Matematika/Išvestinė polinėje koordinačių sistemoje

Geometrinė reikšmė išvestinės spindulio-vektoriaus poliniu kampu

Pav. 90.

Tegu turime lygtį tiesės polinėse koordinatėse:

$\rho =f(\theta ).\quad (1)$

Parašysime formules pereimo iš polinių koordinačių į stačiakampes dekartines:

$x=\rho \cos \theta ,\quad y=\rho \sin \theta .$

Įstatę čia vietoje $\rho$ jo išraišką per $\theta$ iš lygties (1), turėsime:

$x=f(\theta )\cos \theta ,\quad y=f(\theta )\sin \theta .\quad (2)$

Lygtis (2) yra parametrinė lygtis duotos kreivės, be kita ko parametras yra polinis kampas $\theta$ (pav. 90).

Jeigu per $\phi$ pažymėti kampą, sudarytą liestinės kreivės tam tikram taške $M(\rho ,\;\theta )$ su teigiama kryptimi abscisių ašies, tai turėsime:

$\tan \phi ={\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}={\frac {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\theta }}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\theta }}},$ arba $\tan \phi ={\frac {\frac {{\text{d}}(\rho \sin \theta )}{{\text{d}}\theta }}{\frac {{\text{d}}(\rho \cos \theta )}{{\text{d}}\theta }}}={\frac {{\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}\theta }}\sin \theta +\rho \cos \theta }{{\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}\theta }}\cos \theta -\rho \sin \theta }}.\quad (3)$

Pažymėsime per $\mu$ kampą tarp krypties spinulio-vektoriaus ir liestinės. Akivaizdu, kad $\mu =180^{\circ }-\theta -(180^{\circ }-\phi )=\phi -\theta ,$

$\tan \mu =\tan(\phi -\theta )={\frac {\tan \phi -\tan \theta }{1+\tan \phi \tan \theta }}.$

Įstatę čia vietoje $\tan \phi$ jo išraišką (3) gausime:

$\tan \mu =\tan(\phi -\theta )={\frac {\tan \phi -\tan \theta }{1+\tan \phi \tan \theta }}={\frac {{\frac {\rho '\sin \theta +\rho \cos \theta }{\rho '\cos \theta -\rho \sin \theta }}-{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}{1+{\frac {\rho '\sin \theta +\rho \cos \theta }{\rho '\cos \theta -\rho \sin \theta }}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}}={\frac {\frac {(\rho '\sin \theta +\rho \cos \theta )\cos \theta -(\rho '\cos \theta -\rho \sin \theta )\sin \theta }{(\rho '\cos \theta -\rho \sin \theta )\cos \theta }}{\frac {(\rho '\cos \theta -\rho \sin \theta )\cos \theta +(\rho '\sin \theta +\rho \cos \theta )\sin \theta }{(\rho '\cos \theta -\rho \sin \theta )\cos \theta }}}=$

$={\frac {(\rho '\sin \theta +\rho \cos \theta )\cos \theta -(\rho '\cos \theta -\rho \sin \theta )\sin \theta }{(\rho '\cos \theta -\rho \sin \theta )\cos \theta +(\rho '\sin \theta +\rho \cos \theta )\sin \theta }}={\frac {\rho '\sin \theta \cos \theta +\rho \cos ^{2}\theta -\rho '\cos \theta \sin \theta +\rho \sin ^{2}\theta }{\rho '\cos ^{2}\theta -\rho \sin \theta \cos \theta +\rho '\sin ^{2}\theta +\rho \cos \theta \sin \theta }}=$

$={\frac {\rho \cos ^{2}\theta +\rho \sin ^{2}\theta }{\rho '\cos ^{2}\theta +\rho '\sin ^{2}\theta }}={\frac {\rho }{\rho '}},$

arba

$\rho '\tan \mu =\rho ,$

$\rho '_{\theta }={\frac {\rho }{\tan \mu }}=\rho \cot \mu .\quad (4)$

Tokiu budu, išvestinė spindulio-vektoriaus poliniu kampu lygi ilgiui spindulio-vektoriaus, padaugintam iš kotangento kampo tarp spindulio-vektoriaus ir liestinės kreivės duotame taške.

Pavyzdžiai

• Parodyti, kad liestinė logoritminės spiralės $\rho =e^{a\theta }$ kertasi su spinduliu-vektoriu pastoviu kampu (parodyti, kad kampas $\mu$ nesikeičia visuose spiralės taškuose).

Sprendimas. Iš spiralės lygties randame: $\rho '=ae^{a\theta }.$ Pagal formulę (4) gauname:

$\cot \mu ={\frac {\rho '}{\rho }}={\frac {ae^{a\theta }}{e^{a\theta }}}=a,$

t. y.

$\mu =\operatorname {arccot} a={\text{const}}.$

• Rasti kampą $\mu$, kurį sudaro susikertanti liestinė su spinduliu-vektoriu $\rho$, taške $M(6;\;2{\sqrt {3}})$ apskritimo

$x^{2}+y^{2}=8x,\;<=>\;(x-4)^{2}+y^{2}=16.$

(Įstačius šio M taško koordinates į apskritimo lygti gaunama tapatybė; vadinasi, taškas M priklauso apskritimui $x^{2}+y^{2}=8x.$)

Apskritimo $x^{2}+y^{2}=8x$ spindulys $R=4$. Apskritimo centro koordinatės yra (4; 0).

Dydžiojo apskritimo lygtis $x^{2}+y^{2}=8x.$

Sprendimas. Randame

$x^{2}+y^{2}=\rho ^{2};$

$8x=8\rho \cos \theta .$

Dabar apskritimo lygtis perrašyta į polines koordinates atrodo taip:

$x^{2}+y^{2}=8x;$

$\rho ^{2}=8\rho \cos \theta ,$

$\rho =8\cos \theta .$

Randame $\rho _{\theta }$ išvestinę:

$\rho '=(8\cos \theta )'=-8\sin \theta .$

Randame liestinės lygtį:

$y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1});$

$y^{2}=8x-x^{2};$

$y={\sqrt {8x-x^{2}}};$

$y'=({\sqrt {8x-x^{2}}})'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {8-2x}{\sqrt {8x-x^{2}}}}={\frac {4-x}{\sqrt {8x-x^{2}}}};$

$f'(x_{1})=f'(6)=y'|_{x=6}={\frac {4-6}{\sqrt {8\cdot 6-6^{2}}}}={\frac {-2}{\sqrt {48-36}}}=-{\frac {2}{\sqrt {12}}}=-{\frac {2}{2{\sqrt {3}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}};$

$y-2{\sqrt {3}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(x-6);$

$y=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {6}{\sqrt {3}}}+2{\sqrt {3}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {6+2\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}}{\sqrt {3}}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {6+2\cdot 3}{\sqrt {3}}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {12}{\sqrt {3}}}.$

Randame kampą $\phi$ tarp apskritimo liestinės ir Ox ašies:

$\tan \phi =k=-{\frac {1}{\sqrt {3}}};$

$\phi =\arctan(-{\frac {1}{\sqrt {3}}})=-{\frac {\pi }{6}}=-0.523598775$ arba $\phi =-30^{\circ }.$ Reiškia, kad kampas $\phi =330^{\circ }$ arba $\phi =2\pi -{\frac {\pi }{6}}={\frac {12\pi -\pi }{6}}={\frac {11\pi }{6}}=5.75958653158$ radiano.

Vektorius ${\vec {MO}}=\{6-0;\;2{\sqrt {3}}-0\}=\{6;\;2{\sqrt {3}}\}=\{l;\;m\}$ yra spindulio-vektoriaus $\rho$ krypties vektorius taške $M(6;\;2{\sqrt {3}}).$

Kai yra žinomi du tiesės taškai $M(6;\;2{\sqrt {3}})$ ir O(0; 0), tada tiesės lygtis yra

${\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}$ arba ${\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}$ arba ${\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{1}-y_{0}}}.$

Taigi, randame spindulio-vektoriaus $\rho$ tiesės krypties koeficientą $k_{\rho }$ taške M:

${\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}};$

${\frac {x-0}{6}}={\frac {y-0}{2{\sqrt {3}}}};$

${\frac {2{\sqrt {3}}x}{6}}=y;$

$y={\frac {{\sqrt {3}}x}{3}}={\frac {x}{\sqrt {3}}};$

$k_{\rho }={\frac {1}{\sqrt {3}}}=\tan \theta .$

Arba galima daug paprasčiau rasti tiesės jungiančios tašką O(0; 0) ir tašką $M(6;\;2{\sqrt {3}})$ krypties koeficientą:

$\tan \theta ={\frac {y_{M}}{x_{M}}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{6}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}=0.577350269.$

Randame kampą $\theta$ tarp spindulio-vektoriaus $\rho$ einančio per tašką M ir ašies Ox:

$\theta =\arctan k_{\rho }=\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{6}}=0,523598775$ radiano arba 30 laipsnių.

Toliau randame kampą $\mu$, kurį sudaro apskritimo liestinė taške M su spinduliu-vektoriu $\rho$:

$\mu =\phi -\theta =-{\frac {\pi }{6}}-{\frac {\pi }{6}}=-{\frac {\pi }{3}}=2\pi -{\frac {\pi }{3}}={\frac {6\pi -\pi }{3}}={\frac {5\pi }{3}}=5.235987756$ radiano arba 300 laipsnių (kas tikriausiai reiškia 60 laipsnių);

$\tan \mu =\tan(\phi -\theta )=\tan(-{\frac {\pi }{6}}-{\frac {\pi }{6}})=\tan {\frac {-\pi }{3}}=\tan {\frac {5\pi }{3}}=-1.7320508.$

Patikriname tapatumus:

$\rho =8\cos \theta =8\cos {\frac {\pi }{6}}=8\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}=6,92820323;$

$\rho '=-8\sin \theta =-8\sin {\frac {\pi }{6}}=-8\cdot {\frac {1}{2}}=-4;$

$\rho '_{\theta }={\frac {\rho }{\tan \mu }}={\frac {6.92820323}{-1.7320508}}=-4.00000001732.$

Nors sprendžiant iš to, kad liestinės krypties koeficientas $k_{\phi }=\tan \phi =-{\frac {1}{\sqrt {3}}},$ o tiesės OM krypties koeficientas lygus $k_{\theta }=\tan \theta ={\frac {1}{\sqrt {3}}},$ peršasi mintis, kad kampas $\mu$ tarp apskritimo liestinės taške M ir tiesės OM yra 90 laipsnių (grafiškai taip irgi atrodo įtikinamiau nei 60 laipsnių kampas $\mu$).

Galima kitaip rasti kampą $\mu$:

$\tan \mu ={\frac {\rho }{\rho '_{\theta }}}={\frac {8\cos \theta }{-8\sin \theta }}=-{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=-\cot \theta =-{\frac {1}{\tan {\frac {\pi }{6}}}}=-{\frac {1}{\frac {1}{\sqrt {3}}}}=-{\sqrt {3}};$

$\mu =\arctan(-{\sqrt {3}})=-1.047197551;$

$\mu =-1.047197551\cdot {\frac {180}{\pi }}=-60^{\circ }.$ Na, gal nemeluoja teorija (šiaip grafiškai atrodo daugiau nei 90 laipsnių gal 120, bet turbūt reikia žiūrėti mažesnį (smailųjį) kampą, tada turbūt ir gaunasi 60 laipsnių).