieji sprendiniai yra šie:

Tarkime, kai q=1 ir p=1. Tada:

$x_{0}=\alpha +\beta =1.011780142-0.329452338=0.682327803.$

Įstatome dabar į lygtį $x^{3}+px+q=0$ reikšmę $x_{0}=0.682327803$ ir gauname:

$0.682327803^{3}+1\cdot 0.682327803+1=0.317672196+0.682327803+1=0.999999998+1=2.$

Bet reikėjo daryti ne taip. Iš pradžiu reikia parinkti visas a, b, c reikšmes, kurias parenkame, kad a=1, b=1, c=1. Tada įstatome jas čia:

$p={\frac {27b-9a^{2}}{29}},\quad q={\frac {27c-9ab}{29}}$

ir gauname:

$p={\frac {27-9}{29}}={\frac {18}{29}},\quad q={\frac {27-9}{29}}={\frac {18}{29}}.$

Dabar šias reikšmes įstatome į formulę

$x_{0}=\alpha +\beta ={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-q+{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}})}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-q-{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}})}}=$

$={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}+{\sqrt {({\frac {18}{29}})^{2}+{\frac {4({\frac {18}{29}})^{3}}{27}}}})}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}-{\sqrt {({\frac {18}{29}})^{2}+{\frac {4({\frac {18}{29}})^{3}}{27}}}})}}=$

$={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}+{\sqrt {({\frac {18}{29}})^{2}+{\frac {0.956496781}{27}}}})}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}-{\sqrt {({\frac {18}{29}})^{2}+{\frac {0.956496781}{27}}}})}}=$

$={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}+{\sqrt {({\frac {18}{29}})^{2}+0.035425806}})}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}-{\sqrt {({\frac {18}{29}})^{2}+0.035425806}})}}=$

$={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}+{\sqrt {0.420681454}})}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}-{\sqrt {0.420681454}})}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}+0.64859961)}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-{\frac {18}{29}}-0.64859961)}}=$

$={\sqrt[{3}]{0.013954977}}+{\sqrt[{3}]{-1.269289265}}=0.240755587-1.08273008=-0.841974493.$

Įstatome šią $\beta =-1.08273008$ reikšmę į lygtį $y=x-{\frac {a}{3}}$ ir gauname (a nepasikeite ir todel a=1):

$y=x-{\frac {a}{3}}=x_{0}-{\frac {a}{3}}=-1.08273008-{\frac {1}{3}}=-1.416063413.$

Toliau belieka y įstatyti į pradinę lygtį:

$y^{3}+ay^{2}+by+c=(-1.416063413)^{3}+(-1.416063413)^{2}-1.416063413+1=-1.250368578.$

Gali būti, kad lygtis su tokiais koeficientais, kai visi koeficientai vienetai, turi tik kompleksinių skaičių sprendinius.

Dabar įstatome $\beta =-1.08273008$ reikšmę į lygtį $x^{3}+px+q=0$ ir pasirenkame koeficientus p=1, q=1 ir gauname:

$(-1.08273008)^{3}+1(-1.08273008)+1=-1.352019345.$

kubinės lygties sprendiniai atspėti

Be abejonės, kubinės lygties sprendiniai atspėti, o tik pavaidinta, kad išspresta, nebent pagal Vijeto teoremą, jei $x_{3}=0$, tai $x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}$ iš čia, $p(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,$ gaunasi $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

"Vijeto formulės kvadratiniam polinomui $p(X)=aX^{2}+bX+c\,$ ir jo šaknims $x_{1},x_{2}\,$ kvadratinėje lygtyje $p(X)=0\,$ yra

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

$x^{2}-x-6=0,\,$

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {-1}{1}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-6}{1}}\end{cases}}$

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x₁ ir x₂ bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x₁ ir x₂, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui $p(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,$ ir jo šaknims $x_{1},x_{2},x_{3}\,$ lygtyje $p(X)=0\,$ yra

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$"

angliskoje wikipedijoje kaip visada visko pripainioja

Pilnosios kūbinės lygties $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ šaknys yra šios:

${\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}\end{aligned}}$

Realiosios šaknys yra blogos, jei po šia šaknimi ${\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}$ gaunamas skaičius su minusu.

