Matematika/Išvestinė

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Išvestinė yra bet kokios funkcijos liestinė. Liestinė su apvalia arba išgaubta funkcijos kreive turi tik vieną susilietimo tašką ir neturi kitų susikirtimo taškų.

Liestinės lygtis[keisti]

Funkcijos f(x) liestinė taške x

Tiesė liečia funkcijos grafiką taške Išvesime tos liestinės lygtį.

Kadangi tos tiesės krypties koeficientas tai jos lygtis yra
Skaičių b sužinome iš sąlygos, kad liestinė eina per tašką A:

Iš čia Todėl liestinės lygtis bus šitokia:

Pavyzdžiai[keisti]

  • Tiesė liečia funkcijos grafiką taške, kurio abscisė lygi Parašykime tos tiesės lygtį.
Šiame pavyzdyje Irašę tuos skaičius į formulę gauname liestinės lygtį:


  • Tiesė liečia parabolę taške, kurios abscisė . Parašykime tos tiesės lygtį. Pagal sąlygą

Įrašę tas reikšmes į liestinės lygtį, gausime:

Pavyzdžiui, kai liestinės lygtis yra y=2x-1. Kai liestinės lygtis yra


  • Tiesė liečia grandininę liniją taške, kurios abscisė . Parašykime tos tiesės lygtį. Pagal sąlygą
Įrašę tas reikšmes į liestinės lygtį, gausime:
Pavyzdžiui, kai liestinės lygtis yra
Pavyzdžiui, kai liestinės lygtis yra
Kai liestinės lygtis yra:
Funkcija (žalia kreivė) ir jos liestinė taške P (mėlyna tiesė); kampas tarp liestinės taške P ir abscisės Ox yra
  • Parašyti parabolės liestinės lygtį taške . Rasti kam lygūs dy ir taške , kai ir atsakymą patikrinti.
Sprendimas. Liestinės lygtis taške yra:
Toliau randame :
Toliau randame dy:
Parabolės abscisės reikšmė taške yra
Liestinės abscisės reikšmė, kai argumeno reikšmė yra , gaunama tokia:
Na, o parabolės abscisės reikšmė nuo yra:
Ir parabolės abscisės reikšmė taške yra:
Taigi, patikriname dy atėmę iš liestinės abscisės reikšmės nuo , parabolės abscisės reikšmę taške ir gauname:
Gavome teisingai.
Toliau patikriname ar tikrai , taigi:
Papildomai randame ir dy skirtumą:
arba
arba
arba

Liečiamosios plokštumos lygtis[keisti]

Plokštumos, kuri liečia paviršių f(x; y) taške lygtis yra:


Plokštuma liečia funkcijos paviršių taške Išvesime tos liečiančios plokštumos lygtį.
Kadangi tos plokštumos krypties koeficientai yra ir tai jos lygtis yra
Skaičių b sužinome iš sąlygos, kad liestinė eina per tašką A:

Iš čia Todėl liečiamosios plokštumos lygtis bus šitokia:


  • Pavyzdys. Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A(3; 4; 27) funkcijos, kuri nusako paviršių
Sprendimas.
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:


  • Pavyzdys. Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A(8; 4; 172) funkcijos, kuri nusako paviršių
Sprendimas.
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
  • Pavyzdys. Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A(8; 4; 0) funkcijos, kuri nusako paviršių
Sprendimas.
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:


Paviršių liečiančios plokštumos normalės lygtis[keisti]

Žinome, kad plokštuma
turi normalės vektorių statmeną plokštumai . Taigi, tiesės (normalės) statmenos plokštumai ir kertančios tą plokštumą taške lygtis yra
Analogiškai, perrašius paviršių liečiančią plokštumą
gauname paviršių liečiančios plokštumos normalės lygtį taške
Vadinasi paviršių liečiančios plokštumos normalės vektorius yra

Išvestinių pavyzdžiai[keisti]

  • Bendri atvejai:
    • .
    • .
  • Logaritminės funkcijos:
    • .
    • .
  • Rodiklinės funkcijos:
    • .
    • .
  • Trigonometrinės funkcijos
    • .
    • .
    • .
    • .
    • .
    • .

n-tos eilės išvestinės[keisti]

  • Bendri atvejai:
  • Tiesinės trupmeninės funkcijos n-toji išvestinė:
  • Sandaugos išvestinė sutampa su binomo formule, tik vietoje laipsnio rašoma išvestinė:
  • Trigonometrijoje:

kur (n) yra n-tos eilės išvestinė.


Išvestinių įrodymai[keisti]

  • Sinuso išvestinės įrodymas. Funkcija , o jos išvestinė . Žinome, kad o tiksliau mums reikia Duodame argumentui x priaugimą ; tada
1) ;
2)
3)
4)
Žinome, kad todėl
tai


  • Kosinuso išvestinės įrodymas. Išvestinė funkcijos išreiškiama formule
Įrodymas. Pasinaudodami formule turime
Tokiu budu, kai gauname
Turime, kad ir tada randame


  • Įrodymas išvestinės funkcijos išreiškiamos formule
kadangi žinoma iš elementarios matematikos, kad Taip pat žinome, kad todėl turime
Tokiu budu, kai gauname:
Pakeitę turime:
O kadangi logaritminė funkcija yra netruki, tai
Iš to seka, kad jeigu tai


  • Tangento išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad
Įrodymas.


