Matematika/Makloreno eilutės

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Kelių svarbių Makloreno eilučių išpletimai išvardinti.

Eksponentinė funkcija:

Natūrinis logaritmas:

  • Pavyzdžiui, kai x=0.1:

  • Pavyzdžiui, kai x=50:
Tuo tarpu skaičiuotuvo reikšmė yra


Ne begalinės geometrinės eilutės:

Begalinės geometrinės eilutės:

Variantai begalinių geometrinių eilučių:

Šaknis:

Binomo eilutė (įskaitant šaknį alfai α = 1/2 ir begalinės geometrinės eilutės alfai α = −1):

su apibendrintais binominiais koeficientais

Trigonometrinės funkcijos:

where the Bs are Bernoulli numbers.

Hiperbolinės funkcijos:

Lamberto W funkcija:

Skaičiai Bk esantis sudeties išpletime tan(x) ir tanh(x) yra Bernulio skaičiai. Ek išpletime sec(x) yra Eulerio skaičiai.

Įrodymas per Pitagoro teoremą[keisti]

Bus per Pitagoro teoremą įrodyta, kad sinuso, kosinuso eilutės ir skaičiuotuvo reikšmės yra teisingos.

Iš pradžiu, paliginsime kalkuliatoriaus reikšme, tam tikram kampui k su Tailoro eilutės rezultatu. Tarkim, kampas k=60 laipsnių arba radianų. Tuomet kalkuliatoriaus reikšmė:

Net po salyginai trumpos eilutės atsakymo tikslumas gavosi =>9 skaičiai po kablelio.

Kai kampas k=1 radianas, tada .

Kalkuliatoriaus reikšmė: .

Tariam, kad , o . Kampas k šioje užduotyje yra lygus 1 radianui (k=1). Tiesės a reikšmės gali būti nuo 0 iki 1. Tiesės b reikšmės gali būti nuo 0 iki 1.

Dabar toliau labai svarbu apčiupti bet kuriuos taškus ant apskritimo, kurio spindulys r=1, bet, kad tie taškai sujungtų daug trumpų tiesių taip, kad tos sujungtos tiesės labai primintų apskritimo lanko formą ir kad kiekviena tiesė nebūtų ilgesnė 3 kartus už betkurią kitą tiesę, kuri jungia bet kuriuos 2 taškus. Taigi, pradedame rinkti taškus ant Ox ašies: ; ; ; ; ; ; ; ; koordinatės gali ir neprireikti, nes negali būti labai maža reikšmė. Kiekvieno taško koordinatės ant apskritimo lanko bus užrašytos šitaip: , , Dalį koordinačių jau galima užrašyti dabar: , . Likusią dalį koordinačių gausime pasinaudoję Pitagoro teorema:

Dabar žinome visų reikiamų taškų, esančių ant apskritimo lanko, koordinates: , .

Jeigu kalkuliatorius suranda teisingai ir reikšmes, tai sudėję visus tiesių ilgius (šių tiesių ilgiai bus surasti), kuriuos sudaro taškai turėtume gauti kampą k .

Yra žinoma, kad atstumas h nuo vieno taško iki kito taško yra randamas pagal formulę:

Todėl:

Matome, kad , bet sudėjus 5 dalis gaunama arba sudėjus 6 dalis gaunama (todėl tikslingiau būtų skirstyti po 0,05 tiesę a, kad gautusi 0,55). Bet , todėl arba 1-0,5=0.5 arba 1-0.6=0.4. Su sinusu reikalai yra tokie .

Matome, kad sudejus tik penkias dalis, gaunami atsakymai artimesni skaičiuotuvu gautai reikšmei nei sudėjus 6 dalis.

Štai dar kalkuliatoriumi gautos reikšmės palygintos su per Pitagoro teoremą gautomis reikšmėmis:
prieš 0,5.
prieš 0,866025401.
prieš 0,4.
prieš 0,916515136.

Nuorodos[keisti]