Matematika/Furje eilutės

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Trigonometrinė eilutė ir jos pagrindinės savybės[keisti]

Eilutė pavidalo
vadinasi trigonometrine eilute, o skaičiai koeficientais trigonometrinės eilutės.
Skirtumas nuo laipsninės eilutės yra, kad trigonometrinėje eilutėje vietoje paprasčiausių funkcijų 1, x, , ..., , ... paimtos trigonometrinės funkcijos
kurios taip pat gerai išnagrinėtos.
Visų pirma pažymėsime, kad visos funkcijios sistemos (2) yra periodinės su periodu . Iš tiesų, konstanta turi bet kokį periodą, o periodas funkcijų ir () lygus (iš tiesų, ) ir, pasekoje, skaičius taipogi jų periodas. Akivaizdu, kad kiekvienas narys trigonometrinės eilutės (1) yra periodinė funkcija su eriodu . Todėl ir betkuri dalinė suma eilutės (1) -periodinė (jeigu visi nariai eilutės nesikeičia nuo pakaitalo x iki , tai ir suma jos nesikeičia nuo šito pakaitalo). Iš čia seka, kad jeigu eilutė (1) konverguoja atkarpoje , tai ji konverguoja visoje skaičių tiesėje ir jos suma, esanti riba pasekmės periodinių dalinių sumų, yra periodinė funkcija su periodu . Todėl trigonometrinės eilutės ypač patogios nagrinėjant periodines funkcijas, aprašančias įvairius periodinius procesus, kurie yra gamtoje ir technikoje. Pavyzdžiai periodinių procesų yra supamieji ir sukamieji judesiai įvairių detalių mašinų ir prietaisų, akustiniai ir elektromagnetiniai virpesiai ir kita.
Kita svarbia savybe funkcijos (2) yra jų statmenumas atkarpoje integralas atkarpa iš sandaugos dviejų skirtingų funkcijų šitos sistemos lygus nuliui, o integralas atkarpa iš kvadrato bet kurios funkcijos šitos sistemos nelygus nuliui.
Iš tiesų,
čia
Toliau,
čia ir bei pasinaudojome trigonometrine formule
Analogiškai randame
čia ir bei pasinaudojome trigonometrine formule
Pagaliau,
ką ir reikėjo parodyti.

Furjė eilutė[keisti]

Analogiškai laipsninei eilutei, trigonometrinė eilutė turi tokią teoremą.
Teorema 1. Jeigu funkcija apibrėžta ir integruojama ant atkrapos išsiskaido į trigonometrinę eilutę
kurią galima integruoti panariui, tai šitas išskaidymas vienintelis.
Įrodymas. Integruodami (7), gauname
Iš kur, atsižvelgę į (3), randame
Kad nustatyti koeficientą prie (k naturalus skaičius) padauginsime lygybę (7) iš ir praintegruosime per x nuo iki (eilučių teorijoje įrodoma, kad eilutę (7) galima integruoti panariui po padauginimo jos iš ribotos funkcijos). Tada pagal formules (3) (6) gauname

iš kur
Analogiškaim padauginę lygybę (7) iš ir integruodami ribose nuo iki , pagrindu tų pačių formulių gausime
iš kur randame
Tokiu budu, koeficientai ir eilutės (7) nustatomi vieninteliu budu formulėmis (8) (10), kas ir įrodo teoremą.
Šita teorema duoda pagrindą įvesti tokį apibrežimą.
Apibrėžimas. Tegu funkcija, apibrėžta ir integruojama atkarpoje . Tada skaičiai rasti pagal formules (8) (10), vadinasi koeficientais Furje, o eilutė
su šitais koeficientais vadinasi eilute Furje funkcijos f(x).

