Matematika/Išvestinės taikymas praktikoje

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Uždavinių pavyzdžiai[keisti]

skardos lapas
  • Iš kvadratinio skardos lapo, kurio kraštinės ilgis yra a, reikia pagaminti didžiausio tūrio stačiakampio gretasienio formos indą (be dangčio), kurio pagrindas būtų kvadratas.

Išpjaunamo kvadrato kraštinės ilgį žymėkime x. Kadangi indo pagrindas yra kvadratas, tai 0<x<a/2, ir indo tūrį išreiškiame formule

Taigi reikia rasti didžiausia funkcijos V(x) reikšmę atkarpoje (0; a/2). Kadangi

tai išsprendę lygtį , rasime funkcijos V(x) stacionariuosius taškus. Pirma surasime diskriminantą:

Sprendinys a/2 netinka, nes netinka lygybės 0<x<a/2. Įstatę a/6 reikšmę į pirmą lygti gauname didžiausio tūrio atsakymą:

tai funkcija V(x) įgyja didžiausią reikšmę atkarpoje (0; a/2), kai x=a/6. Taigi, kai x=a/6, indo tūris bus didžiausias:

Jeigu, pavyzdžiui, a=6, tai x=a/6=6/6=1, o tūris lygus:

  • Reikia pagaminti cilindro formos skardinę 2 l talpos dėžute, uždarą iš viršaus ir apačios.

Kokie turi būti jos matmenys, kad būtų sunaudota mažiausiai skardos?

Reikia rasti funkcijos minimumą.


  • Laivo ekipažo išlaikymui kas valandą išleidžiama 480 lt. Suvartojamo kuro kiekis yra proporcingas laivo greičio kubui. Plaukiant 10 mazgų greičiui, per valandą kuro sudeginama už 30 lt. Kokiu pastoviu greičiu turi plaukti laivas, kad bendros išlaidos būtų minimalios?

Sakykime, b yra bendros išlaidos per valandą. Tada b=480+i; čia i yra sudeginto kuro kaina. Remiantis sąlyga, čia k - proporcingumo koeficientas, v - greitis. Iš uždavinio sąlygos žinome, kad i=30, kai v=10, todėl t. y. Taigi Bendros išlaidos čia t - laikas.

Iš fizikos žinome, kad, kai judėjimas yra tolygus, t=s/v; čia s - kelio ilgis. Taigi

o v>0.

Rasime funkcijos B(v) kritinius taškus. Kadangi

tai išsprendę lygtį

Lengvai galime nustatyti, kad taške v=20 funkcija B(v) turi minimumą, o taškas v=0 nepriklauso funkcijos apibrėžimo sričiai. Taigi išlaidos bus tuo artimesnės minimalioms, kuo greitis bus artimesnis 20 mazgų.


  • Rasime didžiausio didžiausio ploto stačiakampį, kurio perimetras P.

Stačiakampių, kurių perimetras P, yra begalinė aibė. Iš tos stačiakampių aibės turime išrinkti stačiakampį, kurio plotas S būtų didžiausias. Sakykime, stačiakampio kraštinių ilgiai yra x ir y. Jo plotas , o perimetras Vadinasi Dabar ieškosime funkcijos S(x) didžiausios reikšmės, kai Tuo tikslu randame

Taigi funkcijos S(x) kritinis taškas yra

Toliau nagrinėsime aibę funkcijos S reikšmių taškuose ir S(0)=0, S(P/2)=0,

Taigi yra didžiausia funkcijos reikšmė atkarpoje [0; P]. Vadinasi plotas butų didžiausias kai Dabar rasime y:

Taigi x=y, t. y. ieškomasis stačiakampis yra kvadratas, kurio kraštinės ilgis lygus

Rodiklinio didėjimo ir rodiklinio mažėjimo diferencialinė lygtis[keisti]

Daugelio fizikos, technikos, biologijos ir socialinių mokslų uždavinių sprendimas pakeičiamas tokiu matematiniu uždaviniu: reikia rasti funkciją f, tenkinančią diferencialinę lygtį

