Aptarimas:Matematika/Makloreno eilutės

Bus per Pitagoro teoremą įrodyta, kad sinuso, kosinuso eilutės ir skaičiuotuvo reikšmės yra teisingos.

Iš pradžiu, paliginsime kalkuliatoriaus reikšme, tam tikram kampui k su $\sin k$ Tailoro eilutės rezultatu. Tarkim, kampas k=60 laipsnių arba $k=1,047197551$ radianų. Tuomet kalkuliatoriaus reikšmė:

$\sin k=\sin 1.047197551={{\sqrt {3}} \over 2}=0.866025403.$

$\sin k=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}k^{2n+1}=k-{\frac {k^{3}}{3!}}+{\frac {k^{5}}{5!}}-{\frac {k^{7}}{7!}}+{\frac {k^{9}}{9!}}-...=$

$=1.047197551-{\frac {1.047197551^{3}}{3!}}+{\frac {1.047197551^{5}}{5!}}-{\frac {1.047197551^{7}}{7!}}+{\frac {1.047197551^{9}}{9!}}-{\frac {1.047197551^{11}}{11!}}=$

$=0.866025403.$

Net po salyginai trumpos eilutės atsakymo tikslumas gavosi =>9 skaičiai po kablelio.

$\sin k=\sin {\pi \over 2}=\sin 1.570796327=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}k^{2n+1}=k-{\frac {k^{3}}{3!}}+{\frac {k^{5}}{5!}}-{\frac {k^{7}}{7!}}+{\frac {k^{9}}{9!}}-...=$

$=1.570796327-{\frac {1.570796327^{3}}{6}}+{\frac {1.570796327^{5}}{120}}-{\frac {1.570796327^{7}}{5040}}+{\frac {1.570796327^{9}}{362880}}-{\frac {1.570796327^{11}}{39916800}}=$

$=1.004524856-{\frac {1.570796327^{7}}{5040}}+{\frac {1.570796327^{9}}{362880}}-{\frac {1.570796327^{11}}{39916800}}=$

$=0.999843101+{\frac {1.570796327^{9}}{362880}}-{\frac {1.570796327^{11}}{39916800}}=1.000003543-{\frac {1.570796327^{11}}{39916800}}=0.999999943.$

Kai kampas k=1 radianas, tada $\sin k=\sin 1=0,841470984$.

$\sin k=\sin 1\approx 1-{\frac {1^{3}}{3!}}+{\frac {1^{5}}{5!}}-{\frac {1^{7}}{7!}}=1-{1 \over 6}+{1 \over 120}-{1 \over 5040}=0.841468254.$

$\sin k=\sin 1=1-{\frac {1^{3}}{3!}}+{\frac {1^{5}}{5!}}-{\frac {1^{7}}{7!}}+{\frac {1^{9}}{9!}}=1-{1 \over 6}+{1 \over 120}-{1 \over 5040}+{\frac {1}{362880}}=0.841471009.$

$\sin 1=1-{\frac {1^{3}}{3!}}+{\frac {1^{5}}{5!}}-{\frac {1^{7}}{7!}}+{\frac {1^{9}}{9!}}-{\frac {1^{11}}{11!}}=1-{1 \over 6}+{1 \over 120}-{1 \over 5040}+{\frac {1}{362880}}-{1 \over 39916800}=0.841470984.$

$\cos k=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}k^{2n}=1-{\frac {k^{2}}{2!}}+{\frac {k^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}k\!$

$\cos {\frac {\pi }{2}}=\cos(1.570796327)=1-{\frac {1.570796327^{2}}{2!}}+{\frac {1.570796327^{4}}{4!}}-{\frac {1.570796327^{6}}{6!}}+{\frac {1.570796327^{8}}{8!}}=$

$=1-1.2337005+0.253669507-0.02086348+0.00091926=0.000024787.$

Tariam, kad $\sin k=b$, o $\cos k=1-a$. Kampas k šioje užduotyje yra lygus 1 radianui (k=1). Tiesės a reikšmės gali būti nuo 0 iki 1. Tiesės b reikšmės gali būti nuo 0 iki 1.

