Kubinės lygties sprendimas be kompleksinių skaičių

https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988

Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai.

Kubinės lygtys

Bendra forma kubinės lygties yra

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\quad (a\neq 0).\quad (1)$

Padalinus šią lygtį iš $a\neq 0,$ gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos:

$x^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\quad (2)$

(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį y, kad $x=y+k.$ Skaičius k pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario ($bx^{2}$). Iš tikro, po įstatymo $x=y+k,$ tiktai iš $x^{3}$ ir $bx^{2}$ gaunamas y kvadratas (padaugintas iš konstantos).

$x^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\quad (2)$

$(y+k)^{3}+b(y+k)^{2}+c(y+k)+d=0,$

$(y^{3}+3y^{2}k+3yk^{2}+k^{3})+b(y^{2}+2yk+k^{2})+c(y+k)+d=0,$

$(y^{3}+3yk^{2}+k^{3})+[3y^{2}k+by^{2}]+b(2yk+k^{2})+c(y+k)+d=0.$

Igriko kvadratas išnyks, kai $[3y^{2}k+by^{2}]=0$ arba $3k+b=0.$ Tada $k=-b/3.$

Tai galima gauti ir taip:

$x^{3}+bx^{2}=x^{2}(x+b)=(y+k)^{2}(y+k+b)=(y^{2}+2yk+k^{2})(y+k+b);$

sandaugoje $(y^{2}+2yk+k^{2})(y+k+b)$ tik $ky^{2}+by^{2}+2y^{2}k=3ky^{2}+by^{2}$ turi $y^{2}.$ Todėl $y^{2}$ išnyks, jeigu $3k+b=0,$ t. y. jeigu $k=-b/3.$

Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra x):

$x^{3}+px+q=0.\quad (3)$

Sprendinių skaičius

Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija $f(x)=x^{3}+px+q$ yra teigiamai su pakankamai dideliais x ir neigiama su dideliais neigiamais x. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta Ox ašį.

Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys

$(x-1)^{3}=0,\quad (x-1)^{2}(x-2)=0,\quad (x-1)(x-2)(x-3)=0$

turi atitinkamai sprendinius $\{1\},\;\;\{1,\;2\},\;\;\{1,\;2,\;3\}.$

Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį $\alpha .$ Tai reiškia, kad $\alpha ^{3}+p\alpha +q=0.$ Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti)

$x^{3}+px+q=x^{3}+px+q-\alpha ^{3}-p\alpha -q=x^{3}-\alpha ^{3}+px-p\alpha =(x-\alpha )(x^{2}+x\alpha +\alpha ^{2}+p).$

Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x)

$x^{2}+x\alpha +\alpha ^{2}+p=0.\quad (4)$

Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra $\alpha .$ Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties.

[$x^{3}+px+q=0.\quad (3)$]

Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra q; žr. čia). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo.

Atvejis, kai p>0.

Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento $p\neq 0$ modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa $x^{3}=-q,$ turinti sprendinį $x=-{\sqrt[{3}]{q}}$).

Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį $x=ky$ ir tinkamai parinksime k. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į

$k^{3}y^{3}+pky+q=0,\quad y^{3}+py/k^{2}+q/k^{3}=0.$

Atveju $p>0,$ pasirenkame k taip:

$p/k^{2}=3,\;\;p/3=k^{2},\;\;k={\sqrt {p/3}}.$

Todėl su tokiu k, koeficientas prie y tampa lygus 3.

$x=ky={\sqrt {p/3}}\;y,$

$q/k^{3}=q/({\sqrt {p/3}})^{3}={\frac {q}{\sqrt {p^{3}/(3\cdot 9)}}}={\frac {3q}{p{\sqrt {p/3}}}}={\frac {3{\sqrt {3}}q}{p{\sqrt {p}}}}.$

Pažymėkime

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}.$

Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties $y^{3}+py/k^{2}+q/k^{3}=0$):