Konvergencija Furje eilutės[keisti]

Įvesime sąvoka periodinio pratesimo funkcijos apibrėžtos atkarpoje
Sakysime, kad funkcija , apibrėžta visoje skaičių tiesėje ir periodinė su periodu , yra periodinis tesinys funkcijos jeigu atkarpoje
Akivaizdu, kad jeigu atkarpoje Furje eilutė konverguoja į funkcija tai eilutė konverguoja visoje skaičių tiesėje į jos periodinį tesinį.
Nustatysime kokiomis sąlygomis Furje eilutė funkcijos konverguoja į šitą funkciją.
Teorema 2. Tegu funkcija ir jos išvestinė netrūkios funkcijos atkarpoje arba turi atkarpoje baigtinį skaičių trūkių 1-ojo tipo. Tada Furje eilutė funkcijos

konverguoja visoje skaičių tiesėje, be kita ko kiekviename taške kuriame netruki, suma eilutės lygi o kiekviename trūkio taške funkcijos suma eilutės lygi

kur ir Ant kraštų atkapros suma eilutės lygi
Bet kuriame taške suma Furje eilutės lygi jeigu netrūkio taškas ir lygi jeigu trūkio taškas kur periodinis tesinys

Furje eilutė lyginėms ir nelyginėms funkcijoms[keisti]

Tegu funkcija apibrėžta atkarpoje ir yra lyginė, t. y. Tada jos koeficientai Furje lygūs nuliui. Tikrai,
Pirmame integrale kvadratiniuose skliaustuose padarysime pakeitimą kintamojo. Tarsime Tada jeigu , tai ; jeigu , tai Atkreipdami dėmesį, kad funkcija lyginė, o funkcija nelyginė, gauname
Todėl,
(priminsime, kad apibrėžtinis integralas nepriklauso nuo pažymėjimo kintamojo integravimo).
Kitoks paaiškinimas. Kadangi yra nelyginė funkcija (tam tikromis sąlygomis, t. y., kai x kinta nuo iki ), nes, pavyzdžiui, ir tai sukombinavus su funkcija kai funkcija yra nelyginė, gaunasi, kad minusas panaikinta minusą ir todėl Kai funkcija yra lyginė, tai Kai funkcija yra nelyginė (), tai sudauginus ją su funkcija visada gausime atsakymą tokį patį, nepriklausomai ar ar (, ). O kai funkcija yra lyginė (), tai sudauginus ją su funkcija gausime atsakymą su skirtingu ženklu, priklausomai ar ar (, ). Tada, kai funkcija lyginė gauname:
Palyginimui, kai funkcija yra nelyginė gauname:
Todėl, kai funkcija yra lyginė gauname:
Pažynėsime, kad reikia sudėti daug dalių funkcijos kai reikšmė x padalinta į daug mažų intervalų. Pavyzdžiui, jei funkcija lyginė , tai integruojant gauname ir (gavome tą patį atsakymą). Tačiau, jeigu funkcija nelyginė , tuomet integraujant gausime skirtingus atsakymus ir Tačiau esmė yra iškelti minusą prieš integralą. Akivaizdu, kad
bei
Taigi, mes iš karto matome, kad galime iškelti minuso ženklą nelyginės (kuri yra , kai ) funkcijos ir integruoti nuo 0 iki , tarsi f(x) būtų lyginė funkcija.
Analogiškai, atsižvelgiant, kad funkcijos ir yra lyginės ( yra lyginė, kai nes, pavyzdžiui, ), galima gauti sekančią išraišką koeficientų :
Kai abi funkcijos ir lyginės, tai:
Nes integruojant lyginę funkciją (pvz., ) arba lyginių funkcijų sandaugą (pvz., ) atsakymas yra toks pat, nepriklausomai ar x kinta nuo iki 0, ar x kinta nuo 0 iki , todėl
Tegu, dabar funkcija apibrėžtą atkarpoje nelyginė, t. y. Tada, panaudodami samprotavimus, analogiškus pateiktiems aukščiau, galima parodyti, kad Furje koeficientai lygūs nuliui, o koeficientai nustatomi išraiškomis pavidalu
Nes tuomet, kai abi funkcijos nelyginės ir todėl:
Tas pats kas integruojant gausime tokias išraiškas:
Tokiu budu, jeigu funkcija lyginė, tai Furjė eilutę sudaro tik kosinusai ir tik sinusai, jeigu funkcija nelyginė. Formulės (11) ir (12) leidžia suprastinti skaičiavimus koeficientų Furje, kada tam tikra funkcija yra lyginė arba nelyginė.

