|
|
72 eilutė: |
72 eilutė: |
|
|
|
|
|
Skaičiai ''B''<sub>''k''</sub> esantis ''sudeties'' išpletime tan(''x'') ir tanh(''x'') yra [[Bernulio skaičiai]]. ''E''<sub>''k''</sub> išpletime sec(''x'') yra [[Eulerio skaičiai]]. |
|
Skaičiai ''B''<sub>''k''</sub> esantis ''sudeties'' išpletime tan(''x'') ir tanh(''x'') yra [[Bernulio skaičiai]]. ''E''<sub>''k''</sub> išpletime sec(''x'') yra [[Eulerio skaičiai]]. |
|
|
==Įrodymas per Pitagoro teoremą== |
|
|
Bus per Pitagoro teoremą įrodyta, kad sinuso, kosinuso eilutės ir skaičiuotuvo reikšmės yra teisingos. |
|
|
|
|
|
Iš pradžiu, paliginsime kalkuliatoriaus reikšme, tam tikram kampui ''k'' su <math>\sin k</math> Tailoro eilutės rezultatu. Tarkim, kampas k=60 laipsnių arba <math>k=1,047197551</math> radianų. Tuomet kalkuliatoriaus reikšmė: |
|
|
:<math>\sin k=\sin 1.047197551={\sqrt{3}\over 2}=0.866025403.</math> |
|
|
:<math>\sin k = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} k^{2n+1} = k - \frac{k^3}{3!} + \frac{k^5}{5!} - \frac{k^7}{7!}+\frac{k^9}{9!}-...=</math> |
|
|
:<math>=1.047197551-\frac{1.047197551^3}{3!} + \frac{1.047197551^5}{5!} -\frac{1.047197551^7}{7!}+\frac{1.047197551^9}{9!}-\frac{1.047197551^{11}}{11!}=</math> |
|
|
:<math>=0.866025403.</math> |
|
|
Net po salyginai trumpos eilutės atsakymo tikslumas gavosi =>9 skaičiai po kablelio. |
|
|
:Kai kampas k=1 radianas, tada <math>\sin k=\sin 1=0,841470984</math>. |
|
|
:<math>\sin k=\sin 1\approx 1-\frac{1^3}{3!} + \frac{1^5}{5!} -\frac{1^7}{7!}=1-{1\over 6}+{1\over 120}-{1\over 5040}=0.841468254.</math> |
|
|
:<math>\sin k=\sin 1=1-\frac{1^3}{3!} + \frac{1^5}{5!} -\frac{1^7}{7!}+\frac{1^9}{9!}=1-{1\over 6}+{1\over 120}-{1\over 5040}+\frac{1}{362880}=0.841471009.</math> |
|
|
:<math>\sin 1=1-\frac{1^3}{3!} + \frac{1^5}{5!} -\frac{1^7}{7!}+\frac{1^9}{9!}-\frac{1^{11}}{11!}=1-{1\over 6}+{1\over 120}-{1\over 5040}+\frac{1}{362880}-{1\over 39916800}=0.841470984.</math> |
|
|
:<math>\cos k = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} k^{2n} = 1 - \frac{k^2}{2!} + \frac{k^4}{4!} - \cdots\text{ for all } k\!</math> |
|
|
|
|
|
:Tariam, kad <math>\sin k= b</math>, o <math>\cos k=a</math>. Kampas ''k'' šioje užduotyje yra lygus 1 radianui (k=1). Tiesės ''a'' reikšmės gali būti nuo 0 iki 1. Tiesės ''b'' reikšmės gali būti nuo 0 iki 1. |
|
|
Dabar toliau labai svarbu apčiupti bet kuriuos taškus ant apskritimo, kurio spindulys r=1, bet, kad tie taškai sujungtų daug trumpų tiesių taip, kad tos sujungtos tiesės labai primintų apskritimo lanko formą ir kad kiekviena tiesė nebūtų ilgesnė 3 kartus už betkurią kitą tiesę, kuri jungia bet kuriuos 2 taškus. |
|
|
Taigi, pradedame rinkti taškus ant ''Ox'' ašies: <math>x_1=1</math>; <math>x_2=0.9</math>; <math>x_3=0.8</math>; <math>x_4=0.7</math>; <math>x_5=0.6</math>; <math>x_6=0.5</math>; <math>x_7=0.4</math>; <math>x_8=0.3</math>; koordinatės <math>x_9</math> gali ir neprireikti, nes <math>\cos 1</math> negali būti labai maža reikšmė. Kiekvieno taško koordinatės ant apskritimo lanko bus užrašytos šitaip: <math>(x_1; y_1)</math>, <math>(x_2; y_2)</math>, <math>(x_3; y_3),</math> <math>(x_4; y_4),</math> <math>(x_5; y_5),</math> <math>(x_6; y_6),</math> <math>(x_7; y_7).</math> Dalį koordinačių jau galima užrašyti dabar: <math>(1; y_1),</math> <math>(0,9; y_2),</math> <math>(0,8; y_3),</math> <math>(0,7; y_4),</math> <math>(0,6; y_5),</math> <math>(0,5; y_6)</math>, <math>(0,4; y_7)</math>. Likusią dalį koordinačių gausime pasinaudoję Pitagoro teorema: |