$y^{3}+py/k^{2}+q/k^{3}=0,$

$y^{3}+3y-2m=0,\quad (5)$

kurioje $p/k^{2}=3,\;\;{\frac {3{\sqrt {3}}q}{p{\sqrt {p}}}}=-2m.$

Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį $y=z-1/z:$

$(z-1/z)^{3}+3(z-1/z)-2m=0,$

$(z^{3}-3z^{2}\cdot 1/z+3z\cdot 1/z^{2}-1/z^{3})+3(z-1/z)-2m=0,$

$(z^{3}-3z+3/z-1/z^{3})+3z-3/z-2m=0,$

$(z^{3}-1/z^{3})-2m=0,$

$z^{3}-1/z^{3}-2m=0,\quad |\cdot z^{3}$

$z^{6}-1-2mz^{3}=0,$

$z^{6}-2mz^{3}=1,$

$z^{6}-2mz^{3}+m^{2}=1+m^{2},$

$(z^{3}-m)^{2}=1+m^{2},$

$z^{3}-m=\pm {\sqrt {1+m^{2}}},$

$z^{3}=m\pm {\sqrt {1+m^{2}}},$

$z={\sqrt[{3}]{m\pm {\sqrt {1+m^{2}}}}}.$

Abi šios z reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties.

$y=z-1/z={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {1}{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}{{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}}}={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-({\sqrt {1+m^{2}}})^{2}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-(1+m^{2})}}}={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}{-1}}=$

$={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}};$

$y=z-1/z={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {1}{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}{{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}}}={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-({\sqrt {1+m^{2}}})^{2}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-(1+m^{2})}}}={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}{-1}}=$

$={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}.$

Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį

$y={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}.$

Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks:

$y={\sqrt[{3}]{{\sqrt {m^{2}+1}}+m}}+{\sqrt[{3}]{{\sqrt {m^{2}+1}}-m}}.$

Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime:

[$x^{2}+x\alpha +\alpha ^{2}+p=0.\quad (4)$]

[$y^{3}+3y-2m=0,\quad (5)$]

$y^{2}+y\alpha +\alpha ^{2}+3=0,\quad (5.1)$

kur

$\alpha ={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}.$

Diskriminantas (5.1) lygties lygus

$D=\alpha ^{2}-4(\alpha ^{2}+3)=-3\alpha ^{2}-12<0.$

Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo y prie $x=y{\sqrt {p/3}}.$

Rasime kam lygus x (kuris yra sprendinys (3) lygties).

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}.$

$y={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}.$

$x=ky={\sqrt {p/3}}\;y={\sqrt {p/3}}\left({\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}\right)=$

$={\sqrt {p/3}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}+{\sqrt {1+\left(-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}\right)^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}-{\sqrt {1+\left(-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}\right)^{2}}}}}\right)=$

$={\sqrt {p/3}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}+{\sqrt {1+{\frac {9\cdot 3q^{2}}{4p^{2}\cdot p}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}-{\sqrt {1+{\frac {9\cdot 3q^{2}}{4p^{2}\cdot p}}}}}}\right)=$

$={\sqrt {p/3}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}+{\sqrt {1+{\frac {27q^{2}}{4p^{3}}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}-{\sqrt {1+{\frac {27q^{2}}{4p^{3}}}}}}}\right)=$

$={\sqrt {p/3}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}+{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}-{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}\right)=$

$=\left({\sqrt[{3}]{-{\sqrt {\frac {p^{3}}{3^{3}}}}{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}+{\sqrt {\frac {p^{3}}{3^{3}}}}{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\sqrt {\frac {p^{3}}{3^{3}}}}{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}-{\sqrt {\frac {p^{3}}{3^{3}}}}{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}\right)=$

$={\sqrt[{3}]{-{\frac {p{\sqrt {p}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}+{\frac {p{\sqrt {p}}}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {p{\sqrt {p}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}-{\frac {p{\sqrt {p}}}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4\cdot 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4\cdot 27}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}.$

Atvejis, kai p<0.

Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai p yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį $x=ky.$ Dabar lygtyje

$y^{3}+py/k^{2}+q/k^{3}=0$

pasirenkame k, kad $p/k^{2}=-3,$

$-p/3=k^{2},$

$k={\sqrt {-p/3}}.$

Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes p<0.

