Matematika/Normalioji diferencialinių lygčių sistema

Tarkime, kad $y_{1}=y_{1}(x),\;y_{2}=y_{2}(x),\;y_{3}=y_{3}(x),\;...,\;y_{n}=y_{n}(x)$ - kintamojo x funkcijos.

Apibrėžimas. Sistemą, kurią sudaro diferencialinės lygtys, siejančios kintamąjį x, funkcijas $y_{1},\;y_{2},\;y_{3},\;...,\;y_{n}$ bei jų išvestines, vadinama diferencialinių lygčių sistema.

Toliau nagrinėsime tam tikros išraiškos sistemą

${\begin{cases}{\frac {dy_{1}}{dx}}=f_{1}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}),&\\{\frac {dy_{2}}{dx}}=f_{2}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}),&\\.....................................,\quad (62)&\\{\frac {dy_{n}}{dx}}=f_{n}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}),&\end{cases}}$

kuri vadinama normaliąja diferencialinių lygčių sistema; čia $f_{i}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n})$ - (n-1) kartą diferencijuojamos funkcijos ($1\leq i\leq n$). Jos sprendiniu tam tikrame intervale vadinsime visumą tame intervale apibrėžtų ir tolydžiai diferencijuojamų funkcijų $y_{1}=\psi _{1}(x),\;y_{2}=\psi _{2}(x),\;...,\;y_{n}=\psi _{n}(x),\;$ tenkinančių tos sistemos lygtis.

(62) sistemą sprendžaime taip. Pirmąją jos lygtį (galima imti ir kurią nors kitą) išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:

${\frac {d^{2}y_{1}}{dx^{2}}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial f_{1}}{dy_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dx}}+{\frac {\partial f_{1}}{dy_{2}}}{\frac {dy_{2}}{dx}}+{\frac {\partial f_{1}}{dy_{3}}}{\frac {dy_{3}}{dx}}+...+{\frac {\partial f_{1}}{dy_{n}}}{\frac {dy_{n}}{dx}}.\quad (63)$

Į (63) lygtį įrašę išvestinių ${\frac {dy_{1}}{dx}},...,{\frac {dy_{n}}{dx}}$ išraiškas, nusakomas (62) lygtimis, gauname lygtį, kurios dešinioji pusė priklauso nuo $x,\;y_{1},\;y_{2},\;y_{3},\;...,\;y_{n}:$

${\frac {d^{2}y_{1}}{dx^{2}}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial f_{1}}{dy_{1}}}f_{1}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n})+{\frac {\partial f_{1}}{dy_{2}}}f_{2}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n})+{\frac {\partial f_{1}}{dy_{3}}}f_{3}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n})+...+{\frac {\partial f_{1}}{dy_{n}}}f_{n}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}),$

${\frac {d^{2}y_{1}}{dx^{2}}}=\phi _{2}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}).$

Šią lygtį dar kartą diferencijuojame x atžvilgiu ir vietoj išvestinių ${\frac {dy_{1}}{dx}},...,{\frac {dy_{n}}{dx}}$ vėl įrašome jų išraiškas iš (62) sistemos. Gauname lygtį

${\frac {d^{3}y_{1}}{dx^{3}}}=\phi _{3}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}).$

Pratęsę šį procesą, pagaliau turime lygtį

${\frac {d^{n}y_{1}}{dx^{n}}}=\phi _{n}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}).$

Taigi gauname sistemą

${\begin{cases}{\frac {dy_{1}}{dx}}=f_{1}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}),&\\{\frac {d^{2}y_{1}}{dx^{2}}}=\phi _{2}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}),&\\{\frac {d^{3}y_{1}}{dx^{3}}}=\phi _{3}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}),\quad (64)&\\.....................................,&\\{\frac {d^{n}y_{1}}{dx^{n}}}=\phi _{n}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}).&\end{cases}}$

Iš jos, eliminavę funkcijas $y_{2},\;y_{3},\;...,\;y_{n},$ gauname lygtį, siejančią $x,\;y_{1},\;{\frac {dy_{1}}{dx}},\;{\frac {d^{2}y_{1}}{dx^{2}}},\;{\frac {d^{3}y_{1}}{dx^{3}}},\;...,\;{\frac {d^{n}y_{1}}{dx^{n}}},\;$ taigi gauname n-tosios eilės diferencialinę lygtį.

