Kvadratinė lygtis

Kvadratinė lygtis su realiaisiais koeficientais

Kvadratinė lygtis $ax^{2}+bx+c=0$ pakeičiama lygtimi $x^{2}+px+q=0,$ padalinus lygtį $ax^{2}+bx+c=0$ iš koeficiento a.

Duota kvadratinė lygtis:

$x^{2}+px+q=0.\quad (1)$

Ją perrašome taip:

$\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}+\left(q-{\frac {p^{2}}{4}}\right)=0.$

Čia $\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=x^{2}+px+{\frac {p^{2}}{4}}.$

Todėl:

$\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-\left(q-{\frac {p^{2}}{4}}\right),$

$\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q,$

$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}},$

$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}},$

$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot (p^{2}-4q)}},$

$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {p^{2}-4q}},$

$x={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}.$

$x_{1}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}};\quad x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}.$

Kai lygties $x^{2}+px+q=0$ diskriminantas $D=p^{2}-4q$ daugiau už nulį (D>0). tai lygtis (1) turi dvi realiąsias šaknis. Kai lygties (1) diskriminantas lygus nuliui (D=0), tai lygtis (1) turi dvi vienodas realiąsias šaknis. Kai lygties (1) diskriminantas yra mažesnis už nulį (D<0), tai (1) lygtis turi dvi kompleksines jungtines šaknis.

• Pavyzdis. Rasti sprendinius lygties

$x^{2}-8x+25=0.$

Sprendimas.

$D=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4\cdot 1\cdot 25=64-100=-36=36i^{2},$

$x_{1}={-b+{\sqrt {D}} \over 2}={-(-8)+{\sqrt {36i^{2}}} \over 2}={8+6i \over 2}=4+3i,$

$x_{2}={-b-{\sqrt {D}} \over 2}={-(-8)-{\sqrt {36i^{2}}} \over 2}={8-6i \over 2}=4-3i.$

Patikriname, kad

$(4+3i)^{2}-8(4+3i)+25=0,$

$16+2\cdot 4\cdot 3i+(3i)^{2}-32-24i+25=0,$

$16+24i-9-32-24i+25=0,$

$16-41+25=0$

ir

$(4-3i)^{2}-8(4-3i)+25=0,$

$16-2\cdot 4\cdot 3i+(-3i)^{2}-32+24i+25=0,$

$16-24i-9-32+24i+25=0,$

$16-41+25=0.$

Bet kokio laipsnio lygties su realiaisiais koeficientais išskaidymas paprasčiausiais daugikliais

Tegu duota n-to laipsnio lygtis

$b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+b_{2}x^{n-2}+...+xb_{n-1}+b_{n}=0.$

Padaliję šią lygtį iš koeficiento $b_{0}$ gausime redukuotą n-to laipsnio lygtį:

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+xa_{n-1}+a_{n}=0;\quad (2)$

čia $a_{1}={\frac {b_{1}}{b_{0}}},\;\;a_{2}={\frac {b_{2}}{b_{0}}},\;\;...,\;\;a_{n-1}={\frac {b_{n-1}}{b_{0}}},\;\;a_{n}={\frac {b_{n}}{b_{0}}}.$

Jei (2) lygties laipsnis n yra nelyginis skaičius, tai (2) lygtis turi bent vieną realiąją šaknį. Iš tiesų, padaliję (2) lygtį iš $x^{n-1}$ gausime:

$x+a_{1}+{\frac {a_{2}}{x}}+{\frac {a_{3}}{x^{2}}}+...+{\frac {a_{n-1}}{x^{n-2}}}+{\frac {a_{n}}{x^{n-1}}}=0.\quad (3)$

Kai x reikšmė teigiama ir labai didelė ($x\to \infty$), tai (3) lygties polinomas

$f(x)=x+a_{1}+{\frac {a_{2}}{x}}+{\frac {a_{3}}{x^{2}}}+...+{\frac {a_{n-1}}{x^{n-2}}}+{\frac {a_{n}}{x^{n-1}}}\quad (4)$

yra teigiamas realusis skaičius. O kai x reikšmė neigiama, bet jos modulis yra labai didelis ($x\to -\infty$), tai (4) polinomas yra neigiamas realusis skaičius. Kadangi (4) polinomas f(x) yra tolydi funkcija, tai tarp šių neigiamos ir teigiamos reikšmių yra toks taškas $x_{1},$ kuriame $f(x_{1})=0,$ t. y. polinomas f(x) turi bent vieną realiąją šaknį.

