Matematika/Išvestinė polinėje koordinačių sistemoje

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search


Geometrinė reikšmė išvestinės spindulio-vektoriaus poliniu kampu[keisti]

Pav. 90.
Tegu turime lygtį tiesės polinėse koordinatėse:
Parašysime formules pereimo iš polinių koordinačių į stačiakampes dekartines:
Įstatę čia vietoje jo išraišką per iš lygties (1), turėsime:
Lygtis (2) yra parametrinė lygtis duotos kreivės, be kita ko parametras yra polinis kampas (pav. 90).
Jeigu per pažymėti kampą, sudarytą liestinės kreivės tam tikram taške su teigiama kryptimi abscisių ašies, tai turėsime:
arba
Pažymėsime per kampą tarp krypties spinulio-vektoriaus ir liestinės. Akivaizdu, kad
Įstatę čia vietoje jo išraišką (3) gausime:
arba
Tokiu budu, išvestinė spindulio-vektoriaus poliniu kampu lygi ilgiui spindulio-vektoriaus, padaugintam iš kotangento kampo tarp spindulio-vektoriaus ir liestinės kreivės duotame taške.


Pavyzdžiai[keisti]

  • Parodyti, kad liestinė logoritminės spiralės kertasi su spinduliu-vektoriu pastoviu kampu (parodyti, kad kampas nesikeičia visuose spiralės taškuose).
Sprendimas. Iš spiralės lygties randame: Pagal formulę (4) gauname:
t. y.
  • Rasti kampą , kurį sudaro susikertanti liestinė su spinduliu-vektoriu , taške apskritimo
(Įstačius šio M taško koordinates į apskritimo lygti gaunama tapatybė; vadinasi, taškas M priklauso apskritimui )
Apskritimo spindulys . Apskritimo centro koordinatės yra (4; 0).
Dydžiojo apskritimo lygtis
Sprendimas. Randame
Dabar apskritimo lygtis perrašyta į polines koordinates atrodo taip:
Randame išvestinę:
Randame liestinės lygtį:
Randame kampą tarp apskritimo liestinės ir Ox ašies:
arba Reiškia, kad kampas arba radiano.
Vektorius yra spindulio-vektoriaus krypties vektorius taške
Kai yra žinomi du tiesės taškai ir O(0; 0), tada tiesės lygtis yra
arba arba
Taigi, randame spindulio-vektoriaus tiesės krypties koeficientą taške M:
Arba galima daug paprasčiau rasti tiesės jungiančios tašką O(0; 0) ir tašką krypties koeficientą:
Randame kampą tarp spindulio-vektoriaus einančio per tašką M ir ašies Ox:
radiano arba 30 laipsnių.
Toliau randame kampą , kurį sudaro apskritimo liestinė taške M su spinduliu-vektoriu :
radiano arba 300 laipsnių (kas tikriausiai reiškia 60 laipsnių);
Patikriname tapatumus:
Nors sprendžiant iš to, kad liestinės krypties koeficientas o tiesės OM krypties koeficientas lygus peršasi mintis, kad kampas tarp apskritimo liestinės taške M ir tiesės OM yra 90 laipsnių (grafiškai taip irgi atrodo įtikinamiau nei 60 laipsnių kampas ).
Galima kitaip rasti kampą :
Na, gal nemeluoja teorija (šiaip grafiškai atrodo daugiau nei 90 laipsnių gal 120, bet turbūt reikia žiūrėti mažesnį (smailųjį) kampą, tada turbūt ir gaunasi 60 laipsnių).