• Pavyzdis. Rasime nepilnos kubinės lygties $x^{3}-6x+9=0$ realiasias šaknis, kurios $a=1$, $b=0$, $c=-6$ ir $d=9$. Randame sprendinį:

$x_{1}=-{\frac {b}{3a}}-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right)}}-$

$-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right)}}=$

$=-{\frac {0}{3}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(2\cdot 0^{3}-0+27\cdot 9+{\sqrt {\left(2\cdot 0^{3}-0+27\cdot 9\right)^{2}-4\left(0^{2}-3\cdot (-6)\right)^{3}}}\right)}}-$

$-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(2\cdot 0^{3}-0+27\cdot 9-{\sqrt {\left(2\cdot 0^{3}-0+27\cdot 9\right)^{2}-4(0^{2}-3\cdot (-6))^{3}}}\right)}}=$

$=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(243+{\sqrt {243^{2}-4\cdot 18^{3}}}\right)}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(243-{\sqrt {243^{2}-4\cdot 18^{3}}}\right)}}=$

$=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(243+{\sqrt {59049-23328}}\right)}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(243-{\sqrt {59049-23328}}\right)}}=$

$=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(243+{\sqrt {35721}}\right)}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(243-{\sqrt {35721}}\right)}}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(243+189\right)}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(243-189\right)}}=$

$=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{216}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{54}}=-{\frac {1}{3}}\cdot 6-{\frac {1}{3}}\cdot 3{\sqrt[{3}]{2}}=-2-{\sqrt[{3}]{2}}=-3.25992105.$

Patikriname ar sprendinys teisingas:

$x_{1}^{3}-6x_{1}+9=(-3.25992105)^{3}-6(-3.25992105)+9=-34.64345891+19.5595263+9=-6.083932611.$

• Pavyzdis. Rasime pilnosios kubinės lygties $x^{3}+3x^{2}-3x-14=0$ realiasias šaknis, kurios $a=1$, $b=3$, $c=-3$ ir $d=-14$. Randame sprendinį:

$x_{2}=-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right)}}=$

$=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(2\cdot 3^{3}-9\cdot 3\cdot (-3)+27\cdot 1^{2}\cdot (-14)-{\sqrt {\left(2\cdot 3^{3}-9\cdot 3\cdot (-3)+27\cdot 1^{2}\cdot (-14)\right)^{2}-4\left(3^{2}-3\cdot (-3)\right)^{3}}}\right)}}=$

$=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(2\cdot 9-9\cdot (-9)+27\cdot (-14)-{\sqrt {\left(2\cdot 27-9\cdot (-9)+27\cdot (-14)\right)^{2}-4\left(9+9\right)^{3}}}\right)}}=$

$=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(18+81-378-{\sqrt {(54+81-378)^{2}-4\cdot 18^{3}}}\right)}}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(99-378-{\sqrt {(135-378)^{2}-4\cdot 5832}}\right)}}=$

$=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(-279-{\sqrt {(-243)^{2}-23328}}\right)}}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(-279-{\sqrt {59049-23328}}\right)}}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(-279-{\sqrt {35721}}\right)}}=$

$=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot \left(-279-189\right)}}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\cdot (-468)}}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{-234}}={\frac {6.162240148}{3}}=2.054080049.$

$\left({\frac {\sqrt[{3}]{-234}}{3}}\right)^{3}+3\left({\frac {\sqrt[{3}]{-234}}{3}}\right)^{2}-3\left({\frac {\sqrt[{3}]{-234}}{3}}\right)-14=1.162161065.$

Pataisymas. $x_{1}$ reikia skaičiuot taip:

$x_{1}=-{\frac {b}{3a}}-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}.$