Polinomą su realiaisiais koeficientais

$f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+xa_{n-1}+a_{n}\quad (5)$

galima išskaidyti neskaidžiais daugikliais realiųjų skaičių kūne šitaip:

$f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+xa_{n-1}+a_{n}=$

$=(x-x_{1})^{\alpha _{1}}(x-x_{2})^{\alpha _{2}}(x-x_{3})^{\alpha _{3}}...(x-x_{s})^{\alpha _{s}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\lambda _{1}}(x^{2}+p_{2}x+q_{2})^{\lambda _{2}}(x^{2}+p_{3}x+q_{3})^{\lambda _{3}}...(x^{2}+p_{t}x+q_{t})^{\lambda _{t}}.\quad (6)$

Čia $x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;...,\;x_{s}\;$ yra polinomo (6) šaknys, kurių kartotinumas atitinkamai yra $\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\alpha _{3},\;...,\;\alpha _{s}.$ Kvadratiniai polinomai $x^{2}+p_{k}x+q_{k}\;$ su $k=1,\;2,\;3,\;...,\;t,\;$ neturi realiųjų šaknų, o $\lambda _{1},\;\lambda _{2},\;\lambda _{3},\;...,\;\lambda _{t}$ yra šių kvadratinių polinomų atitinkamas laipsnis, kuris gali būti 0 arba natūralusis skaičius.

Iš aukščiau žinome, kad kvadratinių trinarių $x^{2}+p_{k}x+q_{k}$ neturinčių realiųjų šaknų diskriminantas yra neigiamas skaičius (D<0) ir kad jų šaknys yra kompleksiniai jungtiniai skaičiai. Kad tuo įsitikinti tarkime, kad polinomo $x^{2}+px+q$ viena šaknis yra $x_{0}=u+iv,$ o kita ${\overline {x_{0}}}=u-iv.$ Tada polinomą $x^{2}+px+q$ galima išskaidyti tokia sandauga:

$x^{2}+px+q=(x-x_{0})(x-{\overline {x_{0}}})=(x-u-iv)(x-u+iv)=(x-u)^{2}-(iv)^{2}=x-2ux+u^{2}+v^{2}.\quad (7)$

Pažymėję $p=-2u$ ir $q=u^{2}+v^{2},$ gavome, kad polinomo $x^{2}+px+q$ koeficientai yra realieji skaičiai ir kad šis kvadratinis polinomas turi dvi jungtines kompleksines šaknis $x_{0}=u+iv$ ir ${\overline {x_{0}}}=u-iv.$

Iš to galima padaryti išvada, kad (5) polinomas n-to laipsnio su realiaisiais koeficientais visada turi arba visas realiąsias šaknis, arba, jei jo laipsnis yra nelyginis skaičius, bent vieną realiąją šaknį, o kitas kompleksines jungtines šaknis. Arba, jei (5) polinomo laipsnis yra lyginis skaičius, turi dalį realiųjų šaknų ir dalį kompleksinių jungtinių šaknų, arba turi vien tik kompleksines jungtines šaknis.

Bet kuriuo atveju n-to laipsnio polinomas f(x) turi n šaknų, jei skaičiuot visas realiąsias šaknis ir visas kompleksines jungtines šaknis tiek kartų koks yra tų šaknų kartotinumas.

