Aptarimas:Matematika/Ketvirto laipsnio lygtis

sutapimas tinka tik su vienetais, prie $x^2$ parašyt 2 ir jau netinka

• Rasime lygties $x^4+x^2+x-1=0$ realiąją šaknį.

Turime, kad $2p=1$, $p=\frac{1}{2},$ $q=1$, $r=-1$.

Turime

$2x=u+v+w$

ir lygčių sistemą

$u^2+v^2+w^2=-4p,$

$u^2{v}^2+u^2{w}^2+v^2{w}^2=4(p^2-r),$

$uvw=-q.$

Tada įstatę į lygčių sistemą p, q ir r reikšmes, gauname:

$u^2+v^2+w^2=-4\cdot \frac{1}{2}=-2;$

$u^2{v}^2+u^2{w}^2+v^2{w}^2=4({\left(\frac{1}{2}\right)}^2-(-1))=4(\frac{1}{4}+1)=1+4=5;$

$uvw=-1,u^2{v}^2{w}^2=1.$

Sudarome kubinę pagalbinę lygtį, pritaikę Vijeto teoremą:

$y^3-(u^2+v^2+w^2)y^2+(u^2{v}^2+u^2{w}^2+v^2{w}^2)y-u^2{v}^2{w}^2=0,$

$y^3-(-2)y^2+5y-1=0,$

$y^3+2y^2+5y-1=0.$

Iš kubinės lygties kalkuliatoriaus http://easycalculation.com/algebra/cubic-equation.php internete, randame, kad

$y_1=0.1850373752486395;$

$y_2=-1.0925186876243198+2.0520030453017895i;$

$y_3=-1.0925186876243198-2.0520030453017895i.$

Tada:

$2x=y_1+y_2+y_3=0.1850373752486395-1.0925186876243198+2.0520030453017895i-1.0925186876243198-2.0520030453017895i=0.1850373752486395-1.0925186876243198-1.0925186876243198=$

$=0.1850373752486395-2.185037376=-2,$

$x=-1.$

Patikriname įstatę $x=-1$ į lygtį $x^4+x^2+x-1=0$, tada

$(-1{)}^4+(-1{)}^2+(-1)-1=1+1-1-1=0.$

Tai buvo sutapimas, kad nereikėjo traukti šaknies iš $y_1$, $y_2$ ir $y_3$.

Ne x ten turi but, o w

Lygties

$w^3+mx+n=0$

Čia man atrodo vietoje x turi buti w, va taip:

$w^3+mw+n=0$