$q/k^{3}=q/({\sqrt {-p/3}})^{3}={\frac {q}{\sqrt {-p^{3}/(3\cdot 9)}}}={\frac {3q}{p{\sqrt {-p/3}}}}={\frac {3{\sqrt {3}}q}{p{\sqrt {-p}}}};$

${\frac {3{\sqrt {3}}q}{p{\sqrt {-p}}}}=q/k^{3}=-2m;$

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}.$

Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį

$y^{3}-3y-2m=0.\quad (6)$

Panaudojame keitinį $y=z+1/z:$

$(z+1/z)^{3}-3(z+1/z)-2m=0,$

$(z^{3}+3z^{2}\cdot 1/z+3z\cdot 1/z^{2}+1/z^{3})-3(z+1/z)-2m=0,$

$(z^{3}+3z+3/z+1/z^{3})-3(z+1/z)-2m=0,$

$(z^{3}+3z+3/z+1/z^{3})-3z-3/z-2m=0,$

$(z^{3}+1/z^{3})-2m=0,$

$z^{3}+1/z^{3}-2m=0,\;\;|\cdot z^{3}$

$z^{6}+1-2mz^{3}=0,$

$z^{6}-2mz^{3}=-1,$

$z^{6}-2mz^{3}+m^{2}=m^{2}-1,$

$(z^{3}-m)^{2}=m^{2}-1.\quad (7)$

Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: $m^{2}>1,\;$ $m^{2}=1\;$ ir $\;m^{2}<1.$

Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).

Jeigu $m^{2}>1,$ tada

[$(z^{3}-m)^{2}=m^{2}-1.\quad (7)$]

$z^{3}-m=\pm {\sqrt {m^{2}-1}},$

$z^{3}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}},$

$z={\sqrt[{3}]{m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}}},$

ir abi šios z reikšmės duoda tą patį sprendinį:

$y=z+1/z={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}{{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}}}={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-({\sqrt {m^{2}-1}})^{2}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-(m^{2}-1)}}}={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}{1}}=$

$={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}};$

$y=z+1/z={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}{{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}}}={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-({\sqrt {m^{2}-1}})^{2}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-(m^{2}-1)}}}={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}{1}}=$

$={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}.$

Gavome tas pačias y reikšmes.

Gausime x reikšmę ((3) lygties sprendinį):

$k={\sqrt {-p/3}};$

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}};$

$x=ky={\sqrt {-p/3}}\;y={\sqrt {-p/3}}\left({\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}\right)=$

$={\sqrt {-p/3}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}+{\sqrt {\left(-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}\right)^{2}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}-{\sqrt {\left(-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}\right)^{2}-1}}}}\right)=$

$={\sqrt {-p/3}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}+{\sqrt {{\frac {9\cdot 3q^{2}}{4p^{2}\cdot (-p)}}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}-{\sqrt {{\frac {9\cdot 3q^{2}}{-4p^{2}\cdot p}}-1}}}}\right)=$

$={\sqrt {-p/3}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}+{\sqrt {{\frac {27q^{2}}{-4p^{3}}}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}-{\sqrt {{\frac {27q^{2}}{-4p^{3}}}-1}}}}\right)=$

$={\sqrt {-p/3}}\left({\sqrt[{3}]{-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}+{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{-4p^{3}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}-{\sqrt {-{\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}}\right)=$

$=\left({\sqrt[{3}]{-{\sqrt {-{\frac {p^{3}}{3^{3}}}}}{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}+{\sqrt {\frac {-p^{3}}{3^{3}}}}{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\sqrt {\frac {-p^{3}}{3^{3}}}}{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}-{\sqrt {\frac {-p^{3}}{3^{3}}}}{\sqrt {-{\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}}\right)=$

$={\sqrt[{3}]{-{\frac {p{\sqrt {-p}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}+{\frac {p{\sqrt {-p}}}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {-{\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {p{\sqrt {-p}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}-{\frac {p{\sqrt {-p}}}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {-{\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4p^{3}}}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4\cdot 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\frac {4p^{3}+27q^{2}}{4\cdot 27}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}.$

Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2:

$y^{2}=(z+1/z)^{2}=z^{2}+2+1/z^{2}=z^{2}-2+1/z^{2}+4=(z-1/z)^{2}+4>4.$

Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties

$2m=y^{3}-3y=y(y^{2}-3)>y(4-3)=y,$

$2m>y;$

$2m>y>2\quad ({\text{kai}}\;y>0),$

$m>1\quad ({\text{kai}}\;y>0).$

Jeigu pvz., y=-3, tai

$2m>-3\quad ({\text{kai}}\;y<0),$

$2m>-2>y\quad ({\text{kai}}\;y<0),$

$m>-1\quad ({\text{kai}}\;y<0).$

Bet mūsų atveju turi būti $m^{2}>1,$ tačiau to nėra, kai $m>-1,$ nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai $m^{2}=(-0.9)^{2}=0.81<1,$ kas neatitinka sąlygos $m^{2}>1.$ Todėl teigiamos y reikšmės patenka į sąlygą $m^{2}>1.$ Kitaip tariant, jeigu y yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir $m^{2}=(-1)^{2}=1,$ bet tai neatitinka atvejo $m^{2}>1.$

Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės $2m>y,$ gauname

$2m>-3,$

$m>-1.5.$

Ir gaunasi, kad sąlyga $m^{2}>1$ tenkinama, nes $(-1.49)^{2}=2.2201>1.$

Vadinasi, sąlyga $m^{2}>1$ netenkinama tik kai $2m=-2,\;\;m=-1.$ Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom y reikšmėm, m gali įgyti vienintelę reikšmę $m=-1,$ kuri nepriklauso šiam atvejui $p<0,\;m^{2}>1.$

Pataisymas. Jeigu m=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai y neigiamas, m reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba $-1\leq m\leq 0,$ kai y<0. O kai y>0, tada m reikšmės gali būti intervale $(1;\;\infty ).$ Tokios neigiamos m reikšmės ($-1\leq m\leq 0$) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos a reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet m reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui ($p<1,\;m^{2}>1$).

Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip:

[$x^{2}+x\alpha +\alpha ^{2}+p=0.\quad (4)$]

[$y^{3}-3y-2m=0.\quad (6)$]

$y^{2}+y\alpha +\alpha ^{2}-3=0\quad ({\text{kur}}\;|\alpha |>2).\quad (4.6)$

Jos diskriminantas

$D=\alpha ^{2}-4(\alpha ^{2}-3)=-3\alpha ^{2}+12=3(4-\alpha ^{2})<0$

yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su $\alpha ={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}$). Todėl (6) lygtis, atveju $p<0,\;\;m^{2}>1$ turi vienintelį sprendinį $\alpha \;$ ($\alpha ={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {m^{2}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {m^{2}-1}}}}$).

Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).

Jeigu $m^{2}=1,$ tada iš (7) lygties

[$(z^{3}-m)^{2}=m^{2}-1.\quad (7)$]

turime $z^{3}=m.$

Kai m=1, tai z=1 ir

y = z + 1/z = 2.

(6) lygtis tranformuojasi į

$y^{3}-3y-2=0,$

kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim:

$y^{3}-3y-2=0,\quad (y-2)(y^{2}+2y+1)=0,\quad (y-2)(y+1)^{2}=0.$

Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x.

$x=ky={\sqrt {-p/3}}\cdot y.$

$x_{1}=ky_{1}={\sqrt {-p/3}}\cdot 2=2{\sqrt {-p/3}};$

$x_{2}=ky_{2}={\sqrt {-p/3}}\cdot (-1)=-{\sqrt {-p/3}}.$

Kai m=-1, tai z=-1 ir

y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2.

(6) lygtis tampa

$y^{3}-3y+2=0,\quad (y+2)(y^{2}-2y+1)=0,\quad (y+2)(y-1)^{2}=0.$

Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x.

$x=ky={\sqrt {-p/3}}\cdot y.$

$x_{1}=ky_{1}={\sqrt {-p/3}}\cdot (-2)=-2{\sqrt {-p/3}};$

$x_{2}=ky_{2}={\sqrt {-p/3}}\cdot 1={\sqrt {-p/3}}.$

p<0.

$x_{1}$ ir $x_{2}$ yra (3) lygties sprendiniai.

• Pavyzdys. Čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Diskriminantas#Kubinės_lygties_sprendimas_Kordano_metodu ] duotas lygties

$x^{3}-12x+16=0$

pavyzdys, kurios p=-12<0.

Tada

$x_{1}=-2{\sqrt {-p/3}}=-2{\sqrt {-(-12)/3}}=-2{\sqrt {12/3}}=-2{\sqrt {4}}=-2\cdot 2=-4;$

$x_{2}={\sqrt {-p/3}}={\sqrt {-(-12)/3}}={\sqrt {12/3}}={\sqrt {4}}=2.$

Šie sprendiniai yra tokie patys kaip ir pateiktoje nuorodoje.

Patikriname:

$x_{1}^{3}-12x_{1}+16=0,$

$(-4)^{3}-12\cdot (-4)+16=0,$

$-64+48+16=0;$

$x_{2}^{3}-12x_{2}+16=0,$

$2^{3}-12\cdot 2+16=0,$

$8-24+16=0.$

Vadinasi sprendiniai teisingi.

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}=-{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot 16}{2\cdot (-12){\sqrt {-(-12)}}}}=-{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot 16}{-24{\sqrt {12}}}}=-{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot 16}{-24{\sqrt {3\cdot 4}}}}=$

$=-{\frac {3\cdot 16}{-24{\sqrt {4}}}}=-{\frac {3\cdot 16}{-3\cdot 8{\sqrt {4}}}}=-{\frac {16}{-8{\sqrt {4}}}}=-{\frac {16}{-16}}=1.$

Kažkodėl šitame pavyzdyje m=1, bet $x_{1}$ ir $x_{2}$ paimti iš atvejo, kai m=-1.

[$y^{3}+py/k^{2}+q/k^{3}=0$

pasirenkame k, kad $p/k^{2}=-3,$

$-p/3=k^{2},$

$k={\sqrt {-p/3}}.$

Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes p<0.

$q/k^{3}=q/({\sqrt {-p/3}})^{3}={\frac {q}{\sqrt {-p^{3}/(3\cdot 9)}}}={\frac {3q}{p{\sqrt {-p/3}}}}={\frac {3{\sqrt {3}}q}{p{\sqrt {-p}}}};$

${\frac {3{\sqrt {3}}q}{p{\sqrt {-p}}}}=q/k^{3}=-2m;$

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}.$]

Gali būti, kad gavome m=1, o ne m=-1, nes

$q/k^{3}=q/({\sqrt {-p/3}})^{3}={\frac {q}{\sqrt {-p^{3}/(3\cdot 9)}}}={\frac {3q}{\sqrt {-p^{2}\cdot p/3}}}={\frac {3{\sqrt {3}}q}{{\sqrt {p^{2}}}{\sqrt {-p}}}};$

tada

${\frac {3{\sqrt {3}}q}{{\sqrt {p^{2}}}{\sqrt {-p}}}}=q/k^{3}=-2m;$

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2{\sqrt {p^{2}}}{\sqrt {-p}}}}=$

$=-{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot 16}{2{\sqrt {(-12)^{2}}}{\sqrt {-(-12)}}}}=$

$=-{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot 16}{2{\sqrt {144}}{\sqrt {12}}}}=$

$=-{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot 16}{2\cdot 12{\sqrt {3\cdot 4}}}}=$

$=-{\frac {3\cdot 16}{2\cdot 12{\sqrt {4}}}}=$

$=-{\frac {3\cdot 16}{2\cdot 12\cdot 2}}=$

$=-{\frac {3\cdot 16}{4\cdot 3\cdot 4}}=-1.$

Dabar ir gavome $m=-1.$

Atvejis p<0, m*m<1 (trys sprendiniai).

