Matematika/Kreivis

Kreivio skaičiavimas be evoliutės ir evolventės neturi prasmės. Kreivis susijęs su jų spinduliu. Rusiškai kreivis vadinasi кривизна.

Kreivis

Vaizdas:Kreivispav139.jpg

139 pav.

Vaizdas:Kreivispav140.jpg

140 pav.

Vienas iš elementų, charakterizuojančių formą kreivės, yra laipsnis jos išlinkimo, išsilenkimo.

Tegu mes turime kreivę, kuri nekerta pati savęs ir turi tam tikrą liestinę kiekviename taške. Pravesime liestines prie kreivės kokiuose nors dviejuose jos taškuose A ir B ir pažymėsime per $\alpha$ kampą, padarytąšitomis liestinėmis, arba - tiksliau - kampą pasisukimo liestinės pereinant iš taško A į tašką B (139 pav.). Šitas kampas vadinasi kreivumo kampu (углом смежности) lanko AB. Pas du lankus, turinčius vienodą ilgį, daugiau išlinkęs tas lankas, pas kurią kreivumo kampas didesnis (139 ir 140 pav.).

Iš kitos pusės, nagrinėjant lankus skirtingo ilgio, mes negalime įvertinti laipsnį jų išlinkimo tiktai atitinkančiu kreivumo kampu. Iš čia seka, kad pilna charakteristika išlinkimo kreivės bus santykis kreivumo kampo su ilgiu atitinkančios tiesės.

Apibrėžimas 1. Vidutiniu kreiviu $K_{vid}$ lanko ${\breve {AB}}$ vadinasi santykis kreivumo kampo $\alpha$ su ilgiu lanko:

$K_{vid}={\frac {\alpha }{\breve {AB}}}.$

Vaizdas:Kreivispav141.jpg

141 pav.

Vienai ir tai pačiai kreivei vidutinis kreivis jos skirtingų dalių (lankų) gali būti skirtingas; pavyzdžiui, kreivei parodytai paveiksle 141, vidutinis kreivis lanko ${\breve {AB}}$ nelygus vidutiniui kreiviui lanko ${\breve {A_{1}B_{1}}},$ nors ilgiai šitų lankų lygūs tarpusavyje. Be to, arti prie skirtingų taškų kreivė išlenkta skirtingai. Tam, kad charakterizuoti išlinkimo laipsnį duotos linijos betarpiškai arti prie duoto taško A, įvesime apibrėžimą kreivio kreivės duotame taške.

Apibrėžimas 2. Kreiviu $K_{A}$ linijos duotame taške A vadinasi riba vidutinio kreivio lanko ${\breve {AB}},$ kada ilgis šito lanko artėja prie nulio (t. y. kada taškas B artėja (mes tariam, kad dydis ribos nepriklauso nuo to, iš kokios pusės nuo taško A mes imame kintamą tašką B ant kreivės) prie taško A):

$K_{A}=\lim _{B\to A}K_{vid}=\lim _{AB\to 0}={\frac {\alpha }{\breve {AB}}}.$

Pastaba. Pažymėsime, kad betkokiai kreivei kreivis skirtingose jos taškuose, bus skirtingas. Tai mes pamatysime žemiau.

Pavyzdžiai

Vaizdas:Kreivispav142.jpg

142 pav.

• Apskritimui spindulio r: 1) nustatyti vidutinį kreivį lanko AB, atitinkantį centriam kamui $\alpha$ (142 pav.); 2) nustatyti kreivį taške A.

Sprendimas. 1) Akivaizdu, kad kreivumo kampas lanko ${\breve {AB}}$ lygus $\alpha$, ilgis lanko lygus $\alpha r$. Todėl,

$K_{vid}={\frac {\alpha }{\alpha r}},$

arba

$K_{vid}={\frac {1}{r}}.$

2) Kreivis taške A lygus

$K=\lim _{\alpha \to 0}{\frac {\alpha }{\alpha r}}={\frac {1}{r}}.$

Tokiu budu, vidutinis kreivis lanko apskritimo spindulio r nepriklauso nuo ilgio ir padeties lanko, visiems lankams jis lygus ${\frac {1}{r}}.$ Kreivis apskritimo betkokiame jo taške taip pat nepriklauso nuo pasirinkimo šito taško ir lygus ${\frac {1}{r}}.$

Kreivio apskaičiavimas

Įvesime formulę apskaičiavimui kreivio duotos linijos betkokiame jos taške $M(x;y)$. Be to mes tarsime, kad kreivė užrašyta dekardo koordinačių sistemmoje lygtimi pavidalo

$y=f(x)\quad (1)$

ir kad funkcija $f(x)\;$ turi netrūkią antrą išvestinę.

Vaizdas:Kreivispav143.jpg

143 pav.

Pravesime liestines kreivės taškuose M ir $M_{1}$ su abscisėmis x ir $x+\Delta x$ ir pažymėsime per $\phi$ ir $\phi +\Delta \phi$ palinkimo kampus šitų liestinių (143 pav.).

Ilgį kreivės ${\breve {M_{0}M}},$ atskaičiuojamos nuo tam tikro pastovaus taško $M_{0}$, pažymėsime per s; tada $\Delta s={\breve {M_{0}M_{1}}}-{\breve {M_{0}M}},$ o $|\Delta s|={\breve {MM_{1}}}.$

Kaip betarpiškai matosi iš pav. 143, gretimumo kampas, atitinkantis lankui ${\breve {MM_{1}}}$, lygūs absoliučiam dydžiui (kreivei, pavaizduotai paveiksle 143, akivaizdu, kad $|\Delta \phi |=\Delta \phi ,$ kadangi $\Delta \phi >0$) skirtumo kampų $\phi$ ir $\phi +\Delta \phi ,$ t. y. lygus $|\Delta \phi |.$

Pagal apibrėžimą vidutinio kreivio kreivės srityje $MM_{1}$ turime:

$K_{vid}={\frac {|\Delta \phi |}{|\Delta s|}}=\left|{\frac {\Delta \phi }{\Delta s}}\right|.$

Kad gauti kreivį taške M, reikia rasti ribą gautos išraiškos su sąlyga, kad ilgis lanko ${\breve {MM_{1}}}$ artėja prie nulio:

$K=\lim _{\Delta s\to 0}=\left|{\frac {\Delta \phi }{\Delta s}}\right|.$

Kadangi dydžiai $\phi$ ir s abu priklauso nuo x (yra funkcijos nuo x), tai, dėl to, $\phi$ galima nagrinėti kaip funkciją nuo s. Mes galime laikyti, kad šita funkcija užduota parametriškai su x parametro pagalba. Tada

$\lim _{\Delta s\to 0}={\frac {\Delta \phi }{\Delta s}}={\frac {d\phi }{ds}}$

ir, todėl,

$K=\left|{\frac {d\phi }{ds}}\right|\quad (2).$

Skaičiavimui ${\frac {d\phi }{ds}}$ panaudojame formulę diferencijavimo funkcijos, užduotos parametriškai:

${\frac {d\phi }{ds}}={\frac {\frac {d\phi }{dx}}{\frac {ds}{dx}}}.$

Kad išreikšti išvestinę ${\frac {d\phi }{dx}}$ per funkciją $y=f(x),\;$ pastebime, kad $\tan \phi ={\frac {dy}{dx}}$ ir, todėl,

$\phi =\arctan {\frac {dy}{dx}}.$

Diferencijuodami pagal x paskutinę lygybę, turėsime:

${\frac {d\phi }{dx}}={\frac {d(\arctan {\frac {dy}{dx}})}{dx}}={\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}.$

(Arba $\phi '(x)=(\arctan(y'))'={\frac {y''}{1+(y')^{2}}}.$)

Kas liečia išvestinę ${\frac {ds}{dx}},$ tai mes radome

${\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}.$

Todėl

${\frac {d\phi }{ds}}={\frac {\frac {d\phi }{dx}}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}={\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}},$

arba, kadangi $K=\left|{\frac {d\phi }{ds}}\right|,$ galutinai gauname:

$K={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}.\quad (3)$

Iš to seka, kad betkokiame taške kreivės, kur egzistuoja ir netrūki antra išvestinė ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ galima apskaičiuoti kreivį. Jo apskaičiavimui tarnauja formulė (3). Pastebėsime, kad skaičiuojant kreivį kreivės reikia imti tik aritmetinę (t. y. teigiamą) reikšmę šaknies vardiklyje, kadangi kreivis linijos pagal apibrėžimą negali būti neigiamas.

