Matematika/Paprasčiausios algebrinės lygtys

Iš Wikibooks.
Peršokti į: navigacija, paiešką

Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.

Naudosime tokį žymėjimą: x, x1, x2 ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.

Pagrindinė algebros teorema[keisti]

-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).

Tiesinė lygtis[keisti]

Bendra forma:

Sprendinys:


Bendra forma:

Sprendimas:

Vijeto teorema[keisti]

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui ir jo šaknims kvadratinėje lygtyje yra

/lm; Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x1 ir x2 bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x1 ir x2, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui ir jo šaknims lygtyje yra

Pilnoji kvadratinė lygtis[keisti]

Bendra forma:

Sprendimas:

randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:

Tada jei , tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

  • Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.
Patikriname:

[keisti]

Bendra forma:

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

Kvadratinė lygtis, kurios [keisti]

Duota kvadratinė lygtis:

kurią perrašome taip:

Čia
Todėl:

Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks[keisti]

Duota kvadratinė lygtis:

kurią perrašome taip:

Čia
Todėl:

Bikvadratinė lygtis[keisti]

Bendra forma:

Sprendimas:

pažymime , tada .

,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra ir .

Grįžtame prie pažymėjimo:

,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius .

Kubinė lygtis, kurios [keisti]

Bendra forma:

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

Išsprendę kvadratinę lygtį, būsime radę visus tris lygties sprendinius .

Pilnoji kubinė lygtis[keisti]

Bendra forma:

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu , pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

.

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:

1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį padaliję iš reiškinio , gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.