  • Arktangento išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad
Įrodymas.
iš trečios eilutės turime, kad todėl


  • Arksinuso išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad funkcijos išvestinė yra
Įrodymas.
iš trečios eilutės turime, kad todėl


  • Arkkosinuso išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad funkcijos išvestinė yra
Įrodymas.
iš trečios eilutės turime, kad todėl


  • Išvestinė rodiklinės funkcijos. Išvestinė funkcijos išreiškiama formule
Įrodymas.
bet todėl

Išvestinės įrodymas per atvirkštinę funkciją[keisti]

nes

Todėl

Pavyzdžiai[keisti]

  • Rasime išvestinę funkcijos kai , Atvirkštinė funkcija , kai Todėl
nes kai


  • ,
kur


  • Išvestinė rodiklinės funkcijos. Išvestinė funkcijos išreiškiama formule
Įrodymas. Rodiklinė funkcija yra atvirkštinė logoritminei funkcijai Todėl, kad
tai pagal teoremą apie išvestinę atvirkštinės funkcijos ir žinomo iš elementariosios matematikos santykio gauname
Pasekmė. Jeigu , tai


Funkcijų sandaugos ir dalmens išvestinių įrodymai[keisti]

  • Jeigu funkcijos u ir v diferencijuojamos taške tai jų sandauga diferencijuojama šiame taške ir
(funkcijų ir jų išvestinių reikšmės apskaičiuojamos taške ).
Iš pradžių apskaičiuosime sandaugos pokytį:
Iš čia
Kadangi funkcijos u ir v yra diferencijuojamos taške tai
kai
Todėl
t. y.
Tai ir reikėjo įrodyti.


  • Jeigu funkcijos u ir v diferencijuojamos taške ir funkcijos v reikšmė nelygi nuliui šiame taške, tai dalmuo taip pat diferencijuojamas taške ir
(funkcijų ir jų išvestinių reikšmės apskaičiuojamos taške ).
Iš pradžių išvesime formulę
Tam tikslui rasime funkcijos pokytį:
Iš čia
Jei tai (kadangi v diferencijuojama taške ), Todėl
t. y.
čia dešinėse lygybių pusėse trumpumo dėlei rašoma
Dabar, remdamiesi funkcijų sandaugos išvestinės skaičiavimo taisykle, randame dalmens išvestinę:


Kitoks funkcijų dalmens išvestinės įrodymas[keisti]

Jeigu tai

Įrodymas. Jeigu , ir yra esmė priaugimo funkcijų y, u ir v, atitinkanti priaugimui , tai
Iš čia, pastebėję, kad , kai ( nes v(x) - diferencijuojama ir dėl to netrūki funkcija), gauname:


Sudetinės rodiklinės funkcijos išvestinės įrodymas[keisti]

Sudetine rodikline funkcija vadinasi funkcija, kurios pagrindas ir laipsnio rodiklis yra funkcijos nuo x, pavyzdžiui apskritai, bet kuri funkcija
yra sudetinė rodiklinė funkcija (dažnai tokią funkciją vadina laipsnine rodikline funkcija).
Jeigu tai
Įrodymas. Logaritmuojame funkciją y:
Diferencijuodami gautą lygybę per x, turėsime:
Iš kur
Įstatę čia išraišką gauname:


Pavyzdžiai.
  • Jeigu tai


  • Jeigu tai


Išvestinė laipsninės funkcijos su bet kokiu realiuoju rodikliu[keisti]

Išvestinė funkcijos ( - bet koks realusis skaičius) išreiškiama formule
Įrodymas. Kadangi tai
Diferencijuodami (remdamiesi sudėtinės funkcijos diferencijavimu) per x kairiąją ir dešiniąją puses, randame

Sudėtinės funkcijos išvestinės įrodymas per pavyzdį[keisti]

Sudėtinės funkcijos (čia ) išvestinė yra
Kadangi nėra sudėtinės funkcijos išvestinės aiškiai suprantamo įrodymo, tai mes įrodysime, remdamiesi sudėtinės funkcijos išvestinės formule, per pavyzdį.
Tegu turime funkciją čia
Surandame y, f(x) ir išvestines:
Įstatę į f(x) išvestinę ir sudauginę su išvestine gauname:
Skaičiuojant abiais būdais gavome tą patį y išvestinės atsakymą (). Jei sudėtinės funkcijos išvestinės formulė butų neteisingą, tai gautumėme tikriausiai skirtingus atsakymus skaičiuojant skirtingais būdais.

Nuorodos[keisti]