Pavyzdžiai[keisti]

a).
  • Panagrinėkime funkcija Šita funkcija tenkina teoremą 2 ir todėl gali būti išdeliota į eilutę Furjė. Kadangi jinai nelyginė, tai jos koeficientai Furjė o randami pagal formulę (12). Turime
Tokiu budu, gauname eilutę Furjė duotos funkcijos
Šita lygybė teisinga betkuriam Taškuose suma eilutės Furjė pagal teoremą 2 nesutampa su reikšmėmis funkcijos o lygi Ne atkarpoje suma eilutės yra periodinis teisinys funkcijos ; jos grafikas parodytas pav. a.
b).
  • Panagrinėkime funkciją Šita funkcija tenkina sąlygas teoremos 2 ir todėl gali būti išdeliota į eilutę Furjė. Kadangi ji lyginė, tai jos koeficientai Furjė o randami pagal formulę (11). Turime
čia pasinaudojome integravimu dalimis
Reiškia, eilutė Furjė duotos funkcijos turi pavidalą
Šita lygybė teisinga betkuriam kadangi taškuose suma eilutės šiuo atveju sutampa su reikšmėmis funkcijos nes Grafikas funkcijos ir sumos duotosios eilutės Furjė pavaizduoti pav. b.


  • Panagrinėkime funkcija Šita funkcija tenkina teoremą 2 ir todėl gali būti išdeliota į eilutę Furjė. Kadangi jinai nelyginė, tai jos koeficientai Furjė o randami pagal formulę (12). Turime
Tokiu budu, gauname eilutę Furjė duotos funkcijos


Furjė eilutė su periodu 2l[keisti]

Tegu funkcija apibrėžta apkarpoje ( betkoks teigiamas skaičius) ir tenkina šitoje atkarpoje sąlygas teoremos 2. Išdeliosimę ją į Furjė eilutę.
Įvesime naują kintamajį pagal formulę
ir panagrinėsime funkciją
Akivaizdu, funkcija apibrėžta atkarpoje ir tenkina joje sąlygas teoremos 2.
Išdeliosime funkciją atkarpoje į Furjė eilutę
kur
Grįšime dabar prie senojo kintamojo x:

Tada formulė (13) įgauna pavidalą

kur
Formulė (14) ir yra Furjė eilutė su periodu

Pavyzdžiai[keisti]

Pav. 2.
  • Išdelioti į Furjė eilutę su periodu funkciją kuri atkarpoje užrašoma formule
Sprendimas. Kadangi funkcija lyginė, tai
Furjė eilutė funkcijos yra tokia
Funkcija tenkina sąlygas teoremos 2 ir gauta lygybė teisinga bet kokiam o tai reiškia, kad eilutė konverguoja visoje skaičių tiesėje ir jos suma yra funkcija, grafikas kurios parodytas pav. 2.
Pažymėsime, kad Furjė eilutės plačiai taikomos tiek teoriniuose tyrimuose, tiek ir praktiniuose uždaviniuose.


  • Išdelioti į Furjė eilutę su periodu funkciją kuri atkarpoje užrašoma formule
Sprendimas. Įvedame keitinį Funkcija apibrėžta atkarpoje Kadangi funkcija lyginė, tai
čia pasinaudojome integravimu dalimis du kartus.
Furjė eilutė funkcijos yra tokia

Nuorodos[keisti]