Matematika/Diferencialas

Iš Wikibooks.
Funkcija (žalia kreivė) ir jos liestinė taške P (mėlyna tiesė). Funkcijos diferencialas yra dy.

Diferencialas - funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojamąja taške x (a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) - f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A - skaičius, nepriklausantis nuo Δx.

Pavyzdžiui, yra funkcija f(x)=x2. Tos funkcijos išvestinė yra

Įstatykime vietoje x kokią nors reikšmę, pavyzdžiui, x=3.

Δy = AΔx + o(Δx) = 2xΔx + (Δx)2=6Δx + (Δx)2,

čia A = 2x = 6 = f'(x); o(Δx) = (Δx)2.

Taigi funkcijos pokytis yra Δy = f(x + Δx) - f(x) = AΔx + o(Δx), o diferencialas dy = AΔx = y'Δx = y'dx = f'(x)dx; Δx = dx.


Kitaip tariant
Pavyzdžiui, jei tai
arba


  • Rasime funkcijos išvestinę.


išvestinės reikšmė fizikoje[keisti]

  • Tarkime, turime funkciją Čia S yra nueitas taško kelias, o t yra laikas. Funkcija parodo kokį kelią nukeliauja taškas po laiko Išvestinė parodo momentinį taško judėjimo greitį laiko momentu t. Taigi
  • Pavyzdžiui, jei laikas skaičiuojamas sekundėmis, surasime iš funkcijos kokį atstumą (metrais) taškas nukeliaus po 10 sekundžių (kai t=10 (s)).
Surandame taško momentinį greitį po 10 sekundžių:
Gilesniam suvokimui apie gravitacija galima paskaityti čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Gravitacija
  • O štai pavyzdis, kuris patvirtina, kad momentinis greitis paskaičiuotas teisingai.
Pagreitis g=1 (m/s)/s. Laikas t=10 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 10 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
Kaip matome, atstumas pasiektas 2 kartus mažesnis ir greitis 2 kartus mažesnis. Ar tai įrodo, kad formulės teisingos? Tikriausiai taip. Pavyzdžiui, jei g=2 (m/s)/s, tai gauname:
Ne veltui sakoma, kad antra funkcijos išvestinė yra pagreitis


  • Trumpai, jeigu S(t) yra atstumas nueitas per laiką t, kai pagreitis yra a, o atstumo priklausomybė nuo laiko užrašoma formule
tai momentinio greičio formulė yra tokia:
o pagreitis randamas šitaip:

Sumos, skirtumo, sandaugos ir dalmens diferencijavimo taisyklės[keisti]

Sumos diferencijavimas.

Sandaugos diferencijavimas.

Dalmens diferencijavimas.


Sudetinės funkcijos diferencijavimas[keisti]

  • Pavyzdžiui,
,

kur ; .

.


  • Pavyzdys iš trigonometrijos,
.
Patikriname gautą atsakymą integruodami keičiant kintamajį:
čia

Sudetinės laipsninės funkcijos diferencijavimas[keisti]

Pavyzdžiai


Apytiksliai skaičiavimai taikant diferencialą[keisti]

Iš diferencialo apibrėžimo seka, kad jis priklauso linijiniai nuo ir yra pagrindinė funkcijos priaugimo dalis. Pats pokytis priklauso nuo sudetingiau. Pavyzdžiui, jeigu tai
kai tuo metu
Daugelyje uždavinių funkcijos priaugimą duotajame taške apytiksliai pakeičia diferencialu šitame taške:
Absoliuti paklaida, padarius tokį pakeitimą, lygi ir, kai yra begalo mažas dydis aukštesnės eilės nei
Pavyzdys. Parodysime, kad jeigu mažas dydis, tai galima naudoti apytikslią formulę
Sprendimas. Nagrinėkime funkciją Kai mažas, turime
arba
Taigi,
Iš kur parinkę gausime
Pavyzdžiui, jei tai Tikroji reikšmė (iš kalkuliatoriaus) yra
Pavyzdžiui, jei tai Tikroji reikšmė (iš kalkuliatoriaus) yra

Diferencialinių lygčių sprendimas[keisti]

  • kai
Aiškiau, tai reikia pasinaudoti šita formule . Tada



Uždavinys apie radiaktyvųjį skilimą[keisti]

  • Uždavinys apie radiaktyvųjį skilimą. Bandymais nustatyta, kad radioaktyviosios medžiagos skilimo greitis proporcingas nesuskilusios medžiagos kiekiui. Nustatykime nesuskilusios medžiagos kiekio m priklausomybę nuo laiko t, kai pradinis medžiagos kiekis lygus
Sprendimas. Radioaktyvios medžiagos skilimo greitis lygus

Pagal sąlyga,

čia - proporcingumo koeficientas. Kadangi radioaktyviosios medžiagos kiekis ilgainiui mažėja, tai todėl (1) lygties dešinėje pusėje rašome minuso ženklą.

(Norėdami supaprastinti bendrojo sprendimo išraišką, vietoje C rašome ).

Uždavinio sąlygoje nurodyta, kad laiko momentu pradinis medžiagos kiekis lygus Šios sąlygos yra pradinės ir trumpai užrašomos taip:

Į (3) reiškinį įrašę vietoje m dydį , o vietoje t - nulį, gauname: Taigi iš bendrojo sprendinio išplaukia toks sprendinys

(4)

atitinkantis duotąsias pradines sąlygas.

