Aptarimas:Matematika/Normalioji diferencialinių lygčių sistema

N ir M neveikia su antra lygtim (4M-6N)=3

• Rasime sistemos

${\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=2y+3z+e^{x},&\\{\frac {dz}{dx}}=3y+2z+\sin x.&\end{cases}}$

atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas

$y|_{x=0}={\frac {3}{13}},\;z|_{x=0}={\frac {19}{26}}.$

Sprendimas. Pirmąją sistemos lygtį išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2{\frac {dy}{dx}}+3{\frac {dz}{dx}}+e^{x}.$

Į šią lygtį įrašome ${\frac {dy}{dx}}$ ir ${\frac {dz}{dx}}$ išraiškas iš duotosios sistemos:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2(2y+3z+e^{x})+3(3y+2z+\sin x)+e^{x},$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=13y+12z+3e^{x}+3\sin x.$

Sudarome sistemą

${\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=2y+3z+e^{x},&\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=13y+12z+3e^{x}+3\sin x.&\end{cases}}$

ir iš jos eliminuojame funkciją z. Galima daryti taip: pirmąją sistemos lygtį padauginti iš $-4$ ir sudėti su antrąja sistemos lygtimi. Tuomte gausime lygtį

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}=13y+12z+3e^{x}+3\sin x-4(2y+3z+e^{x}),$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}=5y-e^{x}+3\sin x,$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}-5y=3\sin x-e^{x}.\quad (65)$

Ji ir yra antrosios eilės tiesinė nehomogeninė diferencialinė lygtis. Kadangi jos charakteringoji lygtis $k^{2}-4k-5=0$ turi šaknis $k_{1}=-1,\;k_{2}=5,$ tai homoheninės lygties (${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}-5y=0$) bendrasis sprendinys

${\bar {y}}=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{5x}.$

Toliau parenkame atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį

${\tilde {y}}=M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x}.$

Suradę ${\bar {y}}'$ ir ${\bar {y}}''$ bei jų išraiškas į (65) lygtį, gauname:

${\tilde {y}}'=(M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x})'=-M\sin(x)+N\cos(x)+ae^{x};$

${\tilde {y}}''=(-M\sin(x)+N\cos(x)+ae^{x})'=-M\cos(x)-N\sin(x)+ae^{x};$

${\tilde {y}}''-4{\tilde {y}}'-5{\tilde {y}}=3\sin x-e^{x};$

$-M\cos(x)-N\sin(x)+ae^{x}-4(-M\sin(x)+N\cos(x)+ae^{x})-5(M\cos(x)+N\sin(x)+ae^{x})=3\sin(x)-e^{x};$

$-M\cos(x)-N\sin(x)+ae^{x}+4M\sin(x)-4N\cos(x)-4ae^{x}-5M\cos(x)-5N\sin(x)-5ae^{x}=3\sin(x)-e^{x};$

$-M\cos(x)-N\sin(x)+4M\sin(x)-4N\cos(x)-5M\cos(x)-5N\sin(x)-8ae^{x}=3\sin(x)-e^{x};$

$(-6M-4N)\cos(x)+(4M-6N)\sin(x)-8ae^{x}=3\sin(x)-e^{x}.$

Iš čia

$a={\frac {1}{8}}.$

Reikšmes M ir N surasime išsprendę lygčių sistemą:

${\begin{cases}-6M-4N=0,&\\4M-6N=3.&\end{cases}}$

Pirmąją sistemos lygtį padauginę iš ${\frac {2}{3}}$ ir pridėję prie antrosios, gauname:

${\frac {2}{3}}(-6M-4N)+4M-6N=0\cdot {\frac {2}{3}}+3,$

$-4M-{\frac {8N}{3}}+4M-6N=3,$

$-{\frac {8N}{3}}-6N=3,$

${\frac {-8N-18N}{3}}=3,$

${\frac {-26N}{3}}=3,$

$-26N=1,$

$N=-{\frac {1}{26}};$

Toliau įstatę surastą N į kurią nors vieną iš lygčių (-6M-4N=0 arba 4M-6N=3) rasime M:

$-6M-4N=0,$

$-6M-4\cdot \left(-{\frac {1}{26}}\right)=0,$

$-6M+{\frac {4}{26}}=0,$

$-6M=-{\frac {2}{13}},$

$M={\frac {2}{13\cdot 6}},$

$M={\frac {1}{13\cdot 3}},$

$M={\frac {1}{39}}.$