Pavyzdžiai

• Nustatyti kreivį parabolės $y^{2}=2px$:

a) jos laisvai pasirenktame taške M(x; y);

b) taške $M_{1}(0;0)$;

c) taške $M_{2}({\frac {p}{2}};p).$

Sprendimas. Randame pirmą ir antrą išvestines funkcijos $y={\sqrt {2px}}$:

${\frac {dy}{dx}}=({\sqrt {2px}})'={\frac {(2px)'}{2{\sqrt {2px}}}}={\frac {p}{\sqrt {2px}}};\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=\left({\frac {p}{\sqrt {2px}}}\right)'=-{\frac {p(2px)'}{2(2px)^{3 \over 2}}}=-{\frac {p^{2}}{(2px)^{3 \over 2}}}.$

Įstatydami gautas išraiškas į formulę (3), gausime:

a) $K={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {\left|-{\frac {p^{2}}{(2px)^{3 \over 2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {p}{\sqrt {2px}}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {p^{2}}{(2px)^{3 \over 2}\left[1+{\frac {p^{2}}{2px}}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {p^{2}}{(2px+p^{2})^{3 \over 2}}};$

b) $K_{x=0,\;y=0}={\frac {p^{2}}{(2p\cdot 0+p^{2})^{3 \over 2}}}={\frac {p^{2}}{p^{3}}}={\frac {1}{p}};$

c) $K_{x={\frac {p}{2}},\;y=p}={\frac {p^{2}}{(2p\cdot {\frac {p}{2}}+p^{2})^{3 \over 2}}}={\frac {p^{2}}{(2p^{2})^{3 \over 2}}}={\frac {p^{2}}{{\sqrt {2^{3}}}p^{3}}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}p}}.$

• Nustatyti kreivį tiesės $y=ax+b$ jos laisvai pasirinktame taške (x; y).

Sprendimas. $y'=(ax+b)'=a,\quad y''=a'=0.$

Pasinaudojant formule (3), gauname:

$K={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {|y''|}{[1+(y')^{2}]^{3 \over 2}}}={\frac {|0|}{[1+a^{2}]^{3 \over 2}}}=0.$

Tokiu budu, tiesė yra "linija nulinio kreivio". Šita gi rezultatą lengvai galima gauti betarpiškai iš kreivio apibrėžimo.

• Apskaičiuokime kreivį bet kuriame grandininės linijos $y=a\cosh {\frac {x}{a}}$ taške (hiperbolinio kosinuso formulė yra tokia $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}$; hiperbolinio kosinuso išvestinė yra $(\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}$; hiperbolinio sinuso išvestinė yra $(\sinh x)'=\cosh x$).

Kadangi

$1+[f'(x)]^{2}=1+[(a\cosh {\frac {x}{a}})']^{2}=1+[({\frac {x}{a}})'a\sinh {\frac {x}{a}}]^{2}=1+[{\frac {1}{a}}\cdot a\sinh {\frac {x}{a}}]^{2}=1+\sinh ^{2}{\frac {x}{a}}=\cosh ^{2}{\frac {x}{a}}={\frac {y^{2}}{a^{2}}},$

$f'(x)=(a\cosh {\frac {x}{a}})'=({\frac {x}{a}})'a\sinh {\frac {x}{a}}={\frac {1}{a}}\cdot a\sinh {\frac {x}{a}}=\sinh {\frac {x}{a}},$

$f''(x)=(\sinh {\frac {x}{a}})'={\frac {1}{a}}\cosh {\frac {x}{a}}={\frac {y}{a^{2}}},$

tai kreivis yra lygus

$k={\frac {f''(x)}{[1+(f'(x))^{2}]^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{a}}\cosh {\frac {x}{a}}}{[1+(\sinh {\frac {x}{a}})^{2}]^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{a}}\cosh {\frac {x}{a}}}{[\cosh ^{2}{\frac {x}{a}}]^{3/2}}}={\frac {\frac {y}{a^{2}}}{({\frac {y^{2}}{a^{2}}})^{3/2}}}={\frac {\frac {y}{a^{2}}}{\frac {y^{3}}{a^{3}}}}={\frac {a^{3}y}{a^{2}y^{3}}}={\frac {a}{y^{2}}}={\frac {a}{a^{2}\cosh ^{2}{\frac {x}{a}}}}={\frac {1}{a\cosh ^{2}{\frac {x}{a}}}}.$

• Nustatyti kreivį parabolės $y=x^{2}$ taškuose $x_{0}=0$ ir $x_{1}=5.$ Rasti prabolės evoliutės lanko ilgį iš taško $C_{0}(x_{2};\;y_{2})$ iki taško $C_{1}(x_{3};\;y_{3}).$ Taškas $C_{0}$ yra spindulio $R_{0}$ centras, o taškas $C_{1}$ yra spindulio $R_{2}$ centras. Spindulys $R_{0}$ yra atkarpa iš taško $M_{0}(x_{0};y_{0})$ iki taško $C_{0}(x_{2};y_{2})$. Spindulys $R_{1}$ yra atkarpa iš taško $M_{1}(x_{1};y_{1})$ iki taško $C_{1}(x_{3};y_{3})$.

Sprendimas. $y'=(x^{2})'=2x,\quad y''=(2x)'=2.$

$K={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {|2|}{[1+(2x)^{2}]^{3 \over 2}}}={\frac {2}{(1+4x^{2})^{3 \over 2}}}.$

Kreivis taške $M_{0}$ yra lygus:

$K_{M_{0}}={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {|2|}{[1+(2x)^{2}]^{3 \over 2}}}={\frac {2}{(1+4x^{2})^{3 \over 2}}}={\frac {2}{(1+4\cdot 0^{2})^{3 \over 2}}}=2.$

$R_{0}={\frac {1}{K_{M_{0}}}}={\frac {1}{2}}=0.5.$

Kreivis taške $M_{1}$ yra lygus:

$K_{M_{1}}={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {|2|}{[1+(2x)^{2}]^{3 \over 2}}}={\frac {2}{(1+4x^{2})^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {2}{(1+4\cdot 5^{2})^{3 \over 2}}}={\frac {2}{101^{3 \over 2}}}={\frac {2}{\sqrt {1030301}}}={\frac {2}{1015.037438}}=0.00197037.$

$R_{1}={\frac {1}{K_{M_{1}}}}={\frac {1}{\frac {2}{\sqrt {1030301}}}}={\frac {\sqrt {1030301}}{2}}=507.5187189.$

Parabolės evoliutės lanko ilgis iš taško $C_{0}$ iki taško $C_{1}$ yra lygus:

$L=R_{1}-R_{0}={\frac {\sqrt {1030301}}{2}}-{\frac {1}{2}}=507.5187189-0.5=507.0187189.$

• Nustatyti kreivį parabolės $y=x^{2}$ taškuose $x_{0}=0$ ir $x_{1}=5.$ Rasti prabolės evoliutės lanko ilgį iš taško $C_{0}(x_{2};\;y_{2})$ iki taško $C_{1}(x_{3};\;y_{3})$ naudojantis kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(y')^{2}}}dx.$

Taškas $C_{0}$ yra spindulio $R_{0}$ centras, o taškas $C_{1}$ yra spindulio $R_{2}$ centras. Spindulys $R_{0}$ yra atkarpa iš taško $M_{0}(x_{0};y_{0})$ iki taško $C_{0}(x_{2};y_{2})$. Spindulys $R_{1}$ yra atkarpa iš taško $M_{1}(x_{1};y_{1})$ iki taško $C_{1}(x_{3};y_{3})$.