Dabar galime (6) polinomą [kompleksinių skaičių kūne] išskaidyti tiesiniais (pirmo laipsnio) daugikliais, pažymėję kiekvieno polinomo $x^{2}+p_{k}x+q_{k}\;$ ($k=1,\;2,\;3,\;...,\;t$) jungtines kompleksines šaknis per $y_{k}=u_{k}+iv_{k}$ ir ${\overline {y_{k}}}=u_{k}-iv_{k}$ ($k=1,\;2,\;3,\;...,\;t$). Tada šis kvadratinis polinomas užrašomas taip:

$x^{2}+p_{k}x+q_{k}=(x-y_{k})(x-{\overline {y_{k}}}).$

O (6) polinomas f(x) su realiaisiais koeficientais išskaidomas ir užrašomas taip:

$f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+xa_{n-1}+a_{n}=$

$=(x-x_{1})^{\alpha _{1}}(x-x_{2})^{\alpha _{2}}(x-x_{3})^{\alpha _{3}}...(x-x_{s})^{\alpha _{s}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\lambda _{1}}(x^{2}+p_{2}x+q_{2})^{\lambda _{2}}(x^{2}+p_{3}x+q_{3})^{\lambda _{3}}...(x^{2}+p_{t}x+q_{t})^{\lambda _{t}}=$

$=(x-x_{1})^{\alpha _{1}}(x-x_{2})^{\alpha _{2}}(x-x_{3})^{\alpha _{3}}...(x-x_{s})^{\alpha _{s}}(x-y_{1})^{\lambda _{1}}(x-{\overline {y_{1}}})^{\lambda _{1}}(x-y_{2})^{\lambda _{2}}(x-{\overline {y_{2}}})^{\lambda _{2}}(x-y_{3})^{\lambda _{3}}(x-{\overline {y_{3}}})^{\lambda _{3}}...(x-y_{t})^{\lambda _{t}}(x-{\overline {y_{t}}})^{\lambda _{t}}.\quad (8)$

Čia $x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;...,\;x_{s}\;$ yra polinomo (8) realiosios šaknys, kurių kartotinumas atitinkamai yra $\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\alpha _{3},\;...,\;\alpha _{s}.$ O $y_{1},\;{\overline {y_{1}}},\;y_{2},\;{\overline {y_{2}}},\;...,\;y_{t},\;{\overline {y_{t}}}\;$ yra kompleksinės polinomo (8) šaknys, kurių kartotinumas atitinkamai yra $\lambda _{1},\;\lambda _{1},\;\lambda _{2},\;\lambda _{2},\;...,\;\lambda _{t},\;\lambda _{t}.$

Be to, $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+...+\alpha _{s}+2\lambda _{1}+2\lambda _{2}+2\lambda _{3}+...+2\lambda _{t}=n.$ T. y. visų (8) polinomo f(x) tiesinių daugiklių laipsnių suma lygi (8) polinomo f(x) laipsniui n.

Kvadratinė lygtis su kompleksiniais koeficientais

Kvadratinė lygtis su kompleksiniais koeficientais niekada neturi šaknų, kurios būtų kompleksiniai jungtiniai skaičiai (žiūrėti (7) išskaidymą). Taip pat kvadratinė lygtis su kompleksiniais koeficientais niekada neturi dviejų realiųjų šaknų, nes dauginant tiesinius daugiklius $(x-x_{1})(x-x_{2})$ (kur $x_{1}$ ir $x_{2}$ realiosios šaknys kvadratinės lygties $x^{2}+px+q$), kuriuose yra tik realiejie skaičiai ($x_{1}$ ir $x_{2}$), niekada nebus gauti iš realiųjų skaičių kompleksiniai skaičiai (p ir q). Nes nėra tokių realiųjų skaičių, kuriuos sudauginus gautųsi kompleksinis skaičius.

• Pavyzdys. Išspręsti lygtį

$x^{2}-3x+(3-i)=0.$

Pasinaudoję formule

$x_{1,2}={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}},$ gauname:

$x_{1,2}={\frac {-(-3)\pm {\sqrt {3^{2}-4(3-i)}}}{2}}={\frac {3}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {9-12+4i}}={\frac {3}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-3+4i}}.$

Pasinaudosime šaknies traukimo formule

${\sqrt {a_{1}+a_{2}i}}=\pm ({\sqrt {\frac {a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-a_{1}+{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}{2}}}),\quad {\text{kai}}\quad a_{2}>0.$

Tada

${\sqrt {-3+4i}}=\pm ({\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-(-3)+{\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}}{2}}})=$

$=\pm ({\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {9+16}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {9+16}}}{2}}})=$

$=\pm ({\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {25}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {25}}}{2}}})=\pm ({\sqrt {\frac {-3+5}{2}}}+i{\sqrt {\frac {3+5}{2}}})=$

