Pereiti prie turinio

Teiloro eilutė (neprofesionalams)

Iš Wikibooks.
Išnagrinėsime vieną svarbiausių formulių matematinės analizės, turinčią daugybę pritaikymų tiek pačiame analize, tiek kitose artimose disciplinose.

1. Teiloro formulė[keisti]

Teiloro teorema*. Tegu funkcija f(x) turi taške a ir kai kurioje jo aplinkoje n+1** eilės išvestines. Tegu x - bet kokia argumento reikšmė iš nurodytos aplinkos, Tada tarp taškų a ir x yra taškas toks, kad teisinga tokia formulė:
Įrodymas. Tegu yra polinomas x atžvilgiu ir laipsnio n, stovintis dešinėje pusėje formulėje (1), t. y. tarsim
(Jis vadinasi Teiloro polinomu laipsnio n funkcijai f(x).)
Toliau pažymėsime per skirtumą
Teorema bus įrodyta, jeigu nustatysime, kad
Fiksuojame bet kokią x reikšmę iš nurodytos aplinkos (iš a aplinkos). Konkretumo dėlei laikome, kad x>a. Įvedame kintamąją reikšmė t besikeičiančia atkarpoje ir nagrinėkime atkarpoje [a; x] pagalbinę funkciją
Funkcija F(t) tenkina atkarpoje [a; x] visas sąlygas Rolio teoremos:
1) iš (2) formulės ir iš sąlygų uždėtų funkcijai f(x), seka, kad F(t) netrūki ir diferencijuojama atkarpoje [a; x], nes f(t) ir jos išvestinės iki n-tos eilės tolydžios ir diferencijuojamos atkarpoje [a; x];
2) parinkę formulėje (2) turime
Parinkę formulėje (2) gauname
Tokiu budu, sąlyga išpildyta.
Pagal Rolio teoremą atkarpos [a; x] viduje yra toks taškas kad
Apskaičiuosime išvestinę Diferencijuodami (2) lygybę per t, turime
Nesunku pastebėti, kad visi nariai dešinėje lygybės pusėje, išskyrus du paskutiniuosius, tarpusavyje pasinaikina. Tokiu budu,
Lygybėje (4) parinkę ir pasinaudoję (3) lygybe, gauname
iš čia
Teorema įrodyta.
Formulė (1) vadinasi Teiloro formule, o išraiška - Lagranžo formos papildomuoju nariu. Jį galima perrašyti kitame pavidale. Kadangi tai yra toks skaičius iš intervalo kad ir papildomasis narys priima pavidalą
Šitą formą papildomojo nario dažniausiai naudoja taikymuose.
____________
* Teiloras Brukas (1685-1731) - anglų matematikas.
** Iš čia seka, kad pati funkcija f(x) ir jos išvestinės iki n eilės tolydžios ir diferencijuojamos šitoje aplinkoje.


2. Kitoks Teiloro formulės ir papildomojo nario užrašymas[keisti]

Dažnai Teiloro formulę (1) užrašo kitokiame pavidale. Pažymėsime (1) formulėje Tada
Kai iš (5) gaunasi Lagranžo formulė
Parodysime, kad jeigu yra aprėžta taško a aplinkoje, tai papildomasis narys yra nykstantis dydis aukštesnės eilės negu kai :
kadangi funkcija aprėžta, o kai Tokiu budu,
Formulė (6) vadinama papildomuoju nariu formoje Peano*.
_________
* Peano Džuzepe (1858-1932) - italų matematikas.

3. Makloreno formulė[keisti]

Makloreno* formule vadina Teiloro formulę (1) kai :
Papildomasis narys turi pavidalą:
1) Lagranžo formoje
2) Peano formoje
Trumpai aiškinant ką reiškia galima teigti, kad Tik konstanta C, galimai esanti reiškinyje nepaisoma, o visas dėmesys sutelktas į nykstančio dydžio eilę (laipsnį). Nykstantis dydis reiškia, kad jis yra aukštesnės eilės negu nykstantis dydis, kai . Jeigu x neartėja prie 0, tai tiesiog didesnės eilės dydis nei Ir, berods, eilė gali būti tik natūrinis skaičius.
___________
* Maklorenas Kolinas (1698-1746) - škotų matematikas.

