Matematika/Diferencialas

Iš Wikibooks.
< Matematika(Nukreipta iš Diferencialas)
Peršokti į: navigacija, paiešką
Funkcija (žalia kreivė) ir jos diferencialas taške P (mėlyna tiesė)

Diferencialas - funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojamąja taške x (a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) - f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A - skaičius, nepriklausantis nuo Δx.

Pavyzdžiui, yra funkcija f(x)=x2. Tos funkcijos išvestinė yra

Įstatykime vietoje x kokią nors reikšmę, pavyzdžiui, x=3.

Δy = AΔx + o(Δx) = 2xΔx + (Δx)2=6Δx + (Δx)2,

čia A = 2x = 6 = f'(x); o(Δx) = (Δx)2.

Taigi funkcijos pokytis yra Δy = f(x + Δx) - f(x) = AΔx + o(Δx), o diferencialas dy = AΔx = y'Δx = y'dx = f'(x)dx; Δx = dx.

Sumos, skirtumo, sandaugos ir dalmens diferencijavimo taisyklės[keisti]

Sumos diferencijavimas.

Sandaugos diferencijavimas.

Dalmens diferencijavimas.


Sudetinės funkcijos diferencijavimas[keisti]

  • Pavyzdžiui,
,

kur ; .

.


  • Pavyzdys iš trigonometrijos,
.

Sudetinės laipsninės funkcijos diferencijavimas[keisti]

Pavyzdžiai


Diferencialinių lygčių sprendimas[keisti]

  • kai
  • Uždavinys apie radiaktyvųjį skilimą. Bandymais nustatyta, kad radioaktyviosios medžiagos skilimo greitis proporcingas nesuskilusios medžiagos kiekiui. Nustatykime nesuskilusios medžiagos kiekio m priklausomybę nuo laiko t, kai pradinis medžiagos kiekis lygus
Sprendimas. Radioaktyvios medžiagos skilimo greitis lygus

Pagal sąlyga,

čia - proporcingumo koeficientas. Kadangi radioaktyviosios medžiagos kiekis ilgainiui mažėja, tai todėl (1) lygties dešinėje pusėje rašome minuso ženklą.

(Norėdami supaprastinti bendrojo sprendimo išraišką, vietoje C rašome ).

Uždavinio sąlygoje nurodyta, kad laiko momentu pradinis medžiagos kiekis lygus Šios sąlygos yra pradinės ir trumpai užrašomos taip:

Į (3) reiškinį įrašę vietoje m dydį , o vietoje t - nulį, gauname: Taigi iš bendrojo sprendinio išplaukia toks sprendinys

(4)

atitinkantis duotąsias pradines sąlygas.

Radiaktyvios medžiagos skilimo greitį apibūdina pusamžio, arba pusėjimo trukmės, sąvoka. Taip vadinamas laikas T, per kurį suskyla pusė pradinio radiaktyvios medžiagos kiekio. Į (4) lygybę įrašę ir gauname sąryšį

Taigi koeficientą k su skilimo pusamžiu T sieja sąlyga

Tuomet atskirasis diferencialinės lygties sprendinys, iš lygties (4), užrašomas taip:

Puamžio T reikšmės nustatomos eksperimentais. Įvairių radioaktyviųjų medžiagų skilimo pusamžio reikšmės yra labai skirtingos (žr. lentelę).
Radiaktyvioji medžiaga Anglis - 14 Plutonis - 244 Radis - 226 Stroncis - 90 Uranas - 235 Uranas - 238
Skilimo pusamžis 5730 metų metų 1575 metų 28.1 metų metų metų

Iš lygties (4), koeficientas k nustatomas iš stebėjimų. Tegu per laiką skyla a% radiaktyviosios medžiagos nuo pradinės masės Tenkinama sąlyga

Tokiu budu buvo nustatyta, kad Radžiui (laiko matavimo vienetas - metas).

Įstatę šią reikšmę į formulę (4), gauname:
Rasime periodą pusės suskilimo radžio, t. y. laiko tarpą, per kurį suskyla pusė pirminės masės radžio. Įstatę (4) formulę vietoje m reikšmę gausime lygtį pusamžio T nustatymui:
metų.
  • Raketos uždavinys. Raketa su pradine mase juda tiesiaeigiai dėl nenutrukstamo dujų išmetimo išmetamų iš raketos. Greitis išmetamų dujų (raketos atžvilgiu) pastovus ir nukeiptas į priešingą raketos judėjimo kryptį su pradiniu greičiu . Rasime dėsnį raketos judėjimo nepaisydami gravitacijos ir oro pasipriešinimo.
Čia - išnaudojama masė degalų per sekundę, esant nekintamam degalų degimui , M - kintanti masė raketos.
Konstantą C randame iš sąlygos , kai , ir todėl
Pavyzdžiui, jeigu norima akseleruoti raketą iki šviesos greičio, kai raketos masė su kuru lygi o raketos masė be kuro lygi tai kuras sveria pusė raketos masės. Viso išmesto raketos kuro energija, sakykim, anihiliacijos metu yra Energija reikalinga masės kūnui pasiektį šviesos greitį yra o energija reikalinga pasiekti šviesos greitį kg masės kunui yra Kai visas kuras bus išmestas (panaudotas), raketos masė pasidarys perpus mažesnė Todėl, kad kuro išmetimui pasiekti šviesos greitį reikia energijos, o kuras turi dvigubai daugiau energijos, todėl kuro greitis yra , o raketos greitis:

Todėl, jei nepaisyti reliatyvumo teorijos, raketa pasiektų greitį 0,98c, išnaudojus visą kuro energiją anihiliacijos metu (tarkim kuro stumos naudingumas 100%), kuri sudaro pusę pradinės raketos masės.
Mastant paprastai, reikia pusė objekto masės m energijos , kad (tam objektui) pasiekti šviesos greitį c. O su visa objekto masės energija galima įgreitinti kuną iki greičio v, kuris randamas, taip:
,
Jeigu raketos masę sudaro 99% kuras tada kuro energija apytiksliai lygi o energija reikalinga pasiekti raketai šviesos greitį yra J. Todėl apytiksliai su visa kuro energija bus pasiektas greitis Pagal formulę:

Matyt, ši formulė skirta tik skaičiuoti, kai kuras sudaro visą raketos masę, todėl prieš tai reikėjo taikyti formulę:
Ir istačius:

Labai artima maksimaliai įmanomai reikšmei 424264068.7 m/s.

Susiję straipsniai[keisti]