Matematika/Normalioji diferencialinių lygčių sistema

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search
Tarkime, kad - kintamojo x funkcijos.
Apibrėžimas. Sistemą, kurią sudaro diferencialinės lygtys, siejančios kintamąjį x, funkcijas bei jų išvestines, vadinama diferencialinių lygčių sistema.
Toliau nagrinėsime tam tikros išraiškos sistemą
kuri vadinama normaliąja diferencialinių lygčių sistema; čia - (n-1) kartą diferencijuojamos funkcijos (). Jos sprendiniu tam tikrame intervale vadinsime visumą tame intervale apibrėžtų ir tolydžiai diferencijuojamų funkcijų tenkinančių tos sistemos lygtis.
(62) sistemą sprendžaime taip. Pirmąją jos lygtį (galima imti ir kurią nors kitą) išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:
Į (63) lygtį įrašę išvestinių išraiškas, nusakomas (62) lygtimis, gauname lygtį, kurios dešinioji pusė priklauso nuo
Šią lygtį dar kartą diferencijuojame x atžvilgiu ir vietoj išvestinių vėl įrašome jų išraiškas iš (62) sistemos. Gauname lygtį
Pratęsę šį procesą, pagaliau turime lygtį
Taigi gauname sistemą
Iš jos, eliminavę funkcijas gauname lygtį, siejančią taigi gauname n-tosios eilės diferencialinę lygtį.
Išsprendę ją, randame
Žinodami funkcijas randame iš (64) sistemos.


Pavyzdžiai[keisti]

  • Rasime sistemos
atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas
Sprendimas. Pirmąją sistemos lygtį išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:
Į šią lygtį įrašome ir išraiškas iš duotosios sistemos:
Sudarome sistemą
ir iš jos eliminuojame funkciją z. Galima daryti taip: pirmąją sistemos lygtį padauginti iš ir sudėti su antrąja sistemos lygtimi. Tuomte gausime lygtį
Ji ir yra antrosios eilės tiesinė nehomogeninė diferencialinė lygtis. Kadangi jos charakteringoji lygtis turi šaknis tai homoheninės lygties () bendrasis sprendinys
Toliau parenkame atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį
Suradę ir bei jų išraiškas į (65) lygtį, gauname:
Iš čia
Reikšmes M ir N surasime išsprendę lygčių sistemą:
Antrąją sistemos lygtį padauginę iš ir pridėję prie pirmosios, gauname:
Toliau įstatę surastą N į kurią nors vieną iš lygčių (-6M-4N=0 arba 4M-6N=3) rasime M:
Taigi
Iš pirmosios sistemos lygties turime
Kadangi
tai
Gavome tokį sistemos sprendinį
(
).
Norėdami rasti konstantų ir reikšmes, tenkinančias duotas pradines sąlygas, į bendrąjį sprendinį įrašome ir Gauname sistemą
Sudeties budu išsprendžiame sistemą:
Iš čia Taigi atskirasis sistemos sprendinys yra toks:
Normaliosios diferencialinių lygčių sistemos sudaro vieną sistemų klasę. Tačiau yra įvairių sistemų, kurių išraiška neatitinka (62) sistemos lygčių išraiškos. Kai kurias jų galima išspręsti įvairiais dirbtiniais būdais.


  • Išspręskime sistemą
Sprendimas. Pirmąją lygtį išdiferencijavę du kartus paeiliui x atžvilgiu, gauname lygtį
Tačiau todėl turime lygtį
arba
(Parinkus gauname:
)
Charakteringąją jos lygtį galima pertvarkyti taip:
Iš čia randame jos šaknis
Vadinasi, bendrasis lygties sprendinys yra
Funkciją z rasime išdiferencijavę gautąją y išraišką keturis kartus. Tai padaryti siūlome skaitytojui.