Aptarimas:Matematika/Trapecijos

Trapecijos formulės išvedimas, kai žinomos visos kraštinės

Trapecijos pagrindai yra a ir b, b>a. O trapecijos šoninės kraštinės yra c ir d, c>d. Trapecijos aušinė yra h. Atkarpos, kurios yra prie smailiųjų trapecijos kampų ir kurios nuo pagrindo b atkirstos aukštine h, pažymėkime x ir y; x>y, nes c>d. Randame:

$x={\sqrt {c^{2}-h^{2}}};$

$y={\sqrt {d^{2}-h^{2}}}.$

Randame trapecijos aukštinę:

${\frac {c}{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}={\frac {d}{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}};$

$c{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}=d{\sqrt {c^{2}-h^{2}}};$

$c^{2}(d^{2}-h^{2})=d^{2}(c^{2}-h^{2});$

$c^{2}d^{2}-c^{2}h^{2}=d^{2}c^{2}-d^{2}h^{2};$

$c^{2}d^{2}-c^{2}h^{2}=d^{2}c^{2}-d^{2}h^{2};$

$c^{2}d^{2}-d^{2}c^{2}=c^{2}h^{2}-d^{2}h^{2};$

$0=(c^{2}-d^{2})h^{2};$

Randame trapecijos aukštinę:

$h^{2}=c^{2}-x^{2};$

$h^{2}=c^{2}-({\sqrt {c^{2}-h^{2}}})^{2};$

$h^{2}=c^{2}-(c^{2}-h^{2});$

Tuomet trapecijos plotas yra:

$S=a(b-x-y)h+{\frac {1}{2}}hx+{\frac {1}{2}}hy=a(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}})h+{\frac {1}{2}}h{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}+{\frac {1}{2}}h{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}=$