4. Kai kurių elementariųjų funkcijų išdėstymas Makloreno formule[keisti]

1) Kadangi
tai Maklorerno formulė yra tokia


2) Kadangi
tai Makloreno formulė yra tokia


3) Kadangi
tai Makloreno formulė yra tokia
Formulėje (8) papildomasis narys užrašytas pavidale o ne pavidale nes sekantis narys po paskutinio nario lygus nuliui [tas pats liečia (9) formulę].
4) kur - realusis skaičius. Kadangi
tai Makloreno formulė yra tokia
kur papildomasis narys Lagranžo formoje lygus
Atskiru atveju, kai - natūrinis skaičius,
todėl, ir mes gauname žinomą iš elementariosios matematikos Niutono binomo formulę
Pateikti aukščiau dėstiniai parodo, kad su Makloreno formule funkcijas galima su nustatytu tikslumu pakeisti polinomais, esančiais paprasčiausiomis elementariosiomis funkcijomis. Su polinomais patogu daryti aritmetinius veiksmus, nesunku apskaičiuoti reikšmę bet kuriame taške ir t. t. Teiloro ir Makloreno formulės leidžia apytiksliai pakeisti polinomais ir sudėtingesnes funkcijas. Be to, šitos formulės turi platų ratą pritaikymų.
  • Funkciją išskleisime eilute. Į formulę
vietoje įrašę o vietoje x įrašę gausime tokią eilutę (be liekamojo nario ):
Ši eilutė konverguoja intervale (-1; 1). Integruodami ją panariui, atkarpoje [0; x], kai |x| < 1, gauname eilutę
kuri taip pat konverguoja intervale (-1; 1).
  • Funkciją išskleisime eilute.
(9.5) formulėje vietoj įrašome ir gauname eilutę
kuri konverguoja intervale (-1; 1). Ją galima integruoti bet kurioje atkarpoje [0; x] iš intervalo (-1; 1). Integruojant gauname:
Nesunku patikrinti, kad eilutė
konverguoja intervale (-1; 1]. Tuomet iš (9.6) formulės, įrašę įrašę į ją x = 1, gauname eilutę
kuri vadinama Leibnico eilute.
  • Atvirkštinį hiperbolinį sinusą išskleisime eilute. Atvirkštinis hiperbolinis sinusas yra lygus
Apie atvirkštines hiperbolines funkcijas žiūrėti čia: https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_hyperbolic_functions
arsinh(x) išvestinės įrodymas (kai nežinoma kam lygus arsinh(x)): https://proofwiki.org/wiki/Derivative_of_Inverse_Hyperbolic_Sine
Jo išvestinė yra
Taikysime (9.5) formulę
Vietoje įrašę o vietoje x įrašę gausime tokią eilutę (be liekamojo nario ):
Kuri konverguoja intervale (-1; 1). Integruodami panariui atkarpoje [0; x] iš intervalo (-1; 1), turime:

5. Makloreno formulės naudojimas ribų skaičiavimui[keisti]

Teiloro formulė yra efektyvus įrankis funkcijų ribų skaičiavimui, su kuriomis dažnai tenka susidurt nagrinėjant funkcijas.
  • Pavyzdys 1. Rasti
Sprendimas. Pagal formulę (8), kai turime


  • Pavyzdys 2. Rasti
Sprendimas. Pagal formules (7), (8) ir (9) turime
(čia simboliu pažymėtas dydis esantis nykstantis dydis (begalo mažas), kai ).

6. Skaičiaus e apskaičiavimas[keisti]

Matematikos knygose įvestas skaičius e kaip sekos riba ir gautas grubus jo įvertinimas
Parodysime, kaip apskaičiuoti skaičių e bet kokiu reikalingu tikslumu. Tam užrašysime (7) formulę su Lagranžo formos papildomuoju nariu:
Jeigu funkciją pakeisti jos Teiloro polinomu laipsnio n, tai gausime apytikslę lygybę
absoliuti paklaida kurio
Jeigu nagrinėti funkciją , kai tai
Tarę (12) formulėje, kad gauname apytikslę skaičiaus e reikšmę:
Be to, absoliuti paklaida mažesnė už Jeigu reikia apskaičiuoti e reikšmę tikslumu iki 0,001, tai skaičius n nustatomas iš nelygybės arba Tuomet, jeigu paimti tai reikalaujama nelygybė tenkinama (nes ).
Tokiu budu, panaudojant Makloreno formulę, galimą apskaičiuoti skaičių e bet kokiu tikslumu, be to skaičiavimo algoritmas skaičiaus e, pagrįstas formulėmis (11) ir (13), lengvai realizuojamas su ESM (elektronine skaičiavimo mašina).


Apskaičiuosime e, kai
Tuo tarpu, tikroji e reikšmė lygi e = 2.7182818284590452353602874713527.
2.718281828459 - 2.71805555556 = 0.000226272899 < 0.001.


  • Naudodamiesi Windows 10 kalkuliatoriumi, apskaičiuosime ribą kai: a) n = 1000; b) n = 1000000; c)
Sprendimas.
a)
b)
c)
c) atveju gaunami 8 teisingi [skaičiaus e] skaitmenys po kablelio. Jeigu n parinkti tai Windows 10 kalkuliatorius išduoda klaidą ("Invalid input").


  • Pagal Makloreno eilutę apskaičiuosime skaičiaus e reikšmę su paklaida mažesne nei Kadangi, kai x = 1 (čia ), tai turi būti mažiau už 0,000001, t. y. arba ši nelygybė tenkinama, kai n = 9, nes Taigi,
Atsakymą gavome teisingą, nes


  • Pagal Makloreno eilutę apskaičiuosime skaičiaus e reikšmę su paklaida mažesne nei Analogiškai praeitam pavyzdžiui, turi būti mažiau už Tokiu budu, Kai n = 12, paskutinė nelygybė tenkinama, nes
Dabar galime apskaičiuoti skaičiaus e reikšmę, kai n = 12 su paklaida mažesne nei
Atėmę gautą e reikšmę iš tikslios e reikšmės gauname skirtumą (paklaidą):