$=\pm ({\sqrt {\frac {2}{2}}}+i{\sqrt {\frac {8}{2}}})=\pm ({\sqrt {1}}+i{\sqrt {4}})=\pm (1+2i).$

Patikriname:

$(1+2i)^{2}=1+2\cdot 2i+(2i)^{2}=1+4i-4=-3+4i.$

Įstatę $\pm (1+2i)$ vietoje ${\sqrt {-3+4i}},$ gauname:

$x_{1,2}={\frac {3}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-3+4i}}={\frac {3}{2}}\pm {\frac {1}{2}}(1+2i);$

$x_{1}={\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}(1+2i)={\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}+i={\frac {4}{2}}+i=2+i;$

$x_{2}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}(1+2i)={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}-i={\frac {2}{2}}-i=1-i.$

Patikriname:

$x^{2}-3x+(3-i)=0,$

$(2+i)^{2}-3(2+i)+(3-i)=0,$

$4+4i+i^{2}-6-3i+(3-i)=0,$

$4+4i-1-6-3i+3-i=0,$

$7+4i-7-3i-i=0;$

$(1-i)^{2}-3(1-i)+(3-i)=0,$

$1-2i+i^{2}-3+3i+(3-i)=0,$

$1-2i-1-3+3i+3-i=0,$

$-2i+3i-i=0.$

Kvadratinė lygtis su kompleksiniais koeficientais gali turėti vieną šaknį realiąją, o kitą kompleksinę. Tokia lygtis, pavyzdžiui, yra ši:

$(x-1)(x-i)=x^{2}-x-ix+i=x^{2}-(1+i)x+i=0;$

čia $x_{1}=1,\;\;x_{2}=i.$

Bet kokio laipsnio lygtis su kompleksiniais koeficientais

Tegu turime n-to laipsnio lygtį

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0,\quad (9)$

kurios paskutinis koeficientas (laisvasis narys) $a_{n}$ yra kompleksinis skaičius, o visi kiti (9) lygties koeficientai yra realieji skaičiai. Tada išeina, kad (9) lygtis turi bent vieną kompleksinę šaknį (nes dauginant realiuosius skaičius negalima gaut kompleksinio skaičiaus). Pažymėkime tą kompleksinę šaknį $x_{1}.$ Jei įstatysime $x_{1}$ šaknį į (9) lygties polinomą be laisvojo nario $a_{n},$ tai gausime

$f_{1}(x_{1})=x_{1}^{n}+a_{1}x_{1}^{n-1}+a_{2}x_{1}^{n-2}+...+a_{n-1}x_{1}=-a_{n}.\quad (10)$

O jeigu įstatysime į polinomą

$f_{1}(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x\quad (11)$

vietoje x, skaičiaus $x_{1}$ jungtinį kompleksinį skaičių ${\overline {x_{1}}},$ tai, pagal jungtinių kompleksinių skaičių savybes, gausime

$f_{1}({\overline {x_{1}}})={\overline {x_{1}}}^{n}+a_{1}{\overline {x_{1}}}^{n-1}+a_{2}{\overline {x_{1}}}^{n-2}+...+a_{n-1}{\overline {x_{1}}}=-{\overline {a_{n}}}.\quad (12)$

Iš (12) akivaizdu, kad ${\overline {x_{1}}}$ nėra lygties (9) šaknis, nes

$-{\overline {a_{n}}}+a_{n}\neq 0.\quad (13)$

Bet jeigu paskutinį (9) lygties kompleksinį koeficientą $a_{n}$ pakeisime jam jungtiniu kompleksiniu koeficientu ${\overline {a_{n}}},$ tai ${\overline {x_{1}}}$ bus (9) lygties šaknimi. Ši taisyklė galioja ir kai visi (9) lygties koeficientai yra kompleksiniai skaičiai, ir kai tik dalis (9) lygties koeficientų yra kompleksiniai skaičiai. Tai yra, jeigu

$x_{1}^{n}+a_{1}x_{1}^{n-1}+a_{2}x_{1}^{n-2}+...+a_{n-1}x_{1}+a_{n}=0,\quad (14)$

tai

${\overline {x_{1}}}^{n}+{\overline {a_{1}}}\cdot {\overline {x_{1}}}^{n-1}+{\overline {a_{2}}}\cdot {\overline {x_{1}}}^{n-2}+...+{\overline {a_{n-1}}}\cdot {\overline {x_{1}}}+{\overline {a_{n}}}=0.\quad (15)$

Šis rezultatas išpaukia iš jungtinių kompleksinių skaičių savybių, kaip parašyta žemiau.