|
|
:<math>y_1=\sqrt{r^2-x_1^2}=\sqrt{1^2-1^2}=0;</math> |
|
|
:<math>y_2=\sqrt{r^2-x_2^2}=\sqrt{1^2-0.9^2}=\sqrt{1-0.81}=\sqrt{0.19}=0.435889894;</math> |
|
|
:<math>y_3=\sqrt{r^2-x_3^2}=\sqrt{1^2-0.8^2}=\sqrt{0.36}=0.6;</math> |
|
|
:<math>y_4=\sqrt{r^2-x_4^2}=\sqrt{1^2-0.7^2}=\sqrt{0.51}=0.714142842;</math> |
|
|
:<math>y_5=\sqrt{r^2-x_5^2}=\sqrt{1^2-0.6^2}=\sqrt{0.64}=0.8;</math> |
|
|
:<math>y_6=\sqrt{r^2-x_6^2}=\sqrt{1^2-0.5^2}=\sqrt{0.75}=0.866025403;</math> |
|
|
:<math>y_7=\sqrt{r^2-x_7^2}=\sqrt{1^2-0.4^2}=\sqrt{0.84}=0.916515139.</math> |
|
|
|
|
|
Dabar žinome visų reikiamų taškų, esančių ant apskritimo lanko, koordinates: |
|
|
<math>(1; 0),</math> <math>(0,9; 0,435889894),</math> <math>(0,8; 0.6),</math> <math>(0,7; 0.714142842),</math> <math>(0,6; 0.8),</math> <math>(0,5; 0.866025403)</math>, <math>(0,4; 0.916515139)</math>. |
|
|
|
|
|
Jeigu kalkuliatorius suranda teisingai <math>\cos k</math> ir <math>\sin k</math> reikšmes, tai sudėję visus tiesių ilgius (šių tiesių ilgiai bus surasti), kuriuos sudaro taškai turėtume gauti kampą ''k'' . |
|
|
|
|
|
Yra žinoma, kad atstumas ''h'' nuo vieno taško <math>(x_1; y_1)</math> iki kito taško <math>(x_2; y_2)</math> yra randamas pagal formulę: |
|
|
:<math>h=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.</math> |
|
|
:Todėl: |
|
|
:<math>k_1=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(1-0.9)^2+(0-\sqrt{0.19})^2}=\sqrt{0.01+0.19}=\sqrt{0.2}=0.447213595;</math> |
|
|
:<math>k_2=\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}=\sqrt{(0.9-0.8)^2+(\sqrt{0.19}-0.6)^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.164110105)^2}=</math> |
|
|
<math>=\sqrt{0.01+0.026932126}=\sqrt{0.036932126}=0.192177331;</math> |
|
|
:<math>k_3=\sqrt{(x_3-x_4)^2+(y_3-y_4)^2}=\sqrt{(0.8-0.7)^2+(0.6-\sqrt{0.51})^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.114142842)^2}=</math> |
|
|
<math>=\sqrt{0.023028588}=0.151751733;</math> |
|
|
:<math>k_4=\sqrt{(x_4-x_5)^2+(y_4-y_5)^2}=\sqrt{(0.7-0.6)^2+(\sqrt{0.51}-0.8)^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.085857157)^2}=</math> |
|
|
<math>=\sqrt{0.017371451}=0.131800802;</math> |
|
|
:<math>k_5=\sqrt{(x_5-x_6)^2+(y_5-y_6)^2}=\sqrt{(0.6-0.5)^2+(0.8-\sqrt{0.75})^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.066025403)^2}=</math> |
|
|
<math>=\sqrt{0.014359353}=0.119830521;</math> |
|
|
:<math>k_6=\sqrt{(x_6-x_7)^2+(y_6-y_7)^2}=\sqrt{(0.5-0.4)^2+(\sqrt{0.75}-\sqrt{0.84})^2}=\sqrt{0.1^2+(-0.050489735)^2}=</math> |
|
|
<math>=\sqrt{0.012549213}=0.112023271.</math> |
|
|
|
|
|
:<math>a_1=(x_1-x_2)=1-0.9=0.1;</math> |
|
|
:<math>a_2=(x_2-x_3)=0.9-0.8=0.1;</math> |
|
|
:<math>a_3=(x_3-x_4)=0.8-0.7=0.1;</math> |
|
|
:<math>a_4=(x_4-x_5)=0.7-0.6=0.1;</math> |
|
|
:<math>a_5=(x_5-x_6)=0.6-0.5=0.1;</math> |
|
|
:<math>a_6=(x_6-x_7)=0.5-0.4=0.1.</math> |
|
|
