Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.
Naudosime tokį žymėjimą: x, x1, x2 ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.
Pagrindinė algebros teorema
[keisti]
-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).
Bendra forma:
Sprendinys:
Bendra forma:
Sprendimas:
Vijeto formulės kvadratiniam polinomui
ir jo šaknims
kvadratinėje lygtyje
yra
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bed0baa18d2bcb4fa7572816dcbeed3863097f)
/lm;
Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį
![{\displaystyle x^{2}-x-6=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5281ce5e1c4127942561a79f14f5fc2c2f66d61a)
ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą
![{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {-1}{1}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-6}{1}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd4a623df08d8dc1dbfbacdceba6785d8cf9e44)
Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x1 ir x2 bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x1 ir x2, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.
Vijeto formulės kubiniam polinomui
ir jo šaknims
lygtyje
yra
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18289a51a72c0e7678b1eb2bd355b7dd1a14ac2)
Pilnoji kvadratinė lygtis
[keisti]
Bendra forma:
Sprendimas:
randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:
Tada jei
, tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:
- Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.
![{\displaystyle 3x^{2}+8x+4=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a090e76aac42f9d38d3d1f794b42bbcfb91fe5c)
![{\displaystyle D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e0ff73a9c619aae4c6f4d284cb07567110cebf)
![{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-8\pm {\sqrt {16}}}{2\cdot 3}}={\frac {-8\pm 4}{6}}=-{\frac {2}{3}};\;-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71d8ce0808edc6cfa1b598512c35a3d05a27146)
- Patikriname:
![{\displaystyle 3\cdot (-{\frac {2}{3}})^{2}+8\cdot (-{\frac {2}{3}})+4=3\cdot {\frac {4}{9}}-{\frac {16}{3}}+4={\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3}}+4={\frac {4-16}{3}}+4={\frac {-12}{3}}+4=-4+4=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714f9d235fb346ca225bdbd4fed595b29e70b6ac)
![{\displaystyle 3\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+4=3\cdot 4-16+4=12-16+4=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b829fbc188f88d94d138463417478bd6d0e73c04)
![{\displaystyle c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ee918699d0cb4b8c633cc1f520a8a7a174f44a)
[keisti]
Bendra forma:
Sprendimas:
iškeliame x prieš skliaustus:
Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad
Kvadratinė lygtis, kurios ![{\displaystyle a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)
[keisti]
Duota kvadratinė lygtis:
![{\displaystyle x^{2}+bx+c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553992b06d1e563354e3a1092dd968dcd9231343)
kurią perrašome taip:
![{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7162b03186f25a18d9768ea1e147ba680d9a9a7c)
- Čia
![{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}=x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e214e6c10580f1d57d52d12679e68eb8f0ecf)
- Todėl:
![{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}=-\left(c-{\frac {b^{2}}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b379660a4bbec6b25d34a471f8dfc2bcd27362)
![{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a7c95a34cf1e2e6983c8f034a0dcd52524d50d)
![{\displaystyle x+{\frac {b}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddad67a71b435f950cba87580893f11514fbc6f7)
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff15c09960226e5b1c194275095b4e4648575dff)
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot (b^{2}-4c)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1906458eaadb49ea78f7dfa71855b944b52841)
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {b^{2}-4c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6527dbc329d4be80f3b66ed1cb539b148d9fd9c1)
![{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2837c33dea9444ba18a0e6513db3ce96fc8b2042)
![{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}};\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08b7f415269b8c02ebb4d4d7594936431dea867)
Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks
[keisti]
Duota kvadratinė lygtis:
![{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c2ce44ca552049d96088988f5d83f6763c059a)
![{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {c}{a}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7746b669421aab538227b75bdc4ec86d3b52e2f)
kurią perrašome taip:
![{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2\cdot a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4\cdot a^{2}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f03f3a23be60a0cc850457789b466218beddc01)
- Čia
![{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2\cdot a}}\right)^{2}=x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4\cdot a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da2a807d263f8125cdcb9dcfa9f9cc087ee7b1a)
- Todėl:
![{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8d0f467851b67db9bb9ade090250100a4e154c)
![{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b47d246c1057ea3a6d779fc85ef135a5e99edf)
![{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35badb180eebe002d8f82dc55670fd099131c6db)
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903cedd22650f1787188fa5826b03cabe3111877)
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4a^{2}}}\cdot (b^{2}-4ac)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c5e5d25d42ca20a2acbc7d768841bd814e460a)
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {1}{2a}}\cdot {\sqrt {b^{2}-4ac}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818bfa6ff6b547b0d992fe1d63eca46d97a09a13)
![{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9804ca8ce019507e3199ca8fced800fb5b7d7c)
![{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e794e438735523911e435089ef65c873808e9654)
Bendra forma:
Sprendimas:
pažymime
, tada
.
,
o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra
ir
.
Grįžtame prie pažymėjimo:
,
o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius
.
Kubinė lygtis, kurios ![{\displaystyle d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87f7389ad2498c0f93551ec4fc92a882548484f)
[keisti]
Bendra forma:
Sprendimas:
iškeliame x prieš skliaustus:
Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad
Išsprendę kvadratinę lygtį, būsime radę visus tris lygties sprendinius
.
Bendra forma:
Sprendimas:
Lygtį padalijame iš a ir keitiniu
,
pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą
.
Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:
Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:
1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.
2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.
3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.
Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis
Kai D > 0, ši šaknis vienintelė
Kai D ≤ 0, tai lygtį
padaliję iš reiškinio
, gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.