Matematika/Trapecijos

Trapecija yra plokščia figūra, kuri turi keturias kraštines ir keturis kampus. Trapecijos dvi kraštinės (du pagrindai) yra lygiagrečios.

Trapecijos plotas

Trapecijos ABCD, kurios du kampai prie pagrindo d=AD yra statūs, a=AB>CD=c, plotas yra:

S={\frac {1}{2}}\cdot (AB-CD)\cdot AD+CD\cdot AD={\frac {1}{2}}\cdot (a-c)\cdot d+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}-{\frac {c\cdot d}{2}}+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}+{\frac {c\cdot d}{2}}={\frac {d}{2}}(a+c).

Tuo atveju, jei $a$ ir $b$ — pagrindai ir $h$ yra aukštis, trapecijos ploto formulė yra:

S={\frac {(a+b)h}{2}}.

Tuo atveju, jei m yra vidurinė linija ir $h$ yra aukštinė, tuomet:

S=mh.

Formulė, kur $a$ , $b$ - pagrindai, $c$ ir d yra trapecijos šonai:

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {d^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}.

Ir b>a, c>d.

Tarkime, duota trapecija ABCD su pagrindais BC=a ir AD=b bei su kraštinėmis AB=c ir CD=d, kai AD>BC ir AB>CD. Tada iš taško B nuleista aukštinė h=BE į trapecijos ABCD pagrindą AD atkerta atkarpą AE, kurios ilgis yra:

AE={\frac {(AD-BC)^{2}+AB^{2}-CD^{2}}{2(AD-BC)}}={\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}.

Iš trapecijos ABCD taško C nuleista aukštinė h=CF, susikerta su pagrindu AD taške F. Atkarpos DF ilgis yra:

DF=AD-BC-{\frac {(AD-BC)^{2}+AB^{2}-CD^{2}}{2(AD-BC)}}=b-a-{\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}={\frac {2(b-a)^{2}-(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}=

={\frac {(b-a)^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(b-a)}}.

Pavyzdis. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra a=7, b=13, c=d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpos, kurią nukerta aukšinė ilgis yra x=3. Tada trapecijos plotas yra

S=a\cdot h+x\cdot h=h(a+x)=4(7+3)=40

arba

S={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {4(7+13)}{2}}=40.

Tą patį plotą gausime ir pagal formulę:

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {7+13}{2}}{\sqrt {5^{2}-\left({\frac {(13-7)^{2}+5^{2}-5^{2}}{2(13-7)}}\right)^{2}}}=

=10{\sqrt {25-\left({\frac {6^{2}}{2\cdot 6}}\right)^{2}}}=10{\sqrt {25-\left({\frac {36}{12}}\right)^{2}}}=10{\sqrt {25-3^{2}}}=10{\sqrt {(25-9)^{2}}}=10\cdot {\sqrt {16}}=40.

Pavyzdis. Trapecijos pagrindai yra a=7, b=16.92820323, c=8, d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpų, kurias nukerta aukšinė ilgiai yra

x={\sqrt {c^{2}-h^{2}}}={\sqrt {8^{2}-4^{2}}}={\sqrt {64-16}}={\sqrt {48}}=6.92820323;

y=3. Tada trapecijos plotas yra

S={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {4(7+16.92820323)}{2}}=47.85640646.

Tą patį plotą gausime ir pagal formulę:

S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}={\frac {7+16.92820323}{2}}{\sqrt {8^{2}-\left({\frac {(16.92820323-7)^{2}+8^{2}-5^{2}}{2(16.92820323-7)}}\right)^{2}}}=

=11.96410162{\sqrt {64-\left({\frac {98.56921938+39}{19.85640646}}\right)^{2}}}=11.96410162{\sqrt {64-6.92820323^{2}}}=11.96410162{\sqrt {64-48}}=

=11.96410162{\sqrt {16}}=47.85640646.

Plotas lygiabriaunės trapecijos su spinduliu įbrėžto apskritimo lygiu $r$ ir kampu prie pagrindo $\alpha$ yra:

S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}=c\cdot h=c\cdot 2r,

čia, a ir b yra lygiabriaunės trapecijos pagrindai;

h=2r

yra aukštis tarp pagrindų a ir b; c ir d yra trapecijos kraštinės ir

c=d={\frac {2r}{\sin \alpha }}.

Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

S={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {a+b}{b-a}}\ {\sqrt {-a+b+c+d}}\ {\sqrt {-a+b-c+d}}\ {\sqrt {-a+b+c-d}}\ {\sqrt {a-b+c+d}},

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai, b>a.

S={\frac {(a+b)}{b-a}}{\sqrt {(p-b)(p-a)(p-a-c)(p-a-d)}},

kur

p={\frac {a+b+c+d}{2}},

b>a.

h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c-d)(-a+b-c+d)}}{2(b-a)}},

b>a.

Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo, esančio priešais nelygiagrečią kraštinę, tarp jų pusei:

S={\frac {1}{2}}\;

d_{1}d_{2}\;

\sin \phi .

Trapecijos ploto įrodymas

Bet kokios trapecijos, kurios pagrindai yra a ir b ir a>b, o aukštinė yra h plotas apskaičiuojamas šitaip.

Pirmiausia nuleidžiame iš trapecijos dviejų bukų kampų dvi aukštines h (į pagrindą a). Šios dvi aukštinės trapeciją padalina į du stačiuosius trikampius ir vieną stačiakampį. Tų dviejų trikampių plotų suma lygi

S_{\Delta }={\frac {1}{2}}(a-b)h.

To stačiakampio esančio trapecijoje plotas yra

S_{1}=bh.

Taigi, visos trapecijos plotas lygus

S=S_{\Delta }+S_{1}={\frac {1}{2}}(a-b)h+bh={\frac {1}{2}}ah-{\frac {1}{2}}bh+bh={\frac {1}{2}}ah+{\frac {1}{2}}bh={\frac {(a+b)h}{2}}.

Papildomas paaiškinimas apie dviejų trikampių plotų sumos radimą.

Du trikampiai, kurie gaunami nuleidus dvi aukštines iš trapecijos bukų kampų į trapecijos pagrindą a, yra statūs ir turi vienodą vieną statinį, kurio ilgis yra h (trapecijos aukštinė). Kiti šių trikampių statiniai yra