Matome, kad <math>\cos 1=0.540302305</math>, bet sudėjus 5 dalis gaunama <math>a_1+ a_2+a_3+ a_4+a_5=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1=0.5</math> arba sudėjus 6 dalis gaunama <math>a_1+ a_2+a_3+ a_4+a_5+a_6=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1=0.6</math> (todėl tikslingiau būtų skirstyti po 0,05 tiesę ''a'', kad gautusi 0,55). |
|
|
Su sinusu reikalai yra tokie <math>\sin 1=0.841470984</math>. |
|
|
:<math>b_1=(y_2-y_1)=\sqrt{0.19}-0=0.435889894;</math> |
|
|
:<math>b_2=(y_3-y_2)=0.6-0.435889894=0.164110105;</math> |
|
|
:<math>b_3=(y_4-y_3)=0.714142842-0.6=0.114142842;</math> |
|
|
:<math>b_4=(y_5-y_4)=0,8-0.714142842=0.085857157;</math> |
|
|
:<math>b_5=(y_6-y_5)=0.866025403-0.8=0.066025403;</math> |
|
|
:<math>b_6=(y_7-y_6)=0.916515139-0.866025403=0,050489735.</math> |
|
|
:<math>b_1+ b_2+b_3+ b_4+b_5=0,866025401.</math> |
|
|
:<math>b_1+ b_2+b_3+ b_4+b_5+b_6=0,916515136.</math> |
Kelių svarbių Makloreno eilučių išpletimai išvardinti.
Eksponentinė funkcija:
Natūrinis logaritmas:
Ne begalinės geometrinės eilutės:
Begalinės geometrinės eilutės:
Variantai begalinių geometrinių eilučių:
Šaknis:
Binomo eilutė (įskaitant šaknį alfai α = 1/2 ir begalinės geometrinės eilutės alfai α = −1):
su apibendrintais binominiais koeficientais
Trigonometrinės funkcijos:
- where the Bs are Bernoulli numbers.
Hiperbolinės funkcijos:
Lamberto W funkcija:
Skaičiai Bk esantis sudeties išpletime tan(x) ir tanh(x) yra Bernulio skaičiai. Ek išpletime sec(x) yra Eulerio skaičiai.
Įrodymas per Pitagoro teoremą
Bus per Pitagoro teoremą įrodyta, kad sinuso, kosinuso eilutės ir skaičiuotuvo reikšmės yra teisingos.
Iš pradžiu, paliginsime kalkuliatoriaus reikšme, tam tikram kampui k su Tailoro eilutės rezultatu. Tarkim, kampas k=60 laipsnių arba radianų. Tuomet kalkuliatoriaus reikšmė:
Net po salyginai trumpos eilutės atsakymo tikslumas gavosi =>9 skaičiai po kablelio.
- Kai kampas k=1 radianas, tada .
- Tariam, kad , o . Kampas k šioje užduotyje yra lygus 1 radianui (k=1). Tiesės a reikšmės gali būti nuo 0 iki 1. Tiesės b reikšmės gali būti nuo 0 iki 1.
Dabar toliau labai svarbu apčiupti bet kuriuos taškus ant apskritimo, kurio spindulys r=1, bet, kad tie taškai sujungtų daug trumpų tiesių taip, kad tos sujungtos tiesės labai primintų apskritimo lanko formą ir kad kiekviena tiesė nebūtų ilgesnė 3 kartus už betkurią kitą tiesę, kuri jungia bet kuriuos 2 taškus.
Taigi, pradedame rinkti taškus ant Ox ašies: ; ; ; ; ; ; ; ; koordinatės gali ir neprireikti, nes negali būti labai maža reikšmė. Kiekvieno taško koordinatės ant apskritimo lanko bus užrašytos šitaip: , , Dalį koordinačių jau galima užrašyti dabar: , . Likusią dalį koordinačių gausime pasinaudoję Pitagoro teorema:
Dabar žinome visų reikiamų taškų, esančių ant apskritimo lanko, koordinates:
, .
Jeigu kalkuliatorius suranda teisingai ir reikšmes, tai sudėję visus tiesių ilgius (šių tiesių ilgiai bus surasti), kuriuos sudaro taškai turėtume gauti kampą k .
Yra žinoma, kad atstumas h nuo vieno taško iki kito taško yra randamas pagal formulę:
- Todėl:
Matome, kad , bet sudėjus 5 dalis gaunama arba sudėjus 6 dalis gaunama (todėl tikslingiau būtų skirstyti po 0,05 tiesę a, kad gautusi 0,55).
Su sinusu reikalai yra tokie .