Sprendimas. $y'=(x^{2})'=2x,\quad y''=(2x)'=2.$

$K={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {|2|}{[1+(2x)^{2}]^{3 \over 2}}}={\frac {2}{(1+4x^{2})^{3 \over 2}}}.$

Kreivis taške $M_{0}$ yra lygus:

$K_{M_{0}}={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {|2|}{[1+(2x)^{2}]^{3 \over 2}}}={\frac {2}{(1+4x^{2})^{3 \over 2}}}={\frac {2}{(1+4\cdot 0^{2})^{3 \over 2}}}=2.$

$R_{0}={\frac {1}{K_{M_{0}}}}={\frac {1}{2}}=0.5.$

Kreivis taške $M_{1}$ yra lygus:

$K_{M_{1}}={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {|2|}{[1+(2x)^{2}]^{3 \over 2}}}={\frac {2}{(1+4x^{2})^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {2}{(1+4\cdot 5^{2})^{3 \over 2}}}={\frac {2}{101^{3 \over 2}}}={\frac {2}{\sqrt {1030301}}}={\frac {2}{1015.037438}}=0.00197037.$

$R_{1}={\frac {1}{K_{M_{1}}}}={\frac {1}{\frac {2}{\sqrt {1030301}}}}={\frac {\sqrt {1030301}}{2}}=507.5187189.$

Dabar užrašysime parabolės normalės lygtį taške $M_{1}(5;25)$:

$y-y_{M_{1}}=-{\frac {1}{y'(x_{M_{1}})}}(x-x_{M_{1}}),$

$y-y_{M_{1}}=-{\frac {1}{2x_{M_{1}}}}(x-x_{M_{1}}),$

$y-25=-{\frac {1}{2\cdot 5}}(x-5),$

$y-25=-{\frac {1}{10}}(x-5),$

$y=-{\frac {x}{10}}+{\frac {1}{2}}+25=-0.1x+25.5.$

Toliau rasime spindulio $R_{1}={\frac {\sqrt {1030301}}{2}}$ centro $C_{1}(x_{3};\;y_{3})$ koordinates. Žinome, kad

$(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}=R_{1}^{2},$

${\sqrt {(x_{3}-5)^{2}+(y_{3}-25)^{2}}}=R_{1},$

$(x_{3}-5)^{2}+(y_{3}-25)^{2}=\left({\frac {\sqrt {1030301}}{2}}\right)^{2},$

$(x_{3}-5)^{2}+(y_{3}-25)^{2}={\frac {1030301}{4}}=257575.25.$

Išsprendę lygčių sistemą rasime $x_{3}$ taško $C_{1}$ koordinatę:

${\begin{cases}y-25=-{\frac {1}{10}}(x-5),&\\(x-5)^{2}+(y-25)^{2}={\frac {1030301}{4}};&\end{cases}}$

keitimo budu gauname:

$(x-5)^{2}+\left(-{\frac {1}{10}}(x-5)\right)^{2}={\frac {1030301}{4}},$

$(x-5)^{2}+{\frac {1}{100}}(x-5)^{2}={\frac {1030301}{4}},$

$x^{2}-10x+25+{\frac {x^{2}-10x+25}{100}}={\frac {1030301}{4}},$

$x^{2}-10x+25+0.01x^{2}-0.1x+0.25=257575.25,$

$x^{2}-10x+25+0.01x^{2}-0.1x+0.25-257575.25=0,$

$x^{2}+0.01x^{2}-10x-0.1x-257575+25=0,$

$1.01x^{2}-10.1x-257550=0,$

$101x^{2}-1010x-25755000=0,$

Tai yra kvadratinė lygtis, kurios sprendiniai yra:

$x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-(-1010)+{\sqrt {(-1010)^{2}-4\cdot 101\cdot (-25755000)}}}{2\cdot 101}}=$

$={\frac {1010+{\sqrt {1020100+10405020000}}}{202}}={\frac {1010+{\sqrt {10406040100}}}{202}}={\frac {1010+102010}{202}}={\frac {103020}{202}}=510;$

$x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-(-1010)-{\sqrt {(-1010)^{2}-4\cdot 101\cdot (-25755000)}}}{2\cdot 101}}=$

$={\frac {1010-{\sqrt {1020100+10405020000}}}{202}}={\frac {1010-{\sqrt {10406040100}}}{202}}={\frac {1010-102010}{202}}={\frac {-101000}{202}}=-500.$

Kadangi spindulys $R_{1}$ yra parabolės liestinės normalė ir spindulio $R_{1}$ galas (centras $C_{1}$) priklauso parabolės evoliutei, tai

$x_{3}=-500.$

Žinodami $x_{3}$, įstatę į parabolės evoliutės lygtį, randame (sekančiame pavyzdyje pateiktas parabolės evoliutės lygties radimas):

$y_{3}={\frac {3x_{3}^{2 \over 3}}{16^{1 \over 3}}}+{\frac {1}{2}}={\frac {3\cdot (-500)^{2 \over 3}}{16^{1 \over 3}}}+{\frac {1}{2}}={\frac {3\cdot 250000^{1 \over 3}}{16^{1 \over 3}}}+{\frac {1}{2}}=$

$=3\cdot 15625^{1 \over 3}+0.5=3\cdot 25+0.5=75+0.5=75.5.$

Arba per Pitagoro teoremą randame:

$y_{p}={\sqrt {R_{1}^{2}-(x_{3}-x_{1})^{2}}}={\sqrt {507.5187189^{2}-(-500-5)^{2}}}={\sqrt {257575.25-255025}}={\sqrt {2550.25}}=50.5;$

$y_{3}=y_{1}+y_{p}=25+50.5=75.5.$

Taigi, radome spindulio $R_{1}$ centrą $C_{1}(-500;\;75.5).$

Toliau rasime spindulio $R_{0}={\frac {1}{2}}$ centro $C_{0}(x_{2};\;y_{2})$ koordinates. Žinome, kad

$(x_{2}-x_{0})^{2}+(y_{2}-y_{0})^{2}=R_{0}^{2},$

${\sqrt {(x_{2}-0)^{2}+(y_{2}-0)^{2}}}=R_{0},$

$(x_{2}-0)^{2}+(y_{2}-0)^{2}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2},$

$(x_{3}-0)^{2}+(y_{3}-0)^{2}={\frac {1}{4}}.$

Išsprendę lygčių sistemą rasime $x_{2}$ (taško $C_{0}$ koordinate):

${\begin{cases}y-0=-{\frac {1}{2x}}(x-0),&\\(x-0)^{2}+(y-0)^{2}={\frac {1}{4}};&\end{cases}}$

keitimo budu gauname:

$(x-0)^{2}+\left(-{\frac {1}{2x}}(x-0)\right)^{2}={\frac {1}{4}},$

$x^{2}+{\frac {1}{4x^{2}}}(x-0)^{2}={\frac {1}{4}},$

$x^{2}+{\frac {x^{2}}{4x^{2}}}={\frac {1}{4}},$

$x^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}},$

$x^{2}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}},$

$x=0.$

Taigi, $x_{2}=0.$ Žinodami $x_{2}$, įstatę į parabolės evoliutės lygtį, randame (sekančiame pavyzdyje pateiktas parabolės evoliutės lygties radimas):

$y_{2}={\frac {3x_{2}^{2 \over 3}}{16^{1 \over 3}}}+{\frac {1}{2}}={\frac {3\cdot 0^{2 \over 3}}{16^{1 \over 3}}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}=0.5.$

Arba per Pitagoro teoremą randame:

$y_{d}={\sqrt {R_{0}^{2}-(x_{2}-x_{0})^{2}}}={\sqrt {0.5^{2}-(0-0)^{2}}}={\sqrt {0.25-0}}={\sqrt {0.25}}=0.5;$

$y_{3}=y_{0}+y_{d}=0+0.5=0.5.$

Radome spindulio $R_{0}$ centrą $C_{0}(0;\;{\frac {1}{2}}).$

• Rasti lygtį evoliutės parabolės

$y=x^{2}.$

Rasti lanko ilgį L evoliutės šios parabolės naudojantis kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(y')^{2}}}dx.$

Rasti evoliutės lanko ilgį iš taško $M_{0}(0;\;{\frac {1}{2}})$ iki taško $M_{1}(-500;\;75.5).$

Sprendimas. Turime bet kokiam taškui (x; y) parabolės kreivio centro koordinates $C(\alpha ;\beta )$:

${\frac {dy}{dx}}=(x^{2})'=2x;$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=(2x)'=2;$

$\alpha =x-{\frac {y'(1+y'^{2})}{y''}}=x-{\frac {2x(1+(2x)^{2})}{2}}=x-x(1+4x^{2})=x-x-4x^{3}=-4x^{3}.$

$\beta =y+{\frac {1+y'^{2}}{y''}}=x^{2}+{\frac {1+(2x)^{2}}{2}}=x^{2}+{\frac {1+4x^{2}}{2}}=x^{2}+{\frac {1}{2}}+2x^{2}=3x^{2}+{\frac {1}{2}}.$

(Pavyzdžiui, taške M(5; 25), turime $\alpha =-4\cdot 5^{3}=-4\cdot 125=-500$ ir $\beta =3\cdot 5^{2}+0.5=75+0.5=75.5$, gauname C(-500; 75.5)).