Dabar toliau labai svarbu apčiupti bet kuriuos taškus ant apskritimo, kurio spindulys r=1, bet, kad tie taškai sujungtų daug trumpų tiesių taip, kad tos sujungtos tiesės labai primintų apskritimo lanko formą ir kad kiekviena tiesė nebūtų ilgesnė 3 kartus už betkurią kitą tiesę, kuri jungia bet kuriuos 2 taškus. Taigi, pradedame rinkti taškus ant Ox ašies: $x_{1}=1$; $x_{2}=0.9$; $x_{3}=0.8$; $x_{4}=0.7$; $x_{5}=0.6$; $x_{6}=0.5$; $x_{7}=0.4$; $x_{8}=0.3$; koordinatės $x_{9}$ gali ir neprireikti, nes $\cos 1$ negali būti labai maža reikšmė. Kiekvieno taško koordinatės ant apskritimo lanko bus užrašytos šitaip: $(x_{1};y_{1})$, $(x_{2};y_{2})$, $(x_{3};y_{3}),$ $(x_{4};y_{4}),$ $(x_{5};y_{5}),$ $(x_{6};y_{6}),$ $(x_{7};y_{7}).$ Dalį koordinačių jau galima užrašyti dabar: $(1;y_{1}),$ $(0,9;y_{2}),$ $(0,8;y_{3}),$ $(0,7;y_{4}),$ $(0,6;y_{5}),$ $(0,5;y_{6})$, $(0,4;y_{7})$. Likusią dalį koordinačių gausime pasinaudoję Pitagoro teorema:

$y_{1}={\sqrt {r^{2}-x_{1}^{2}}}={\sqrt {1^{2}-1^{2}}}=0;$

$y_{2}={\sqrt {r^{2}-x_{2}^{2}}}={\sqrt {1^{2}-0.9^{2}}}={\sqrt {1-0.81}}={\sqrt {0.19}}=0.435889894;$

$y_{3}={\sqrt {r^{2}-x_{3}^{2}}}={\sqrt {1^{2}-0.8^{2}}}={\sqrt {0.36}}=0.6;$

$y_{4}={\sqrt {r^{2}-x_{4}^{2}}}={\sqrt {1^{2}-0.7^{2}}}={\sqrt {0.51}}=0.714142842;$

$y_{5}={\sqrt {r^{2}-x_{5}^{2}}}={\sqrt {1^{2}-0.6^{2}}}={\sqrt {0.64}}=0.8;$

$y_{6}={\sqrt {r^{2}-x_{6}^{2}}}={\sqrt {1^{2}-0.5^{2}}}={\sqrt {0.75}}=0.866025403;$

$y_{7}={\sqrt {r^{2}-x_{7}^{2}}}={\sqrt {1^{2}-0.4^{2}}}={\sqrt {0.84}}=0.916515139.$

Dabar žinome visų reikiamų taškų, esančių ant apskritimo lanko, koordinates: $(1;0),$ $(0,9;0,435889894),$ $(0,8;0.6),$ $(0,7;0.714142842),$ $(0,6;0.8),$ $(0,5;0.866025403)$, $(0,4;0.916515139)$.

Jeigu kalkuliatorius suranda teisingai $\cos k$ ir $\sin k$ reikšmes, tai sudėję visus tiesių ilgius (šių tiesių ilgiai bus surasti), kuriuos sudaro taškai turėtume gauti kampą k .

Yra žinoma, kad atstumas h nuo vieno taško $(x_{1};y_{1})$ iki kito taško $(x_{2};y_{2})$ yra randamas pagal formulę:

$h={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$

Todėl:

$k_{1}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}={\sqrt {(1-0.9)^{2}+(0-{\sqrt {0.19}})^{2}}}={\sqrt {0.01+0.19}}={\sqrt {0.2}}=0.447213595;$

$k_{2}={\sqrt {(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}}={\sqrt {(0.9-0.8)^{2}+({\sqrt {0.19}}-0.6)^{2}}}={\sqrt {0.1^{2}+(-0.164110105)^{2}}}=$

$={\sqrt {0.01+0.026932126}}={\sqrt {0.036932126}}=0.192177331;$

$k_{3}={\sqrt {(x_{3}-x_{4})^{2}+(y_{3}-y_{4})^{2}}}={\sqrt {(0.8-0.7)^{2}+(0.6-{\sqrt {0.51}})^{2}}}={\sqrt {0.1^{2}+(-0.114142842)^{2}}}=$

$={\sqrt {0.023028588}}=0.151751733;$

$k_{4}={\sqrt {(x_{4}-x_{5})^{2}+(y_{4}-y_{5})^{2}}}={\sqrt {(0.7-0.6)^{2}+({\sqrt {0.51}}-0.8)^{2}}}={\sqrt {0.1^{2}+(-0.085857157)^{2}}}=$

$={\sqrt {0.017371451}}=0.131800802;$

$k_{5}={\sqrt {(x_{5}-x_{6})^{2}+(y_{5}-y_{6})^{2}}}={\sqrt {(0.6-0.5)^{2}+(0.8-{\sqrt {0.75}})^{2}}}={\sqrt {0.1^{2}+(-0.066025403)^{2}}}=$

$={\sqrt {0.014359353}}=0.119830521;$

$k_{6}={\sqrt {(x_{6}-x_{7})^{2}+(y_{6}-y_{7})^{2}}}={\sqrt {(0.5-0.4)^{2}+({\sqrt {0.75}}-{\sqrt {0.84}})^{2}}}={\sqrt {0.1^{2}+(-0.050489735)^{2}}}=$

$={\sqrt {0.012549213}}=0.112023271.$

$a_{1}=(x_{1}-x_{2})=1-0.9=0.1;$

$a_{2}=(x_{2}-x_{3})=0.9-0.8=0.1;$

$a_{3}=(x_{3}-x_{4})=0.8-0.7=0.1;$

$a_{4}=(x_{4}-x_{5})=0.7-0.6=0.1;$

$a_{5}=(x_{5}-x_{6})=0.6-0.5=0.1;$

$a_{6}=(x_{6}-x_{7})=0.5-0.4=0.1.$

Matome, kad $\cos 1=0.540302305$, bet sudėjus 5 dalis gaunama $a=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1=0.5$ arba sudėjus 6 dalis gaunama $a=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1=0.6$ (todėl tikslingiau būtų skirstyti po 0,05 tiesę a, kad gautusi 0,55). Bet $\cos k=1-a$, todėl arba 1-0,5=0.5 arba 1-0.6=0.4. Su sinusu reikalai yra tokie $\sin 1=0.841470984$.

$b_{1}=(y_{2}-y_{1})={\sqrt {0.19}}-0=0.435889894;$

$b_{2}=(y_{3}-y_{2})=0.6-0.435889894=0.164110105;$

$b_{3}=(y_{4}-y_{3})=0.714142842-0.6=0.114142842;$

$b_{4}=(y_{5}-y_{4})=0,8-0.714142842=0.085857157;$

$b_{5}=(y_{6}-y_{5})=0.866025403-0.8=0.066025403;$

$b_{6}=(y_{7}-y_{6})=0.916515139-0.866025403=0,050489735.$

$b=b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}=0,866025401.$

$b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}+b_{6}=0,916515136.$

Matome, kad sudejus tik penkias dalis, gaunami atsakymai artimesni skaičiuotuvu gautai reikšmei nei sudėjus 6 dalis.

$k=k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}+k_{5}=0.447213595+0.192177331+0.151751733+0.131800802+0.119830521=1.042773983.$

$k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}+k_{5}+k_{6}=0.447213595+0.192177331+0.151751733+0.131800802+0.119830521+0.112023271=1.154797254.$

Štai dar kalkuliatoriumi gautos reikšmės palygintos su per Pitagoro teoremą gautomis reikšmėmis:

$a=\cos 1.042773983=0.503826018$ prieš 0,5.

$b=\sin 1.042773983=0.863805153$ prieš 0,866025401.

$a=\cos 1.154797254=0.404103996$ prieš 0,4.