Išsprendę ją, randame

$y_{1}=\Phi (x,C_{1},C_{2},...,C_{n}).$

Žinodami $y_{1},$ funkcijas $y_{2},\;y_{3},\;...,\;y_{n},$ randame iš (64) sistemos.

Pavyzdžiai

• Rasime sistemos

${\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=2y+3z+e^{x},&\\{\frac {dz}{dx}}=3y+2z+\sin x.&\end{cases}}$

atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas

$y|_{x=0}={\frac {3}{13}},\;z|_{x=0}={\frac {19}{26}}.$

Sprendimas. Pirmąją sistemos lygtį išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2{\frac {dy}{dx}}+3{\frac {dz}{dx}}+e^{x}.$

Į šią lygtį įrašome ${\frac {dy}{dx}}$ ir ${\frac {dz}{dx}}$ išraiškas iš duotosios sistemos:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2(2y+3z+e^{x})+3(3y+2z+\sin x)+e^{x},$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=13y+12z+3e^{x}+3\sin x.$

Sudarome sistemą

${\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=2y+3z+e^{x},&\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=13y+12z+3e^{x}+3\sin x.&\end{cases}}$

ir iš jos eliminuojame funkciją z. Galima daryti taip: pirmąją sistemos lygtį padauginti iš $-4$ ir sudėti su antrąja sistemos lygtimi. Tuomte gausime lygtį

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}=13y+12z+3e^{x}+3\sin x-4(2y+3z+e^{x}),$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}=5y-e^{x}+3\sin x,$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}-5y=3\sin x-e^{x}.\quad (65)$

Ji ir yra antrosios eilės tiesinė nehomogeninė diferencialinė lygtis. Kadangi jos charakteringoji lygtis $k^{2}-4k-5=0$ turi šaknis $k_{1}=-1,\;k_{2}=5,$ tai homoheninės lygties (${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}-5y=0$) bendrasis sprendinys

${\bar {y}}=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}.$

Toliau parenkame atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį

${\tilde {y}}=M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x}.$

Suradę ${\bar {y}}'$ ir ${\bar {y}}''$ bei jų išraiškas į (65) lygtį, gauname:

${\tilde {y}}'=(M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x})'=-M\sin(x)+N\cos(x)+ae^{x};$

${\tilde {y}}''=(-M\sin(x)+N\cos(x)+ae^{x})'=-M\cos(x)-N\sin(x)+ae^{x};$

${\tilde {y}}''-4{\tilde {y}}'-5{\tilde {y}}=3\sin x-e^{x};$

$-M\cos(x)-N\sin(x)+ae^{x}-4(-M\sin(x)+N\cos(x)+ae^{x})-5(M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x})=3\sin(x)-e^{x};$

$-M\cos(x)-N\sin(x)+ae^{x}+4M\sin(x)-4N\cos(x)-4ae^{x}-5M\cos(x)-5N\sin(x)-5ae^{x}=3\sin(x)-e^{x};$

$-M\cos(x)-N\sin(x)+4M\sin(x)-4N\cos(x)-5M\cos(x)-5N\sin(x)-8ae^{x}=3\sin(x)-e^{x};$

$(-6M-4N)\cos(x)+(4M-6N)\sin(x)-8ae^{x}=3\sin(x)-e^{x}.$

Iš čia

$a={\frac {1}{8}}.$

Reikšmes M ir N surasime išsprendę lygčių sistemą:

${\begin{cases}-6M-4N=0,&\\4M-6N=3.&\end{cases}}$

Antrąją sistemos lygtį padauginę iš ${\frac {3}{2}}$ ir pridėję prie pirmosios, gauname:

$(-6M-4N)+{\frac {3}{2}}(4M-6N)=0+{\frac {3}{2}}\cdot 3,$

$-6M-4N+6M-9N={\frac {9}{2}},$

$-13N={\frac {9}{2}},$

$N=-{\frac {9}{26}}.$

Toliau įstatę surastą N į kurią nors vieną iš lygčių (-6M-4N=0 arba 4M-6N=3) rasime M:

$-6M-4N=0,$

$-6M-4\cdot \left(-{\frac {9}{26}}\right)=0,$

$-6M+{\frac {18}{13}}=0,$

$-M+{\frac {3}{13}}=0,$

$-M=-{\frac {3}{13}},$

$M={\frac {3}{13}}.$

Taigi

${\tilde {y}}=M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x}={\frac {3}{13}}\cos(x)-{\frac {9}{26}}\sin(x)+{\frac {1}{8}}e^{x};$

