Matematika/Ketvirto laipsnio lygtis

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Ketvirto laipsnio lygtis

redukuojama keitiniu ir gaunama lygtis:


Surasime kam lygūs koeficientai p, q ir r.
Iš Niutono Binomo formulės žinome, kad
Į lygtį vietoje įstatome keitinį ir gauname:
Surandame kam lygus išskleidus:
Surandame kam lygus išskleidus:
Surandame kam lygus išskleidus:


Iš čia turime, kad


Ketvirto laipsnio lygties sprendimas pirmu budu[keisti]

Imame redukuotą lygtį

Įvedame, pagalbinį nežinomąjį z, kurio reikšmę vėliau surasime ir užrašome taip:
Čia
Kad polinmas , esantis laužtiniuose skliaustuose, būtų pilnas kvadratas, reikia, kad jo abi šaknys (sprendiniai) sutaptų, t. y. kad jo diskriminantas
būtų lygus 0. Tada galėsime pasinaudoti formule nes polinomas turės vienodas šaknis ( o todėl ) ir bus , o kitas polinomas bus
Taigi,
Lygtis yra vadinama ketvirto laipsnio lygties rezolvente (išsprendėja). Vieną iš jos trijų šaknų (realiają) gausime . Tada įstate į diskrimanto lygtį vietoje z, galėsime apskaičiuoti O tada ir surasti lygties sprendinius (abu sprendiniai vienodi).
Taigi, turime:
pakeičiame
Taigi, jeigu lygties pakeitimui reikėjo kad gauti kur tai lygčiai pakeitimas yra kad gauti kur
Lygties
viena šaknis yra:
Tada
Dabar galime surasti lygties sprendinį:
Toliau, žinodami, kad gauname:
Įstatę į lygtį gauname:
Iš čia nesunku matyti, kad arba arba Išsprendę šias lygtis ir gausime visas keturias lygties šaknis.
Taigi,
Čia

Ketvirto laipsnio lygties sprendimas antru budu[keisti]

Imame redukuota lygtį:

Į lygtį vietoje x įvedame tris nežinomuosius, kuriuos vėliau susiesime dviem lygtim. Imame
Išskaičiuojame:
Įstatę šias reikšmes į lygtį , padaugintą iš 16, gauname:
Dabar reikalaujame, kad
Įvedę šias sąlygas turėsime lygtį:
Pagaliau, vietoje lygties gauname trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą
Šią sistemą spręsime panašiai, kaip sprendžiama trečio laipsnio lygčių sistema. Pakėlę lygtį kvadratu, gauname
Pagal Vijeto teoremą, iš sistemos lygčių nesunku pastebėti, kad , , turi būti trečio laipsnio lygties
šaknys. Ši lygtis taip pat vadinama ketvirto laipsnio lygties rezolvente. Suradę visas tris jos šaknis , , , tuo pačiu rasime , ir . Kadangi visos trys lygtys ir yra simetrinės u, v ir w atžvilgiu, tai kurią lygčių šaknį pažymėsime , kurią ar nesudaro jokios reikšmės nei mūsų sistemos, nei lygties sprendiniui. Toliau jau nesunku rasti u, v ir w, nes reikia tik ištraukti kvadratines šaknis iš , ir , atseit,
Pagaliau įstatę u, v ir w reikšmes į lygybę , rasime lygties šaknis. Paėmę kurią nors reikšmę ir pažymėję ją , o reikšmes pažymėje atitinkamai ir taip, kad gausime arba
arba, pavyzdžiui,
Abi šios sistemos yra lygiavertės (tapatingos), nes jos gaunamos viena iš kitos, pakeitus visų u, v ir w ženklus priešingais. Tai nepakeičia jų reikšmių, bet tik pačius u, v ir w pažymėjimus.

Pavyzdžiai[keisti]

  • Rasime lygties realiąją šaknį.
Turime, kad , , .
Turime
ir lygčių sistemą
pakeliame trečią eilutę kvadratu, kad atitiktų Vijeto teoremą:
Tada įstatę į lygčių sistemą p, q ir r reikšmes, gauname:
Sudarome kubinę pagalbinę lygtį, pritaikę Vijeto teoremą:
Iš kubinės lygties kalkuliatoriaus http://easycalculation.com/algebra/cubic-equation.php internete, randame, kad
Tada:
Kad ištrauktume šaknį iš kompleksinio skaičiaus pasinaudosime formulėmis:
Taigi, gauname:

Toliau gauname lygties sprendinius:
Pusė iš šių sprendinių neteisingi. Iš realiųjų sprendinių neteisingi sprendiniai yra ir .