Matematika/Integralų lentelė

Pagrindiniai ir dažniausiai pasitaikantys integralai:

• $\int 0\;{\mathsf {d}}x=C$
• $\int a\;{\mathsf {d}}x=ax+C$
• $\int x^{n}\;{\mathsf {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$
• $\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{x}}=\ln \left|x\right|+C$
• $\int {\mathsf {e}}^{x}\;{\mathsf {d}}x={\mathsf {e}}^{x}+C$
• $\int a^{x}\;{\mathsf {d}}x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$
• $\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{x^{2}+1}}=\arctan x+C.$
• $\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C,a\not =0$
• $\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\;{\mathsf {d}}x=\arcsin {\frac {x}{a}}+C,\;a>0$
• $\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C,\;a\not =0$
• $\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}}=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\right|+C,\;a\not =0$
• $\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\;{\mathsf {d}}x={\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{\frac {x^{2}}{a}}\arcsin {\frac {x}{a}}+C$
• $\int {\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\;{\mathsf {d}}x={\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}\pm x^{2}}}\pm {\frac {a^{2}}{2}}\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\right|+C$
• $\int {\sqrt {ax+b}}\;{\mathsf {d}}x=\left({2b \over 3a}+{2x \over 3}\right){\sqrt {ax+b}}+C$
• $\int {\sqrt {ax+b}}dx={2 \over 3a}(ax+b)^{3/2}+C$

Trigonometrinių reiškinių integralai

• $\int \sin ax\;{\mathsf {d}}x=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C.$
• $\int \cos ax\;{\mathsf {d}}x={\frac {1}{a}}\sin ax+C.$
• $\int \tan x\;{\mathsf {d}}x=-\ln |\cos x|+C.$
• $\int ctgx\;{\mathsf {d}}x=\ln |\sin x|+C.$
• $\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{\sin x}}=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C.$
• $\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{\cos x}}=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C.$
• $\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{\sin ^{2}x}}=-\cot x+C=-{\frac {1}{\tan x}}+C=-{\frac {\cos x}{\sin x}}+C.$
• $\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{\cos ^{2}x}}=\tan x+C.$
• $\int {\frac {\sin ^{n}(ax)}{\cos ^{m}(ax)}}{\mathsf {d}}x={\frac {\sin ^{n+1}(ax)}{a(m-1)\cos ^{m-1}(ax)}}-{\frac {m-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}(ax)}{\cos ^{m-2}(ax)}}{\mathsf {d}}x\quad (m\neq 1),$
• $\int {\frac {\sin ^{n}(ax)}{\cos ^{m}(ax)}}{\mathsf {d}}x=-{\frac {\sin ^{n-1}(ax)}{a(n-m)\cos ^{m-1}(ax)}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}(ax)}{\cos ^{m}(ax)}}{\mathsf {d}}x\quad (m\neq n),$
• $\int {\frac {\sin ^{n}(ax)}{\cos ^{m}(ax)}}{\mathsf {d}}x={\frac {\sin ^{n-1}(ax)}{a(m-1)\cos ^{m-1}(ax)}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-1}(ax)}{\cos ^{m-2}(ax)}}{\mathsf {d}}x\quad (m\neq 1).$
• $\int {\frac {\sin ^{2}(ax)}{\cos ^{n}(ax)}}{\mathsf {d}}x={\frac {\sin(ax)}{a(n-1)\cos ^{n-1}(ax)}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {{\mathsf {d}}x}{\cos ^{n-2}(ax)}}\quad (n\neq 1).$
• $\int {\frac {\sin ^{3}(ax)}{\cos ^{n}(ax)}}{\mathsf {d}}x={\frac {1}{a}}\left[{\frac {1}{(n-1)\cos ^{n-1}(ax)}}-{\frac {1}{(n-3)\cos ^{n-3}(ax)}}\right]\quad (n\neq 1,\;\;n\neq 3).$

Taip pat skaitykite

• Integravimo metodai

Nuorodos

• integralų lentelė
• integralų lentelė su įrodymais
• http://www.mathwords.com/i/integral_table.htm