$y={\bar {y}}+{\tilde {y}}=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}+{\frac {3}{13}}\cos(x)-{\frac {9}{26}}\sin(x)+{\frac {1}{8}}e^{x}.$

Iš pirmosios sistemos lygties turime

${\frac {dy}{dx}}=2y+3z+e^{x},$

${\frac {dy}{dx}}-2y-e^{x}=3z,$

$z={\frac {1}{3}}\left({\frac {dy}{dx}}-2y-e^{x}\right).$

Kadangi

${\frac {dy}{dx}}=(C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}+{\frac {3}{13}}\cos(x)-{\frac {9}{26}}\sin(x)+{\frac {1}{8}}e^{x})'=-C_{1}e^{-x}+5C_{2}e^{5x}-{\frac {3}{13}}\sin(x)-{\frac {9}{26}}\cos(x)+{\frac {1}{8}}e^{x},$

tai

$z={\frac {1}{3}}\left(-C_{1}e^{-x}+5C_{2}e^{5x}-{\frac {3}{13}}\sin(x)-{\frac {9}{26}}\cos(x)+{\frac {1}{8}}e^{x}-2y-e^{x}\right)=$

$={\frac {1}{3}}\left(-C_{1}e^{-x}+5C_{2}e^{5x}-{\frac {3}{13}}\sin(x)-{\frac {9}{26}}\cos(x)+{\frac {e^{x}-8e^{x}}{8}}-2y\right)=$

$={\frac {1}{3}}\left(-C_{1}e^{-x}+5C_{2}e^{5x}-{\frac {3}{13}}\sin(x)-{\frac {9}{26}}\cos(x)-{\frac {7}{8}}e^{x}-2y\right)=$

$=-{\frac {1}{3}}C_{1}e^{-x}+{\frac {5}{3}}C_{2}e^{5x}-{\frac {1}{13}}\sin(x)-{\frac {3}{26}}\cos(x)-{\frac {7}{24}}e^{x}-{\frac {2}{3}}y.$

Gavome tokį sistemos sprendinį

$y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}+{\frac {3}{13}}\cos(x)-{\frac {9}{26}}\sin(x)+{\frac {1}{8}}e^{x},$

$z=-{\frac {1}{3}}C_{1}e^{-x}+{\frac {5}{3}}C_{2}e^{5x}-{\frac {1}{13}}\sin(x)-{\frac {3}{26}}\cos(x)-{\frac {7}{24}}e^{x}-{\frac {2}{3}}y.$

($z=-{\frac {1}{3}}C_{1}e^{-x}+{\frac {5}{3}}C_{2}e^{5x}-{\frac {1}{13}}\sin(x)-{\frac {3}{26}}\cos(x)-{\frac {7}{24}}e^{x}-{\frac {2}{3}}(C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}+{\frac {3}{13}}\cos(x)-{\frac {9}{26}}\sin(x)+{\frac {1}{8}}e^{x}),$

$z=-{\frac {1}{3}}C_{1}e^{-x}+{\frac {5}{3}}C_{2}e^{5x}-{\frac {1}{13}}\sin(x)-{\frac {3}{26}}\cos(x)-{\frac {7}{24}}e^{x}-{\frac {2}{3}}C_{1}e^{-x}-{\frac {2}{3}}C_{2}e^{5x}-{\frac {2}{13}}\cos(x)+{\frac {6}{26}}\sin(x)-{\frac {2}{24}}e^{x},$

$z=-C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}+{\frac {2}{13}}\sin(x)-{\frac {7}{26}}\cos(x)-{\frac {3}{8}}e^{x}$).

Norėdami rasti konstantų $C_{1}$ ir $C_{2}$ reikšmes, tenkinančias duotas pradines sąlygas, į bendrąjį sprendinį įrašome $x=0,\;y={\frac {3}{13}}$ ir $z={\frac {19}{26}}.$ Gauname sistemą

${\begin{cases}y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}+{\frac {3}{13}}\cos(x)-{\frac {9}{26}}\sin(x)+{\frac {1}{8}}e^{x},&\\z=-C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}+{\frac {2}{13}}\sin(x)-{\frac {7}{26}}\cos(x)-{\frac {3}{8}}e^{x};&\end{cases}}$

