Aptarimas:Kubinės lygties sprendimas be kompleksinių skaičių

Atvejis, kai p>0. (Vienoje vietoje klaida)

Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento $p\neq 0$ modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa $x^{3}=-q,$ turinti sprendinį $x=-{\sqrt[{3}]{q}}$).

Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį $x=ky$ ir tinkamai parinksime k. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į

$k^{3}y^{3}+pky+q=0,\quad y^{3}+py/k^{2}+q/k^{3}=0.$

Atveju $p>0,$ pasirenkame k taip:

$p/k^{2}=3,\;\;p/3=k^{2},\;\;k={\sqrt {p/3}}.$

Todėl su tokiu k, koeficientas prie y tampa lygus 3.

$x=ky={\sqrt {p/3}}\;y,$

$q/k^{3}=q/({\sqrt {p/3}})^{3}={\frac {q}{\sqrt {p^{3}/(3\cdot 9)}}}={\frac {3q}{p{\sqrt {p/3}}}}={\frac {3{\sqrt {3}}q}{p{\sqrt {p}}}}.$

Pažymėkime

$m=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {p}}}}.$

Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties $y^{3}+py/k^{2}+q/k^{3}=0$):

$y^{3}+py/k^{2}+q/k^{3}=0,$

$y^{3}+3y-2m=0,\quad (5)$

kurioje $p/k^{2}=3,\;\;{\frac {3{\sqrt {3}}q}{p{\sqrt {p}}}}=-2m.$

Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį $y=z-1/z:$

$(z-1/z)^{3}+3(z-1/z)-2m=0,$

$(z^{3}-3z^{2}\cdot 1/z+3z\cdot 1/z^{2}-1/z^{3})+3(z-1/z)-2m=0,$

$(z^{3}-3z+3/z-1/z^{3})+3z-3/z-2m=0,$

$(z^{3}-1/z^{3})-2m=0,$

$z^{3}-1/z^{3}-2m=0,\quad |\cdot z^{3}$

$z^{6}-1-2mz^{3}=0,$

$z^{6}-2mz^{3}=1,$

$z^{6}-2mz^{3}+m^{2}=1+m^{2},$

$(z^{3}-m)^{2}=1+m^{2},$

$z^{3}-m=\pm {\sqrt {1+m^{2}}},$

$z^{3}=m\pm {\sqrt {1+m^{2}}},$

$z={\sqrt[{3}]{m\pm {\sqrt {1+m^{2}}}}}.$

Abi šios z reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties.

$y=z-1/z={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {1}{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}{{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}}}={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-({\sqrt {1+m^{2}}})^{2}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-(1+m^{2})}}}={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\sqrt {1+m^{2}}}-m}};$

$y=z-1/z={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {1}{\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}{{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}}}={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-({\sqrt {1+m^{2}}})^{2}}}}=$

$={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}{\sqrt[{3}]{m^{2}-(1+m^{2})}}}={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}{-1}}=$

$={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}.$

Pasirodo, gaunami 2 skirtingi sprendiniai (todėl duotos nuorodos tvirtinimas, kad abi z reikšmės duoda tą patį lygties (5) sprendinį yra klaidingas):

$y_{1}={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\sqrt {1+m^{2}}}-m}};$

$y_{2}={\sqrt[{3}]{m-{\sqrt {1+m^{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}={\sqrt[{3}]{m+{\sqrt {1+m^{2}}}}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {1+m^{2}}}-m}}.$

Nepadalinta iš -1 sprendinyje $y_{1}$ antrame dėmenyje (${\sqrt[{3}]{{\sqrt {1+m^{2}}}-m}}$).

Iš Kardano formulės skyriaus

Atvejis 3: ${\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}<0.$

Suprantama, p<0. Taikant keitį $x={\sqrt {4|p|/3}}\cos \phi ,$ gaunasi lygtis

$4\cos ^{3}\phi -3\cos \phi =q{\sqrt {27}}/(2p{\sqrt {|p|}}),$

$\cos 3\phi =q{\sqrt {27}}/(2p{\sqrt {|p|}}).\quad (A)$

Kadangi

$(q{\sqrt {27}})^{2}<(2p{\sqrt {|p|}})^{2},$

$27q^{2}<-4p^{3},$

tai (A) lygties dešinėje pusėje modulio reikšmė mažesnė už 1. Radus $\varphi ,$ randami 3 sprendiniai lygties (3):

$\alpha _{1}=x={\sqrt {4|p|/3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos(3q{\sqrt {3}}/2p{\sqrt {|p|}}\right),$

$\alpha _{2}={\sqrt {4|p|/3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi +{\frac {1}{3}}\arccos(3q{\sqrt {3}}/2p{\sqrt {|p|}}\right),$

$\alpha _{3}={\sqrt {4|p|/3}}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi +{\frac {1}{3}}\arccos(3q{\sqrt {3}}/2p{\sqrt {|p|}}\right).$

Juos surasti galima taip:

$x=ky,$

$k={\sqrt {-p/3}},$

$y=2z,$

$x=2kz=2{\sqrt {-p/3}}z.$

$x^{3}+px+q=0,$

$x^{3}+px+q=8{\sqrt {(-p/3)^{3}}}z^{3}+p\cdot 2{\sqrt {-p/3}}z+q={\frac {8p}{3}}{\sqrt {-p/3}}z^{3}+2p{\sqrt {-p/3}}z+q=0,$

${\frac {4p}{3}}{\sqrt {-p/3}}z^{3}+p{\sqrt {-p/3}}z=-q/2,$

$4{\sqrt {-p/3}}z^{3}+3{\sqrt {-p/3}}z={\frac {-3q}{2p}},$

$4z^{3}+3z={\frac {-3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}},$

$4z^{3}+3z=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}.$

Arba

$x^{3}+px+q=0,$

$x^{3}+px+q=8{\sqrt {(-p/3)^{3}}}z^{3}+p\cdot 2{\sqrt {-p/3}}z+q=-{\frac {8p}{3}}{\sqrt {p/3}}z^{3}+2p{\sqrt {-p/3}}z+q=0,$

$-{\frac {4p}{3}}{\sqrt {p/3}}z^{3}+p{\sqrt {-p/3}}z=-q/2,$

$-4{\sqrt {p/3}}z^{3}+3{\sqrt {-p/3}}z={\frac {-3q}{2p}},\quad (B)$

$-4z^{3}+3z={\frac {-3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}},$ (nesamonė)

$4z^{3}-3z={\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}.$ (nesamonė)

Lygties (B) negalima dalint nei iš ${\sqrt {p/3}},$ nei iš ${\sqrt {-p/3}}.$

Tolesnis skaičiavimas turėtų vykti taip:

$z=\cos \varphi ,$

$x=2{\sqrt {-p/3}}z=2{\sqrt {-p/3}}\cos \varphi .$

p<0, todėl

$x=2{\sqrt {|p|/3}}z=2{\sqrt {|p|/3}}\cos \varphi .$

$4z^{3}-3z={\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}},$

$4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi ={\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}},$

$\cos 3\varphi ={\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}};$

$3\varphi =\arccos({\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}),$

$\varphi ={\frac {1}{3}}\arccos({\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}).$

Ir p<0.

$y=2z=2\cos \varphi ,$

$x=2kz=2{\sqrt {-p/3}}z=2{\sqrt {-p/3}}\cos \varphi =2{\sqrt {-p/3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos({\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}})\right).$

Kai kas neteisingai.