Eliminuojant iš šitų lygčių parametrą x, gausime:

$\alpha =-4x^{3},$

$-{\frac {\alpha }{4}}=x^{3},$

$x=-\left({\frac {\alpha }{4}}\right)^{1 \over 3};$

$\beta =3x^{2}+{\frac {1}{2}},$

$\beta =3\left(-\left({\frac {\alpha }{4}}\right)^{1 \over 3}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}=3\left({\frac {\alpha }{4}}\right)^{2 \over 3}+{\frac {1}{2}},$

$\beta ={\frac {3\alpha ^{2 \over 3}}{16^{1 \over 3}}}+{\frac {1}{2}}.$

Tai yra lygtis evoliutės. Čia $\beta$ yra ordinačių ašies (Oy ašies) reikšmė, o $\alpha$ yra abscisių ašies (Ox ašies) reikšmė.

Rasime evoliutės lanko ilgį iš taško $M_{0}(0;\;{\frac {1}{2}})$ iki taško $M_{1}(-500;\;75.5):$

${\frac {d\beta }{d\alpha }}=\left({\frac {3\alpha ^{2 \over 3}}{16^{1 \over 3}}}+{\frac {1}{2}}\right)'={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3\alpha ^{-{\frac {1}{3}}}}{16^{\frac {1}{3}}}}={\frac {2}{16^{1 \over 3}\alpha ^{1 \over 3}}};$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d\beta }{d\alpha }}\right)^{2}}}d\alpha =\int _{-500}^{0}{\sqrt {1+\left({\frac {2}{16^{\frac {1}{3}}\alpha ^{1 \over 3}}}\right)^{2}}}d\alpha =\int _{-500}^{0}{\sqrt {1+{\frac {4}{256^{1 \over 3}\alpha ^{2 \over 3}}}}}d\alpha =\int _{-500}^{0}{\frac {2}{16^{1 \over 3}}}{\sqrt {{\frac {256^{1 \over 3}}{4}}+{\frac {1}{\alpha ^{2 \over 3}}}}}d\alpha =$

$={\frac {2}{16^{1 \over 3}}}\cdot {\frac {2x+(2x)^{1 \over 3}}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{x^{2 \over 3}}}+2^{2 \over 3}}}|_{-500}^{0}={\frac {1}{16^{1 \over 3}}}(2x+(2x)^{1 \over 3}){\sqrt {{\frac {1}{x^{2 \over 3}}}+2^{2 \over 3}}}|_{-500}^{0}=$

$={\frac {1}{16^{1 \over 3}}}(2\cdot 0+(2\cdot 0)^{1 \over 3}){\sqrt {{\frac {1}{0^{2 \over 3}}}+2^{2 \over 3}}}-{\frac {1}{16^{1 \over 3}}}(2\cdot (-500)+(2\cdot (-500))^{1 \over 3}){\sqrt {{\frac {1}{(-500)^{2 \over 3}}}+2^{2 \over 3}}}=$

$=-{\frac {1}{16^{1 \over 3}}}(-1000+(-1000)^{1 \over 3}){\sqrt {{\frac {1}{250000^{1 \over 3}}}+4^{1 \over 3}}}=-{\frac {1}{16^{1 \over 3}}}(-1000-10){\sqrt {{\frac {1}{250000^{1 \over 3}}}+4^{1 \over 3}}}=$

$={\frac {1}{16^{1 \over 3}}}\cdot 1010{\sqrt {{\frac {1}{250000^{1 \over 3}}}+4^{1 \over 3}}}=$

$=0.396850263\cdot 1010{\sqrt {{\frac {1}{62.99605249}}+1.587401052}}=$

$=0.396850263\cdot 1010{\sqrt {0.01587401+1.587401052}}=2.5198421\cdot 1010{\sqrt {1.603275062}}=$

$=0.396850263\cdot 1010\cdot 1.266204984=507.5187187.$

Pasinaudojome internetiniu integratoriumi http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=sqrt%5B%28256%5E%281%2F3%29%29%2F4%2B1%2F%28x%5E%282%2F3%29%29%5D&random=false.

Bet tikrasis lanko ilgis yra $L=507.0187187$. Kad gauti šitą reikšmę reikia integruoti nuo -500 iki -0,000001, tai, matyt, evoliutės ypatumas kai kuriais atvejais. Įstačius $x=-0.001$, gauname:

${\frac {1}{16^{1 \over 3}}}(2x+(2x)^{1 \over 3}){\sqrt {{\frac {1}{x^{2 \over 3}}}+2^{2 \over 3}}}={\frac {1}{16^{1 \over 3}}}(-0.002+(-0.002)^{1 \over 3}){\sqrt {{\frac {1}{(-0.001)^{2 \over 3}}}+2^{2 \over 3}}}=$

$={\frac {1}{16^{1 \over 3}}}(-0.002-0.125992105){\sqrt {{\frac {1}{(-0.001)^{2 \over 3}}}+2^{2 \over 3}}}={\frac {1}{2.5198421}}\cdot (-0.127992105)\cdot {\sqrt {{\frac {1}{0.01}}+2^{2 \over 3}}}=$

$=0.396850263\cdot (-0.127992105)\cdot {\sqrt {100+1.587401052}}=-0.0507937\cdot {\sqrt {101.5874011}}=$

$=-0.0507937\cdot 10.07905755=-0.51195263.$

• Nustatyti krevio centro taškų $C_{1}(x_{1};y_{1})$ ir $C_{2}(x_{2};y_{2})$ koordinates hiperbolės $y={\sqrt {2x}}$ taškuose $O(0;0)$ ir $M(2;2)$ atitinkamai.

Rasti kreivį taškuose $O(0;0)$, $M(2;2).$

Rasti spindulio $R_{1}$ ilgį iš taško $O(0;\;0)$ iki taško $C_{1}(x_{1};\;y_{1}).$

Rasti spindulio $R_{2}$ ilgį iš taško $M(2;\;2)$ iki taško $C_{2}(x_{2};\;y_{2}).$

Rasti hiperbolės evoliutės lanko ilgį L iš taško $C_{1}(x_{1};\;y_{1})$ iki taško $C_{2}(x_{2};\;y_{2}).$ Pagal apibrėžimą evoliutės lanko ilgis L lygus spindulių $R_{2}$ ir $R_{1}$ skirtumui.

Rasti hiperbolės evolutės lygtį.

