Matematika/Lagranžo formulė

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search
Kad įrodyti Lagranžo formulę, pirmiausia reikia žinoti Rolio teoremą. Toliau segmentas reiškia uždarą intervalą.


Išvestinės Nulio teorema[keisti]

8.10 pav. Paveikslėlyje o taške funkcija f(x) įgauną maksimumą (ekstremumą), todėl
Rolio teorema. Sakykime, funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei tai segmento [a; b] viduje yra taškas kuriame išvestinės reikšmė lygi nuliui:
Trumpai galima sakyti, kad tarp dviejų skiringų argumento reikšmių, kurias atitinka vienodos diferencijuojamos funkcijos reikšmės, būtinai tos funkcijos išvestinė lygi nuliui.
Įrodymas. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai ta funkcija pasiekia šiame segmente savo maksimaliąją reikšmę M ir minimaliąją reikšmę m. Galimi du atvejai: 1) 2) Kadangi 1 atveju tai išvestinė f'(x) lygi nuliui bet kuriame segmento [a; b] taške. Atveju, kai atsižvelgę į sąlygą galime tvirtinti, kad bent vieną iš dviejų reikšmių M ir m funkcija pasiekia kokiame nors vidiniame segmento [a; b] taške Todėl funkcija f(x) tame taške turi lokalinį ekstremumą. Kadangi funkcija f(x) diferencijuojama taške tai Teorema visiškai įrodyta.
Rolio teorema turi paprastą geometrinę prasmę: jei kreivės y = f(x) kraštinės ordinatės vienodos, tai kreivėje y = f(x) yra bent vienas taškas, per kurį nubrėžta kreivės liestinė yra lygiagreti ašiai Ox (8.10 pav.).
Rolio teorema pagrįsta daugelis matematinės analizės formulių ir teoremų.

Baigtinių pokyčių formulė (Lagranžo formulė)[keisti]

8.11 pav.
Labai svarbi analizei ir jos pritaikymams yra tolesnė teorema, priskiriama Lagranžui (Ž. L. Lagranžas (1736-1813) - žymus prancūzų matematikas ir mechanikas).
Lagranžo teorema. Jei funkcija f(x) tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose jo taškuose, tai segmento [a; b] viduje yra toks taškas kad
(8.7) formulė vadinama Lagranžo, arba baigtinių pokyčių, formule.
Įrodymas. Sudarykime segmente [a; b] pagalbinę funkciją
Įsitikinsime, kad funkcija F(x) tenkina visas Rolio teoremos sąlygas. Iš tikrųjų F(x) yra tolydi segmente [a; b] (kaip funkcijos f(x) ir tiesinės funkcijos skirtumas) ir visuose jo taškuose turi išvestinę:
Be to, iš (8.8) formulės aišku, kad
Pagal Rolio teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas kad
Iš šios lygybės ir gaunama Lagranžo formulė. Pabrėžiame, kad (8.7) formulėje visiškai nebūtina tarti, kad b > a.
Pastaba. Lagranžo teoremą įrodėme kaip Rolio teoremos išvadą. Tačiau, kita vertus, Rolio teorema yra tik atskiras Lagranžo teoremos atvejis (kai tada ).
Aiškindamiesi Lagranžo teoremos geometrinę prasmę, atkreipsime dėmesį, kad santykis yra kirstinės, einančios per kreivės taškus A(a; f(a)) ir B(b; f(b)), krypties koeficientas, o yra tos kreivės liestinės, nubrėžtos per tašką krypties koeficientas. Lagranžo formulė reiškia, kad kreivėje tarp taškų A ir B yra taškas C, per kurį nubrėžta liestinė yra lygiagreti kirstinei AB (8.11 pav.).
Dažnai būna patogi Lagranžo formulė, užrašyta kitu pavidalu. Fiksuokime bet kurį segmento [a; b] tašką ir suteikime jam tokį laisvą pokytį kad skaičius irgi priklausytų segmentui [a; b]. Tada, pritaikę Lagranžo formulę segmentui gausime:
čia - koks nors taškas tarp ir Galima tvirtinti, kad yra toks (priklausantis nuo ) skaičius kad
Vadinasi, (8.10) formulę dar galima užrašyti šitaip:
jei - atitinkamas intervalo skaičius. Taip užrašyta Lagranžo formulė tiksliai išreiškia funkcijos pokytį atitinkamu laisvu argumento pokyčiu Toks Lagranžo formulės pavidalas pateisina terminą "baigtinių pokyčių formulė".