Matematika/Kreivis

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Kreivio skaičiavimas be evoliutės ir evolventės neturi prasmės. Kreivis susijęs su jų spinduliu. Rusiškai kreivis vadinasi кривизна.

Kreivis[keisti]

139 pav.
140 pav.
Vienas iš elementų, charakterizuojančių formą kreivės, yra laipsnis jos išlinkimo, išsilenkimo.
Tegu mes turime kreivę, kuri nekerta pati savęs ir turi tam tikrą liestinę kiekviename taške. Pravesime liestines prie kreivės kokiuose nors dviejuose jos taškuose A ir B ir pažymėsime per kampą, padarytąšitomis liestinėmis, arba - tiksliau - kampą pasisukimo liestinės pereinant iš taško A į tašką B (139 pav.). Šitas kampas vadinasi kreivumo kampu (углом смежности) lanko AB. Pas du lankus, turinčius vienodą ilgį, daugiau išlinkęs tas lankas, pas kurią kreivumo kampas didesnis (139 ir 140 pav.).
Iš kitos pusės, nagrinėjant lankus skirtingo ilgio, mes negalime įvertinti laipsnį jų išlinkimo tiktai atitinkančiu kreivumo kampu. Iš čia seka, kad pilna charakteristika išlinkimo kreivės bus santykis kreivumo kampo su ilgiu atitinkančios tiesės.
Apibrėžimas 1. Vidutiniu kreiviu lanko vadinasi santykis kreivumo kampo su ilgiu lanko:
141 pav.
Vienai ir tai pačiai kreivei vidutinis kreivis jos skirtingų dalių (lankų) gali būti skirtingas; pavyzdžiui, kreivei parodytai paveiksle 141, vidutinis kreivis lanko nelygus vidutiniui kreiviui lanko nors ilgiai šitų lankų lygūs tarpusavyje. Be to, arti prie skirtingų taškų kreivė išlenkta skirtingai. Tam, kad charakterizuoti išlinkimo laipsnį duotos linijos betarpiškai arti prie duoto taško A, įvesime apibrėžimą kreivio kreivės duotame taške.
Apibrėžimas 2. Kreiviu linijos duotame taške A vadinasi riba vidutinio kreivio lanko kada ilgis šito lanko artėja prie nulio (t. y. kada taškas B artėja (mes tariam, kad dydis ribos nepriklauso nuo to, iš kokios pusės nuo taško A mes imame kintamą tašką B ant kreivės) prie taško A):
Pastaba. Pažymėsime, kad betkokiai kreivei kreivis skirtingose jos taškuose, bus skirtingas. Tai mes pamatysime žemiau.

Pavyzdžiai[keisti]

142 pav.
  • Apskritimui spindulio r: 1) nustatyti vidutinį kreivį lanko AB, atitinkantį centriam kamui (142 pav.); 2) nustatyti kreivį taške A.
Sprendimas. 1) Akivaizdu, kad kreivumo kampas lanko lygus , ilgis lanko lygus . Todėl,
arba
2) Kreivis taške A lygus
Tokiu budu, vidutinis kreivis lanko apskritimo spindulio r nepriklauso nuo ilgio ir padeties lanko, visiems lankams jis lygus Kreivis apskritimo betkokiame jo taške taip pat nepriklauso nuo pasirinkimo šito taško ir lygus

Kreivio apskaičiavimas[keisti]