Rasti hiperbolės evoliutės lanko ilgį L iš taško $C_{1}(x_{1};\;y_{1})$ iki taško $C_{2}(x_{2};\;y_{2})$ naudojantis kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule $L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(y')^{2}}}dx.$

Sprendimas. Įstatant reikšmes ${\frac {dy}{dx}}$ ir ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ į formules, gausime:

${\frac {dy}{dx}}=({\sqrt {2x}})'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2x)'}{\sqrt {2x}}}={\frac {1}{\sqrt {2x}}};$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=\left({\frac {p}{\sqrt {2x}}}\right)'=-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2x)'}{(2x)^{3 \over 2}}}=-{\frac {1}{(2x)^{3 \over 2}}};$

$\alpha =x-{\frac {y'(1+y'^{2})}{y''}}=x-{\frac {{\frac {1}{\sqrt {2x}}}(1+{\frac {1}{2x}})}{-{\frac {1}{(2x)^{3 \over 2}}}}}=x-{\frac {1}{1+{\frac {1}{2x}}}}{-{\frac {1}{2x}}}=x+2x+1=3x+1;$

$\beta =y+{\frac {1+y'^{2}}{y''}}={\sqrt {2x}}+{\frac {1+{\frac {1}{2x}}}{-{\frac {1}{(2x)^{3 \over 2}}}}}={\frac {-{\frac {\sqrt {2x}}{(2x)^{3 \over 2}}}+1+{\frac {1}{2x}}}{-{\frac {1}{(2x)^{3 \over 2}}}}}=$

$={\frac {-{\frac {1}{2x}}+1+{\frac {1}{2x}}}{-{\frac {1}{(2x)^{3 \over 2}}}}}={\frac {1}{-{\frac {1}{(2x)^{3 \over 2}}}}}=-(2x)^{3 \over 2}.$

Taško $C_{1}(x_{1};y_{1})$ koordinatės yra šios:

$x_{1}=\alpha =3x+1=3x_{O}+1=3\cdot 0+1=1;$

$y_{1}=\beta =-(2x)^{3 \over 2}=-(2x_{O})^{3 \over 2}=-(2\cdot 0)^{3 \over 2}=0.$

Vadinasi kreivio centras taške $O(0;0)$ yra $C_{1}(1;0)$.

Taško $C_{2}(x_{2};y_{2})$ koordinatės yra šios:

$x_{2}=\alpha =3x+1=3x_{M}+1=3\cdot 2+1=7;$

$y_{2}=\beta =-(2x)^{3 \over 2}=-(2x_{M})^{3 \over 2}=-(2\cdot 2)^{3 \over 2}=-{\sqrt {4^{3}}}=-4{\sqrt {4}}=-8.$

Kreivio centras taške $M(2;2)$ yra taškas $C_{2}(7;-8)$.

Hiperbolės $y={\sqrt {2x}}$ kreivis yra

$K={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {\left|-{\frac {1}{(2x)^{3 \over 2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {1}{\sqrt {2x}}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {1}{(2x)^{3 \over 2}\left[1+{\frac {1}{2x}}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {1}{(2x+1)^{3 \over 2}}}.$

Hiperbolės $y={\sqrt {2x}}$ spindulio formulė yra

$R={\frac {1}{K}}={\frac {1}{\frac {1}{(2x+1)^{3 \over 2}}}}=(2x+1)^{3 \over 2}.$

Hiperbolės $y={\sqrt {2x}}$ spindulio $R_{1}$ ilgis iš taško $O(0;\;0)$ iki taško $C_{1}(1;\;0)$ yra lygus:

$R_{1}=(2x_{O}+1)^{3 \over 2}=(2\cdot 0+1)^{3 \over 2}=1.$

Hiperbolės $y={\sqrt {2x}}$ spindulio $R_{2}$ ilgis iš taško $M(2;\;2)$ iki taško $C_{2}(7;\;-8)$ yra lygus:

$R_{2}=(2x_{M}+1)^{3 \over 2}=(2\cdot 2+1)^{3 \over 2}={\sqrt {5^{3}}}={\sqrt {125}}=5{\sqrt {5}}=11.18033989.$

Arba $R_{2}={\sqrt {(x_{2}-x_{M})^{2}+(y_{2}-y_{M})^{2}}}={\sqrt {(7-2)^{2}+(-8-2)^{2}}}={\sqrt {5^{2}+(-10)^{2}}}={\sqrt {125}}=11.18033989.$

Hiperbolės evoliutės lanko ilgis L iš taško $C_{1}(1;\;0)$ iki taško $C_{2}(7;\;-8)$ yra lygus:

$L=R_{2}-R_{1}={\sqrt {125}}-1=11.18033989-1=10.18033989.$

Rasime hiperbolės $y={\sqrt {2x}}$ evoliutės lygtį

$\alpha =3x+1,$

$\alpha -1=3x,$

$x={\frac {\alpha -1}{3}};$

$\beta =-(2x)^{3 \over 2},$

$\beta =-\left(2\cdot {\frac {\alpha -1}{3}}\right)^{3 \over 2},$

$\beta =-{\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {27}}}{\sqrt {(\alpha -1)^{3}}},$

Tai yra lygtis evoliutės hiperbolės $y={\sqrt {2x}}.$

Toliau rasime hiperbolės evoliutės lanko ilgį L iš taško $C_{1}(1;\;0)$ iki taško $C_{2}(7;\;-8)$ naudodamiesi kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule $L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(y')^{2}}}dx,$ kai x kinta nuo 1 iki 7, taigi:

${\frac {d\beta }{d\alpha }}=\left(-{\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {27}}}{\sqrt {(\alpha -1)^{3}}}\right)'=-{\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {27}}}\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {\alpha -1}}=-{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}{\sqrt {\alpha -1}};$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(\beta ')^{2}}}d\alpha =\int _{1}^{7}{\sqrt {1+(-{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}{\sqrt {\alpha -1}})^{2}}}d\alpha =\int _{1}^{7}{\sqrt {1+{\frac {2}{3}}(\alpha -1)}}d\alpha =\int _{1}^{7}{\sqrt {\frac {2}{3}}}{\sqrt {{\frac {3}{2}}+\alpha -1}}\;d\alpha =$

$=\int _{1}^{7}{\sqrt {\frac {2}{3}}}{\sqrt {{\frac {3-2}{2}}+\alpha }}\;d\alpha =\int _{1}^{7}{\sqrt {\frac {2}{3}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+\alpha }}\;{\mathsf {d}}\left({\frac {1}{2}}+\alpha \right)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\frac {({\frac {1}{2}}+\alpha )^{3 \over 2}}{\frac {3}{2}}}|_{1}^{7}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}({\frac {1}{2}}+\alpha )^{3 \over 2}|_{1}^{7}=$

$={\sqrt {\frac {8}{27}}}({\frac {1}{2}}+7)^{3 \over 2}-{\sqrt {\frac {8}{27}}}({\frac {1}{2}}+1)^{3 \over 2}=$

$={\sqrt {0.296296296}}\cdot (7.5)^{3 \over 2}-{\sqrt {0.296296296}}\cdot (1.5)^{3 \over 2}=$

$=0.544331054\cdot (421.875)^{1 \over 2}-0.544331054\cdot (3.375)^{1 \over 2}=$

$=0.544331054\cdot 20.53959591-0.544331054\cdot 1.837117307=11.18033989-1=10.18033989.$

Apskaičiavimas kreivio linijos, užrašytos parametriškai

Tegu kreivė užduota parametriškai:

$x=\phi (t),\quad y=\psi (t).$

Tada

$y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}},$

$y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\psi ''\phi '-\psi '\phi ''}{(\phi ')^{3}}}.$

Arba

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}},$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}\right)={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}\right){\frac {dt}{dx}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}{\frac {d}{dt}}({\frac {dy}{dt}})-{\frac {dy}{dt}}{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dt}})}{({\frac {dx}{dt}})^{2}}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}{({\frac {dx}{dt}})^{2}}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}{({\frac {dx}{dt}})^{2}}}{\frac {1}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}{({\frac {dx}{dt}})^{3}}}.$

Įstatydami gautas išraiškas į formulę (3) praeito skyrio, gausime:

$K={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {\left|{\frac {\psi ''\phi '-\psi '\phi ''}{(\phi ')^{3}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {\psi '}{\phi '}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {\left|\psi ''\phi '-\psi '\phi ''\right|}{(\phi ')^{3}\left[{\frac {1}{(\phi ')^{2}}}((\phi ')^{2}+(\psi ')^{2})\right]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {\left|\psi ''\phi '-\psi '\phi ''\right|}{(\phi ')^{3}\cdot ({\frac {1}{(\phi ')^{2}}})^{3/2}\left[(\phi ')^{2}+(\psi ')^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {\left|\psi ''\phi '-\psi '\phi ''\right|}{\left[(\phi ')^{2}+(\psi ')^{2}\right]^{3 \over 2}}}.\quad (1)$

Pavyzdžiai

• Nustatyti kreivį cikloidės

$\phi (t)=x=a(t-\sin t),\quad \psi (t)=y=a(1-\cos t)$

jos laisvai pasirenktame taške (x; y).

Sprendimas.

$\phi '={\frac {dx}{dt}}=a(1-\cos t),\quad \phi ''={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a\sin t,\quad \psi '={\frac {dy}{dt}}=a\sin t,\psi ''={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=a\cos t.$

Įstatydami gautas išraiškas į formulę (3), randame:

$K={\frac {\left|\psi ''\phi '-\psi '\phi ''\right|}{\left[(\phi ')^{2}+(\psi ')^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {|a(1-\cos t)a\cos t-a\sin t\cdot a\sin t|}{\left[a^{2}(1-\cos t)^{2}+a^{2}\sin ^{2}t\right]^{3 \over 2}}}={\frac {|a^{2}\cos t-a^{2}\cos ^{2}t-a^{2}\sin ^{2}t|}{\left[a^{2}-2a^{2}\cos t+a^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t\right]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {|a^{2}\cos t-a^{2}|}{\left[2a^{2}-2a^{2}\cos t\right]^{3 \over 2}}}={\frac {a^{2}|\cos t-1|}{2^{3 \over 2}a^{3}\left[1-\cos t\right]^{3 \over 2}}}={\frac {1}{2^{3 \over 2}a\left[1-\cos t\right]^{1 \over 2}}}={\frac {1}{{\sqrt {2^{3}}}a\cdot {\sqrt {2}}\sin {\frac {t}{2}}}}={\frac {1}{4a|\sin {\frac {t}{2}}|}}.$

Apskaičiavimas kreivio linijos, užrašytos lygtimi polinėse koordinatėse

Tegu kreivė užrašyta lygtimi pavidalo

$\rho =f(\theta ).\quad (1)$

Užrašysime formules perėjimo iš polinių koordinačių į dekartines:

$x=\rho \cos \theta ,\quad y=\rho \sin \theta .\quad (2)$

Jeigu į šitas formules įstatyti vietoje $\rho$ jo išraišką per $\theta ,$ t. y. $f(\theta ),\;$ tai gausime:

$x=f(\theta )\cos \theta ,\quad y=f(\theta )\sin \theta .\quad (3)$

Paskutines lygtis galima nagrinėti kaip parametrines lygtis kreivės (1), be kita ko parametras yra $\theta .$

Tada

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{d\theta }}{\frac {dx}{d\theta }}},$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\frac {dy}{d\theta }}{\frac {dx}{d\theta }}}\right)={\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\frac {dy}{d\theta }}{\frac {dx}{d\theta }}}\right){\frac {d\theta }{dx}}={\frac {{\frac {dx}{d\theta }}{\frac {d}{d\theta }}({\frac {dy}{d\theta }})-{\frac {dy}{d\theta }}{\frac {d}{d\theta }}({\frac {dx}{d\theta }})}{({\frac {dx}{d\theta }})^{2}}}{\frac {d\theta }{dx}}={\frac {{\frac {dx}{d\theta }}{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}-{\frac {dy}{d\theta }}{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}}{({\frac {dx}{d\theta }})^{2}}}{\frac {d\theta }{dx}}={\frac {{\frac {dx}{d\theta }}{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}-{\frac {dy}{d\theta }}{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}}{({\frac {dx}{d\theta }})^{2}}}{\frac {1}{\frac {dx}{d\theta }}}={\frac {{\frac {dx}{d\theta }}{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}-{\frac {dy}{d\theta }}{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}}{({\frac {dx}{d\theta }})^{3}}}.$

${\frac {dx}{d\theta }}={\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta ,\quad {\frac {dy}{d\theta }}={\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta ,$

${\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}=({\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\cos \theta -{\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta )-({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )={\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\cos \theta -2{\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta -\rho \cos \theta ,$

${\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=({\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\sin \theta +{\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta )+({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )={\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\sin \theta +2{\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta .$

Įstatant paskutines išraiškas į formulę (1) praeito skyriaus, gausime formulę apskaičiavimui kreivio kreivės polinėse koordinatėse:

$K={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {\left|{\frac {\psi ''\phi '-\psi '\phi ''}{(\phi ')^{3}}}\right|}{\left[1+\left({\frac {\psi '}{\phi '}}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}={\frac {\left|\psi ''\phi '-\psi '\phi ''\right|}{(\phi ')^{3}\left[{\frac {1}{(\phi ')^{2}}}((\phi ')^{2}+(\psi ')^{2})\right]^{3 \over 2}}}={\frac {\left|\psi ''\phi '-\psi '\phi ''\right|}{(\phi ')^{3}\cdot ({\frac {1}{(\phi ')^{2}}})^{3/2}\left[(\phi ')^{2}+(\psi ')^{2}\right]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {|\psi ''\phi '-\psi '\phi ''|}{[\phi '^{2}+\psi '^{2}]^{3 \over 2}}}={\frac {\left|{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}{\frac {dx}{d\theta }}-{\frac {dy}{d\theta }}{\frac {d^{2}x}{d\theta ^{2}}}\right|}{\left[\left({\frac {dx}{d\theta }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {|({\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\sin \theta +2{\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )-({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )({\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\cos \theta -2{\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta -\rho \cos \theta )|}{[({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )^{2}+({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )^{2}]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {({\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\sin \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta +2{\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -{\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\sin \theta \rho \sin \theta -2{\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta \rho \sin \theta +\rho \sin \theta \rho \sin \theta )}{[({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )^{2}+({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )^{2}]^{3 \over 2}}}-$

$-{\frac {({\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\cos \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta -2{\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta -\rho \cos \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +{\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\cos \theta \rho \cos \theta -2{\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta \rho \cos \theta -\rho \cos \theta \rho \cos \theta )}{[({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )^{2}+({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )^{2}]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {{\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\sin \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta +2{\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -{\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\sin \theta \rho \sin \theta -2{\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta \rho \sin \theta +\rho \sin \theta \rho \sin \theta }{[({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )^{2}+({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )^{2}]^{3 \over 2}}}+$

$+{\frac {-{\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\cos \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +2{\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta -{\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\cos \theta \rho \cos \theta +2{\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta \rho \cos \theta +\rho \cos \theta \rho \cos \theta }{[({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )^{2}+({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )^{2}]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {2{\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -{\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\sin \theta \rho \sin \theta +\rho \sin \theta \rho \sin \theta }{[({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )^{2}+({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )^{2}]^{3 \over 2}}}+$

$+{\frac {2{\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta {\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta -{\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\cos \theta \rho \cos \theta +\rho \cos \theta \rho \cos \theta }{[({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )^{2}+({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )^{2}]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {|2({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}\cos ^{2}\theta +2({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}\sin ^{2}\theta -\rho {\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\sin ^{2}\theta -\rho {\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}\cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta +\rho ^{2}\cos ^{2}\theta |}{[({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )^{2}+({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )^{2}]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {|2({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}-\rho {\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}+\rho ^{2}|}{[({\frac {d\rho }{d\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta )^{2}+({\frac {d\rho }{d\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta )^{2}]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {|\rho ^{2}+2({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}-\rho {\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}|}{[(({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}\cos ^{2}\theta -2{\frac {d\rho }{d\theta }}\cos(\theta )\rho \sin(\theta )+\rho ^{2}\sin ^{2}\theta )+(({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}\sin ^{2}\theta +2{\frac {d\rho }{d\theta }}\sin(\theta )\rho \cos(\theta )+\rho ^{2}\cos ^{2}\theta )]^{3 \over 2}}}=$

$={\frac {|\rho ^{2}+2({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}-\rho {\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}|}{[({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}\cos ^{2}\theta +({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}\sin ^{2}\theta +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta +\rho ^{2}\cos ^{2}\theta )]^{3 \over 2}}}={\frac {|\rho ^{2}+2({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}-\rho {\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}|}{[({\frac {d\rho }{d\theta }})^{2}+\rho ^{2}]^{3 \over 2}}}={\frac {|\rho ^{2}+2(\rho ')^{2}-\rho \rho ''|}{(\rho ^{2}+(\rho ')^{2})^{3/2}}}.\quad (4)$

Pavyzdžiai

Vaizdas:Kreivispav144.jpg

144 pav.