${\begin{cases}{\frac {3}{13}}=C_{1}e^{-0}+C_{2}e^{5\cdot 0}+{\frac {3}{13}}\cos(0)-{\frac {9}{26}}\sin(0)+{\frac {1}{8}}e^{0},&\\{\frac {19}{26}}=-C_{1}e^{-0}+C_{2}e^{5\cdot 0}+{\frac {2}{13}}\sin(0)-{\frac {7}{26}}\cos(0)-{\frac {3}{8}}e^{0};&\end{cases}}$

${\begin{cases}{\frac {3}{13}}=C_{1}+C_{2}+{\frac {3}{13}}\cdot 1-{\frac {9}{26}}\cdot 0+{\frac {1}{8}},&\\{\frac {19}{26}}=-C_{1}+C_{2}+{\frac {2}{13}}\cdot 0-{\frac {7}{26}}\cdot 1-{\frac {3}{8}};&\end{cases}}$

${\begin{cases}-{\frac {1}{8}}=C_{1}+C_{2},&\\{\frac {19}{26}}+{\frac {7}{26}}+{\frac {3}{8}}=-C_{1}+C_{2};&\end{cases}}$

${\begin{cases}C_{1}+C_{2}=-{\frac {1}{8}},&\\-C_{1}+C_{2}=1+{\frac {3}{8}};&\end{cases}}$

${\begin{cases}C_{1}+C_{2}=-{\frac {1}{8}},&\\-C_{1}+C_{2}={\frac {11}{8}}.&\end{cases}}$

Sudeties budu išsprendžiame sistemą:

$(C_{1}+C_{2})+(-C_{1}+C_{2})=-{\frac {1}{8}}+{\frac {11}{8}},$

$2C_{2}={\frac {10}{8}},$

$C_{2}={\frac {5}{8}};$

$C_{1}+{\frac {5}{8}}=-{\frac {1}{8}},$

$C_{1}=-{\frac {5}{8}}-{\frac {1}{8}},$

$C_{1}=-{\frac {3}{4}}.$

Iš čia $C_{1}=-{\frac {3}{4}},\;C_{2}={\frac {5}{8}}.$ Taigi atskirasis sistemos sprendinys yra toks:

$y=-{\frac {3}{4}}e^{-x}+{\frac {5}{8}}e^{5x}+{\frac {3}{13}}\cos(x)-{\frac {9}{26}}\sin(x)+{\frac {1}{8}}e^{x},$

$z={\frac {3}{4}}e^{-x}+{\frac {5}{8}}e^{5x}+{\frac {2}{13}}\sin(x)-{\frac {7}{26}}\cos(x)-{\frac {3}{8}}e^{x}.$

Normaliosios diferencialinių lygčių sistemos sudaro vieną sistemų klasę. Tačiau yra įvairių sistemų, kurių išraiška neatitinka (62) sistemos lygčių išraiškos. Kai kurias jų galima išspręsti įvairiais dirbtiniais būdais.

• Išspręskime sistemą

${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=z,\;\;{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=y.$

Sprendimas. Pirmąją lygtį išdiferencijavę du kartus paeiliui x atžvilgiu, gauname lygtį

${\frac {d^{6}y}{dx^{6}}}={\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}.$

Tačiau ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=y,$ todėl turime lygtį

${\frac {d^{6}y}{dx^{6}}}=y$ arba ${\frac {d^{6}y}{dx^{6}}}-y=0.$

(Parinkus $y=e^{kx},$ gauname:

$(e^{kx})^{(6)}-e^{kx}=0,$

$k^{6}e^{kx}-e^{kx}=0,$

$k^{6}-1=0.$)

Charakteringąją jos lygtį $k^{6}-1=0$ galima pertvarkyti taip:

$(k^{3}-1)(k^{3}+1)=0,$

$(k-1)(k+1)(k^{2}+k+1)(k^{2}-k+1)=0.$

Iš čia randame jos šaknis

$k_{1}=-1,k_{2}=1,k_{3,4}=-{\frac {1}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {3}}{2}},k_{5,6}={\frac {1}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {3}}{2}}.$

Vadinasi, bendrasis lygties $y^{(6)}-y=0$ sprendinys yra

$y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{x}+e^{-{1 \over 2}x}\left(C_{3}\cos {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}+C_{4}\sin {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}\right)+e^{x \over 2}\left(C_{3}\cos {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}+C_{4}\sin {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}\right).$

Funkciją z rasime išdiferencijavę gautąją y išraišką keturis kartus. Tai padaryti siūlome skaitytojui.