Įvesime formulę apskaičiavimui kreivio duotos linijos betkokiame jos taške . Be to mes tarsime, kad kreivė užrašyta dekardo koordinačių sistemmoje lygtimi pavidalo
ir kad funkcija turi netrūkią antrą išvestinę.
143 pav.
Pravesime liestines kreivės taškuose M ir su abscisėmis x ir ir pažymėsime per ir palinkimo kampus šitų liestinių (143 pav.).
Ilgį kreivės atskaičiuojamos nuo tam tikro pastovaus taško , pažymėsime per s; tada o
Kaip betarpiškai matosi iš pav. 143, gretimumo kampas, atitinkantis lankui , lygūs absoliučiam dydžiui (kreivei, pavaizduotai paveiksle 143, akivaizdu, kad kadangi ) skirtumo kampų ir t. y. lygus
Pagal apibrėžimą vidutinio kreivio kreivės srityje turime:
Kad gauti kreivį taške M, reikia rasti ribą gautos išraiškos su sąlyga, kad ilgis lanko artėja prie nulio:
Kadangi dydžiai ir s abu priklauso nuo x (yra funkcijos nuo x), tai, dėl to, galima nagrinėti kaip funkciją nuo s. Mes galime laikyti, kad šita funkcija užduota parametriškai su x parametro pagalba. Tada
ir, todėl,
Skaičiavimui panaudojame formulę diferencijavimo funkcijos, užduotos parametriškai:
Kad išreikšti išvestinę per funkciją pastebime, kad ir, todėl,
Diferencijuodami pagal x paskutinę lygybę, turėsime:
(Arba )
Kas liečia išvestinę tai mes radome
Todėl
arba, kadangi galutinai gauname:
Iš to seka, kad betkokiame taške kreivės, kur egzistuoja ir netrūki antra išvestinė galima apskaičiuoti kreivį. Jo apskaičiavimui tarnauja formulė (3). Pastebėsime, kad skaičiuojant kreivį kreivės reikia imti tik aritmetinę (t. y. teigiamą) reikšmę šaknies vardiklyje, kadangi kreivis linijos pagal apibrėžimą negali būti neigiamas.

Pavyzdžiai[keisti]

  • Nustatyti kreivį parabolės :
a) jos laisvai pasirenktame taške M(x; y);
b) taške ;
c) taške
Sprendimas. Randame pirmą ir antrą išvestines funkcijos :
Įstatydami gautas išraiškas į formulę (3), gausime:
a)
b)
c)


  • Nustatyti kreivį tiesės jos laisvai pasirinktame taške (x; y).
Sprendimas.
Pasinaudojant formule (3), gauname:
Tokiu budu, tiesė yra "linija nulinio kreivio". Šita gi rezultatą lengvai galima gauti betarpiškai iš kreivio apibrėžimo.


  • Apskaičiuokime kreivį bet kuriame grandininės linijos taške (hiperbolinio kosinuso formulė yra tokia ; hiperbolinio kosinuso išvestinė yra ; hiperbolinio sinuso išvestinė yra ).
Kadangi
tai kreivis yra lygus


  • Nustatyti kreivį parabolės taškuose ir Rasti prabolės evoliutės lanko ilgį iš taško iki taško Taškas yra spindulio centras, o taškas yra spindulio centras. Spindulys yra atkarpa iš taško iki taško . Spindulys yra atkarpa iš taško iki taško .
Sprendimas.
Kreivis taške yra lygus:
Kreivis taške yra lygus:
Parabolės evoliutės lanko ilgis iš taško iki taško yra lygus:


  • Nustatyti kreivį parabolės taškuose ir Rasti prabolės evoliutės lanko ilgį iš taško iki taško naudojantis kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule
Taškas yra spindulio centras, o taškas yra spindulio centras. Spindulys yra atkarpa iš taško iki taško . Spindulys yra atkarpa iš taško iki taško .
Sprendimas.
Kreivis taške yra lygus:
Kreivis taške yra lygus:
Dabar užrašysime parabolės normalės lygtį taške :
Toliau rasime spindulio centro koordinates. Žinome, kad
Išsprendę lygčių sistemą rasime taško koordinatę:
keitimo budu gauname:
Tai yra kvadratinė lygtis, kurios sprendiniai yra:
Kadangi spindulys yra parabolės liestinės normalė ir spindulio galas (centras ) priklauso parabolės evoliutei, tai
Žinodami , įstatę į parabolės evoliutės lygtį, randame (sekančiame pavyzdyje pateiktas parabolės evoliutės lygties radimas):
Arba per Pitagoro teoremą randame:
Taigi, radome spindulio centrą
Toliau rasime spindulio centro koordinates. Žinome, kad
Išsprendę lygčių sistemą rasime (taško koordinate):
keitimo budu gauname:
Taigi, Žinodami , įstatę į parabolės evoliutės lygtį, randame (sekančiame pavyzdyje pateiktas parabolės evoliutės lygties radimas):
Arba per Pitagoro teoremą randame:
Radome spindulio centrą


