Aptarimas:Matematika/Makloreno eilutės

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Bus per Pitagoro teoremą įrodyta, kad sinuso, kosinuso eilutės ir skaičiuotuvo reikšmės yra teisingos.

Iš pradžiu, paliginsime kalkuliatoriaus reikšme, tam tikram kampui k su Tailoro eilutės rezultatu. Tarkim, kampas k=60 laipsnių arba radianų. Tuomet kalkuliatoriaus reikšmė:

Net po salyginai trumpos eilutės atsakymo tikslumas gavosi =>9 skaičiai po kablelio.

Kai kampas k=1 radianas, tada .

Tariam, kad , o . Kampas k šioje užduotyje yra lygus 1 radianui (k=1). Tiesės a reikšmės gali būti nuo 0 iki 1. Tiesės b reikšmės gali būti nuo 0 iki 1.

Dabar toliau labai svarbu apčiupti bet kuriuos taškus ant apskritimo, kurio spindulys r=1, bet, kad tie taškai sujungtų daug trumpų tiesių taip, kad tos sujungtos tiesės labai primintų apskritimo lanko formą ir kad kiekviena tiesė nebūtų ilgesnė 3 kartus už betkurią kitą tiesę, kuri jungia bet kuriuos 2 taškus. Taigi, pradedame rinkti taškus ant Ox ašies: ; ; ; ; ; ; ; ; koordinatės gali ir neprireikti, nes negali būti labai maža reikšmė. Kiekvieno taško koordinatės ant apskritimo lanko bus užrašytos šitaip: , , Dalį koordinačių jau galima užrašyti dabar: , . Likusią dalį koordinačių gausime pasinaudoję Pitagoro teorema:

Dabar žinome visų reikiamų taškų, esančių ant apskritimo lanko, koordinates: , .

Jeigu kalkuliatorius suranda teisingai ir reikšmes, tai sudėję visus tiesių ilgius (šių tiesių ilgiai bus surasti), kuriuos sudaro taškai turėtume gauti kampą k .

Yra žinoma, kad atstumas h nuo vieno taško iki kito taško yra randamas pagal formulę:

Todėl:

Matome, kad , bet sudėjus 5 dalis gaunama arba sudėjus 6 dalis gaunama (todėl tikslingiau būtų skirstyti po 0,05 tiesę a, kad gautusi 0,55). Bet , todėl arba 1-0,5=0.5 arba 1-0.6=0.4. Su sinusu reikalai yra tokie .

Matome, kad sudejus tik penkias dalis, gaunami atsakymai artimesni skaičiuotuvu gautai reikšmei nei sudėjus 6 dalis.

Štai dar kalkuliatoriumi gautos reikšmės palygintos su per Pitagoro teoremą gautomis reikšmėmis:
prieš 0,5.
prieš 0,866025401.
prieš 0,4.
prieš 0,916515136.

proof or disprove[keisti]

that :. I will calculate area under line y=1/x. I will divide this line into a) 10 parts, b) 20 parts, c) 30 parts.

a) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10)=2.928968254 - this is approximate area under line y=1/x, 0<=x<=10. And
b) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20)= 2.928968254+0.668771403=3.597739657 - this is approximate area under line y=1/x, 1<=x<=20. And
c) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30)= 2.928968254+0.668771403+0.397247473=3.994987131 - this is approximate area under line y=1/x, 1<=x<=30. And And area of line in interval 1<x<=30 is ln(30)-ln(1.1)=3.401197382-0.095310179=3.305887202.
d) I will calculate area under line y=1/x in interval 10<x<30. This is

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30)= 0.668771403+0.397247473=1.066018877. And in integration way ln(30)-ln(10)=3.401197382-2.302585093=1.098612289; 10<=x<=30. Looks the same, and I think this is proved.