Jeigu skaičius $\alpha$ kokiu nors budu išreikštas per kompleksinius skaičius $\beta _{1},\;\beta _{2},\;...,\;\beta _{n}$ taikant sudėtį, daugybą, atimtį ir dalybą, tai pakeičiant visus skaičius $\beta _{k}$ į jiems jungtinius (pakeičiant $\beta _{k}$ į ${\overline {\beta _{k}}}$), mes gausime skaičių jungtinį skaičiui $\alpha$ (gausime ${\overline {\alpha }}$).

Savaime aišku, kompleksinis skaičius lygus nuliui tada ir tik tada, kai jo jungtinis skaičius lygus nuliui.

Realieji skaičiai yra patys sau jungtiniai.

Todėl, jei (9) lygtis turi bent vieną kompleksinį koeficientą, ji turi ir bent vieną kompleksinę šaknį. Ir bendru atveju (9) lygtis su visais ar dalim kompleksinių koeficientų (kai kita dalis lygties (9) koeficientų yra realieji skaičiai) gali neturėti jungtinių kompleksinių šaknų, o tik atskiras (nejungtines) kompleksines šaknis ir realiąsias šaknis. Taipogi lygtis (9) su visais ar dalim kompleksinių koeficientų gali turėti ir nejungtines kompleksines šaknis, ir jungtines kompleksines šaknis, ir realiąsias šaknis.

Pastebėsime, kad jei (9) lygties laisvasis narys $a_{n}$ yra kompleksinis skaičius, o visi kiti jos koeficientai yra realieji skaičiai, tai (9) lygtis neturi jungtinių kompleksinių sprendinių ir neturi nei vieno realiojo sprendinio (nes keliant laipsniu realųjį sprendinį [jei tarsim, kad toks yra] ir visus laipsnius, padaugintus iš realiųjų koeficientų, sudedant negausime $-a_{n}$ kompleksinio skaičiaus). Tada visi tokios lygties sprendiniai (šaknys) yra nejungtiniai kompleksiniai skaičiai.

Bet kuriuo atveju n-to laipsnio polinomas

$f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+xa_{n-1}+a_{n}\quad (16)$

su kompleksiniais koeficientais turi n šaknų. Žinoma, (16) polinomas gali turėti tik vieną kompleksinę šaknį, o visos kitos šaknys gali būti realieji skaičiai. Nes, pavyzdžiui, įmanomas toks (16) polinomo išskaidymas (pirmo laipsnio daugikliais), kai n=4:

$f(x)=x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+xa_{3}+a_{4}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-y_{4});\quad (17)$

čia $x_{1},\;x_{2},\;x_{3}\;$ yra realiosios (17) polinomo f(x) šaknys, o $y_{4}$ yra kompleksinė (17) polinomo f(x) šaknis.

Polinomų šaknų išreiškimas per tų polinomų koeficientus

Tiktai kvadratinės lygties, kūbinės lygties ir ketvirto laipsnio lygties šaknis (sprendinius) galima išreikšti per tų lygčių koeficientus. Algebroje yra įrodyta, kad penkto laipsnio ir aukštesnių laipsnių lygčių šaknis negalima išreikšti per savo koeficientus, taikant įvairaus laipsnio šaknis (sakoma, negalima išreikšti šaknis (sprendinius) per radikalus), kaip tai daroma su antro, trečio ir ketvirto laipsnio lygtimis.

Bet yra apytikslių bet kokio laipsnio polinomų šaknų radimo metodų, taikant kuriuos galima rasti šaknis bet kokiu norimu tikslumu. Šie metodai pagrinde taikomi polinomams su realiaisiais koeficientais ir randa tik realiąsias šaknis (nes jų dažniausiai ir reikia). Kompleksinių šaknų radimo metodai yra griozdiški.