Aptarimas:Matematika/Furje eilutės

Furje eilutė lyginėms ir nelyginėms funkcijoms negali buti išaiškinta kitaip

$b_{n}=\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx){\text{d}}x={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {a_{0}}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(nx){\text{d}}x+\sum _{m=1}^{\infty }\left(a_{m}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\cos(mx){\text{d}}x+b_{m}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\sin(mx){\text{d}}x\right)\right]=$

$={\frac {1}{\pi }}\left[0+\sum _{m=1}^{\infty }\left(0+b_{m}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\sin(mx){\text{d}}x\right)\right]={\frac {b_{n}}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}(nx){\text{d}}x={\frac {b_{n}}{\pi }}\left(\int _{-\pi }^{0}\sin ^{2}(nx){\text{d}}x+\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(nx){\text{d}}x\right)=$

$={\frac {b_{n}}{\pi }}\left({\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{0}(1-\cos(2nx)){\text{d}}x+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(1-\cos(2nx)){\text{d}}x\right)={\frac {b_{n}}{\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{2n}}\sin(2nx)\right)|_{-\pi }^{0}+{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{2n}}\sin(2nx)\right)|_{0}^{\pi }\right]=$

$={\frac {b_{n}}{\pi }}\left[{\frac {x}{2}}|_{-\pi }^{0}+{\frac {x}{2}}|_{0}^{\pi }\right]={\frac {b_{n}}{2\pi }}(x|_{-\pi }^{0}+x|_{0}^{\pi })={\frac {b_{n}}{2\pi }}[(0-(-\pi ))+(\pi -0)]={\frac {b_{n}}{2\pi }}[\pi +\pi ]=b_{n}.$

tik daugiau painiavos

Kitoks paaiškinimas (taikomas tokioms lyginėms arba nelyginėms funkcijoms kaip $f(x)=x^{2}$, $f(x)=x^{3}$, $f(x)=x^{4}$, $f(x)=x^{5}$, o ne tokioms kaip $f(x)=-|x|,$ $f(x)=-x^{2},$ $f(x)=-|x^{3}|$). Kadangi $g(x)=\sin x$ yra nelyginė funkcija (tam tikromis sąlygomis, t. y., kai x kinta nuo $-\pi$ iki $\pi$), nes, pavyzdžiui, $\sin(30^{\circ })={\frac {1}{2}}$ ir $\sin(-30^{\circ })=-{\frac {1}{2}},$ tai sukombinavus su funkcija $f(x),\;$ kai funkcija $f(x)\;$ yra nelyginė, gaunasi, kad minusas panaikinta minusą ir todėl $f(1)\cdot \sin(1)=f(-1)\cdot \sin(-1).$ Kai funkcija $f(x)\;$ yra lyginė, tai $f(1)\cdot \sin(1)\neq f(-1)\cdot \sin(-1).$ Kai funkcija $f(x)\;$ yra nelyginė ($f(-x)=-f(x)\;$), tai sudauginus ją su funkcija $g(x)=\sin x$ visada gausime atsakymą teigiamą ($f(x)\cdot \sin x=|u|$). O kai funkcija $f(x)\;$ yra lyginė ($f(-x)=f(x)\;$), tai sudauginus ją su funkcija $g(x)=\sin x$ gausime atsakymą teigimą, jei $x>0$ arba neigimą, jei $x<0$ ($f(x)\cdot \sin x=u$). Tada, kai funkcija $f(x)\;$ lyginė gauname:

$\int _{-\pi }^{0}f(x)\sin(nx){\text{d}}x=-\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(nx){\text{d}}x.$