• Nustatyti kreivį Archimedo spiralės $\rho =a\theta \;\;(a>0)$ laisvai pasirenktame taške (144 pav.).

Sprendimas.

${\frac {d\rho }{d\theta }}=a;\quad {\frac {d^{2}\rho }{d\theta ^{2}}}=0.$

Iš to seka,

$K={\frac {|\rho ^{2}+2\rho '^{2}-\rho \rho ''|}{(\rho ^{2}+\rho '^{2})^{3/2}}}={\frac {|a^{2}\theta ^{2}+2a^{2}-a\theta \cdot 0|}{(a^{2}\theta ^{2}+a^{2})^{3/2}}}={\frac {|a^{2}\theta ^{2}+2a^{2}|}{a^{3}(\theta ^{2}+1)^{3/2}}}={\frac {\theta ^{2}+2}{a(\theta ^{2}+1)^{3/2}}}.$

Pastebėsime, kad su didelėmis reikšmėmis $\theta$ turi vietą apytikslės lygybės: ${\frac {\theta ^{2}+2}{\theta ^{2}}}\approx 1,\;\;{\frac {\theta ^{2}+1}{\theta ^{2}}}\approx 1;$ todėl, pakeičiant praeitoje formulėje $\theta ^{2}+2$ į $\theta ^{2}$ ir $\theta ^{2}+1$ į $\theta ^{2},$ gauname apytikslę formulę (didelėms reikšmėms $\theta$):

$K\approx {\frac {1}{a}}{\frac {\theta ^{2}}{(\theta ^{2})^{3/2}}}={\frac {1}{a\theta }}.$

Tokiu budu, su didelėmis reikšmėmis $\theta$ Archimedo spiralė turi apytiksliai tą patį kreivį, kaip ir apskritimas spindulio $a\theta$.

Apskaičiavimas kreivio linijos, užrašytos parametriškai erdvėje

Kreivės užrašytos parametriškai

$x=\phi (t),\quad y=\psi (t),\quad z=\omega (t),$

kreivio apskaičiavimo formulė yra:

$K^{2}={\frac {1}{R^{2}}}={\frac {(\psi '\omega ''-\omega '\psi '')^{2}+(\phi '\omega ''-\omega '\phi '')^{2}+(\phi '\psi ''-\psi '\phi '')^{2}}{[(\phi ')^{2}+(\psi ')^{2}+(\omega ')^{2}]^{3}}};$

$K={\frac {1}{R}}={\frac {\sqrt {(\psi '\omega ''-\omega '\psi '')^{2}+(\phi '\omega ''-\omega '\phi '')^{2}+(\phi '\psi ''-\psi '\phi '')^{2}}}{((\phi ')^{2}+(\psi ')^{2}+(\omega ')^{2})^{3 \over 2}}};$

$R={\frac {((\phi ')^{2}+(\psi ')^{2}+(\omega ')^{2})^{3 \over 2}}{\sqrt {(\psi '\omega ''-\omega '\psi '')^{2}+(\phi '\omega ''-\omega '\phi '')^{2}+(\phi '\psi ''-\psi '\phi '')^{2}}}}.$

Galima naudotis ir šita formule:

$K^{2}={\frac {1}{R^{2}}}={\frac {((\phi ')^{2}+(\psi ')^{2}+(\omega ')^{2})((\phi '')^{2}+(\psi '')^{2}+(\omega '')^{2})-(\phi '\phi ''+\psi '\psi ''+\omega '\omega '')^{2}}{((\phi ')^{2}+(\psi ')^{2}+(\omega ')^{2})^{3}}}.$

Kreivės liestinės vektorius taške $M(x_{M};y_{M};z_{M})$ yra ${\vec {a}}=\{\phi '(t);\psi '(t);\omega '(t)\}.$ Šis liestinės vektorius yra lygiagretus kreivės liestinei taške $M(x_{M};y_{M};z_{M}).$

Erdvinės kreivės liestinės lygtis taške $M(x_{M};y_{M};z_{M})$ yra (parametro t reikšmė turi būti tokia, kad ją įstčius į funkcijas gautusi taško $M(x_{M};y_{M};z_{M})$ koordinatės):

${\frac {x-x_{M}}{\phi '(t)}}={\frac {y-y_{M}}{\psi '(t)}}={\frac {z-z_{M}}{\omega '(t)}};$

arba

${\begin{cases}x-x_{M}=t\phi '(t),&\\y-y_{M}=t\psi '(t),&\\z-z_{M}=t\omega '(t).&\end{cases}}$

1. Kreivės normalės vektorius (kreivio spindulio vektorius) taške $M(x_{M};y_{M};z_{M})$ yra ${\vec {b}}=\{-{\frac {2}{3\phi '(t)}};{\frac {1}{3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}\}$ tik toms parametrinėms funkcijoms kurių rodikliai p yra riboje $[1;\infty ),$ tai yra $t^{p},\;1\leq p,$ pavyzdžiui, $t^{2}$, $t^{3}$, $t^{3 \over 2}$, $t^{5}.$ Skaičius $-{\frac {2}{3}}$ prirašomas prie tos funkcijos, kurios rodiklis mažiausias, o kitoms dviems funkcijoms nuo t prirašoma ${\frac {1}{3}},$ tik kai $1\leq p,\;t^{p}.$ Pavyzdžiui, funkcija užrašyta parametriškai $\phi (t)=t^{2},\;\psi (t)=t^{3},\;\omega (t)=t^{4},$ turi normalės vektorių ${\vec {b}}=\{-{2 \over 3}\cdot {\frac {1}{2x_{M}}};{1 \over 3}\cdot {\frac {1}{3x_{M}^{2}}};{1 \over 3}\cdot {\frac {1}{4x_{M}^{3}}}\}.$

2. Kreivės užrašytos parametriškai $x=\phi (t),\;y=\psi (t),\;z=\omega (t),$ normalės vektorius yra ${\vec {b}}=\{{\frac {1}{\pm \phi '(t)}};{\frac {1}{\pm \psi '(t)}};{\frac {1}{\pm \omega '(t)}}\}.$ Minusai rašomi tuo atveju, kai $p<1,\;t^{p}.$ Pavyzdžiui, kreivė užrašyta parametriškai $\phi (t)=t^{1 \over 3},\;\psi (t)=t^{1 \over 2},\;\omega (t)=t,$ turi liestinės vektorių ${\vec {a}}=\{\phi '(t);\psi '(t);\omega '(t)\}=\{{\frac {t^{-{\frac {2}{3}}}}{3}};{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}};1\}.$ Šios kreivės normalės vektorius yra:

${\vec {b}}=\{-{\frac {1}{3\phi '(t)}};-{\frac {1}{3\psi '(t)}};{\frac {2}{3\omega '(t)}}\}=\{-{\frac {1}{3}}\cdot 3t^{2 \over 3};-{\frac {1}{3}}\cdot 2{\sqrt {t}};{\frac {2}{3}}\}.$

Skaičius ${\frac {2}{3}}$ prirašomas ten kur pliusas, jeigu kiti du minusai; arba ten kur minusas, jei kiti du pliusai.