Radiaktyvios medžiagos skilimo greitį apibūdina pusamžio, arba pusėjimo trukmės, sąvoka. Taip vadinamas laikas T, per kurį suskyla pusė pradinio radiaktyvios medžiagos kiekio. Į (4) lygybę įrašę ir gauname sąryšį

Taigi koeficientą k su skilimo pusamžiu T sieja sąlyga

Tuomet atskirasis diferencialinės lygties sprendinys, iš lygties (4), užrašomas taip:

Puamžio T reikšmės nustatomos eksperimentais. Įvairių radioaktyviųjų medžiagų skilimo pusamžio reikšmės yra labai skirtingos (žr. lentelę).
Radiaktyvioji medžiaga Anglis - 14 Plutonis - 244 Radis - 226 Stroncis - 90 Uranas - 235 Uranas - 238
Skilimo pusamžis 5730 metų metų 1575 metų 28.1 metų metų metų

Iš lygties (4), koeficientas k nustatomas iš stebėjimų. Tegu per laiką skyla a % radiaktyviosios medžiagos nuo pradinės masės Tenkinama sąlyga

Tokiu budu buvo nustatyta, kad Radžiui (laiko matavimo vienetas - metas).

Įstatę šią reikšmę į formulę (4), gauname:
Rasime periodą pusės suskilimo radžio, t. y. laiko tarpą, per kurį suskyla pusė pirminės masės radžio. Įstatę (4) formulę vietoje m reikšmę gausime lygtį pusamžio T nustatymui:
metų.
Pavyzdžiui, viename sename vadovėlyje radžio skilimo pusamžis yra metų. Todėl (matuojant laiką metais)
Iš pradinės radžio masės po milijono metų (t=1000000) liks tik
Tą patį rezultatą galima gauti pakėlus tiek kartų, kiek kartų masė sumažės per puse po milijono metų
(kartų).
Taigi,
Tiksliai skaičiuojant su gaunamas rezultatas:
Dar tiksliau skaičiuojant, reikia tikslesnio
Dar protingiau mąstant, galima pastebėti, kad Todėl
Atomo skersmuo yra apie metro. Į vieną kubinį metrą telpą apytiksliai radžio atomų. Todėl parenkame atomų. Nustatysime kiek liks radžio po 100000 metų:
(atomai).
Rasime kiek liks radžio nuo pradinės masės po t=1000 metų, kai radžio skilimo pusamžis T=1550 metų. Randame:
Dabar tarkime, kad mes žinome kiek liko radžio nuo pradinės masės po 1000 metų. Taigi, mes žinome, kad po 1000 metų radžio sumažėjo iki masės Naudodami vien logaritmus ir logiką (nenaudodami jokių diferencijavimų ir diferencialinių lygčių) surasime radžio skilimo pusamžį T. Tereikia išspręsti per logaritmus lygtį:
(metų).
Žinoma, vietoje dešimtainio logaritmo () galima buvo naudoti ir naturinį logaritmą () arba logaritmą bet kokiu pagrindu. Tačiau moksliniuose skaičiuotuvuose yra tik dešimtainių ir naturinių logaritmų funkcijos.

Raketos uždavinys[keisti]

  • Raketos uždavinys. Raketa su pradine mase juda tiesiaeigiai dėl nenutrukstamo dujų išmetimo išmetamų iš raketos. Greitis išmetamų dujų (raketos atžvilgiu) pastovus ir nukreiptas į priešingą raketos judėjimo kryptį su pradiniu greičiu . Rasime dėsnį raketos judėjimo nepaisydami gravitacijos ir oro pasipriešinimo.
Čia - išnaudojama masė degalų per sekundę, esant nekintamam degalų degimui , M - kintanti masė raketos.
Konstantą C randame iš sąlygos , kai , ir todėl
Pavyzdžiui, jeigu norima akseleruoti raketą iki šviesos greičio, kai raketos masė su kuru lygi o raketos masė be kuro lygi tai kuras sveria pusė raketos masės. Viso išmesto raketos kuro energija, sakykim, anihiliacijos metu yra Energija reikalinga masės kūnui pasiektį šviesos greitį yra o energija reikalinga pasiekti šviesos greitį kg masės kunui yra Kai visas kuras bus išmestas (panaudotas), raketos masė pasidarys perpus mažesnė Todėl, kad kuro išmetimui pasiekti šviesos greitį reikia energijos, o kuras turi dvigubai daugiau energijos, todėl kuro greitis yra , o raketos greitis:

Todėl, jei nepaisyti reliatyvumo teorijos, raketa pasiektų greitį 0,98c, išnaudojus visą kuro energiją anihiliacijos metu (tarkim kuro stumos naudingumas 100%), kuri sudaro pusę pradinės raketos masės.
Mastant paprastai, reikia pusė objekto masės m energijos , kad (tam objektui) pasiekti šviesos greitį c. O su visa objekto masės energija galima įgreitinti kuną iki greičio v, kuris randamas, taip:
,
Jeigu raketos masę sudaro 99% kuras tada kuro energija apytiksliai lygi o energija reikalinga pasiekti raketai šviesos greitį yra J. Todėl apytiksliai su visa kuro energija bus pasiektas greitis Pagal formulę:

Matyt, ši formulė skirta tik skaičiuoti, kai kuras sudaro visą raketos masę, todėl prieš tai reikėjo taikyti formulę:
Ir istačius:

Labai artima maksimaliai įmanomai reikšmei 424264068.7 m/s.

Susiję straipsniai[keisti]