Įrodyti arba paneigti[keisti]

kad . Aš suskaičiuosiu plotą po [hiperbolės] y=1/x šaka. Aš suskirstysiu šios šakos projekciją į a) 10 dalių, b) 20 dalių, c) 30 dalių.

a) 1*(1.1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10)=2.928968254 - tai apytikslis plotas po hiperbole y=1/x, kai 1<=x<=10. Kalkuliatoriaus reikšmė yra:
b) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19)= 3.547739657 - tai apytikslis plotas po hiperbolės y=1/x šaka, kai 1<=x<=20. Kalkuliatoriaus reikšmė yra
c) 1*(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29)= 3.961653798, tai yra apytikslis plotas po hiperbolės y=1/x šaka, kai 1<=x<=30. Kalkuliatoriaus reikšmė, kai 1<x<=30 yra ln(30)-ln(1.1)=3.401197382-0.095310179=3.305887202 arba tiksliau ln(30)-ln(1.01)=3.401197382-0.00995033=3.391247051. O visiškai tiksliai: ln(30)-ln(1)=3.401197382-0=3.401197382.
d) Aš suskaičiuosiu plotą po parablės y=1/x šaka intervale, kai 10<x<30. Ir gaunu:

1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+ 1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30)= 0.668771403+0.397247473=1.066018877. O integruojant ir pasinaudojant kalkuliatoriumi skaičiuoti naturinį logoritmą gaunu: ln(30)-ln(10)=3.401197382-2.302585093=1.098612289; 10<=x<=30. Atrodo panašiai (tikslumas vienas skaičius po kablelio), manau naturinio algoritmo teisingumas įrodytas.

Įrodymas sudedant iš dalių[keisti]

Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 2<x<50. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 2 iki 50. Integruojant atsakymas yra:

O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 50-2=48 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+
+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49)=
=1.928968254+0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.200662299=3.479205337.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 10<x<50. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 10 iki 50. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 50-10=40 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299=1,570237083.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 10<x<80. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 10 iki 80. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 80-10=70 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+
+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.132642521=
=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.132642521=2.036511022.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 11<x<80. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 11 iki 80. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 80-11=69 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+
+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.120142521=
=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.120142521=2.024011022.


  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 10<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 10 iki 100. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-10=90 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+
+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+
+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+
+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99+1/100)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.104806914=
=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.104806914=
=2.036511022+0.117091323+0.104806914=2.25840926.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 11<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 11 iki 100. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-11=89 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/19+1/20+
+1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+1/26+1/27+1/28+1/29+1/30+
+1/31+1/32+1/33+1/34+1/35+1/36+1/37+1/38+1/39+1/40+
+1/41+1/42+1/43+1/44+1/45+1/46+1/47+1/48+1/49+1/50+
+1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+
+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+
+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99)=
=0.668771403+0.397247473+0.283555908+0.220662299+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=
=1,570237083+0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=
=2.036511022+0.117091323+0.094806914=2.24840926.


  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 50<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 50 iki 100. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-50=50 dalių, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+
+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+
+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99+1/100)=
=0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.104806914=0.688172176.
  • Įrodysime natūrinį logoritmą sudedant iš dalių, kai 51<x<100. Reikia apskaičiuoti plotą po hiperbolės šaka, kai reikšmė x kinta nuo 51 iki 100. Integruojant atsakymas yra:
O dabar padalinsime hiperbolės šakos projekciją į 100-51=49 dalis, kai kiekvienos dalies ilgis yra 1. Pradedame skaičiuoti:
1*(1/51+1/52+1/53+1/54+1/55+1/56+1/57+1/58+1/59+1/60+
+1/61+1/62+1/63+1/64+1/65+1/66+1/67+1/68+1/69+1/70+
+1/71+1/72+1/73+1/74+1/75+1/76+1/77+1/78+1/79+1/80+
+1/81+1/82+1/83+1/84+1/85+1/86+1/87+1/88+1/89+1/90+
+1/91+1/92+1/93+1/94+1/95+1/96+1/97+1/98+1/99)=
=0.180665074+0.152966344+0.132642521+0.117091323+0.094806914=0.678172176.

x/(1-x) ir jai lygios begalinės sumos įrodymas kompiuteriu[keisti]

Toks Free Pascal (Compiler Version 2.6.0) kodas:
var a:longint; c:real;
begin
for a:=1 to 1000000000 do
// c:=c+exp(a*ln(0.9));   //0.9^a, executes after 2 minutes only this line
c:=c+exp(-0.1053605156578263012275*a);  //0.9^a, executes after 119 s on 2.6 GHz CPU
// c:=c+ln(0.9*a);  //if to turn on this line (and to turn off exp() line) it executes after 53 s on 2.6 GHz CPU
writeln(c);
Readln;
End.
duoda rezultatą "8.99999999999999E+000" po 119 sekundžių su 2600 MHz CPU ir DDR2-800 (400 MHz) RAM.