Sudetingesnis pavyzdis, kai kreivė užrašyta parametriškai $\phi (t)=t,\;\psi (t)=t^{1 \over 3},\;\omega (t)=t^{3},$ tuomet patikrinę su $t=5$, kad $\arctan {\frac {\psi (5)}{\phi (5)}}=\arctan {\frac {5^{1 \over 3}}{5}}=18.8804412^{\circ },$ o $\arctan {\frac {\omega (5)}{\phi (5)}}=\arctan {\frac {5^{3}}{5}}=\arctan 25=87.70938996^{\circ }$ ir kad $90-18.88=71.12<87.709$ darome išvada, kad šios kreivės normalės vektorius (kai t>1) yra šitoks:

${\vec {b}}=\{{\frac {1}{3\phi '(t)}};{\frac {2}{-3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}\}=\{{\frac {1}{3}};-2t^{2 \over 3};{\frac {1}{9t^{2}}}\}.$

Bet galėtų būti ir toks (arba šis pavyzdis iš vis neturi normalės vektoriaus):

${\vec {b}}=\{{\frac {1}{-3\phi '(t)}};{\frac {1}{-3\psi '(t)}};{\frac {2}{3\omega '(t)}}\}=\{-{\frac {1}{3}};-t^{2 \over 3};{\frac {2}{9t^{2}}}\}.$

Pavyzdžiui, funkcija užrašyta parametriškai $\phi (t)=t^{1 \over 3},\;\psi (t)=t^{1 \over 2},\;\omega (t)=t^{3},$ turi normalės vektorių:

${\vec {b}}=\{{\frac {1}{-3\phi '(t)}};{\frac {1}{-3\psi '(t)}};{\frac {2}{3\omega '(t)}}\};$

${\vec {b}}=\{-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{t^{2}}}}}};{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{-{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}}};{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{3t^{2}}}\},$

${\vec {b}}=\{-{\frac {1}{3}}\cdot 3t^{2 \over 3};{\frac {1}{3}}\cdot (-2){\sqrt {t}};{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{3t^{2}}}\},$

${\vec {b}}=\{-{\sqrt[{3}]{t^{2}}};-{\frac {2{\sqrt {t}}}{3}};{\frac {2}{9t^{2}}}\}.$

Ar prirašyti ${\frac {2}{3}}$ ar ${\frac {1}{3}}$ priklauso nuo to kiek yra pliusų ir kiek yra minusų. Jeigu minusų du, o pliusas vienas, tada ${\frac {2}{3}}$ prirašyti ten, kuri koordinatė yra su pliuso ženklu. Jeigu du pliusai ir vienas minusas tada ${\frac {2}{3}}$ prirašoma ten, kur yra minusas.

Kitas pavyzdis, kreivės užrašytos parametriškai $\phi (t)=t$, $\psi (t)=t^{1 \over 2}$, $\omega (t)=t^{3}$, normalės vektorius yra:

${\vec {b}}=\{{\frac {1}{3\phi '(t)}};{\frac {2}{-3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}\};$

${\vec {b}}=\{{\frac {1}{3}};{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{-{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}}};{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3t^{2}}}\};$

${\vec {b}}=\{{\frac {1}{3}};-{\frac {4{\sqrt {t}}}{3}};{\frac {1}{9t^{2}}}\}.$

Dar vienas pavyzdis, kreivės užrašytos parametriškai $\phi (t)=t$, $\psi (t)=t^{-2}$, $\omega (t)=t^{-3}$, normalės vektorius yra:

${\vec {b}}=\{{\frac {2}{3\phi '(t)}};{\frac {1}{-3\psi '(t)}};{\frac {1}{-3\omega '(t)}}\}=\{{\frac {2}{3}};-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{(-2)t^{-3}}};-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{(-3)t^{-4}}}\}=\{{\frac {2}{3}};{\frac {t^{3}}{6}};{\frac {t^{4}}{9}}\},$

bet tai reiškia, kad visur pliusai, o du minusus turi liestinės vektorius ${\vec {a}}=\{1;-2t^{-3};-3t^{-4}\},$ todėl ir atitinkamai prirašomos 2/3, kad šių vektorių skaliarinė sandauga būtų lygi nuliui.

Todėl galime užrašyti kreivės normalės lygtį:

${\begin{cases}x-x_{M}={\frac {2t}{\pm 3\phi '(t)}},&\\y-y_{M}={\frac {t}{\pm 3\psi '(t)}},&\\z-z_{M}={\frac {t}{\pm 3\omega '(t)}};&\end{cases}}$

arba

${\frac {x-x_{M}}{\frac {2}{\pm 3\phi '(t)}}}={\frac {y-y_{M}}{\frac {1}{\pm 3\psi '(t)}}}={\frac {z-z_{M}}{\frac {1}{\pm 3\omega '(t)}}},$

$\pm {\frac {3(x-x_{M})\phi '(t)}{2}}=\pm 3(y-y_{M})\psi '(t)=\pm 3(z-z_{M})\omega '(t).$

Turime lygčių sistemą:

${\begin{cases}\pm {\frac {3}{2}}(x-x_{M})\phi '(t)=\pm 3(y-y_{M})\psi '(t)=\pm 3(z-z_{M})\omega '(t),&\\(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}+(z-z_{M})^{2}={\frac {1}{K^{2}}}.&\end{cases}}$

Parametro t reikšmė turi būti tokia, kad ją įstačius į funkcijas $\phi (t),\;\psi (t),\;\omega (t)$ būtų gautos taško $M(x_{M};y_{M};z_{M})$ koordinatės.

Gauname, kad

$y-y_{M}={\frac {\pm \phi '(t)(x-x_{M})}{\pm 2\psi '(t)}};$

$z-z_{M}={\frac {\pm \phi '(t)(x-x_{M})}{\pm 2\omega '(t)}}.$

Įstatę į antrą sistemos lygtį gauname:

$(x-x_{M})^{2}+\left({\frac {\pm \phi '(t)(x-x_{M})}{\pm 2\psi '(t)}}\right)^{2}+\left({\frac {\pm \phi '(t)(x-x_{M})}{\pm 2\omega '(t)}}\right)^{2}={\frac {1}{K^{2}}},$

$(x-x_{M})^{2}+{\frac {(\phi '(t))^{2}(x-x_{M})^{2}}{4(\psi '(t))^{2}}}+{\frac {(\phi '(t))^{2}(x-x_{M})^{2}}{4(\omega '(t))^{2}}}={\frac {1}{K^{2}}},$

$(x-x_{M})^{2}\left(1+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\psi '(t))^{2}}}+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\omega '(t))^{2}}}\right)=R^{2}.$

Išsprendus kvadratinę lygtį

$(x^{2}-2xx_{M}+x_{M}^{2})\left(1+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\psi '(t))^{2}}}+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\omega '(t))^{2}}}\right)-R^{2}=0,$

$x^{2}\left(1+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\psi '(t))^{2}}}+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\omega '(t))^{2}}}\right)-2xx_{M}\left(1+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\psi '(t))^{2}}}+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\omega '(t))^{2}}}\right)+x_{M}^{2}\left(1+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\psi '(t))^{2}}}+{\frac {(\phi '(t))^{2}}{4(\omega '(t))^{2}}}\right)-R^{2}=0,$

surandama kreivio centro $C(x_{C};y_{C};z_{C})$ koordinatė $x_{C}.$

Analogiškai surandama ir $y_{C}$ kordinatė

$x-x_{M}={\frac {\pm 2\psi '(t)(y-y_{M})}{\pm \phi '(t)}},$

$z-z_{M}={\frac {\pm \psi '(t)(y-y_{M})}{\pm \omega '(t)}};$

$\left({\frac {\pm 2\psi '(t)(y-y_{M})}{\pm \phi '(t)}}\right)^{2}+(y-y_{M})^{2}+\left({\frac {\pm \psi '(t)(y-y_{M})}{\pm \omega '(t)}}\right)^{2}={\frac {1}{K^{2}}},$

${\frac {4(\psi '(t))^{2}(y-y_{M})^{2}}{(\phi '(t))^{2}}}+(y-y_{M})^{2}+{\frac {(\psi '(t))^{2}(y-y_{M})^{2}}{(\omega '(t))^{2}}}={\frac {1}{K^{2}}},$

$(y-<!--\; -\; -->y_M{)}^2(\frac{4({\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(t){)}^2}{({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\prime }(t){)}^2}+1+\frac{({\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(t){)}^2}{({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\prime }(t){)}^2}$