$b=\sin 1.154797254=0.914713047$ prieš 0,916515136.

proof or disprove

that :$\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$. I will calculate area under line y=1/x. I will divide this line into a) 10 parts, b) 20 parts, c) 30 parts.

a) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10)=2.928968254 - this is approximate area under line y=1/x, 0<=x<=10. And $\ln x=\ln 10=2.302585093.$

b) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20)= 2.928968254+0.668771403=3.597739657 - this is approximate area under line y=1/x, 1<=x<=20. And $\ln x=\ln 20=2.995732274.$

c) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30)= 2.928968254+0.668771403+0.397247473=3.994987131 - this is approximate area under line y=1/x, 1<=x<=30. And $\ln x=\ln 30=3.401197382.$ And area of line in interval 1<x<=30 is ln(30)-ln(1.1)=3.401197382-0.095310179=3.305887202.

d) I will calculate area under line y=1/x in interval 10<x<30. This is

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30)= 0.668771403+0.397247473=1.066018877. And in integration way ln(30)-ln(10)=3.401197382-2.302585093=1.098612289; 10<=x<=30. Looks the same, and I think this is proved.

Įrodyti arba paneigti

kad $\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$. Aš suskaičiuosiu plotą po [hiperbolės] y=1/x šaka. Aš suskirstysiu šios šakos projekciją į a) 10 dalių, b) 20 dalių, c) 30 dalių.

a) 1*(1.1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10)=2.928968254 - tai apytikslis plotas po hiperbole y=1/x, kai 1<=x<=10. Kalkuliatoriaus reikšmė yra: $\ln x=\ln 10-ln1=2.302585093-0=2.302585093.$

b) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19)= 3.547739657 - tai apytikslis plotas po hiperbolės y=1/x šaka, kai 1<=x<=20. Kalkuliatoriaus reikšmė yra $\ln x=\ln(20)-ln(1)=2.995732274.$

c) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29)= 3.961653798, tai yra apytikslis plotas po hiperbolės y=1/x šaka, kai 1<=x<=30. Kalkuliatoriaus reikšmė, kai 1<x<=30 yra ln(30)-ln(1.1)=3.401197382-0.095310179=3.305887202 arba tiksliau ln(30)-ln(1.01)=3.401197382-0.00995033=3.391247051. O visiškai tiksliai: ln(30)-ln(1)=3.401197382-0=3.401197382.

d) Aš suskaičiuosiu plotą po parablės y=1/x šaka intervale, kai 10<x<30. Ir gaunu:

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30)= 0.668771403+0.397247473=1.066018877. O integruojant ir pasinaudojant kalkuliatoriumi skaičiuoti naturinį logoritmą gaunu: ln(30)-ln(10)=3.401197382-2.302585093=1.098612289; 10<=x<=30. Atrodo panašiai (tikslumas vienas skaičius po kablelio), manau naturinio algoritmo teisingumas įrodytas.

Įrodymas sudedant iš dalių

Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 2<x<50. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės $y={\frac {1}{x}}$ šaka, kai reikšmė x kinta nuo 2 iki 50. Integruojant atsakymas yra:

$\int _{2}^{50}{\frac {1}{x}}\;dx=\ln(x)|_{2}^{50}=\ln(50)-\ln(2)=3.912023005-0.69314718=3.218875825.$

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 50-2=48 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:

1*(1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+

+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+

+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+

+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+

+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49)=

=1.928968254+0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.200662299=3.479205337.

• Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 10<x<50. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės $y={\frac {1}{x}}$ šaka, kai reikšmė x kinta nuo 10 iki 50. Integruojant atsakymas yra:

$\int _{10}^{50}{\frac {1}{x}}\;dx=\ln(x)|_{10}^{50}=\ln(50)-\ln(10)=3.912023005-2.302585093=1.609437912.$

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 50-10=40 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+

+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+

+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+

+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50)=

=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299=1,570237083.

• Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 10<x<80. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės $y={\frac {1}{x}}$ šaka, kai reikšmė x kinta nuo 10 iki 80. Integruojant atsakymas yra:

$\int _{10}^{80}{\frac {1}{x}}\;dx=\ln(x)|_{10}^{80}=\ln(80)-\ln(10)=4.382026635-2.302585093=2.079441542.$

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 80-10=70 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+

+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+

+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+

+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+

+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+

+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+

+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80)=

=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.132642521=

=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.132642521=2.036511022.

• Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 11<x<80. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės $y={\frac {1}{x}}$ šaka, kai reikšmė x kinta nuo 11 iki 80. Integruojant atsakymas yra:

$\int _{11}^{80}{\frac {1}{x}}\;dx=\ln(x)|_{11}^{80}=\ln(80)-\ln(11)=4.382026635-2.397895273=1.984131362.$

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 80-11=69 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+

+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+

+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+

+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+

+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+

+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+

+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79)=

=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.120142521=

=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.120142521=2.024011022.

• Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 10<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės $y={\frac {1}{x}}$ šaka, kai reikšmė x kinta nuo 10 iki 100. Integruojant atsakymas yra:

$\int _{10}^{100}{\frac {1}{x}}\;dx=\ln(x)|_{10}^{100}=\ln(100)-\ln(10)=4.605170186-2.302585093=2.302585093.$

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-10=90 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+

+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+

+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+

+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+

+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+

+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+

+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+

+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+

+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99+1/100)=

=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.104806914=

=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.104806914=

=2.036511022+0.117091323+0.104806914=2.25840926.

• Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 11<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės $y={\frac {1}{x}}$ šaka, kai reikšmė x kinta nuo 11 iki 100. Integruojant atsakymas yra:

$\int _{11}^{100}{\frac {1}{x}}\;dx=\ln(x)|_{11}^{100}=\ln(100)-\ln(11)=4.605170186-2.397895273=2.207274913.$

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-11=89 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+

+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+

+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+

+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+

+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+

+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+

+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+

+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+

+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99)=

=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=

=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=

=2.036511022+0.117091323+0.094806914=2.24840926.

• Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 50<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės $y={\frac {1}{x}}$ šaka, kai reikšmė x kinta nuo 50 iki 100. Integruojant atsakymas yra:

$\int _{50}^{100}{\frac {1}{x}}\;dx=\ln(x)|_{50}^{100}=\ln(100)-\ln(50)=4.605170186-3.912023005=0.69314718.$

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-50=50 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:

1*(1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+

+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+

+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+

+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+

+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99+1/100)=

=0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.104806914=0.688172176.

• Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 51<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės $y={\frac {1}{x}}$ šaka, kai reikšmė x kinta nuo 51 iki 100. Integruojant atsakymas yra:

$\int _{51}^{100}{\frac {1}{x}}\;dx=\ln(x)|_{51}^{100}=\ln(100)-\ln(51)=4.605170186-3.931825633=0.673344553.$

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-51=49 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:

1*(1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+

+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+

+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+

+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+

+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99)=

=0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=0.678172176.

x/(1-x) ir jai lygios begalinės sumos įrodymas kompiuteriu

${\frac {x}{1-x}}\geq \sum _{n=1}^{k}x^{n}=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...+x^{k},\quad 0\leq x<1,\;\;k=\{1,\;2,\;3,\;...\},\;\;k\leq \infty .$

${\frac {|x|}{1-|x|}}=\sum _{n=1}^{\infty }x^{n},\quad -1<x<1.$

${\frac {0.9}{1-0.9}}=9.$

Toks Free Pascal (Compiler Version 2.6.0) kodas:

var a:longint; c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000 do
// c:=c+exp(a*ln(0.9));   //0.9^a, executes after 2 minutes only this line
c:=c+exp(-0.1053605156578263012275*a);  //0.9^a, executes after 119 s on 2.6 GHz CPU
// c:=c+ln(0.9*a);  //if to turn on this line (and to turn off exp() line) it executes after 53 s on 2.6 GHz CPU
writeln(c);
Readln;
End.

duoda rezultatą "8.99999999999999E+000" po 119 sekundžių su 2600 MHz CPU ir DDR2-800 (400 MHz) RAM.