Matematika/Kubinė lygtis

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu[keisti]

Duota kubinė lygtis:

Pakeičiame gauname:
Pažymime ir pakeitę gauname:
Toliau, tariame, kad lygties sprendinys yra koeficientas kvadratinės lygties, o kubinės lygties koeficientas p yra tos pačios pagalbinės kvadratinės lygties laisvasis narys (konstanta) padalintas iš 3. Ir tokiu budu sudarome naują pagalbinę kvadratinę funkciją ir lygtį:
Šios kvadatinės lygties šaknys (sprendiniai) yra ir . Iš Vijeto teoremos žinome, kad ir .
Į kubinę lygtį įstatome koeficientą p išreikštą per ir ir įstatome kubinės lygties sprendinį išreikštą per ir . Tokiu budu mes rasime kam lygus q. Taigi:
Vadinasi, ir yra sprendiniai kitos kvadratinės lygties nes (ir taip pat iš Vijeto teoremos ).
Išsprendžiame šią (antrą) kvadratinę lygtį:
Vadinasi lygties šaknys yra:
Na, o [pirmos] kvadratinės lygties šaknys yra šios (nes o arba ):
Prisimindami, kad lygties šaknis yra , gauname:
Kitos dvi kompleksinės šaknys, tenkina lygybę arba Čia
nes
Vadinasi, kitos dvi lygties šaknys yra:
Jei sprendžiant lygtį (beieškant kubinės lygties sprendinių), , tai turime, kad
Nes tada

Pavyzdžiai[keisti]

  • Raskime lygties sprendinius. Iš formulių turime:
Įstatę į lygtį sprendinį , gauname:
Įstatę į lygtį sprendinį arba , gauname:

Kitoks kubinės lygties sprendimo būdas[keisti]

Duota pilna kubinė lygtis:

Eliminuojame , padarę keitinį Tai pakeičia lygtį į tokią:
Pažymime:
Turime kubinę lygtį:
Parenkame, kad , . Tuomet turime:
Iš lygybės , turime Įstatę, gauname:
Sprendžiame kaip kvadratinę lygtį, radę diskriminantą:
Prisimename, kad:
Prisimename, kad , todėl gauname:
Tai ir tai yra tas pats, taigi
Randame lygties sprendinį:
čia

Kitoks kubinės lygties sprendimo būdas (2)[keisti]

Duota pilna kubinė lygtis:

Eliminuojame , padarę keitinį Tai pakeičia lygtį į tokią:
Pažymime:
Turime kubinę lygtį:
Parenkame, kad , . Tuomet turime:
Iš lygybės , turime Įstatę, gauname:
Sprendžiame kaip kvadratinę lygtį, radę diskriminantą:
Prisimename, kad:
Prisimename, kad , todėl gauname:
Tai ir tai yra tas pats, taigi
Randame lygties sprendinį:
čia
Lygties sprendimo tikslas yra rasti išreikštą per s ir t (ar V). Nes jau turime išreikštą V per s ir t (). Tuomet, gerai žinant Binomo formulę (Niutono Binomo formulę) kubiniam laipsniui, nesunku nuspėti, kad gausime išreikštą P, kai pakelsime trečiuoju laipsniu ir atimsime Tuomet ir gausime Va taip:
Tada toliau gana nesunku rasti s ir t iš sistemos
o tada ir y, žinant, kad

Nuorodos[keisti]