(k - konstanta).
Žinant rodiklinės funkcijos išvestinės formulę, nesunku suvokti, jog (1) lygties sprendinys yra bet kuri funkcija
(C - konstanta). Kadangi C - laisvai parenkama konstanta, tai (1) diferencialin4 lygtis turi be galo daug sprendinių.
Įrodysime, kad (2) išraiškos funkcijos yra vieninteliai (1) lygties sprendiniai. Išnagrinėkime bet kurią funkciją f, tenkinančią (1) lygtį, ir sudarykime pagalbinę funkciją
Rasime funkcijos F išvestinę:
Įrašę vietoje reiškinį iš (1) lygties, gausime:
Iš funkcijos F išvestinės lygumo nuliui išplaukia, jog koks bebūtų x. Tada iš (3) formulės randame
Todėl
Tai ir reikėjo įrodyti.
Pastaba. Įrodydami teiginį, tarėme, kad funkcija f yra apibrėžta ir tenkina (1) lygtį visoje skaičių tiesėje. Sprendžiant uždavinius, pasitaiko funkcijų, tenkinančių (1) lygtį tik tam tikrame intervale. Aišku, tokiu atveju uždavinio bendrasis sprendinys (2) formule reiškiamas tik tame intervale, kuriame teisinga (1) lygtis.
(1) diferencialinės lygties prasmė - funkcijos kitimo greitis taške yra proporcingas pačios funkcijos reikšmei taške. Ši lygtis dažnai pasitaiko sprendžiant praktinius uždavinius.

Pavyzdžiai[keisti]

  • 1 pavyzdys. (Radioaktyvusis skilimas.) Sakykime, pradiniu laiko momentu radioaktyvios medžiagos masė lygi
Žinoma, kad medžiagos masės m(t) mažėjimo greitis laiko momentu t proporcingas jos kiekiui, t. y.
Anksčiau įsitikinome, jog
Konstantą C randame iš (4) sąlygos. Kai
t. y.
Taigi
Išnagrinėtasis pavyzdis yra tipiškas: norint iš visų diferencialinės lygties sprendinių išskirti vieną, reikia žinoi "pradines sąlygas". Šiuo atveju tai (4) lygybė.
Laiko tarpas T, per kurį radioaktyviosios medžiagos masė sumažėja perpus, vadinamas tos medžiagos "skilimo pusamžiu". Žinodami T, galima rasti k. Kadangi
t. y.
tai
Vadinasi, Iš čia
Pavyzdžiui, radžio skilimo pusamžis yra metų. Todėl (matuojant laiką metais)
Iš pradinės radžio masės po milijono metų liks tik
Galima skaičiuoti ir kitaip. Reikia paskaičiuoti kiek yra radžio skilimo pusamžių viename milijone metų. Taigi, radžio skilimo pusamžių milijone metų yra 1000000/1550=645,1612903 (pusamžiai). Vadinasi apytiksliai 645 kartus radžio masė sumažės 2 kartus. Todėl po milijono metų iš pradinės radžio masės liks:
Skaičiuojant kompiuteriaus kalkuliatoriumi gaunamos tokios tikslios reikšmės:
Šie skaičiavimai yra ekvivalentūs, nes:
Vadinasi, suradimui kiek liks medžiagos nuo pradinės masės galima taikyti trumpesnę formulę:
kur t yra laikas metais per kuri medžiaga gulėjo nuo to laiko, kada jos masė buvo iki laiko kai jos masė pasidarė ; T yra medžiagos skilimo pusamžis; yra pradinė medžiagos masė; yra masė likusi nuo pradinės masės po laiko t.
  • Pavyzdys. Per laiką metai tam tikros radiaktyvios medžiagos suskyla 20% nuo pradinės masės (kg). Vadinasi per metus vietoje 1 kilogramo radiaktyvios medžiagos liks 0,8 kilogramo radiaktyvios medžiagos. Reikia rasti medžiagos skilimo pusamžį T. Pasinaudosime sutrumpinta formule:
na tai tik standarto klausimas, kad niekas nenaudoja matematikoje logoritmo pagrindu 2;
tuomet pasinaudosime natūriniu logoritmu
Vadinasi, radiaktyvios medžiagos skilimo pusamžis T yra apie 3 metai.
Patikriname, kad
Na tikrai patikrinkime, žinodami, kad formulėje turime Tuomet
  • Pavyzdys. Per laiką metų radžio lieka nuo pradinės masės (kg). Reikia rasti medžiagos skilimo pusamžį T. Pasinaudosime sutrumpinta formule:
Vadinasi, radžio pusamžis yra 1550 metų.
  • Pavyzdys. Kiek liks radžio, kurio skilimo pusamžis metų, po metų, kai pradinė radžio masė kg?
Pasinaudodami formule randame, kad po 5 metų radžio liks:
Mokslininkai turi tikslius prietaisus, kad išmatuoti mažesnį nei 1 procento skirtumą.

Nuorodos[keisti]