Matematika/Lanko ilgis

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search
136 pav.
Tegu lankas kreivės (136 pav.) yra grafikas funkcijos , apibrėžtas intervale (a, b). Nustatysime kreivės lanko ilgį. Paimsime ant kreivės AB taškus , , , ..., , , ..., , . Sujungę paimtus taškus, gausime laužtą liniją įbrėžtą į lanką . Pažymėsime ilgį šitos laužtės per .
Lanko ilgiu vadinasi riba (pažymėsime ją per s), prie kurios artėja lanko ilgis, artėjant prie nulio lanko atkarpų ilgiams , jeigu šita riba egzistuoja ir nepriklauso nuo parinktų lanko taškų
Pažymėsime, kad šitas apibrėžimas lanko ilgio betkokios kreivės analoginis apibrėžimui apskritimo ilgio.
Yra įrodyta, kad jeigu atkarpoje [a, b] funkcija ir jos išvestinė netrūkios, tai lankas kreivės esantis tarp taškų ir turi tam tikrą ilgį, be to yra būdas apskaičiavimo šito ilgio. Yra nustatyta (kaip pasekmė), kad nurodytose sąlygose santykis ilgio betkokio lanko šitos kreivės su ilgiu susitraukiančios stygos artėja prie 1, kai ilgis stygos artėja prie 0:
137 pav.
Šita teorema lengvai gali būti įrodyta apskritimui (panagrinėkime lanką AB, kurio centrinis kampas lygus (137 pav); ilgis šito lanko lygus , o ilgis susitraukiančios jo stygos lygus ; todėl ), bet bendru atveju mes kol kas priimsime ją be įrodymo.
Panagrinėkime sekantį klausimą. Tegu mes turime ant plokšumos kreivę, kurios lygtis
138 pav.
Tegu - tam tikras fiksuotas taškas kreivės, o - kintantis taškas šitos kreivės. Pažymėsime per s ilgį lanko (138 pav.).
Kintant abscisei x taško M ilgis s lanko kis, t. y. s yra funkcija x. Rasime išvestinę s nuo x.
Duosime x priaugimą . Tada styga s gaus priaugimą Tegu - styga, sutraukianti šitą lanką. Tam, kad rasti pasielgsime sekančiu budu: iš randame:
Padauginsime ir padalinsime kairę dalį iš :
Padalinsime visus narius lygybės iš :
Rasime ribą kairės ir dešinės dalies kai Atsižvelgiant, kad ir kad gausime:
arba
Lanko diferencialui gausime sekančią išraišką:
arba
Griežtai kalbant, formulė (2') teisinga tik tam atvejui, kada Jeigu gi , tai Todėl, bendru atveju šitą formulę teisingiau užrašyti taip:
Mes gavome diferencialo išraišką lanko ilgio tam atvejui, kada kreivė apibūdinta lygtimi Visgi formulė (2') išsisaugo ir tuo atveju, kada kreivė apibūdinta parametrinėmis lygtimis.
Jeigu kreivė apibūdinta parametriškai:
tai
ir išraiška (2') įgauna pavidalą

Pavyzdžiai[keisti]


  • Rasti hiperbolės lanko ilgį L, kai x kinta nuo 1 iki 7.
Sprendimas.
Pasinaudojome internetiniu integratoriumi http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=Sqrt%5B1%2B+1%2F%282x%29%5D+&random=false.
Patikriname ar tiesės ilgis iš taško iki taško nėra didesnis:


  • Rasti lanko ilgį iš taško iki taško parabolės
Sprendimas.
Rasime parabolės lanko ilgį iš taško iki taško
Pasinaudojome integralų lentele

ds ilgis polinėse koordinatėse[keisti]