  • Rasti lygtį evoliutės parabolės
Rasti lanko ilgį L evoliutės šios parabolės naudojantis kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule
Rasti evoliutės lanko ilgį iš taško iki taško
Sprendimas. Turime bet kokiam taškui (x; y) parabolės kreivio centro koordinates :
(Pavyzdžiui, taške M(5; 25), turime ir , gauname C(-500; 75.5)).
Eliminuojant iš šitų lygčių parametrą x, gausime:
Tai yra lygtis evoliutės. Čia yra ordinačių ašies (Oy ašies) reikšmė, o yra abscisių ašies (Ox ašies) reikšmė.
Rasime evoliutės lanko ilgį iš taško iki taško
Pasinaudojome internetiniu integratoriumi http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=sqrt%5B%28256%5E%281%2F3%29%29%2F4%2B1%2F%28x%5E%282%2F3%29%29%5D&random=false.
Bet tikrasis lanko ilgis yra . Kad gauti šitą reikšmę reikia integruoti nuo -500 iki -0,000001, tai, matyt, evoliutės ypatumas kai kuriais atvejais. Įstačius , gauname:


  • Nustatyti krevio centro taškų ir koordinates hiperbolės taškuose ir atitinkamai.
Rasti kreivį taškuose ,
Rasti spindulio ilgį iš taško iki taško
Rasti spindulio ilgį iš taško iki taško
Rasti hiperbolės evoliutės lanko ilgį L iš taško iki taško Pagal apibrėžimą evoliutės lanko ilgis L lygus spindulių ir skirtumui.
Rasti hiperbolės evolutės lygtį.
Rasti hiperbolės evoliutės lanko ilgį L iš taško iki taško naudojantis kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule
Sprendimas. Įstatant reikšmes ir į formules, gausime:
Taško koordinatės yra šios:
Vadinasi kreivio centras taške yra .
Taško koordinatės yra šios:
Kreivio centras taške yra taškas .
Hiperbolės kreivis yra
Hiperbolės spindulio formulė yra
Hiperbolės spindulio ilgis iš taško iki taško yra lygus:
Hiperbolės spindulio ilgis iš taško iki taško yra lygus:
Arba
Hiperbolės evoliutės lanko ilgis L iš taško iki taško yra lygus:
Rasime hiperbolės evoliutės lygtį
Tai yra lygtis evoliutės hiperbolės
Toliau rasime hiperbolės evoliutės lanko ilgį L iš taško iki taško naudodamiesi kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule kai x kinta nuo 1 iki 7, taigi:

Apskaičiavimas kreivio linijos, užrašytos parametriškai[keisti]

Tegu kreivė užduota parametriškai:
Tada
Arba
Įstatydami gautas išraiškas į formulę (3) praeito skyrio, gausime:


Pavyzdžiai[keisti]

  • Nustatyti kreivį cikloidės
jos laisvai pasirenktame taške (x; y).
Sprendimas.
Įstatydami gautas išraiškas į formulę (3), randame:

Apskaičiavimas kreivio linijos, užrašytos lygtimi polinėse koordinatėse[keisti]

Tegu kreivė užrašyta lygtimi pavidalo
Užrašysime formules perėjimo iš polinių koordinačių į dekartines:
Jeigu į šitas formules įstatyti vietoje jo išraišką per t. y. tai gausime:
Paskutines lygtis galima nagrinėti kaip parametrines lygtis kreivės (1), be kita ko parametras yra
Tada
Įstatant paskutines išraiškas į formulę (1) praeito skyriaus, gausime formulę apskaičiavimui kreivio kreivės polinėse koordinatėse:

Pavyzdžiai[keisti]

144 pav.
  • Nustatyti kreivį Archimedo spiralės laisvai pasirenktame taške (144 pav.).
Sprendimas.
Iš to seka,
Pastebėsime, kad su didelėmis reikšmėmis turi vietą apytikslės lygybės: todėl, pakeičiant praeitoje formulėje į ir į gauname apytikslę formulę (didelėms reikšmėms ):
Tokiu budu, su didelėmis reikšmėmis Archimedo spiralė turi apytiksliai tą patį kreivį, kaip ir apskritimas spindulio .


Apskaičiavimas kreivio linijos, užrašytos parametriškai erdvėje[keisti]

Kreivės užrašytos parametriškai
kreivio apskaičiavimo formulė yra:
Galima naudotis ir šita formule:


Kreivės liestinės vektorius taške yra Šis liestinės vektorius yra lygiagretus kreivės liestinei taške
Erdvinės kreivės liestinės lygtis taške yra (parametro t reikšmė turi būti tokia, kad ją įstčius į funkcijas gautusi taško koordinatės):
arba
1. Kreivės normalės vektorius (kreivio spindulio vektorius) taške yra tik toms parametrinėms funkcijoms kurių rodikliai p yra riboje tai yra pavyzdžiui, , , , Skaičius prirašomas prie tos funkcijos, kurios rodiklis mažiausias, o kitoms dviems funkcijoms nuo t prirašoma tik kai Pavyzdžiui, funkcija užrašyta parametriškai turi normalės vektorių
2. Kreivės užrašytos parametriškai normalės vektorius yra Minusai rašomi tuo atveju, kai Pavyzdžiui, kreivė užrašyta parametriškai turi liestinės vektorių Šios kreivės normalės vektorius yra:
Skaičius prirašomas ten kur pliusas, jeigu kiti du minusai; arba ten kur minusas, jei kiti du pliusai.
Sudetingesnis pavyzdis, kai kreivė užrašyta parametriškai tuomet patikrinę su , kad o ir kad darome išvada, kad šios kreivės normalės vektorius (kai t>1) yra šitoks:
Bet galėtų būti ir toks (arba šis pavyzdis iš vis neturi normalės vektoriaus):
Pavyzdžiui, funkcija užrašyta parametriškai turi normalės vektorių:
Ar prirašyti ar priklauso nuo to kiek yra pliusų ir kiek yra minusų. Jeigu minusų du, o pliusas vienas, tada prirašyti ten, kuri koordinatė yra su pliuso ženklu. Jeigu du pliusai ir vienas minusas tada prirašoma ten, kur yra minusas.
Kitas pavyzdis, kreivės užrašytos parametriškai , , , normalės vektorius yra:
Dar vienas pavyzdis, kreivės užrašytos parametriškai , , , normalės vektorius yra:
bet tai reiškia, kad visur pliusai, o du minusus turi liestinės vektorius todėl ir atitinkamai prirašomos 2/3, kad šių vektorių skaliarinė sandauga būtų lygi nuliui.
Todėl galime užrašyti kreivės normalės lygtį:
arba
Turime lygčių sistemą:
Parametro t reikšmė turi būti tokia, kad ją įstačius į funkcijas būtų gautos taško koordinatės.
Gauname, kad
Įstatę į antrą sistemos lygtį gauname:
Išsprendus kvadratinę lygtį
surandama kreivio centro koordinatė
Analogiškai surandama ir kordinatė
išsprendžiant lygtį:
Tokiu pačiu principu surandama ir koordinatė, išsprendžiant lygtį:


Norint surasti parametrines erdvinės kreivės evoliutės lygtis grįžtame prie sistemos:
Iš kurios turime: