Matematika/Kryptinė išvestinė

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Kryptinė išvestinė nusako funkcijos pasikeitimo greitį. Pavyzdžiui, jei yra apverstas paraboloidas , tai vien gradientas be kryptinės išvestinės nusako, koks kitimo greitis yra funkcijos, kuriame nors taške. Taške , gradientas funkcijos z lygus 0 (funkcija neturi kitimo greičio). Tai reiškia, kad lėtai didėja (arba mažėja) z reikšmė, kai x ir y yra maži, o kai x ir y reikšmės yra didesnės tuomet toks pat x ir y pasiketimas (pavyzdžiui dydžiu 0,1) įtakoja didelį reikšmės z pasikeitimą. Įstatykime, pavyzdžiui, pasikeitimą x ir y reikšmių dydžiu 1, vienu atveju, kai x=2 ir y=2 ir kitu atveju, kai x=4, y=4. Taigi

Matome, kad su didesniomis x ir y reikšmėmis gaunamas ir didesnis z reikšmės pasikeitimas, pridėjus ir prie x ir y atitinkamai.
Randame gradientą funkcijos taške M(2; 2) ir taške N(4; 4), gauname:
Taške N(4; 4) funkcijos kitimo greitis greitis yra 2 kartus didesnis negu taške M(2; 2).
Kryptinė išvestinė nusako funkcijos kitimo greitį tik tam tikra kryptimi, tarsi, jei vektorius, eis tik y kryptimi, t. y. , o , tai gausime tam tikrame taške (x; y), funkcijos kitimo greitį, kuris priklauso tik nuo y reikšmės.
Raskime, kada funkcijos kitimo greitis bus didžiausias ar vektoriaus kryptimi, ar vektoriaus kryptimi. Vektoriaus b ortas yra
O vektoriaus a ortas yra toks pat kaip vektorius a. Taigi, gauname kryptinių išvestinių dydžius, vektoriaus a ir vektoriaus b kryptimis.
Funkcijos kitimo greitis, šiame pavyzdyje (taške M(2; 2) ir taške N(4; 4)) yra didžiausias vektoriaus (b) kryptimi, kuris su Ox ašimi sudaro 45 laipsnių kampą.
Galime matyti, kad funkcijos kitimo greitis priklauso nuo spindulio, kurio ilgį sudaro taškas (M arba N) ir koordinačių pradžios taškas O(0; 0). Apskaičiuokime atkarpų OM ir ON ilgius.
Parinkime taškus ir Apskaičiuokime dabar funkcijos kitimo greitį šiuose taškuose, vektoriaus kryptimi.
Kaip matome, jei spindulys r plokštumoje xOy vienodas iki bet kokio taško, tai ir funkcijos kitimo greitis vienodas, jei vektorius nukreiptas į tą tašką.
  • Pavyzdis. Rasime funkcijos kryptinę išvestinę taške (2; -1; 3) vektoriaus kryptimi, kai .
Sprendimas. Randame tuomet
Toliau randame išvestines ir apskaičiuojame jų reikšmes taške :
Įrašę šias išvvestinių ir krypties kosinusų reikšmes į formulę, gauname:


  • Pavyzdys. Apskaičiuoti išvestinę funkcijos taške M(1; 2) kriptimi vektoriaus kur - taškas su koordinatėmis (3; 0).
Sprendimas. Rasime vienetinį vektorių turinti duotąją kryptį:
Iš kur Apskaičiuosime dalines išvestines funkcijos taške M(1; 2):
iš kur
Pagal formulę gausime


  • Pavyzdys. Duota funkcija Rasti išvestine taške M(1; 1; 1):
a) kryptimi vektoriaus
b) kryptimi vektoriaus
Sprendimas.

a) Randame nukreipiančius kosinusus vektoriaus

Todėl,
Dalinės išvestinės taške M(1; 1; 1) bus
Taigi,
b) Randame nukreipiančius kosinusus vektoriaus
Todėl,
Pastebėsime, kad
  • Taške A(1; 2; 3) apskaičiuokite lauko gradientą ir kryptinę išvestinę taško B(-2; 0; 1) kryptimi.

AB=(-2-1; 0-2; 1-3)=(-3; -2; -2);

kryptinė išvestinė:
  • Pavyzdys. Reikia surasti išvestinę funkcijos kryptimi sudarančia kampą 60 laipsnių su ašimi Ox, taške M(1; 3). Kitaip tariant, reikia surasti kryptinę išvestinę funkcijos taške M(1; 3), kryptimi vektoriaus, kuris su Ox ašimi sudaro 60 laipsnių kampą.
Sprendimas.
Krypties vektorius yra

Randame dalines išvestines:
Dalinių išvestinių reikšmės taške M(1; 3) yra:
Kryptinės išvestinės reikšmė yra:
  • Pavyzdys. Apskaičiuoti išvestinę funkcijos taške M(1; 2) kriptimi vektoriaus kur - taškas su koordinatėmis (3; 4).
Sprendimas. Rasime vienetinį vektorių turinti duotąją kryptį:
Iš kur Apskaičiuosime dalines išvestines funkcijos taške M(1; 2):
iš kur
Pagal formulę gausime
  • Pavyzdys. Apskaičiuoti išvestinę funkcijos taške M(1; 2) kriptimi vektoriaus kur - taškas su koordinatėmis (4; 3).
Sprendimas. Rasime vienetinį vektorių turinti duotąją kryptį:
Iš kur Apskaičiuosime dalines išvestines funkcijos taške M(1; 2):
iš kur
Pagal formulę gausime
  • Pavyzdys. Apskaičiuoti išvestinę funkcijos taške M(1; 2) kriptimi vektoriaus kur - taškas su koordinatėmis (6; 8).
Sprendimas. Rasime vienetinį vektorių turinti duotąją kryptį:
Iš kur Apskaičiuosime dalines išvestines funkcijos taške M(1; 2):
iš kur
Pagal formulę gausime
  • Pavyzdys. Apskaičiuoti išvestinę funkcijos taške M(1; 2) kriptimi vektoriaus kur - taškas su koordinatėmis (8; 6).
Sprendimas. Rasime vienetinį vektorių turinti duotąją kryptį:
Iš kur Apskaičiuosime dalines išvestines funkcijos taške M(1; 2):
iš kur
Pagal formulę gausime
  • Pavyzdys. Apskaičiuoti išvestinę funkcijos taške M(1; 2) kriptimi vektoriaus kur - taškas su koordinatėmis (3; 6).
Sprendimas. Rasime vienetinį vektorių turinti duotąją kryptį:
Iš kur Apskaičiuosime dalines išvestines funkcijos taške M(1; 2):
iš kur
Pagal formulę gausime
  • Pavyzdys. Apskaičiuoti išvestinę funkcijos taške M(1; 2) kriptimi vektoriaus kur - taškas su koordinatėmis (1; 6).
Sprendimas. Rasime vienetinį vektorių turinti duotąją kryptį:
Iš kur Apskaičiuosime dalines išvestines funkcijos taške M(1; 2):
iš kur
Pagal formulę gausime
  • Pavyzdys. Apskaičiuoti išvestinę funkcijos taške M(1; 2) kriptimi vektoriaus kur - taškas su koordinatėmis (3; 2).
Sprendimas. Rasime vienetinį vektorių turinti duotąją kryptį:
Iš kur Apskaičiuosime dalines išvestines funkcijos taške M(1; 2):
iš kur
Pagal formulę gausime


  • Nustatyti gradientą funkcijos (pav. 182) taške M(2; 4). Ir apskaičiuoti kryptinę išvestinę, vektoriaus kryptimi. Funkcija yra elipsinis paraboloidas.
Sprendimas. Čia
Todėl
Lygtis linijos lygio (pav. 183), praeinančios per duotą tašką, bus

nes įstačius taško M reikšmes gauname:

Randame vektoriaus a ortą:
Randame kryptinės išvestinės reikšmę, taške M(2; 4), vektoriaus kryptimi:
  • a) Nustatyti funkcijos (pav. 182) didžiausią greičio kitimo kryptį taške M(2; 4); b) surasti vektorių, kurio kryptimi, kryptinės išvestinės reikšmė taške M(2; 4) yra didžiausia ir apskaičiuoti kryptinės išvestinės reikšmę to vektoriaus kryptimi taške M(2; 4).
Sprendimas.
a) Didžiausia funkcijos kitimo kryptis yra nusakoma vektoriumi
Todėl
b) Kryptinės išvestinės reikšmė taške M(2; 4) yra didžiausia vektoriaus kryptimi.
Randame vektoriaus ortą:
Randame kryptinės išvestinės reikšmę, taške M(2; 4), vektoriaus kryptimi:
  • Nustatyti gradientą funkcijos (pav. 182) taške M(2; 4). Ir apskaičiuoti kryptinę išvestinę, vektoriaus kryptimi. Funkcija yra elipsinis paraboloidas.
Sprendimas. Čia
Todėl
Lygtis linijos lygio (pav. 183), praeinančios per duotą tašką, bus

nes įstačius taško M reikšmes gauname:

Randame vektoriaus a ortą:
Randame kryptinės išvestinės reikšmę, taške M(2; 4), vektoriaus kryptimi:
  • Nustatyti gradientą funkcijos (pav. 182) taške M(2; 4). Ir apskaičiuoti kryptinę išvestinę, vektoriaus kryptimi. Funkcija yra elipsinis paraboloidas.
Sprendimas. Čia
Todėl
Randame vektoriaus a ortą:
Randame kryptinės išvestinės reikšmę, taške M(2; 4), vektoriaus kryptimi:

Nuorodos[keisti]