Jeigu $m^{2}<1,$ tai lygtis (7) neturi sprendinių ir keitinys $y=z+1/z$ neras sprendinius. Bet čia padeda trigonometrija: pakeitimas $y=2z$ pakeičia (6) lygtį į tokią:

[$y^{3}-3y-2m=0.\quad (6)$]

$(2z)^{3}-3\cdot 2z-2m=0,$

$8z^{3}-6z-2m=0,$

$4z^{3}-3z-m=0.$

Darome keitinį $z=\cos \varphi :$

$4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi -m=0,\quad \cos(3\varphi )-m=0,\quad \cos 3\varphi =m.$

Ši lygtis turi sprendinius, kai |m|<1 (arba $m^{2}<1$). Kosinusas yra lyginė funkcija, todėl su neigiamom ir teigiamom $\varphi$ reikšmėm gaunamas tas pats kosinuso rezultatas. Todėl

$\cos 3\varphi =m,$

$\cos(\pm 3\varphi )=m,$

$\pm 3\varphi =\arccos m,$

$\pm (\pm 3\varphi )=3\varphi =\pm \arccos m,$

$3\varphi =\pm \arccos m,$

$3\varphi -2k\pi =\pm \arccos m,$

$3\varphi =2k\pi \pm \arccos m,$

$\varphi ={\frac {2k\pi }{3}}\pm {\frac {1}{3}}\arccos m;$

$z=\cos \varphi =\cos \left({\frac {2}{3}}k\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right),$

$y=2z=2\cos \varphi =2\cos \left({\frac {2}{3}}k\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right),$

k - sveikasis skaičius.

Remdamiesi redukcijos formulėmis, suprantame, kad su daugiau nei trim skaičiaus k reikšmėm z reikšmės kartosis, nes kubinė lygtis negali turėti daugiau nei trys sprendinius. Todėl pasirenkame $k=0,\;1,\;2.$ Tada

$y_{1}=2z_{1}=2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos m\right),$

$y_{2}=2z_{2}=2\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right),$

$y_{3}=2z_{3}=2\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right).$

Grįžtame prie x.

$x=ky={\sqrt {-p/3}}\;y;$

$x_{1}=y_{1}{\sqrt {-p/3}}=2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos m\right),$

$x_{2}=y_{2}{\sqrt {-p/3}}=2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right),$

$x_{3}=y_{3}{\sqrt {-p/3}}=2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right).$

Kubinė lygtis (3) yra išspręsta.

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}.$

• Pavyzdys. Čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Diskriminantas#Kubinės_lygties_sprendimas_Kordano_metodu ] yra pavyzdys lygties

$x^{3}-19x+30=0,$

kurios $p=-19$, $q=30.$

Jos sprendiniai yra 2, 3 ir $-5.$

Apskaičiuosime juos pagal ką tik išvestas formules.

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}=-{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot 30}{2\cdot (-19){\sqrt {-(-19)}}}}=-{\frac {90{\sqrt {3}}}{2\cdot (-19){\sqrt {19}}}}=-{\frac {45{\sqrt {3}}}{(-19){\sqrt {19}}}}=$

= 45*3^0.5 /(19*19^0.5) = 0.9411150958093732309574814856304.

Arba kitas variantas:

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2{\sqrt {p^{2}}}{\sqrt {-p}}}}=-{\frac {3{\sqrt {3}}\cdot 30}{2{\sqrt {(-19)^{2}}}{\sqrt {-(-19)}}}}=-{\frac {90{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {361}}{\sqrt {19}}}}=-{\frac {45{\sqrt {3}}}{19{\sqrt {19}}}}=$

= -45*3^0.5 /(19*19^0.5) = -0.9411150958093732309574814856304.

Tada

$\arccos m=\arccos(0.9411150958093732309574814856304)=$ 0.34488276150211935210875728756448.

Arba

$\arccos m=\arccos(-0.9411150958093732309574814856304)=$ 2.796709892087673886353886095715.

Apskaičiuosime $x_{1}.$

Su pirma m reikšme:

$x_{1}=2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos m\right)=2{\sqrt {-(-19)/3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos(0.94111509580937323)\right)=$

$=2{\sqrt {19/3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\cdot 0.3448827615021193521\right)=2{\sqrt {19/3}}\cos(0.11496092050070645)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(0.11496092050070645) = 2*(19/3)^0.5 *0.99339926779878285489956379038765 = 5 (Windows 10 kalkuliatoriaus duoda tokią tikslią reikšmę "5", įstačius pajuodintą reikšmę).

Su antra m reikšme:

$x_{1}=2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos m\right)=2{\sqrt {-(-19)/3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos(-0.94111509580937323)\right)=$

$=2{\sqrt {19/3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\cdot 2.796709892087673886353886095715\right)=2{\sqrt {19/3}}\cos(0.93223663069589129545)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(0.93223663069589129545) = 2*(19/3)^0.5 *0.59603956067926971293973827423259 = 3 (Windows 10 kalkuliatoriaus duoda tokią tikslią reikšmę "3", įstačius pajuodintą reikšmę).

Su pirma m reikšme, atsakymas 5 yra be minuso ženklo. O su antra m reikšme, atsakymas 3 yra duotos lygties sprendinys.

Toliau apskaičiuosime $x_{2}.$

Su pirma m reikšme:

$x_{2}=2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right)=2{\sqrt {-(-19)/3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos(0.3448827615021193521)\right)=$

$=2{\sqrt {19/3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \pm 0.11496092050070645\right)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2*pi/3 +0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.0943951023931954923084289221863 +0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.2093560228939019430113480180411) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.59603956067926971293973827423256) =

= -2.9999999999999999999999999999999.

O jeigu po pi paimsime ne pliuso, bet minuso ženklą, tai gausime:

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.0943951023931954923084289221863 -0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(1.9794341818924890416055098263315) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.39735970711951314195982551615502) =

= -1.9999999999999999999999999999998.

Čia kosinusas skaičiuojamas su reikšmėm didesnėm nei pi/2 =~ 1.57, todėl galimos kai kurios klaidos. Bendrai, negalimos klaidos, nes čia kosinusas, o ne arkkosinusas.

Su antra m reikšme:

$x_{2}=2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right)=2{\sqrt {-(-19)/3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos(-0.94111509580937323)\right)=$

$=2{\sqrt {19/3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \pm 0.932236630695891295451\right)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2*pi/3 +0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.0943951023931954923084289221863 + 0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(3.0266317330890867877597242874246) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.99339926779878285489956379038764) =

= -5 (įstačius į Windows 10 kalkuliatorių pajuodintą tekstą).

O jeigu po pi paimsime ne pliuso, bet minuso ženklą, tai gausime:

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.0943951023931954923084289221863 - 0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(1.162158471697304196857133556948) = 2*(19/3)^0.5 * 0.39735970711951314195982551615505 =

= 2 (įstačius į Windows 10 kalkuliatorių pajuodintą tekstą).

Su antra m reikšme iškart gavome du teisingus tos lygties sprendinius.

Toliau apskaičiuosime $x_{3}.$

Su pirma m reikšme:

$x_{3}=2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right)=2{\sqrt {-(-19)/3}}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos(0.3448827615021193521)\right)=$

$=2{\sqrt {19/3}}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \pm 0.11496092050070645\right)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4*pi/3 +0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.1887902047863909846168578443727 +0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.3037511252870974353197769402275) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.39735970711951314195982551615506) =

= -2.

O jeigu po pi paimsime ne pliuso, bet minuso ženklą, tai gausime:

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.1887902047863909846168578443727 - 0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.0738292842856845339139387485179) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.59603956067926971293973827423257) =

= -2.9999999999999999999999999999999.

Su antra m reikšme:

$x_{3}=2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos m\right)=2{\sqrt {-(-19)/3}}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \pm {\frac {1}{3}}\arccos(-0.94111509580937323)\right)=$

$=2{\sqrt {19/3}}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \pm 0.932236630695891295451\right)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4*pi/3 +0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.1887902047863909846168578443727 + 0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(5.121026835482282280068153209611) = 2*(19/3)^0.5 * 0.39735970711951314195982551615505 =

= 2 (įstačius į Windows 10 kalkuliatorių pajuodintą tekstą).

O jeigu po pi paimsime ne pliuso, bet minuso ženklą, tai gausime:

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.1887902047863909846168578443727 - 0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(3.2565535740904996891655624791344) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.99339926779878285489956379038764) =

= -5 (įstačius į Windows 10 kalkuliatorių pajuodintą tekstą).

Su antra m reikšme iškart gavome du teisingus tos lygties sprendinius.

Su antra m reikšmę gavome visus teisingus lygties $x^{3}-19x+30=0$ sprendinius (2, 3. -5). O su pirma m reikšme gavome sprendinius su priešingais ženklais (-2, -3, 5; dėl to visi jie neteisingi).